死亡保险的精算现值
保监发[2003]67号 - 中国保监会
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个人分红保险精算规定第一部分适用范围一、本规定适用于个人分红保险。
二、分红保险可以采取终身寿险、两全保险或年金保险的形式。
保险公司不得将其他产品形式设计为分红保险。
第二部分保险费三、保险费应当根据预定利息率、预定死亡率、预定附加费用率等要素采用换算表方法进行计算。
（一）预定利息率保险公司在厘定保险费时，应根据公司对未来投资回报率的预测按照谨慎的原则确定预定利息率，所采用的预定利息率应当符合中国保险监督管理委员会（以下简称“保监会”）的规定。
（二）预定死亡率保险公司在厘定保险费时，预定死亡率应当采用中国人寿保险业经验生命表（1990 – 1993）所提供的数据。
根据保险责任的不同，保险公司应当按照下表所列经验生命表的适用范围，选择使用相应的经验生命表。
1（三）预定附加费用率保险公司在厘定保险费时，预定附加费用率按《关于下发有关精算规定的通知》（保监发【1999】90号文）中的《人寿保险预定附加费用率规定》执行。
第三部分保单最低现金价值四、保单年度末保单价值准备金保单年度末保单价值准备金指为计算保单年度末保单最低现金价值，按照本条所述计算基础和计算方法算得的准备金数值。
2（一）计算基础1、死亡率和费用率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定死亡率和预定附加费用率；2、对于保险期限小于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加1%；对于保险期限等于或大于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加2%。
（二）计算方法1、根据该保单的保险责任和各保单年度净保费按上述计算基础采用“未来法”计算。
2、保单各保单年度净保费为该保单年度的毛保费扣除附加费用。
其中，毛保费是指按保单年度末保单价值准备金的计算基础重新计算的保险费，附加费用为毛保费乘以险种报备时厘定保险费所采用的该保单年度的预定附加费用率。
（三）保单年度末保单价值准备金不包括该保单在保单年度末的生存给付金额。
保险精算原理.
团体保险
• 主要有团体人寿保险、团体健康险等 • 团体寿险的费率使用规章费率与实际经验 费率相结合，用列表形式计算，通常是用 保险招标来进行的，一般费率较低，但营 销成本低。 • 团体健康保险主要是残疾和医疗方面的保 障，保险期一般为一年，保费根据当年的 实际赔付情况，团体的人员状况进行调整。
• 在这些保费原理中，方差原理和标准差原 理在实际应用中常被用来作为商业保险保 费计算原理 • 因为这两个原理不仅体现了保费随风险变 化的原则，而且易于操作。
• 所谓方差保费原理实际上就是
• 期望值纯保费＋附加保费
• 附加保费为损失赔付方差的比例
• 标准差保费原理与方差保费原理类似 • 都是纯保费＋附加保费 • 二者的不同之处在于 • 标准差保费的附加保费为损失赔付的标准 差成比例
A 0 n qx v n px v n px v
1 x:n n n
n xn
l
lx
• n年两全保险是由n年纯生存保险与n年死亡 保险组成的，因此1元保额的两全保险的精 算现值等于
Ax:n A
1 x:n
A
1 x:n
n年定期生存年金
• 假设被保险人的年龄为x岁，保险期限为n 年，只要他在保险期限内还活着，那么每 年初都可以得到保险金为1的给付，因此这 种生存年金是由保险期限分别为1年至n年 的n个纯生存保险组成。 • n 1 n 1
保险精算第四章趸缴纯保费的计算原理(讲课版) (1)
好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的 实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场 合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时
值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E( zt )
一、（趸缴保费+死亡或生存年末支付）寿险
26.97887 （元）
（二）终身寿险死亡年末给付的趸缴纯保费（给定 利率、生命表可计算）
对于死亡年末赔付1个单位金额的终身寿险，趸缴纯保 费记号 A
x
bK 1 1
K 0 ,1,2......
Z v k 1
一定会 得到赔 付
K 0, 1,......
Ax E ( Z ) v
保险解释： l x 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的
积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸 缴保费 Ax1 ，还可以为所有在当年去世的被保险人每 人额外补贴 1 Ax1 元的保险成本。
离散型终身寿险趸缴纯保费递推公式三：
Ax1 Ax iAx qx (1 Ax )
n 1 k 1 k| k 0
A
1 x :n|
E( Z ) v
1 x :n|
qx v
k 0
n 1
k 1 k
px .q x k
lx A
v
k 0
n 1
k 1
请思 考直 观意 义？
.d x k
例4.1
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险额为1000元，保险金额在死亡 年末给付，按中国人寿保险业经验生命（2000-2003）（男）和利率 6%计算趸缴保费。 解：
2020年(金融保险)个人分红保险精算规定
（金融保险）个人分红保险精算规定个人分红保险精算规定第壹部分适用范围壹、本规定适用于个人分红保险。
二、分红保险能够采取终身寿险、俩全保险或年金保险的形式。
保险X公司不得将其他产品形式设计为分红保险。
第二部分保险费三、保险费应当根据预定利息率、预定死亡率、预定附加费用率等要素采用换算表方法进行计算。
（壹）预定利息率保险X公司在厘定保险费时，应根据X公司对未来投资回报率的预测按照谨慎的原则确定预定利息率，所采用的预定利息率应当符合中国保险监督管理委员会（以下简称“保监会”）的规定。
（二）预定死亡率保险X公司在厘定保险费时，预定死亡率应当采用中国人寿保险业经验生命表（1990–1993）所提供的数据。
根据保险责任的不同，保险X公司应当按照下表所列经验生命表的适用范围，选择使用相应的经验生命表。
（三）预定附加费用率保险X公司在厘定保险费时，预定附加费用率按《关于下发有关精算规定的通知》（保监发【1999】90号文）中的《人寿保险预定附加费用率规定》执行。
第三部分保单最低现金价值四、保单年度末保单价值准备金保单年度末保单价值准备金指为计算保单年度末保单最低现金价值，按照本条所述计算基础和计算方法算得的准备金数值。
（壹）计算基础1、死亡率和费用率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定死亡率和预定附加费用率；2、对于保险期限小于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加1%；对于保险期限等于或大于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加2%。
（二）计算方法1、根据该保单的保险责任和各保单年度净保费按上述计算基础采用“未来法”计算。
2、保单各保单年度净保费为该保单年度的毛保费扣除附加费用。
其中，毛保费是指按保单年度末保单价值准备金的计算基础重新计算的保险费，附加费用为毛保费乘以险种报备时厘定保险费所采用的该保单年度的预定附加费用率。
（三）保单年度末保单价值准备金不包括该保单在保单年度末的生存给付金额。
(金融保险)个人分红保险精算规定
（金融保险）个人分红保险精算规定个人分红保险精算规定第一部分适用范围一、本规定适用于个人分红保险。
二、分红保险可以采取终身寿险、两全保险或年金保险的形式。
保险公司不得将其他产品形式设计为分红保险。
第二部分保险费三、保险费应当根据预定利息率、预定死亡率、预定附加费用率等要素采用换算表方法进行计算。
（一）预定利息率保险公司在厘定保险费时，应根据公司对未来投资回报率的预测按照谨慎的原则确定预定利息率，所采用的预定利息率应当符合中国保险监督管理委员会（以下简称“保监会”）的规定。
（二）预定死亡率保险公司在厘定保险费时，预定死亡率应当采用中国人寿保险业经验生命表（1990–1993）所提供的数据。
根据保险责任的不同，保险公司应当按照下表所列经验生命表的适用范围，选择使用相应的经验生命表。
（三）预定附加费用率保险公司在厘定保险费时，预定附加费用率按《关于下发有关精算规定的通知》（保监发【1999】90号文）中的《人寿保险预定附加费用率规定》执行。
第三部分保单最低现金价值四、保单年度末保单价值准备金保单年度末保单价值准备金指为计算保单年度末保单最低现金价值，按照本条所述计算基础和计算方法算得的准备金数值。
（一）计算基础1、死亡率和费用率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定死亡率和预定附加费用率；2、对于保险期限小于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加1%；对于保险期限等于或大于10年的保险产品，利息率采用险种报备时厘定保险费所使用的预定利息率加2%。
（二）计算方法1、根据该保单的保险责任和各保单年度净保费按上述计算基础采用“未来法”计算。
2、保单各保单年度净保费为该保单年度的毛保费扣除附加费用。
其中，毛保费是指按保单年度末保单价值准备金的计算基础重新计算的保险费，附加费用为毛保费乘以险种报备时厘定保险费所采用的该保单年度的预定附加费用率。
（三）保单年度末保单价值准备金不包括该保单在保单年度末的生存给付金额。
保险精算练习题
盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人。
4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴)2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。
解：⑴ 1200)21(1000)2(=+⨯i ；所以4.0)2(==i⑵2)2()21(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m nd d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()(1)(；所以， 13)3()1()31(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n时，证明：i idd n n <<<<)()(δ。
证明：①)(n d d <因为，Λ+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(32)(2)(10)()()(1)1(1nd C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n )(1n d ->所以得到，)(n d d <；②δ<)(n d )1()(mn em dδ--=；mm C m C m C m ennnmδδδδδδ->-⋅+⋅-⋅+-=-1)()()(1443322Λ所以，δδ=--<)]1(1[)(mm dn③)(n i <δi ni nn +=+1]1[)(， 即，δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i n i n n 所以，)1()(-⋅=n n e n i δmmC mC mC me n n n n δδδδδδ+>+⋅+⋅+⋅++=1)()()(1443322Λδδ=-+>]1)1[()(nn in④i i n <)(i ni nn +=+1]1[)(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+Λ所以，iin <)(6．证明下列等式成立，并进行直观解释：⑴nmm n m a v a a +=+；解：iv a nm nm ++-=1，iv a m m-=1，iv v i v v a v nm m n mnm +-=-=1所以，n m nm m m n mma iv v v a v a ++=-+-=+1⑵n mmn m s v a a -=-；解：iv a nm nm ---=1，iv a m m-=1，iv v s v nm m n m--=-所以，n m nm m m n mma iv v v s v a --=-+-=-1⑶nmm n m a i s s )1(++=+；解：i i s m m1)1(-+=，ii i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++所以，nm mn m m n mms ii i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(⑷nmm n m a i s s )1(+-=-。
精算数学第二章习题
精算数学第二章习题1. 30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t 的保额为bt ，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0，Z 表示给付现值随机变量，求使得V ar(Z)最小的b1的值。
2. 已知：lx=100－x ，0≤x ≤100，i=0.06，则求 的值。
3.4. 小张为现年60岁的母亲购买了一份终身寿险保单，保单利益为：若被保险人在保险期第一年内死亡，则在年末给付保险金7000元；若在第二年内死亡，则在年末给付保险金7100元，即在以后，死亡时间每推迟一年，保险金额增加100元。
已知i=2%， M60=184.857509，D60=274.336777，R60=3538.387666。
求这种寿险的保费。
5. 现年30岁的王先生购买了保额为1的20年期的连续型定期寿险，已知生存函数为：s(x)=1－x/100(0≤x ≤100)，设年利率为i=0.10。
求此保险给付数额在签单时的现值Z 的方差V ar(Z)。
30:10A 110:10:100.240.350.5x x x x A A A A +=== =已知：，，。
则（）。
6.7. 有一份按年递增的期初付终生生存年金，第一年金额为100元，第二年为200元，以后每过一年给付金额增加100元，i=0.06，其生存模型为：求该年金的精算现值。
8. 对于连续型终身生存年金，已知lx=100000(100－x)，0≤x ≤100，i=6%，则k 1 2 3 4ka 1.00 1.93 2.80 3.62 k -1q x0.33 0.24 0.16 0.11()x a = ：4根据以下条件计算。
x 90 91 92 93 l x100723935a =（ ）。
保险精算李秀芳1-5章习题答案
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
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可编辑ppt
11
设 S(x)1 x , 0x100
100 i0.1
计算 （ 1） A1 30:10
(2)Var(zt)
解：
S(x t) 1
(1) fT (t)
S(x)
100 x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t )dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0 70 70 ln1.1
方差公式
V ( z ta ) E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tf T ( t ) d E t ( z t) 2
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n(Ax1:n)2
厘定：
n1
A1 x:n
E(zk)
vk1kpxqxk
k0
计算基数引进的目的：简化计算
常用基数： Cx vx1dx
Dx vxlx
Mx Cxk k0
Nx Dxk k0
Mxk (k 1)Cxk
k0
k 0可编辑ppt
15
n1
A1 x:n
E(zk )
vk1 k px qxk
k 0
n1
假定：( x ) 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t0 bt 1, t0
zt btvt vt
,
t0
可编辑ppt
19
趸缴纯保费的厘定
符号： A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
vt
0
t
px
xtdt
et
0
t
px
xtdt
可编辑ppt
20
现值随机变量的方差
lx
A1 x:n
vk1 dxk
k 0
n1
n1
A1
vxk 1 dxk
k 0
Cxk
k 0
Mx Mxn
x:n
vxlx
Dx
Dx
递推公式（例 4.3.4）：
A 1x:nvqxvpxA 1x1:n1 lx(1i)A 1x:ndx 可(编1 辑p pt A 1x1:n1)lxA 1x1:n116
现值随机变量的方差
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0 ,
tn
可编辑ppt
9
死亡后立即给付
1
符号： A x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
t
px
xtdt0nett px
xtdt
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10
现值随机变量的方差
同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿 命是独立同分布的。
被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行 拟合。
保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定 利率）。
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3
净保费厘定原理
原则 保费净均衡原则
解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实 质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合 下，收费期望现时值等于支出期望现时值
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13
年末赔付场合
基本函数关系 记k为被保险人整值剩余寿命，则
vk vk1 , k 0,1, , n 1
1 , k 0,1, , n 1 bk 0 , k n
vk1 , k 0,1, , n 1 zk bkvk 0 , k n
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14
趸缴净保费的厘定
符号：
A1 x :n
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 0 e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
所以方差等价为 Va (zt)r2Ax(Ax)2
公式
n 1
V a r (z k ) E (z k 2 ) E (z k )2v 2 k 2 kp xq x k E (z k )2
k 0
记
n1
2A1 x:n
v2k2 k px qxk
k0
等价方差为 Var(zk)2A1 x:n(A1 x:n)2
例 4.3.3： 例 4.3.5：
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(Ax:n
)2
可编辑ppt
7
结论 4.2.1：
lx nEx vnlxn (1i)lx nEx lx1 E n1 x1
例题 4.2.2：
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8
4.3、定期寿险(定期死亡保险）
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保 险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称 为n年死亡保险。
假定： ( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险
17
剩余寿命在分数时期均匀分布假定
剩余寿命=整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：
则有
T(x)K(x)S(x) vT(x) vK(x)1vS(x)1
E(vT) E(vK1)E(vS1)
A1
A1
1
vs1ds
i
A1
x:n
x:n
0
x:n
例 4.3.7：
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18
2、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
vt vn , t0
vn , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0 ,
tn
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6
趸缴纯保费的厘定
1
符号： A x : n
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (zt) v nnp x e nnp x
现值随机变量的方差：
Var(zt)v2nnpx (vnnpx)2
21
Ax:n
1
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4
基本符号
(x)
—— 投保年龄。
——人的极限年龄
b t ——保险金给付函数。
v t ——贴现函数。
z ——保险给付金在保单生效时的现时值 t
z b v t t 可编辑ppt
t
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4.2、生存保险
定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n 年末支付保险金的保险。
假定：( x ) 岁的人，保额1元，n年定期生存保险 基本函数关系
第4章 死亡保险的精算现值
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1
4.1引言：人寿保险的分类
受益金额是否恒定 定额受益保险 变额受益保险
保障标的不同 人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保单签约日和保障期期始日 是否同时进行
非延期保险
延期保险
保障期是否有限 定期寿险 终身寿险
可编辑ppt
2
纯保费厘定的基本假定
三个基本假定条件:
0.092
（2）Var(
zt
)2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922
0.055
70 ln1.21
可编辑ppt
12
例题 4.3.1：
递推公式（例 4.3.2）：
A 1 x :nA 1 x :m m E xA 1 x m :n m