1011集合概念练习
《1.1 集合的概念》(同步训练)高中数学必修第一册_人教A版_2024-2025学年
《1.1 集合的概念》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、集合的元素必须满足的性质是：A、确定性B、互异性C、无序性D、以上都是2、下列集合中，属于数集的是：A. {x | x 是整数}B. {x | x 是奇数}C. {x | x 是实数}D. {x | x 是有理数}3、设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B=（）。
A. {1, 4}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}4、集合{1，2，3，4，5，6}的子集的个数是：A. 1B. 15C. 31D. 645、下列选项中，不属于集合元素特性的是（）A、确定性B、互异性C、无限性D、无序性6、设集合(A={x|x 是小于5的正整数})，则集合(A)中元素个数为（）A、3B、4C、5D、67、下列说法正确的是（）A. 如果集合A中有2个元素，那么集合A是单元素集合B. 一个集合中的元素之间一定是不同的C. 任何集合都是整体上的概念，不区分元素之间的顺序D. 集合的定义是任意的抽象概念，并无具体要求8、下列选项中，不属于集合的是（）A、全体偶数组成的集合B、所有正方形的集合C、所有质数的集合D、所有“是”的陈述句组成的集合二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列选项中，可以作为集合的是（）A. 所有大于10的自然数B. 江苏省所有的美丽城市C. 世界上最高的山峰D. 全班所有的高个子同学2、关于集合的概念，以下说法正确的是：A. 集合是由确定的元素组成的整体，且其元素具有唯一性。
B. 集合中的元素按照其性质可分为天然数集、有理数集、实数集和复数集。
C. 任何一个元素都可以成为集合中的一个元素。
D. 两个集合相等当且仅当它们包含相同的元素。
3、下列各选项中，属于集合的有（）A.全体正整数B.所有无理数C.所有负数D.所有有理数三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、集合的元素满足__________ 性质，即一个元素只能属于一个集合。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(10)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A ⋃2．已知集合{}1,A x x x Z =≤∈，则满足条件BA 的集合B 的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．83．已知集合{}14A x Z x =∈-<<，则集合A 的非空子集个数是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．16 4．集合{,,}a b c 的真子集共有（ ）个 A ．5 B ．6C ．7D ．8 5．下列表示正确的是 A ．0∈N B ．27∈NC ．–3∈ND ．π∈Q 6．设集合{|21,},5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ） A ．a A ∈ B ．a A -∈ C ．{}a A ∈ D ．{}a A ⊇7．下列关于空集∅的叙述：①0∈∅；②{}∅∈∅；③{}0∅=.正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 85R ；②14Q ∉；③1.5Z ∈.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．09．方程组2219x y x y +=-=⎧⎨⎩的解集是（ ） A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-二、填空题 1．如果有一集合含有两个元素：x ，2x x -，则实数x 的取值范围是________．2．已知集合A ＝0, 1}, B ＝2{,2}a a ，其中a R ∈, 我们把集合1212{|,,}x x x x x A x B =+∈∈记作A ＋B ，若集合A ＋B 中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是______.3．一元二次方程x 2+4x+3=0的解集为________（用列举法）4．已知集合2{|320,,}A x ax x x R a R =-+=∈∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ．5．若不等式组120161x x a-≥⎧⎨+⎩的解集中的元素有且仅有有限个数，则a =________． 三、解答题 1．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？2．已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．（1）若12A ∈，用列举法表示集合A ；（2）若集合A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ．3．用列举法表示下列集合．（1）x|x 2－2x －8＝0}．（2）x|x 为不大于10的正偶数}．（3）a|1≤a<5，a∈N}．（4）169A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣ （5）(x ，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}．参考答案一、单选题1．B解析：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.详解：由{}0,1,2A =，则0A ∈，{}1A ⊆故选：B2．C解析：先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.详解： 因为{}{}1,101A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选：C ．3．C解析：利用列举法表示集合A ，确定集合A 中元素的个数，进而可求得集合A 的非空子集个数.详解：{}{}140,1,2,3A x Z x =∈-<<=，集合A 中共4个元素，因此，集合A 的非空子集个数是42115-=.故选：C.4．C解析：直接根据含有n 个元素的集合，其子集个数为2n ，真子集为21n -个；详解：解：因为集合{,,}a b c 含有3个元素，故其真子集为3217-=个故选：C5．A解析：根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 详解：N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；在B中，27N∉，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误．故选A．点睛：本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.6．A解析：5221a==⨯+,结合集合A,即可得出结果.详解：5221a A==⨯+∈．故选:A点睛：本题考查元素和集合的关系,考查学生对基本概念的理解,属于基础题.7．B解析：直接根据∅中没有任何中元素，∅是{}∅的元素，且是{}0的真子集即可判断.详解：∵∅中没有任何中元素，0∉∅，故①错误；{}∅∈∅，故②正确；{}0≠∅，故③错误.故正确的只有②.故选：B.点睛：本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、空集和单元素集合{}0关系等基础知识，是基础题.8．A解析：根据元素和常用数集之间的关系，直接判定，即可得出结果.详解：R R，即①正确；Q 为有理数集，故14Q ∈，即②错； Z 为整数集，故1.5Z ∉，即③错；故，正确的个数为1个.故选：A.点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判定，属于基础题型.9．D解析：解出方程组的解，然后用集合表示.详解：因为()()229x y x y x y -==+-，将1x y +=代入得，得9x y -=.210x y x y x ++-==，解得5x =.代入得4y =-.所以方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集(){}5,4-. 故选：D.点睛： 本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题.二、填空题1．0x ≠且2x ≠解析：根据集合的元素的互异性列出不等式，解之即得.详解：由集合元素的互异性可得2x x x -≠，解得0x ≠且2x ≠.故答案为：0x ≠且2x ≠.2．(0, 2)解析：只要解不等式2121a a +<+即得．详解：由题意2121a a +<+，解得02a <<，即a 的取值范围是(0,2)．故答案为(0,2)．点睛：本题考查集合的创新问题，解题中需要理解新概念，转化为旧知识．如本题转化为解不等式2121a a +<+．3．{}1,3--解析：求出方程的解，用列举法表示出即可.详解：由2430x x ++=解得1x =-或3-，2430x x +∴+=的解集为{}1,3--.故答案为：{}1,3--.点睛：本题考查列举法表示集合，属于基础题.4．0或98解析：由题意，集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论，即可得到答案．详解：因为集合2A {x |ax 3x 20,x R,a R}=-+=∈∈有且只有一个元素，当a 0=时，2ax 3x 20-+=只有一个解2x 3=，当a 0≠时，一元二次方程有重根，即98a 0=-=即9a 8=．所以实数a 0=或98．点睛：本题主要考查了集合中元素个数的判定与应用，其中根据题意把集合A 中只有一个元素，转化为方程2320ax x -+=只有一个解，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，及分类讨论数学思想的应用．5．2018解析：若不等式组120161x x a -≥⎧⎨+⎩的解集中有且仅有有限个数，则12017a -=，进而得到答案． 详解：解12016x -≥得：2017x ≥，解1x a +≤得：1x a ≤-，若12017a -<，则不等式的解集为空集，不满足条件；若12017a -=，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时2018a =；若12017a ->，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：2018a =，故答案为：2018点睛：本题主要考查集合中元素的个数，同时考查了不等式组的解法，属于简单题.三、解答题1．D C解析：集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.详解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示直线21x y -=与直线45x y +=交点的集合， 即{(1,1)}D =. D C点睛：本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.2．(1) 11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭(2) {0,1}B = 解析：（1）由题,将12x =代入方程中,进而得到8a =-,再解得方程,并用列举法表示解的集合即可；（2）当0a =时,解得12x =-,即为一个解,当0a ≠时,令0∆=,求解即可详解：（1）∵12A ∈, ∴12是方程2210ax x ++=的根, ∴21121022a ⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭,解得8a =-, ∴方程为28210x x -++=, ∴112x =,214x =-,此时11,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（2）若0a =,则方程为210x +=,解得12x =-,此时A 中仅有一个元素,符合题意；若0a ≠,A 中仅有一个元素,那440a ∆=-=,即1a =,方程有两个相等的实根,即121x x ==- ∴所求集合{0,1}B =点睛：本题考查列举法表示集合, 考查由元素的个数求参数,考查分类讨论的思想,考查解方程，属于中档题.3．（1）｛4，-2｝；（2）｛2，4，6，8，10｝；（3）｛1，2，3，4｝；（4）｛1，5，7，8｝；(5)｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝解析：根据题意，列举出集合中所有的元素，即可求得结果.详解：（1）2280x x--=，解得4x=或2-，故x|x2－2x－8＝0}=｛4，-2｝；（2）x|x为不大于10的正偶数}=｛2，4，6，8，10｝；（3）a|1≤a<5，a∈N}，故1,2,3,4a=，则a|1≤a<5，a∈N}=｛1，2，3，4｝；（4）169A x N Nx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣=｛1，5，7，8｝；（5）(x，y)|x∈1，2}，y∈1，2}}=｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝点睛：本题考查用列举法表示集合，属简单题.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(111)
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．0B． C．0或 D．0或
2．已知A＝ ，0，1 }，B＝ ， ，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
3．设集合 ， ，则满足 且 的集合S的个数为（ ）
A．6个B．7个C．12个D．9个
4．已知集合 ，若 ，则a可能是（ ）
故选A
点睛：
本题考查集合交集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．B
解析：根据数集所表示数的分类依次判断即可
详解：
∵1是自然数,∴ ,故①正确；
∵ 是无理数,不是正整数,∴ ,故②不正确；
∵ 是有理数,∴ ,故③正确；
∵ 是实数,∴ ,所以④不正确；
∵ 是整数,∴ ,故⑤不正确.
故选：B
点睛：
2．下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________.
① ；② ；③ ；④ .
3．设 为两个非空集合，定义集合 ．若 ， ，则 中元素的个数是_______．
4．若 ，则x=____________．
5．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．
三、解答题
1．试说明下列集合各表示什么？
解析：①利用列举法求得集合 .
②由①求得集合 .
③利用列举法求得集合 .
④利用列举法求得集合 .
⑤利用列举法求得集合 .
详解：
①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时 ，3，9也是自然数，∴A＝0，6，8}
②由①知，B＝1，3，9}．
③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(9)
1.1 集合的概念一、单选题1．表示正整数集的是A ．QB ．NC ．N *D ．Z 答案：C详解：试题分析：Q 表示有理数集，N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，故选C. 考点：常见的数集表示.2．集合{}22,4,0x x --中的x 不能取的值的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出x 不能取的值，就可以确定不能取值的个数.详解：由题意可知：222040224x x x x x -≠⎧⎪-≠⇒≠⎨⎪-≠-⎩且2x ≠-且1x ≠-，故集合{}22,4,0x x --中的x 不能取的值的个数是3个，故本题选B.点睛：本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.3．已知3{12}a a ∈-，，，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．无解答案：B解析：因为{}312a a ∈-，，，所以23a -=，即5a =，满足题意，或者3a =，不满足集合元素的互异性，故舍去，综上可得a 的值为5，故选B.4．集合M ＝x|x 2－x －6＝0}，则以下正确的是( )A ．－2}∈MB ．－2⊆MC ．－3∈MD ．3∈M答案：D解析：∵集合{}2|60M x x x =--=∴集合{}2,3M =-∴2M -∈，3M ∈故选D.5．已知集合702x A x Nx -⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ． 5答案：C解析：解分式不等式化简集合A ，即可得答案.详解：∵{}{}70273,4,5,62x A x Nx N x x -⎧⎫=∈<=∈<<=⎨⎬-⎩⎭. 故选：C.点睛：本题考查集合的描述法和列举法表示，考查运算求解能力，属于基础题.6．i 是虚数单位，集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．3答案：B 解析：试题分析：∵221,11i i i =-=-+，∴集合22,,1A i i i ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭中的元素之和为(1)(1)0i i +-+-=，故选B考点：本题考查了复数的运算及集合的概念点评：熟练掌握复数的四则运算是解决此类问题的关键，属基础题7．集合A=x} B=} C=}又则（ ） A ．（a+b ） AB ．(a+b) BC ．(a+b) CD ．(a+b)A 、B 、C 任一个 答案：B详解：1212122,2 1.2214 1.(224a A a k b B b k a b k k k k k ∈⇒=∈⇒=++=++=++因为为的倍数）所以(a+b) C8．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）． A ．77B ．49C ．45D ．30答案：C 解析：根据题意作出图示表示集合A 、B 所表示的点，由数形结合思想可得出A B ⊕表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出A B ⊕中元素的个数.详解：集合A 中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．集合(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即下图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈中的元素可看作下图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故选C.点睛：本题考查集合中的元素所表示的具体含义，关键在于理解新定义的集合中元素的构成，准确求出集合A 和集合B 所表示的点，借助平面直角坐标系更清楚地看出集合中元素的构成是解决此类问题的常用方法，属于难度题．9．下列式子表示正确的有（ ）3Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断.详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误；③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确，故选C.点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题.二、多选题1．已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．1答案：AC解析：根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．详解：解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-，若22334x x =+-，即220x x +-=，2x ∴=-或1x =， 检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去；当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去．若224x x =+-，即260x x +-=，2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ．故选：AC ．点睛：本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．2．（多选题）已知集合{}|4A x Z x =∈<，B N ⊆，则（ ）A ．集合B N N ⋃=B ．集合A B 可能是{}1,2,3C ．集合A B 可能是{}1,1-D ．0可能属于B答案：ABD解析：根据集合Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可．∵B N ⊆，∴B N N ⋃=，故A 正确． ∵集合{}4A x Z x =∈<，∴集合A 中一定包含元素1，2，3，∵B N ⊆，∴集合A B 可能是{}1,2,3，故B 正确；∵1-不是自然数，∴集合A B 不可能是{}1,1-，故C 错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合B ，故D 正确.故选：ABD.点睛：本题考查了集合Z ，N 的概念及集合元素的特点，属于基础题．3．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1构成的集合，Q 是由元素π，1，构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合答案：AD解析：根据题意分析即可.详解：由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD.4．若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ） A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集”B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则y A x∈答案：BCD解析：利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误； 对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确；对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈；当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈， 则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x ∈，从而1y y A x x =⋅∈，D 选项正确.故选：BCD.点睛：本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.5．(多选)由2a ，2a -，4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．2-C ．6D ．2答案：AC解析：根据题中条件，得到222424a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩求出a 的范围，即可根据选项确定结果. 详解：因为由2a ，2a -，4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，所以只需222424a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得2a ≠±且1a ≠， 因此排除B D ，可选AC.故选：AC.点睛：本题主要考查由集合中元素个数求参数，属于基础题型.三、填空题1．已知集合{}2|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________.答案：{}1,2-解析：解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可.详解：方程220x x --=的解为：1x =-或2x =∴{}{}2|201,2A x x x =--==-故答案为：{}1,2-点睛：本题考查集合的表示方法，属于容易题.2．已知集合A 由1a -，2251a a ++，21a +组成，且2A -∈，求a =__．答案：32-解析：根据元素与集合的关系，分情况讨论计算即可作答.详解：根据题意，{1A a =-，2251a a ++，21}a +，因2A -∈，于是有：若21a -=-，则1a =-，此时集合A 中元素为2-，2-，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，若22251a a -=++，即22530a a ++=，解得1a =-或32a =-，32a =-时，此时集合A 中元素为52-，2-，134，符合题意，显然1a =-不符合题意； 若221a -=+，无解， 综上得：32a =-． 故答案为：32-3．集合{}*|31x N x ∈-<用列举法表示应是______.答案：{}1,2,3 解析：解不等式可得{}{}**314x N x x N x ∈-<=∈<，再由列举法即可得解.详解： 由题意，{}{}{}**3141,2,3x N x x N x ∈-<=∈<=.故答案为：{}1,2,3.点睛：本题考查了集合的表示，考查了运算求解能力，属于基础题.4．已知集合{}2A |2150x x x =+-=，用列举法表示集合A ＝_________；答案：{}3,5-解析：解方程求得方程的解用列举法表示即可.详解：集合{}2A |2150x x x =+-={}3,5=-，故答案为：{}3,5-.点睛：本题主要考查用列举法表示集合，属基础题.5．已知集合2{|210,R,R}A x ax x x a =+-=∈∈，只有一个元素，则a 的值为_________.答案：0或1-解析：讨论当0a =与0a ≠两种情况进行讨论即可.详解：当0a =时, 有210x -=,12x =满足条件.当0a ≠时,2210ax x 仅有一根,故224(1)440a a ∆=--=+=,即1a =-故0a =或1a =-故答案为： 0或1-点睛：本题主要考查了含参数的二次函数根的个数问题,需要讨论二次项系数是否为0.属于基础题型.四、解答题1．（1）用列举法表示集合A=8|,6x x Z N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭=________.（2）集合A=x∈R|kx 2-8x+16=0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A.答案：（1）{}5,4,2,2-，（2）当0k =时，{}2A =，当 1k =时，{}4A =解析：（1）由86N x∈-可得6x -是8的正因数，从而可求出x 的值，进而可求得集合A ， （2）当0k =时，集合A 中只有一个元素，当0k ≠时，0∆=时集合A 中只有一个元素，从而可求出k 的值，进而可求得集合A ，详解：（1）因为86N x ∈-，x ∈Z ，所以61,2,4,8x -=，所以5,4,2,2x =-， 所以{}8|,5,4,2,26A x x Z N x ⎧⎫=∈∈=-⎨⎬-⎩⎭， 故答案为：{}5,4,2,2-（2）当0k =时，{}{}81602A x R x =∈-+==满足题意，当0k ≠时，因为集合A 中只有一个元素，所以0∆=，即64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{}{}281604A x R x x =∈-+==，综上，当0k =时，{}2A =，当 1k =时，{}4A =2．用另一种方法表示集合：（1）{}24,,A y y x x N y N ==-+∈∈；（2）(){}2,4,,B x y y x x N y N ==-+∈∈；（3）1111,,,,12233445C ⎧⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⨯⨯⨯⨯⎩⎭； （4）{}1,3,5,7,9D =；答案：（1）{}4,3,0；（2）()()(){}0,4,1,3,2,0；（3）()1,1x x n N n n *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭；（4）{}*21,05,x x n n n N =-<≤∈ 解析：（1）求出y 所有可能取值，列举法写出集合；（2）求出所有可能的点的坐标，列举法写出集合；（3）根据规律，利用描述法表示出集合；（4）根据规律，利用描述法表示出集合.详解：（1）{}{}24,,4,3,0A y y x x N y N ==-+∈∈=（2）(){}()()(){}2,4,,0,4,1,3,2,0B x y y x x N y N ==-+∈∈=（3）()11111,,,,,122334451C x x n N n n *⎧⎫⎪⎪⎧⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∈⎨⎬⎨⎬⨯⨯⨯⨯+⎩⎭⎪⎪⎩⎭（4）{}{}*1,3,5,7,921,05,D x x n n n N ===-<≤∈ 点睛：本题考查利用列举法和描述法表示集合的问题，属于基础题.3．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.答案：（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥ 解析：（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果. 详解：（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-. （2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.点睛：易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(24)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合2{|2}M x R x =∈，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M答案：D解析：先求解集合M ，即可确定a 与M 的关系．详解：解：22x ，22x，{|22}M x R x ∴=∈， 又1a =，a M ∴∈，{}a M ．故选：D.2．下列全体能构成集合的有:①我校高一年级数学成绩好的学生；②比2小一点的所有实数；③大于1但不大于2的实数；④方程x 2+2=5的实数解．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．都不能答案：C解析：集合中的元素具有非常明确的确定性，利用集合中元素的确定性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案。
详解：在①中，数学成绩的好坏没有明确的标准，不满足元素的确定性，所以①不能够成集合。
在②中，比2小一点，到底小多少算少一点，也不明确，不满足元素的确定性。
所以②不能够成集合。
③和④中的元素都具有非常明确的确定性，都满足元素的确定性。
所以③和④都是集合，所以C 选项是正确的。
点睛：本题考查集合中元素的确定性，是基础题。
解题时要认真审题，仔细分析题设中的每一个对象是否具有确定性。
3．已知{}32,,1a a ∈-，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或 4D ．无解 答案：B详解：因为{}32,,1a a ∈-，当3a =时，那么12a -=，违反集合元素的互异性，不满足题意，当13a -=时，4a =，集合为{}2,4,3满足题意，∴实数a 的值为4，故选B.4．已知集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，则B 中元素个数的最大值为（ ）A ．10B ．19C ．30D ．39答案：D解析：根据()()0a x b y --≤，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.详解：由题：集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，作如下等价转化： 考虑(,)a b ，(,)x y 是平面内的满足题目条件的任意两点，“()()0a x b y --≤”等价于“0a x -=或0b y a x-≤-”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线1,1y x ==两条直线上的整数点，共39个，（当然也可考虑直线20,20y x ==两条直线上的整数点，共39个）故选：D点睛：此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.5．集合A 中有三个元素2，3，4，集合B 中有三个元素2，4，6，若x∈A 且x ∉B ，则x 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：B解析：根据题意得到集合A 中的元素3不在集合B 中，即可得到答案.详解：集合A 中的元素3不在集合B 中，且仅有这个元素符合题意．故选：B6．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a A ∈时，有6a A -∈，则a 为（ ）A ．2B ．2或4C ．4D ．2或4或6解析：根据题意，分别取2,4,6a =进行验证，即可求解.详解：由题意，当2a =时，则64a A -=∈，符合题意；当4a =时，则62a A -=∈，符合题意；当6a =时，则60a A -=∉，不符合题意；所以a 的值为2或4.故选：B.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，其中解答中熟记元素与集合的关系是解答的关键，属于容易题.7．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则a b +的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据自然数的定义可知①错误；由反例可确定②③错误.详解：①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误；③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误.∴正确命题的个数为0个 故选：A点睛：本题考查常用数集的知识，考查对于自然数定义的理解，属于基础题.8．设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案：B 解析：根据题意，结合P+Q 的计算方法，可得P+Q ，即可得答案．详解：根据题意，若P=0，2，5}，Q=1，2，6}，则P+Q=1，2，6，3，4，8，7，11}，其中有8个元素，点睛：本题考查集合的运算，是新定义题型，关键是理解集合P+Q 的含义，并注意集合中元素的性质．9．若集合M=, 则下面结论中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 答案：A详解： 56<,所以{}a M ⊆ ,故选:A二、填空题1．用列举法表示集合()**63A x y y x N y N x ⎧⎫==∈∈=⎨⎬+⎩⎭，，，________.答案：{}(3,1)解析：根据分母为分子的约数逐一列举验证,即得结果.详解：**63=123,3,316y x x x y y N x N ∴===∈+∈+，，，，，{}(3,1)A ∴= 故答案为：{}(3,1)点睛：本题考查列举法表示集合，考查基本分析求解能力，属基础题.2．有下面四个结论：①0与0}表示同一个集合；②集合M ＝3，4}与N ＝(3，4)}表示同一个集合；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为1，1，2}；④集合x|4＜x ＜5}不能用列举法表示.其中正确的结论是________(填写序号).答案：④解析：根据集合的定义判断．详解：0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M 是实数3，4的集合，而集合N 是实数对(3，4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示.故答案为：④．点睛：本题考查集合的定义，属于基础题．3．若1{a ∈，2}a ，则a 的值是___________.答案：1-解析：依题意可得1a =，或21a =，解得a ，再代入检验即可；详解：解：1{a ∈，2}a ， 1a ，或21a =，解得1a =或1a =-，当1a =时，21a =，集合不满足集合元素的互异性，故不成立，当1a =-时，集合为{}1,1-，满足条件；1a ∴=-，故答案为：1-4．若实数a 满足：a 2∈1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．答案：﹣1，﹣2，2，0}解析：由2a ∈1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．详解：∵实数a 满足：2a ∈1，4，a }，∴2a =1或2a =4，或2a =a ，解得a =﹣2或a =2或a =﹣1或a =1或a =0，当a =1时，集合为1，4，1}，不合题意；当a =﹣1，或a =±2，或a =0时，满足题意．∴实数a 的取值集合为﹣1，﹣2，2，0}．故答案为﹣1，﹣2，2，0}．点睛：本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．5．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为__．答案：{}24,27,30解析：以甲全对，乙全对，甲乙各错一道，进行分析即可求出答案．详解：若甲全对，则乙的得分为5431024-⨯=，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为5431024-⨯=，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为543927-⨯=，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为{}24,27,30，故答案为：{}24,27,30．点睛：本题主要考查计数原理的应用以及集合的表示法，熟记概念即可，属于常考题型．三、解答题1．已知集合910A xx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N，910B xx⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．答案：有2个相同的元素，{}1,9.解析：根据集合A、B中描述列举出这两个集合中的元素，可得出两集合相同元素的个数，并得出由这两个集合中相同元素组成的集合.详解：对于集合A，因为x N∈，910x∈-N，所以当1x=时，9110x=-；当7x=时，9310x=-；当9x=时，9910x=-．所以{}1,7,9A=，{}1,3,9B=．所以集合A与B有2个相同的元素，集合A、B的相同元素组成的集合为{}1,9．点睛：本题考查列举法表示集合，正确理解集合元素所满足的特征是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.2．已知集合{}2|320,A x R ax x a R =∈-+=∈（1）若A 中元素有且只有一个，求实数a 的取值范围.（2）若A 中元素至少有一个，求实数a 的取值范围.（3）若A 中元素至多一个，求实数a 的取值范围.答案：（1）a=0或a=98；（2）a≤98；（3）a=0或a≥98. 解析：（1）当0a =时，易知方程只有一解，当 0a ≠时，令 0∆=求解.（2）当0a =时，易知方程只有一解，当 0a ≠时，令 0∆≥求解.（3）当0a =时，易知方程只有一解，当 0a ≠时，令 0∆≤求解.详解：（1）当0a =时，23x =成立； 当0a ≠时，980a ∆=-=，解得98a =， 综上：a=0或a=98， 所以当A 中元素有且只有一个时，实数a 的取值范围是a=0或a=98； （2）当0a =时，23x =成立； 当0a ≠时，980a ∆=-≥，解得98a ≤， 综上：a≤98， 所以当A 中元素至少有一个时，实数a 的取值范围是a≤98； （3）当0a =时，23x =成立； 当0a ≠时，980a ∆=-≤，解得98a ≥， 综上：a=0或a≥98. 所以当A 中元素至多一个时，实数a 的取值范围是a=0或a≥98.点睛：本题主要考查一元二次方程的解的个数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知{25},{12}A xx B x m x m =-≤≤=+≤≤∣∣，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.答案：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 解析：由已知条件可得B A ⊆，然后按B φ=和B φ≠进行讨论，列不等式求解即可. 详解：A B A B A ⋃=∴⊆当B φ=时，121m m m +>∴<当B φ≠时，125121225m m m m m +≤⎧⎪⎪+≥-∴≤≤⎨⎪≤⎪⎩ 综上所述m 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查集合间基本关系的应用，做题时注意对空集的讨论，属于易错题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(67)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列关系中正确的是（ ） A ．0∈∅B ．∅ {}0C ．{}(){}0,10,1⊆D ．(){}(){},,a b b a ⊆2．设{}A a =，则下列各式中正确的是（ ） A ．0A ∈ B ．a A ∈C ．a A ∉D ．a A =3．若以集合A 的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形4．已知方程()()()2221236660x x b x x b x x b -+-+-+=的所有解都为自然数，其组成的解集为{}12345,,,,A x x x x x =，则123b b b ++的值不可能为（ ）A ．13B ．14C ．17D ．225．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B = A ．2} B ．2，3} C ．-1，2，3} D ．1，2，3，4} 6．下列关系式正确的为（ ）A ．R ⊆NB ⊆QC ．∅＝0}D ．﹣2∈Z7．集合{}2|0,A x x px q x R =++=∈{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．1A ∉ C ．{}1A ∈ D ．1A ⊆ 9．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个二、填空题1．下列说法中能构成集合的是________(填序号)． ①2019年参加江苏高考的所有学生； ②2019年江苏高考数学试题中的所有难题； ③美丽的花；④与无理数π无限接近的数．2．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是______．3．设关于x 的不等式2()4x a -<的解集为A ，已知1A -∉，则实数a 的取值范围是________.4．集合()2,0x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭用列举法表示为__________.5．设集合{}|1A x Q x =∈>-_____________A （用适当符号填空）. 三、解答题1．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？ （2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．2．设非空集合S 具有如下性质：①元素都是正整数；②若x S ∈，则10x S -∈． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S 各一个；（2）是否存在恰有6个元素的集合S ？若存在，写出所有的集合S ；若不存在，请说明理由；（3）满足条件的集合S 总共有多少个？3．已知M 是满足下列条件的集合：①0,1M M ∈∈②若,x y M ∈，则x y M -∈,③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈（1）判断13M ∈是否正确，说明理由 （2）证明：若,x y M ∈则x y M +∈ （3）证明：若,x y M ∈则xy M ∈参考答案一、单选题 1．B解析：根据元素与集合、集合与集合之间关系，逐项判断，即可得出结果. 详解：A 选项，空集中不含任何元素，故A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，故B 正确；C 选项，{}0,1是数集，(){}0,1是点集，故C 错；D 选项，(),a b 与(),b a 不一定表示同一点，故D 错. 故选：B. 2．B解析：根据元素和集合之间的关系作出判断即可. 详解：因为{}A a =，所以a 是集合A 的元素，用“∈”表示. 故选：B . 3．A 详解：由集合元素的互异性可得a 、b 、c 、d 互不相等， 所以四边形的四条边互不相等， 结合各选项可得该四边形可能为梯形． 选A ．点睛：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，对于集合中的元素的这三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到；解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．4．A解析：当123,,b b b 分别取0,5,9时，{}0,6,1,5,3A =，12314b b b ++=，排除B ， 当123,,b b b 分别取0,8,9时，{}0,6,2,4,3A =，12317b b b ++=，排除C ，当123,,b b b 分别取5,8,9时，{}1,5,2,4,3A =，12322b b b ++=，排除D ，故选A. 5．D解析：先求A C ，再求()A C B ． 详解：因为{1,2}A C =， 所以(){1,2,3,4}A C B =. 故选D ． 点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 6．D解析：根据集合的性质逐个判断即可. 详解：对A,实数包含自然数,即N R ⊆.故A 错误.对.故B 错误.对C,空集为不包含任何元素的集合,故C 错误. 对D,-2为整数,正确.故D 正确. 故选：D 点睛：本题主要考查了常见集合的符号表示.属于基础题型. 7．B解析：根据集合相等可知方程20x px q ++=有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 详解：因为集合{}2|0,A x x px q x R =++=∈{}2=，所以方程20x px q ++=有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，2222pq+=-⎧⎨⨯=⎩，所以440p q +=-+=， 故选：B 点睛：本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题.8．A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合， 所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 9．C解析：直接列举求出A 和A 中元素的个数得解. 详解：由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选C 点睛：本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题 1．①解析：利用集合的概念依次判断即可. 详解：因为未规定“难”的标准，所以②不能构成集合；同理“美丽”、“无限接近”都没有规定标准，所以③④不能构成集合； 由于①中的对象具备确定性、互异性，所以①能构成集合． 故答案为：① 点睛：本题主要考查集合的概念，属于简单题. 2．2 详解：由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,m -=则2,m =符合题意；若33,m -=则0,m =不符合题意. 故答案为23．(][)--31+∞⋃∞，， 解析：因为1A -∉，()21a --4≥ ，()21a +4≥ ,可得1a +2≥ 或1a + 2≤- ，即a 1≥ 或a 3≤-实数a 的取值范围是(][)--31+∞⋃∞，，，故答案为(][)--31+∞⋃∞，，. 4．{(1,1)}解析：由集合的描述得到集合元素，应用列举法写出集合即可. 详解：由集合描述有：20x y x y +=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，∴集合为{(1,1)}. 故答案为：{(1,1)}. 点睛：本题考查了集合的表示，由集合的描述法得到集合元素，列举法写出集合，属于简单题. 5．∉解析：根据描述法集合的表示，得到集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，即可求解. 详解：由题意知，集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，A . 故答案为∉. 点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.三、解答题1．（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．解析：（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x-∈，结合集合元素满足互异性可得出结论； （3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素. 详解：（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--．12A ∈，12112A ∴=∈-．A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠，则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-，故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合． （3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m-⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1.由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =．此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈，由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23，所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．点睛：关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.2．（1）答案见详解；（2）存在，且共有4个，答案见详解；（3）31个.解析：（1）当集合S 中只有一个元素，则10x x =-，得出集合S 即可；有两个元素时，只需两个元素之和为10即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为10，另外一个元素为5；（2）只需选3对和为10的正整数即可；（3）集合S 中元素的个数可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9个，先计算出当集合S 的元素个数为偶数时S 的个数，同理可得S 中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的S 的总个数.详解：解：（1）若集合S 中只有一个元素，则只需满足10x x =-，故5x =，则{}5S =； 若集合S 中有两个元素，则{}1,9S =符合条件； 若集合S 中有三个元素，则{}1,5,9S =符合条件. （2）存在，一共有四个：{}1,2,3,7,8,9S =或{}1,2,4,6,8,9S =或{}1,3,4,6,7,9S =或{}2,3,4,6,7,8S =.（3）由题意可知，集合S 中元素的个数可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9个， 当集合S 中元素的个数为偶数时：S 含有2个元素时，只需在1,9，2,8，3,7，4,6这四对中任选一对，则S 共有4个； S 含有4个元素时，只需1,9，2,8，3,7，4,6这四对中任选两对，则S 共有6个； S 含有6个元素时，只需1,9，2,8，3,7，4,6这四对中任选三对，则S 共有4个； S 含有8个元素时，则S 共有1个，所以当集合S 中元素的个数为偶数时，满足条件的集合S 共有15个， 同理可知，当S 中元素个数分别为3,5,7,9时，符合条件的集合S 也为15个；由（1）可知，当S 中只有一个元素时，S 只有一个， 综上所述，符合条件的S 共有31个. 点睛：本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.3．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.解析：（1）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（2）根据定义确定M 包含元素y -，即得结论；（3）根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得结论 详解：（1）13M ∈正确.证明如下：由①知0,1M M ∈∈由②可得()()011,112,213M M M -=-∈∴--=∈--=∈ 由③得13M ∈（2）证明：由①知0M ∈由题知y M ∈， ∴由②可得0y y M -=-∈ 又()x M x y M ∈∴--∈，即x y M +∈（3）证明：,x M y M ∈∈，由②可得1x M -∈，再由③可得11,1M M x x ∈∈- 111M x x ∴-∈-即()11M x x ∈-， ()1x x M ∴-∈即2x x M -∈，2x M ∴∈即当2,x M x M ∈∈由（2）可知，当,,x y M x y M ∈+∈112M x x x ∴+=∈2M x∴∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈()22222x y x y xy M ++∴-=∈点睛：本题考查新定义、元素与集合关系，考查综合分析论证判断能力，属中档题.。
【配套K12】高中数学第一章集合1.1.1集合的概念练习新人教B版必修1
1.1.1 集合的概念【选题明细表】1.(2018·江西临川实验学校月考)下列各组对象不能构成一个集合的是( C )(A)不超过20的非负实数(B)方程x2-9=0在实数范围内的解(C)的近似值的全体(D)临川实验学校2018年在校身高超过170厘米的同学的全体解析:A,B,D都是集合,因为的近似值的全体不满足集合中元素的确定性,不是集合,故选C.2.下列说法正确的是( D )(A)某个班年龄较小的学生组成一个集合(B)由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合(C)由数字0,,0.5,,sin 30°组成的集合含有3个元素(D)由数字1,2,3这三个数字取出一个或两个数字能构成一个集合解析:A中的这组对象是不确定的,因年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合,B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因集合中的元素是无序的.C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D.3.下列命题正确的个数有( B )①3∈N;②∈N*;③∈Q;④2+∉R;⑤∉Z.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为3是自然数,所以3∈N,故①正确;因为不是正整数,所以∉N*,故②不正确;因为是有理数,所以∈Q,故③正确;因为2+是实数,所以2+∈R,所以④不正确;因为=2是整数,所以∈Z,故⑤不正确.选B.4.下列集合中,有限集为.①不超过π的正整数构成的集合;②平方后不等于1的数构成的集合;③高一(2)班中考成绩在500分以上的学生构成的集合;④到线段AB的两端点的距离相等的点构成的集合;⑤方程|x|=-1的解构成的集合解析:②与④是无限集,⑤是空集,①③是有限集.答案:①③5.(2018·安徽泗县月考)已知集合A中有三个元素2,4,6.且当a∈A时有6-a∈A,那么a为( B )(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0解析:由集合中元素a∈A时,6-a∈A,则集合中的两元素之和为6,故a=2或4.故选B.6.已知非零实数a,b,代数式+的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( C )(A)0∉M (B)-2∉M (C)2∈M (D)1∈M解析:当a>0,b>0时,+=2;当a<0,b<0时,+=-2;当ab<0时,+=0.所以C正确.故选C.7.设L(A,B)表示直线AB上全体点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单写成P L(A,B).解析:P是直线AB上的一个点,则P是集合L(A,B)的一个元素,故P∈L(A,B).答案:∈8.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为. 解析:若m=2,则m2-3m+2=0,不合题意;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,m=0时不合题意,m=3时符合题意.故m=3.答案:39.若集合A是由关于x的不等式x2-ax+1>0构成的解集,且3∉A,那么a的取值范围是.解析:因为3∉A,所以3是不等式x2-ax+1≤0的解集.所以10-3a≤0,所以a≥.答案:{a|a≥}10.已知关于x的方程ax2-3x+2=0,a∈R的解集为A.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.解:(1)A是空集,所以所以a>且a≠0,所以a>.(2)A中只有一个元素.当a=0时,-3x+2=0的解是x=,所以A只有一个元素;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,得a=,此时方程为9x2-24x+16=0.解得x=,即A中只有一个元素.(3)A中至多有一个元素,即A是空集,或A只含有一个元素. 所以a>或a=0或a=,即a≥或a=0.11.设S是由满足下列两个条件的实数所构成的集合:①1∉S,②a∈S,则∈S.请解答下列问题:(1)若2∈S,则S中必有另外两个数,求出这两个数;(2)求证:若a∈S,则1-∈S;(3)在集合S中元素能否只有一个,请说明理由.(1)解:因为2∈S,2≠1,所以=-1∈S.因为-1∈S,-1≠1,所以=∈S.因为∈S,≠1,所以=2∈S.所以-1,∈S,即集合S中另外两个数为-1和.(2)证明:因为a∈S,所以∈S.所以=1-∈S(a≠0,因为若a=0,则=1∈S,不合题意).(3)解:集合S中的元素不能只有一个.理由:假设集合S中只有一个元素,则根据题意知a=,即a2-a+1=0,此方程无实数解,所以a≠,因此集合S不能只有一个元素.。
人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练 1.1.1.1集合的含义
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课后提升训练一集合的含义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·安庆高一检测)关于集合下列正确的是( )A.-1∉NB.∈QC.π∉RD.Q∈Z【解析】选A.由N,Q,Z,R的意义知,A正确.2.方程x2-2x+1=0的解集中元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=1,根据元素的互异性知其解集中有1个元素.3.(2017·中山高一检测)下列各组对象中不能构成集合的是( )A.某校高一(2)班的全体男生B.某校全体学生的家长C.李明的所有家人D.王明的所有好朋友【解析】选D.A,B,C中的元素都是确定的,而D中元素不确定,故构不成集合.4.已知集合A由元素1和a2组成,实数a不能取的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.不能确定【解析】选C.因为1和a2是集合A中的元素,故a2≠1,即a≠1或a≠-1.5.(2017·菏泽高一检测)由形如x=3k-1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是( )A.-1∉AB.-11∈AC.3k+2∉AD.3k2-1∈A【解析】选D.A中,当k=0时,x=-1,所以-1∈A;B中,令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A;C中,3k+2=3(k+1)-1,因为k+1∈Z,所以3k+2∈A;D中,由于3k2-1,k2∈Z,所以3k2-1∈A.6.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解题指南】根据集合中元素的互异性判断.【解析】选A.由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们构成的四边形的四条边互不相等,因此选A.【误区警示】解答本题易忽视集合中元素必须具有“互异性”这一特征而错选答案,因此集合元素的特性是分析解决该类问题的切入点. 【补偿训练】若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选D.根据集合中元素的互异性知,集合M中任何两个元素都不相同,即对于三角形而言任何两边都不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.7.若集合A中含有三个元素1,a+b,a;集合B中含有三个元素0,,b,若集合A与集合B相同,则b-a= ( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.由题意知a+b=0且a≠0,即a=-b,=-1,所以b=1,a=-1,故b-a=2.8.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( )A.3∈A,-1∉AB.3∈A,-1∈AC.3∉A,-1∈AD.3∉A,-1∉A【解题指南】对x,y取值的正负分别讨论,去掉绝对值号,从而求出z 的值.【解析】选B.当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·贵阳高一检测)方程x2-2x-3=0的解集与集合A相等,若集合A中的元素是a,b,则a+b=________.【解析】由x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故集合A中的元素为-1和3,所以a+b=2.答案:210.设y=2x+3上的点集为P,点(1,5)与点集P的关系为(1,5)________P(填“∈”或“∉”).【解析】因为y=2x+3,当x=1时,y=2×1+3=5,所以(1,5)∈P.答案:∈三、解答题11.(10分)(2017·武汉高一检测)已知集合A中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.【解析】因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,所以a=-1,或a=-. 当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以a=-1舍去.当a=-时,经检验,符合题意,所以a=-.【延伸探究】本题中若将条件“且-3∈A”去掉,则a的取值范围是什么?【解析】由集合中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,得即故a的取值范围是a≠-1且a≠-4且a≠且a≠14.关闭Word文档返回原板块。
数学必修一1.1.1集合概念章节练习(有答案)
1.1.1集合的含义与表示1已知集合M={3,m+1},且4∈M,则实数m等于( ).A.4B.3C.2D.12已知M={0,x-1},则实数x满足的条件是( ).A.x≠0B.x≠1C.x=0或1D.x≠0且x≠13用描述法表示方程x<-x-3的解集为.4集合A={x∈N|2x2-x-1=0}用列举法表示为.5选择适当的方法表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合;(3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.1下列关系正确的是( ).A.0∈NB.1∉RC.π∈QD.-3∉Z2集合{(x,y)|y=2x-1}表示( ).A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合3已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.2010年10月31日,为期6个月的上海世博会落幕.本次世博会的主题是:城市,让生活更美好.副主题是:城市多元文化的融合;城市经济的繁荣;城市科技的创新;城市社区的重塑;城市和乡村的互动.共有189个国家、57个国际组织参展上海世博会.设上海世博会的展馆组成的集合为M,上海世博会的志愿者组成的集合为Q,下列表示集合M 和Q正确的是( ).A.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是志愿者}B.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者}C.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是志愿者}D.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者5设集合A=,若x1∈A,x2∈A,则必有( ).A.x1+x2∈AB.x1x2∈AC.x1-x2∈AD.∈A6集合{x∈N|2x-5<0}中所有元素的和为.8集合A={x|x2-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件是.9用适当的方法表示下列集合:(1)不超过10的非负偶数组成的集合;(2)大于10的所有自然数组成的集合.10(能力拔高题)若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}.若m∈M,问是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b?1解析:∵4∈M,∴m+1=4.∴m=3.答案:B2解析:由题意得x-1≠0,则x≠1.答案:B3答案:{x|x<-x-3}4解析:解方程2x2-x-1=0,得x=1或x=-.又因为x∈N,则A={1}.答案:{1}5解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个,用描述法表示为{y|y=-3x2+2x+4}.(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.1.答案:A2.答案:D3.解析:∵a∈M,b∈M,c∈M,∴a,b,c互不相等.∴△ABC一定不是等腰三角形.答案:D4.解析:A项中,集合Q中的元素是志愿者,没有指明是上海世博会的志愿者,所以A项不正确;B项中,集合M是世博会展馆,没有指明是上海世博会展馆,所以B项不正确;同理,C项也不正确;很明显D项正确.答案:D5.解析:如果元素具有(n∈N)的形式,则这个元素属于集合A.由于x1∈A,x2∈A,可设x1=(m∈N),x2=(k∈N).又x1x2=·=,m+k∈N,∴x1x2∈A,故B项正确;取x1=,x2=,可验证A项、C项、D项是错误的.答案:B6解析:{x∈N|2x-5<0}=={0,1,2},0+1+2=3.答案:38解析:集合A是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解集,∵A中含有两个元素,∴Δ=4-4m>0,∴m<1.答案:m<19.解:(1)不超过10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,共6个,故可用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}.(2)大于10的所有自然数有无数个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N}.10(能力拔高题)解:设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z),令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.∵k∈Z,∴a∈A,b∈B.故若m∈M,一定存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立.。
高中数学 第一章 集合 1.1.1 集合的概念练习 新人教B版必修1
1.1.1 集合的概念课时过关·能力提升1下列指定的对象,不能构成集合的是()A.一年中有31天的月份B.数轴上到原点的距离等于1的点C.满足方程x2-2x-3=0的xD.某校高一(1)班性格开朗的女生答案D2若集合A中只含有一个元素a,则下列关系表示正确的是()A.a∈AB.a∉AC.a=AD.A=⌀答案A3已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m的值为()A.2B.3C.0或3D.0或2或3解析由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.答案B4有下列命题:①集合N中最小的正数是1;②若-a∈N,则a∈N;③x2-6x+9=0的解集中的元素为3,3;④由元素4,3,2与3,2,4构成的集合是同一个集合.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析①④正确;②中若a取-1,有-a∈N,但a∉N,故②错误;③中方程的解为x1=x2=3,根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有3,故③错误.答案C5已知集合A是无限集,且集合A中的元素为12,22,32,42,…,若m∈A,n∈A,则m n∈A.其中“ ”表示的运算可以是()A.加法B.减法C.乘法D.除法解析因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方,所以选C.答案C6已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合S中含有1,2,6三个元素.如果定义集合T中的元素是x+y,其中x∈P,y∈S,那么集合T中元素的个数是()A.6B.7C.8D.9解析因为0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以T中含有8个元素1,2,6,3,4,8,7,11.答案C7由实数a,-a,|a|,组成的集合中最多含有个元素,最少含有个元素.答案2 18已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若x∈A,且x∉B,则x=.解析由已知得集合A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5两个元素,因此当x∈A,且x∉B 时,x=3.答案39对于由元素2,4,6构成的集合,若a∈A,则6-a∈A.其中a的值是.解析当a=2时,6-a=4∈A;当a=4时,6-a=2∈A;当a=6时,6-a=0∉A.因此a的值为2或4.答案2或410若x为实数,则由对象x,x2-x,x3-3x能构成一个集合吗?如果能构成集合,请说明理由;如果不能,请给出附加条件,使它们构成一个集合.解由于x为实数,x,x2-x,x3-3x这三个实数有可能相等,此时不满足集合中元素的互异性,因此,它们不一定能构成集合.由x=x2-x,得x=0或x=2;由x=x3-3x,得x=0或x=±2;由x2-x=x3-3x,得x=0或x=2或x=-1,故只有增加条件x≠0,且x≠-1,且x≠-2,且x≠2,由对象x,x2-x,x3-3x才能构成一个集合.11方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成集合A.(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.解(1)A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.①当a=0时,方程的根为x=-;②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x1=x2=-1.综上可知,当a=0时,集合A中的元素为-;当a=1时,集合A中的元素为-1.(2)A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根.①当方程有两个不相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a≠0;②当方程有两个相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;③当方程有一个实根时,a=0,此时2x+1=0,得x=-,符合题意.由①②③可知,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≤1.★12已知集合A中的元素满足性质:若实数a∈A,a≠1,则∈A.(1)若a=2∈A,试探究集合A中一定含有另外的元素;(2)说明集合A不是单元素集合.分析解此题的关键在于由已知a∈A,a≠1,得到∈A,∈A,然后逐步探究,再根据集合中元素的互异性,从而使问题得以解决.解(1)若2∈A,则=-1∈A,∈A,=2∈A.故集合A中一定还含有两个元素-1,.(2)若集合A是单元素集合,则a=,即a2-a+1=0,但此方程无实数解,故a≠.又因为a与都为集合A中的元素,所以集合A不是单元素集合.。
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1011集合的概念
一、选择题
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体；②平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ③比较小的正整数全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( )
A ．2组
B ．3组
C ．4组
D ．5组
2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}，
P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( )
A ．M 、N 、P
B ．M 、P 、Q
C ．N 、P 、Q
D ．M 、N 、Q
3．下列命题中真命题的个数是( )
①0∈φ； ②φ∈{φ} ③0∈{0}； ④φ∉{a }．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题
5．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个．
6．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．
7．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______．
8．用符号∈或∉填空：
①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2
1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 9．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．
三、解答题
10．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．
11．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．
12．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a
∈-11． (1)若2∈A ，求A ；
(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由；
(3)求证：A a
∈-11．
1-4．A B B D 5．2 6．x ≠3且x ≠0且x ≠－1
根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x
解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1．
7．2或4 8．①∈，∈，∈，∉，∈．②∈，∉，∈，∉．9．m ＝3，n ＝2． 10．
解：有4个元素，它们分别是：
(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形；
(3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．
11．解：∵5 ∈A ，且5∉B ．
∴⎩⎨⎧=
/+=-+,53，5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或 ∴a ＝－4
12．证明：(1)若2∈A ，由于2≠1，则
A ∈-211，即－1∈A ． ∵－1∈A ，－1≠1∴A ∈--)
1(11，即A ∈21． ∵,121，21=/∈A ∴A ∈-2
111，即2∈A ． 由以上可知，若2∈A ，则A 中还有另外两个数－1和
21∴}2,21,1{-=A ． (2)不妨设A 是单元素的实数集．则有,11a
a -=
即a 2－a ＋1＝0． ∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，
∴方程a 2－a ＋1＝0没有实数根．
∴A 不是单元素的实数集．
(3)∵若a ∈A ，则A a
∈-11 ∴A a ∈--1111，即A a ∈-11．。