武汉理工大学研究生矩阵论试卷
1 0 0 0 1 0 10 6 ，则 A A 8 A 0 0 1 0 0 0
T
2
5、已知向量 (1,2,0, i) ， i 1 ，则其范数 1 二， （20）设 V A
；
2
；
；
a11 a12 22 a11 a21 0 为 R 的子集合， a21 a22
x1 x2 0 2 x1 x2 1 x 2x 0 2 1
四.（15 分）
的最优最小二乘解
3 3 2 1.求矩阵A＝ 0 1 0 的Jordan标准形； 8 6 5
2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：
4 2 f（）＝（ 2） （ 3） ； 2 2 m（）＝（ 2） （ 3） ；
1 , 2 , 3 下的坐标
3、已知矩阵 A1
1 1 1 0 2 1 0 1 , A2 , A3 , A4 ，则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 0 0 1 1 3 3 1 1
0 0 4、已知 A 0 1
0 b 1 1
3、求 AX b 的最小二乘解； 4、求 AX b 的极小范数最小二乘解。 六、 （15 分）已知
0 A 0 1
1、求矩阵函数 e ； 2、求微分方程组
At
0 2 1 1 0 , x0 0 0 3 1
n
n
＝ xi ei
i 1
＝ yi ei
i 1
规定（ ）＝ ixi yi , 证明（ ）是V中的一种内积，从而V对此内积
i 1
n
构成一欧式空间。
武汉理工大学研究生试卷---矩阵论（2）
1 1 一.（20分）设A= 0 1 1.证明：C ( A) {S P 22 AB BA}是P 22的子空间； 2.求C （A）的一般表达式； 3.求C ( A)的维数与一组基；
证明： ( A, B) 是 V 的一个内积； 4、求 V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、 （ 15 分 ） 设 F[t ]3 f (t ) a2t a1t a0 ai R, i 0,1,2 为 所 有 次 数 小 于 3 的 实 系 数 多 项 式 所 成 的 线 性 空 间 ， 对 于 任 意 的
3 五.（15分） 已知 A＝ 0 8 1.求A 的最小多项式； 2.求A 的JFra bibliotekrdan标准形。
3 1 6
2 0 5
六.（10分） 在R n中 ， R n，定义 ， ＝ T A , 证明： R n 对 ， 是一个欧氏空间 A是正定矩阵。
1、证明： V 是 R
22
的线性子空间；
2、求 V 的维数与一组基； 3、对于任意的 A
a11 a12 b 11 b12 , B V ，定义 a21 a22 b21 b22
( A, B) 4a11b11 3a12b12 2a21b21 a22b22
2
f (t ) a2t 2 a1t a0 F[t ] 3 ，定义： T [ f (t )] (a0 a1 )t 2 (a0 a2 )t (a1 a2 )
1、证明： T 是 F [t ]3 上的线性变换； 2、求 T 在基 1, t , t 下的矩阵 A 。
武汉理工大学研究生考试试题（2010）
课程 矩阵论 （共 6 题，答题时不必抄题，标明题目序号） 一，填空题（15 分） 1、已知矩阵 A 的初级因子为 ,( 1)2 , 2 ,( 1)3 ，则其最小多项式为 2、设线性变换 T 在基 1 , 2 , 3 的矩阵为 A ，由基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为 P ，向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标为 x ，则像 T () 在基
dx(t ) Ax (t ) 满足初始条件 x(0) x0 的解。 dt
3 0 8 1 三.（15分） 已知 A= 3 1 6 , x(0) 1 2 0 5 1 At 1.求e ； 2.应用矩阵函数方法求微分方程组x' t Ax(t )满足初始条件x(0)的解。
1 1 0 四 （ . 20分） 已知 A= 2 1 , b＝ 1 1 2 0 1.求A的满秩分解； 2.求A ; 3.求Ax b的最小二乘解； 4.求Ax b的极小范数解。
求A 的Jordan标准形 1 0 2 五 （ . 10分） 设A 0 1 1 0 1 0 8 5 试计算g（A）＝2A 3 A A4 A2 4 E
0 1 A At 六.（15分）设A＝ ，求e 和e ； 0 2 七.（10分） 设V是实数域R上的n维线性空间，e1，e2， ，en是V的一组基； 对V 中任二向量：
1 1 二.（20分） 已知B= , 线性空间V＝ X ( xij ) 22 x11 x22 0, xij R 的 0 1 变换T 为 TX BT X X T B X V
1.证明T 是线性变换； 2.求V的一组基； 3.求T 在该基下的矩阵。
武汉理工大学研究生试卷---矩阵论（1）
1 1 一.（15分）设A= 0 1 1.证明：C ( A) {S P 22 AB BA}是P 22的子空间； 2.求C （A）的一般表达式； 3.求C ( A)的维数与一组基；
二.（15分）在P 22中定义， a b a b 1 1 a b 22 T ； P c d c d 1 1 c d 22 1.证明：T是P 上的线性变换； 1 0 0 1 0 0 0 0 2.求T在基下E11 , E12 E21 E22 的矩阵； 0 0 0 0 1 0 0 1
三.（20 分） 1.已知某种材料在生产过程中的废品率 y 与某种化学成分 x 有关，下表记录了某厂生产中 y 与相应 x 的数值。 y（%） x（%） 1.00 3.6 0.9 3.7 0.9 3.8 0.81 3.9 0.60 4.0 0.56 4.1 0.35 4.2
用最小二乘法求 y 对 x 的一个一次近似公式（y=ax+b） 2. 求方程组
2
四， （15 分） 设矩阵
1 2 3 A 0 1 2 0 0 1
1、求 A 的 Jordan 标准形； 2、求 A 的最小多项式。 五（20 分） 已知
1 0 1 A 0 1 1 , 1 0 1
1、求 A 的满秩分解； 2、求 A ；
考研数学一矩阵-试卷1_真题-无答案
考研数学一（矩阵）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜＝a≠0，A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于( )A. aB.C. an-1D. an2. 设A和B都是n阶矩阵，则必有( )A. ｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B. AB＝BAC. ｜AB｜＝｜BA｜D. (A＋B)-1＝A-1＋B-13. 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC＝E，其中E是n阶单位阵，则必有( )A. ACB＝EB. CBA＝EC. BAC＝ED. BCA＝E4. 设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则( )A. r＞r1B. r＜r1C. r＝r1D. r与r1的关系依C而定5. 设三阶矩阵A＝若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )A. a＝b或a＋2b＝0B. a＝b或a＋26≠0C. a≠6且a＋2b＝0D. a≠b或a＋2b≠06. 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为( )A.B.C.D.7. 已知矩阵A＝，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3＝O，则( )A. E－A不可逆，E＋A不可逆．B. E－A不可逆，E＋A可逆．C. E－A可逆，E＋A可逆．D. E－A可逆，E＋A不可逆．2. 填空题1. 已知2CA－2AB＝C－B，其中A＝，则C3＝_______．2. 设A＝，则其逆矩阵A-1_______．3. 设A＝，且r(A)＝2，则k＝_______．4. 设A＝，B是3阶非零矩阵，且AB＝O，a＝_______．5. 已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．6. 设n阶矩阵A满足A2＝A，E为凡阶单位阵，则r(A)＋r(A－E)_______．7. 已知A＝，矩阵X满足A*X＝A-1＋2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X＝_______．8. 已知α1＝(1，0，0)T，α2＝(1，2，－1)T，α3＝(－1，1，0)T，且Aα1＝(2，1)T，Aα2＝(－1，1)T，Aα3＝(3，－4)T，则A＝_______．9. 设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB＝2A＋3B，A＝，则(B－2E)-1＝_______．10. 设，且A，B，X满足(E－B-1A)TBTX＝E，则X-1＝_______．11. 设矩阵A与B＝相似，则r(A)＋r(A－2E)＝_______．12. 设A是一个n阶矩阵，且A2－2A－8E＝O，则r(4E－A)＋r(2E＋A)＝_______．13. 设3阶方阵A，B满足关系式A-1BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝_______．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
武汉理工大学线性代数考试试题
⎝⎭武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---L L L L M M M M M M M M M ML L LL121(1)(2)(1)122000101(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)n n n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--M L LM M M M ML L4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。
2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。
2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴=Q ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。
4.解：令矩阵123413011031(,,,)27124142A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭% 4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。
矩阵分析考试及答案
矩阵分析考试及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，那么矩阵A的列数是（）。
A. 矩阵B的行数B. 矩阵B的列数C. 矩阵A的行数D. 矩阵A的列数答案：A2. 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量（或列向量）的最大数量，那么矩阵的秩与矩阵的行数和列数之间的关系是（）。
A. 秩小于等于行数和列数的最小值B. 秩等于行数和列数的最小值C. 秩大于行数和列数的最小值D. 秩等于行数和列数的最大值答案：A3. 矩阵A是可逆的，那么矩阵A的行列式值是（）。
A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：C4. 矩阵A的特征值是指满足方程（）的值λ。
A. Ax = λxB. Ax = 0C. Ax = xD. Ax = λIx5. 矩阵A的迹是指矩阵A的对角线元素之和，那么矩阵A的迹与矩阵A的转置AT之间的关系是（）。
A. 矩阵A的迹等于矩阵AT的迹B. 矩阵A的迹不等于矩阵AT的迹C. 矩阵A的迹是矩阵AT的迹的两倍D. 矩阵A的迹与矩阵AT的迹无关答案：A6. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，那么矩阵AB的行数是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵B的行数D. 矩阵B的列数7. 矩阵A是对称矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。
A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为实数D. 全部为复数答案：C8. 矩阵A是正定矩阵，那么矩阵A的特征值是（）。
A. 全部为正B. 全部为负C. 全部为零D. 部分为正，部分为负答案：A9. 矩阵A和矩阵B是同阶方阵，那么矩阵A和矩阵B的乘积AB与矩阵B和矩阵A的乘积BA之间的关系是（）。
A. AB等于BAB. AB不等于BAC. AB和BA的秩相等D. AB和BA的行列式相等答案：B10. 矩阵A是奇异矩阵，那么矩阵A的行列式值是（）。
A. 0B. 1C. 不为0D. 无法确定答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 矩阵A的转置记作______，即矩阵A的行变为列，列变为行。
武汉理工大学线性代数考试试题
⎝⎭武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---121(1)(2)(1)12200010010(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)n n n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。
2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。
2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴= ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。
4.解：令矩阵123413011031(,,,)271241420A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
2018级硕士研究生矩阵分析试题-A卷
二、 证明：线性变换在不同的基下所对应的矩阵相似。
三、假设V = R[x]2 表示实数域上次数不超过 2 的多项式和零多项式构成的线性空间。在V 中
∫ 定义内积:
( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx 。
−1
(1). 求基 x2 , x,1 的度量矩阵；
(2). 将基 x2 , x,1 转化为标准正交基；
ix1 x3
+
2 x2
x2
3;
1 2
x3
x3
(1). 写出 Hermite 二次型对应的矩阵； (2). 求酉矩阵 U ，使得二次型变为标准二次型。
2
六、已知
A
=
0
0
i
0
，求
A
的奇异值分解。
0
2 1 0
七、 已知=A
1
−1
0
，求
A、 ∞
A、 1
A 、A 。
2
F
0 0 1
2018工程数学(矩阵分析)试题-A卷
一.设 R3 中向量α = ( x1, x2 , x3 ) ，对 ∀x ∈ R3 定义变换 f ： f ( x) =(−2 x1 + x2 + x3 , x1 − 2 x2 + x3 , x1 + x2 − 2 x3 ) (1). 证明： f 是线性变换； (2). 求 f= 在基 e1 (1= , 0, 0);e2 (= 0,1, 0);e3 (0, 0,1) ,下的矩阵 A ； (3). 求 f 的值域 R( f ) 及核子空间 N ( f ) 的基及它们的维数。
(3). 求η = x2 在子空间W = L(1, x) 中的正投影η0 ，使得 η −η0=
考研数学二(矩阵)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷29(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )A．(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。
B．(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1。
C．(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。
D．(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
正确答案：C解析：由A与E可交换可得，A+E与A一E可交换，进而(A+E)2与A—E 也可交换，故选项A成立。
显然，(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)。
若在等式两边同时左、右乘(A+E)—1，可得(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1；若先在等式两边同时左、右乘(A一E)—1，可得(A+E)(A—E)—1=(A—E)—1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
故选项B、D 成立。
事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T才成立。
而ATA=AAT不一定成立。
例如：取，则ATA=，AAT=，可见ATA≠AAT。
故选C。
知识模块：矩阵2．设A，B均为n阶对称矩阵，则下列说法中不正确的是( )A．A+B是对称矩阵。
B．AB是对称矩阵。
C．A*+B*是对称矩阵。
D．A一2B是对称矩阵。
正确答案：B解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A 一2B)T=AT一(2BT)=A一2B，从而选项A、D是正确的。
首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。
(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(i，j)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。
而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(i，j)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。
(完整word版)矩阵理论资料期末考试试题整理版
矩阵重点(仅供参考)
第一章
线性空间的证明
例8.1
线性变换的矩阵表示是重点
第二章
例2.2
第三章（最重要的是第三章重中之重就是Jordan )
引理2.1 重点讲的
例2.2题型考试有定理3。
2重点讲的
例3。
3、3.4重点讲的
定理3.5重点讲的
例4.1考试题型
约而当标准型重点必须会
例4.8必须会必考
第四章
定理2.2考了很多次了（老师说的）
例2.1QR分解
例3。
1满秩分解
例3.2满秩分解通过Hermite途径
第五章没讲自己看
第六章
定理3.3的证明
第七章
定义2。
1补充：判断是否收敛的条件ρ(A）＜f（x)的收敛半径
例2。
1
题型
例3.1、3.2重点讲的
Jordan 标准型
LDU分解
QR分解
初等因子
解矩阵方程
矩阵的分解
矩阵理论例题整理版1.
2。
3。
4。
5。
6.
7. 8.
9。
特征多项式、特征值与特征向量
线性变换
正交化。
考研数学二(矩阵)模拟试卷34(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷34(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（）。
A．当m>n时，必有|AB|≠0B．当m﹥n时，必有|AB|=0C．当n﹥m时，必有|AB|≠0D．当n﹥m时，必有|AB|=0正确答案：B解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m,n},r(B)≤min{m,n},且r(AB)≤min{r(A),r(B)},所以r(AB)≤min{m,n},故当m＞n时，r(AB)≤n＜m,于是∣AB∣=0，选B. 知识模块：矩阵2．设A,B,A+B,A-1+B-1皆为可逆矩阵，则（A-1+B-1）-1等于（）。
A．A+BB．A-1+B-1C．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：C解析：A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E. 知识模块：矩阵3．设A,B都是n阶可逆矩阵，则（）.A．(A+B)*=A*+B*B．(AB)*=B*A*C．(A-B)*=A*-B*D．(A+B)*一定可逆正确答案：B解析：因为(A+B)*=∣AB∣(AB)-1=∣A∣∣B∣B-1A-1=∣B∣B-1·∣A∣A-1=B*A*,所以选B。
知识模块：矩阵4．设A为n阶矩阵，k为常数，则（kA)*等于（）。
A．kA*B．knA*C．kn-1A*D．kn(n-1)A*正确答案：C解析：因为（kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以（kA)*=kn-1A*,选C. 知识模块：矩阵5．设A为n阶矩阵，A2=A,则下列成立的是（）。
A．A=OB．A=EC．若A不可逆，则A=OD．若A可逆，则A=E正确答案：D解析：因为A2=A,所以A（E-A)=O,由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n,若A 可逆，则r(A)=n,所以r(E-A)=0,A=E，选D. 知识模块：矩阵6．设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n,则（）。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）1． 设−−=41311221222832A ，则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2． 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ，则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3． 设110430102A −=−，则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4． 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A ， 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5． 在3R 中有下列两组向量：()13,1,2Tα=−−，()21,1,1Tα=−，()32,3,1Tα=−； ()11,1,1Tβ=，()21,2,3Tβ=，()32,0,1Tβ=，则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6．设33CA ×∈，21332211{}ij m j i A a ===∑∑，H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3，则=2mA.7． 设12102101, 11111137A B −== −−，12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =，0Bx =的解空间，则=)dim(21V V ∩ 1 .8． 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −，则lim n n A →∞=1311e .9． 设213121202A −=，则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10．设 −=5221A ，=0242B ，则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二．（10分）设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足：),(),(Ty x y Tx −=，试证明：T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵（T A A −=）证明：设n ααα,,,21 为V 的标准正交基，n n ij a A ×=}{，下证：ji ij a a −=： 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211，n nj j j j a a a T αααα+++= 2211， ),(),(j i j i T T αααα−=；=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα ， =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以：ji ij a a −=.三．（10分）在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ，并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解： A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =，则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得：123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. （10分）已知 =654321x x x x x xX ，162534()sin()x x f X e x x x x =++，求dXdf . 解答：16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.（10分）已知311202113A −=−−−，求4sin()A π，Ae .解：3||(2)E A λλ−=−，A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一：令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++，则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++，则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二：令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++，则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++，则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.（10分）设−=01200110A ，求A 的奇异值分解. 解答一：=5002A A H ，A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ，1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二：=5002A A H ，那么A 的奇异值为5,2，A A H对应于特征值5，2的标准特征向量为 = =01,1021x x ，=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ， −=2102102υ，−=0510523υ，=2102104υ，−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七．（10分）设n n i A ×∈≠C 0，2rank rank i i A A =),,2,1(n i =，且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ，其中C ∈i a . 证明：1n =时，命题显然.假设n k ≤时，命题成立. 当1n k =+时，设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =，其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时，由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=，其中C j a ∈，2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =，则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。