【2019年中考数学】上海市杨浦区2019届中考二模数学试卷及答案
杨浦区2019学年度第二学期初三质量调研
数学试卷
2019.4
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1.下列各数是无理数的是（ ）
(A)60cos (B)1.3 (C)半径为1cm的圆周长 （D）38
2.下列运算正确的是（ ）
（A）mnm2 （B）632)(mm （C）33)(mnmn （D）326mmm
3.若yx33，则下列等式一定成立的是（ ）
(A) 0yx （B）0yx （C）0yx （D）0yx
4.某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所
示，其中阅读时间是9-10小时的组频数和组频率分别是（ ）
(A)15和0.125 （B）15和0.25
(C)30和0.125 （D）30和0.25
5.下列图形是中心对称图形的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
6.如图2，半径为1的圆1O与半径为3的圆2O内切，如果半径为2的圆与圆1O和
圆2O都相切，那么这样的圆的个数是（ ）
（A）1 (B) 2
(C) 3 (D)4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分49分）
9.计算)()(babbaa
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
小时数（个）
频率
组距
图
1
1210
8
6
42
（图2）
O
2
O
1
9.当0,0,ab时，化简ba2
9. 函数211xxy中，自变量x取值范围是
10. 如果反比例函数xky的图像经过点),2(1yA与),3(2yB，那么21yy的值等于
11. 三人中至少两人性别相同的概率是
12. 25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表；
人数 1 2 3 4 5 10
次数 15 9 25 10 19 20
那么跳绳的中位数是
13.李明早上骑自行车上学,中途因道路施工推车步行了一段路,到学校共用时15分钟。如
果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设
他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是
14.四边形ABCD中，向量ABBCCD
15.若正n边形的内角为140，则边数n为
16.如图3，ABC中，80A，40B，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC.如果2,6ADBD，
那么ADC的周长为 .
19.如图4,正△ABC的边长为2，点A、B在半径为2的圆上,点C在圆内,将正ABC绕点A逆时针针旋转，
当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为 .
19.当关于x的一元二次方程20axbxc有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”。
如果关于x的一元二次方程2(2)20xmxm是“倍根方程”，那么m的值为 .
三、解答题（本大题共9题，满分99分）
19.（本题满分10分）
先化简，再求值：222x-3231,211121xxxxxxx
(图 3)
B
C
A
D
（图4）
B
C
A
20. （本题满分10分）
解方程组：22223（2x+y）xyxy
21.（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题满分9分）
已知：如图5，在梯形ABCD中，,,平分,60DCABADBCBDABCA
求：（1）求CDB的度数；
（2）当2AD时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。
22.（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）
已知、、ABC三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从、AB两地向正北方向的目
的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图6所示。
（1）图中的线段1t是 （填“甲”或“乙”）的函数图像，C地在B地的正北方向
千米处；
（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度。
(图5)
C
D
A
B
t
（小时）
s
（千米）
图
6
l
2
l
1
6
4
3
1
O
23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图9，在ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边、ABCD于点、EF，过点G的
直线MN分别交边、ADBC于点、MN，且AGECGN.
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）当四边形ENFM为矩形时，求证: BEBN.
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图9，在平面直角坐标系中，抛物线cbxxy221-与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线
4xy
经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当PC∥AO时，求PAC的正切值；
（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.
M（图7）NFGBACD
E
x
x
y
C
图8
备用图
图1
P
AB
P
C
BA
O
O
25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）题4分）
如图9，在梯形ABCD中，BCAD//,5DCAB,1AD,9BC,点P为边BC上一动点，作PH⊥DC,
垂足H在边DC上，以点P为圆心，PH为半径画圆，交射线PB于点E。
（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2）分别联结EH和EA，当CEHΔABEΔ∽时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的
半径r的取值范围；
（3）将劣弧EH沿直线EH翻折交BC于点F,试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出次定
值。
F
E
H
A
E
H
A
E
H
A
D
CBB
C
D
B
C
D
P
P
P
参考答案：
1、C 2、B 3、A 4、D 5、B 6、C
9、
22
ab
9、ab 9、2x 且 1x 10、
3
2
11、1 12、20 13、90x+250（15-x）=2900
14、
AD
15、9 16、14 19、33 19、-4或-1
19、
2
20、23112331122;;13522xxxyyy 21、（1）30° （2）3,33梯形ABCDBDS
22、（1）乙 3 （2）甲 1.5小时 （3）
4
3
千米每小时 23、略
24、（1）
2
142yxx （2）1tan3∠PAC （3）5
(3,)2P
25、（1）x=3 （2）55928r （3）253EHEF
2019年上海市黄浦区中考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列自然数中，素数是（）A. 1B. 2C. 4D. 92.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则点（m，-1）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）A. 400B. 被抽取的50名学生C. 400名学生D. 被抽取的50名学生的体重5.下列等式成立的是（）A. B. C. D.6.半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.=______．8.因式分解：a2-9=______．9.方程的根是x=______．10.直线y=2x-3的截距是______．11.不等式组的解集是______．12.若关于x的方程x2-（2m-1）x+m2=0没有实数根，则m的取值范围是______．13.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是______．14.秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表所示），图表中c=______．15.16.如图，点O是△ABC的重心，过点O作DE∥AB，分别交AC、BC于点D、E，如果，那么=______（结果用表示）．17.如图，函数y=（x＞0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果点B的横坐标为3，则点C的坐标为______．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin B=，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解分式方程：．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：-（27）+|1-|-（）0．21.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的外部，AB=AC=4，BC=4，求⊙O的半径．22.A、B两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地出发前往B地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路．图中的线段OM和折线OCDE 分别反映了甲、乙两人所行的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）甲骑自行车的速度是______千米/分钟；（2）两人第二次相遇时距离A地______千米；（3）线段DE反映了乙修好车后所行的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系．请求出线段DE的表达式及其定义域．23.如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO=BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE=∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y=2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC=CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA=∠BOC时，求点C的坐标．25.已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF=∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB=AD，在线段AB上截取AG=AE，联结GE．求证：GE=DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB=3，AD=4，cos A=，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：素数是2，故选：B．根据素数的概念判断即可．此题考查有理数，关键是根据素数的概念解答．2.【答案】B【解析】解：A、（a2）3=a6，错误；B、a2•a3=a5，正确；C、（2a）2=4a2，错误；D、a6÷a3=a3，错误；故选：B．分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=的图象在第二、四象限内，∴m＜0，∴点（m，-1）的横纵坐标都为负，∴点M在第三象限，故选：C．根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出m的取值范围，再由点的坐标特点，确定点所在象限．本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确定m的取值范围．4.【答案】D【解析】解：样本是抽取50名学生的体重，故选：D．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．5.【答案】A【解析】解：（B）原式=，故B错误；（C）-≠-，故C错误；（D）原式=-，故D错误；故选：A．根据平面向量的线性运算法则即可求出答案．本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：∵5-1=4，1+5=9，∴相交时，4＜圆心距＜9，∴只有C中5满足．故选：C．根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．本题利用两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的数量关系进行判断．7.【答案】2【解析】解：∵22=4，∴=2．故答案为：2如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．8.【答案】（a+3）（a-3）【解析】解：a2-9=（a+3）（a-3）．a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．9.【答案】8【解析】解：方程两边平方得：x+1=9，解得：x=8，经检验：x=8是方程的解．故答案是：8．把方程两边平方去根号后求解．本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10.【答案】-3【解析】解：∵在一次函数y=2x-3中，b=-3，∴一次函数y=2x-3在y轴上的截距b=-3．故答案是：-3．由一次函数y=kx+b在y轴上的截距是b，可求解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的关系式．11.【答案】＜＜【解析】解：，解①得x＞，解②得x＜3，所以不等式组的解集为＜x＜3．故答案为＜x＜3．分别解两个不等式得到x＞和x＜3，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12.【答案】＞【解析】解：根据题意△=（2m-1）2-4m2＜0，整理得-4m+1＜0，解得m＞．故答案为m＞．根据根的判别式的意义得到△=（2m-1）2-4m2＜0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.【答案】【解析】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4，6，故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是：=．故答案为：．共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数的概率．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14.【答案】9【解析】解：，c=50-6-20-15=9，故答案为：9根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得c的值．本题考查频数分布表，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．15.【答案】40【解析】解：正九边形的中心角等于：=40°．故答案是：40．利用360度除以边数9，即可求解．本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．16.【答案】a．【解析】解：如图，连接CO并延长交AB于点M，∵点O是△ABC的重心，∴M是AB的中点，∵DE∥AB，∴△CDO∽△CAM，∴，∴DO=AM=×a=a．故答案为：a．连接CO并延长交AB于点M，因为点O是△ABC的重心，可得M是AB的中点，由DE∥AB，可得△CDO∽△CAM，即，即可得出DO的长．本题考查三角形重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握三角形重心的概念和性质．17.【答案】（6，2）【解析】解：把x=3代入y=（x＞0）中，得y=4，∴B（3，4），∵C点是AB的中点，A点在x轴上，∴C点的纵坐标为：4÷2=2，把y=2代入y=（x＞0）中，得x=6，∴C（6，2）．把B点的横坐标代入反比例函数的解析式求得B点的纵坐标，再根据C点AB的中点求得C点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式中求得其横坐标便可．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，关键是由B点纵坐标求出C点的纵坐标．18.【答案】【解析】解：∵∠ACB=90°，sinB==，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC==4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴=故答案为：设AC=3x，AB=5x，可求BC=4x，由旋转的性质可得CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得=，即可求解．本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB是本题的关键．19.【答案】解：去分母得：（x+2）2-16=x-2，整理得：x2+3x-10=0，即（x-2）（x+5）=0，解得：x=2或x=-5，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=-5．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.【答案】解：原式===．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：如图，连接AO，交BC于点D，连接BO∵AB=AC，∴又AO是半径，∴AO⊥BC，BD=CD∵，∴∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2又∵AB=4，∴AD=2设半径为r．在Rt△BDO中，∵BD2+DO2=BO2∴∴r=4∴⊙O的半径为4．【解析】连接AO，交BC于点D，连接BO，由垂径可求AO⊥BC，BD=CD，即可求BD=2，由勾股定理可求AD的长，圆的半径．本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．22.【答案】20【解析】解：（1）由图可得，甲骑自行车的速度是：30÷120=千米/分钟，故答案为：；（2）两人第二次相遇时距离A地：×80=20千米，故答案为：20；（3）设线段DE的表达式为y=kx+b（k≠0），∵线段DE经过点D（50，10）和（80，20），∴，解得，，∴y=x-，当y=30时，x=110，∴．（1）根据函数图象中的数据可以求得甲骑自行车的速度；（2）根据（1）中的答案和函数图象中的数据可以求得两人第二次相遇时距离A 地的距离；（3）根据（2）中的答案和一次函数的性质可以求得线段DE的表达式及其定义域．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）证明∵AD∥BC，∴，∵DO=BO，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∴∠ACD+∠DCE=90°，∵∠DCE=∠ACB，∴∠ACB+∠ACD=90°，即∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ADC=90°，∵AD∥BC，∴，∴∴，∵∠ADC=∠ACF=90°，∴，∴．【解析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠BCD=90°，即可求解；（2）由AD∥BC，得：，，即可求解．本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．24.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），∴对称轴为x=1，∵直线y=2x经过抛物线的顶点B，∴B（1，2），设y=a（x-1）2+2，∵抛物线经过原点O（0，0），∴a=-2，∴y=-2x2+4x．（2）∵BC=CE，∴∠BEF=∠CBE，∵CE∥x轴，∴∠BEF=∠BOA，∵B（1，2），A（2，0），∴，∴∠BOA=∠BAO，∴∠CBE=∠BEF=∠BOA=∠BAO，∴△BCE∽△ABO；（3）记CE与y轴交于点M，过点B作BN⊥CE，垂足为点N．设C（m，-2m2+4m）．∵∠BEF=∠BOC+∠ECO，∠BFE=∠CBA+∠BCE，又∠CBA=∠BOC，∠BEF=∠BFE，∴∠ECO=∠BCE，∴tan∠ECO=tan∠BCE．∵CE∥x轴，x轴⊥y轴，∴∠OMC=∠BNC=90°，∴，∴，∴m1=1（舍），，∴，．【解析】（1）先根据题意得出抛物线的顶点坐标，设其顶点式，再将原点代入计算可得；（2）由BC=CE知∠BEF=∠CBE，再由CE∥x轴知∠BEF=∠BOA，根据知∠BOA=∠BAO，从而得∠CBE=∠BEF=∠BOA=∠BAO，据此即可得证；（3）记CE与y轴交于点M，作BN⊥CE，设C（m，-2m2+4m）．由∠BEF=∠BOC+∠ECO，∠BFE=∠CBA+∠BCE知∠ECO=∠BCE，据此得tan∠ECO=tan∠BCE．结合∠OMC=∠BNC=90°得，据此得出关于m 的方程，解之可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点．25.【答案】解：（1）∵AG=AE，∴．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠ABC=2∠C，∴，∴∠AGE=∠C，∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，又∠BGE+∠AGE=180°，∴∠BGE=∠D，∵∠BEF+∠FED=∠A+∠GBE，∵∠BEF=∠A，∴∠FED=∠GBE，又AB=AD，AG=AE，∴BG=ED，∴△GBE≌△DEF（ASA），∴GE=DF；（2）在射线AB上截取AH=AE，联结EH，∵∠HBE=∠A+∠AEB，∠DEF=∠BEF+∠AEB，又∠BEF=∠A，∴∠HBE=∠DEF．∵AD∥BC，∴∠EDC=∠C，∠A+∠ABC=180°．∵AH=AE，∴，又∠ABC=2∠C，∴∠H=∠C，∴∠H=∠EDC，∴△BHE∽△EDF，∴．过点H作HP⊥AE，垂足为点P．∵，AE=AH=x，∴，，，∴，∵AB=3，AD=4，AE=x，DF=y，∴，∴＞；（3）记EH与BC相交于点N．∵△EMF∽△ABE，∠BEF=∠A，∴∠AEB=∠EMF，或∠AEB=∠EFM，若∠AEB=∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾，∴此情况不存在，若∠AEB=∠EFM，∵△BHE∽△EDF，∴∠BEH=∠EFM，∴∠AEB=∠BEH，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠BEH=∠EBC，∴BN=EN=BH=x-3，∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴线段AE的长为．【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）在射线AB上截取AH=AE，联结EH，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可；（3）记EH与BC相交于点N，分∠AEB=∠EMF或∠AEB=∠EFM两种情况进行解答即可．本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题18 图形的变化之解答题(2)(39道题)(解析版)(1)
专题18 图形的变化之解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．（2019•宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．2．（2019•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，∴BC＝2由勾股定理得，AB∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE∴DE∴由勾股定理得AD∴cos∠CAD∴sin∠CAD则∠CAD的正弦值为【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．3．（2019•青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH，∴DH，在Rt△BDH中，tan∠BDH，∴DH，∴，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．4．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．5．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF ⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠BCD，∴tan∠ACE＝tan∠CBD；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A，∴，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA，∴CH k，∴AC＝AH+CH k＝4，解得：k，∴AE．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos∠，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）的值．【答案】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝DC BC＝5，在Rt△ABD中，cos∠ABC，∴AB＝13；（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，∵EH∥BC，，∴，∵BD＝CD，∴，∵EH∥BC，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．7．（2019•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE＝CB，CD＝5，sin∠．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是边AB的中点；∴CD AB，∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin∠ABC，∴AC＝6∴；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC＝∠EHB＝90°∵D是边AB的中点，∴BD＝CD AB，∠DCB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠EHC＝∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴由BC＝8，CE＝CB得CE＝8，∠CBE＝∠CEB，∴解得EH，CH，BH＝8∴tan∠CBE3，即tan E＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．8．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BC AB，tan C．求：（1）⊙O的半径；（2）点C到直线AO的距离．【答案】解：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，∵OD过O，∴AD＝BD，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵BC AB，∴BC＝4，∴DC＝4+4＝8，∵tan C，∴OD＝4，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，即⊙O的半径是4；（2）过C作CE⊥AO于E，则S△AOC，即，解得：CE＝6，即点C到直线AO的距离是6．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出AD、OD的长度是解此题的关键．9．（2019•包头模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴，即，解得CF；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH，∴AH，EH＝AE﹣AH，∴tan D＝tan∠ECH．【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．10．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．11．（2019•东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°，tan32°，tan40°）【答案】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB tan32°，∵AB＝2m，∴，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．12．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE BP；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴，∴，∴，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A．求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A，∵cos A，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝53，∴BD4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2019•靖江市一模）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【答案】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．15．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．16．（2019•濉溪县二模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．（2019•随县模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝63cm．故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．18．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.4， 1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM海里．在Rt△AMC中，tan C，∴CM 4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．20．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD，∴tan14°，即0.25，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB．19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°，cos67°，tan67°）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∠，∴CH5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（2019•寿光市模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【答案】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC米，AC米，∴AH＝AC+CH米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD米，∴AB＝AC﹣BC米，即AH米，AB米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．（2019•静安区一模）计算：【答案】解：原式＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．（2019•射阳县一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据： 1.41， 1.73，2.45， 2.65）【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG AC＝10，CG AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴，∴，∴DH23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS10，∴A′B＝1010，∵BG10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH，即得tan32°，解得：x32.99∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2019•嘉定区一模）计算：2|1﹣sin60°|．【答案】解：2|1﹣sin60°|＝2（1）＝2＝2＝2．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．27．（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2019•虹口区一模）计算：【答案】解：原式＝3+2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．29．（2019•金山区一模）计算：cos245°tan260°﹣cot45°•sin30°．【答案】解：原式＝（）2（）2﹣11+3＝2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．30．（2019•长宁区一模）计算：60°．【答案】解：原式（）2（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．（2019•崇明区一模）计算：cos245°cot30°•sin60°．【答案】解：原式＝（）2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2019•普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．33．（2019•长宁区一模）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i，设CG＝4k，BG＝3k，则BC5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DF A＝90°，∴cot A，∴ 1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．34．（2019•黄浦区一模）计算：2cos245°tan45°．【答案】解：原式＝2×（）21＝21＝11＝46．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．35．（2019•宝山区一模）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．36．（2019•金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求（1）背水坡AB的长度．（2）坝底BC的长度．【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据题意，可知AM＝DN＝24（米），MN＝AD＝6（米），在Rt△ABM中，∵，∴BM＝72（米），∵AB2＝AM2+BM2，∴AB24（米），答：背水坡AB的长度为24米；（2）在Rt△DNC中，，∴CN＝48（米），∴BC＝72+6+48＝126（米），答：坝底BC的长度为126米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．37．（2019•普陀区一模）计算：4sin45°+cos230°．【答案】解：原式＝4（）2＝22（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．（2019•杨浦区一模）如图，AD是△ABC的中线，tan B，cos C，AC．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C，AC，∴CH＝1，AH1，在Rt△ABH中，∵tan B，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD在Rt△ADH中，sin∠ADH．∴∠ADC的正弦值为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．39．（2019•杨浦区三模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．。
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女 的概率为 （结果用最简分数表示） 【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n 的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a 、b 、c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅及a c =，可知a 与b 的夹角等于c 与b 的夹角，设这个夹角为θ， ① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a 与c 的夹角为2θ， 此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=(均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a 与c 的夹角为22πθ-，类似①， 可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ=或1cos 2θ=(舍)；综上，cos a b θ⋅==12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两 抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为 【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（ ） 【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞ 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） 【A 】 充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为（ ）【A 】 ①和②都是真命题 【B 】 ①是真命题，②是假命题 【C 】 ②是真命题，①是假命题 【D 】 ①和②都是假命题 【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101 则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7； 若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=； （2）以O 点为原点，,,OA OB OP 方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-， 设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM APθ⋅===⨯， 所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b 则5,7,6a b a b ==+=.因此22236,a b a b ++=,解得19a b ⋅=-. 故19cos 35ACB ∠=-，从而sinACB ∠=因而三角形ABC 的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形 因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC 的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小； 当1133I =时，两种策略效果相同。
2019年最新版初三中考数学模拟试卷及答案0643508
中考数学模拟试卷及答案解析 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 题号 一 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、选择题
1．以11xy为解的二元一次方程组是（ ） A．01xyxy B．01xyxy C．02xyxy D．02xyxy
2．如图，D是∠BAC内部一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，则下列结论不正确．．．的是（ ） A．AE=AF B．∠DAE=∠DAF C．△ADE≌△ADF D．DE=12AE
3．如图所示，△ABC平移后得到△DEF，若∠BNF=100°，则∠DEF的度数是（ ） A．120° B．100° C．80° D．50°
4．小王照镜子时，发现T恤衫上英文为“”，则T恤衫上的英文实际是（ ） A．APPLE B．AqqEL C．ELqqA D．ELPPA 5．把分式xxy（0x，0y）中的分子，分母的x，y 同时扩大 2倍.那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B． 缩小2倍 C． 改变原来的值 D． 不改变 6．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．打开电视机，正在播放新闻 B．父亲的年龄比他儿子年龄大 C．通过长期努力学习，你会成为数学家 D．下雨天，每个人都打着伞 7．如右图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A．9015xyxy B．90215xyxy C．90152xyxy D．290215xxy
8．一个正方形的边长增加了cm2，面积相应增加了232cm，则这个正方形的边长为（ ） A．6cm B．5cm C．8cm D．7cm 9．下列计算中，正确的是（ ） A．a3÷a3=a3－3=a0=1 B．x2m+3÷x2m－3=x0=1 C．（－a）3÷（－a）=-a2 D．（－a）5÷（－a）3×（－a）2=1 10．如图，∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PC⊥OA，则下列结论正确的是（ ） A．PD=PC B．PD≠PC C．PD、PC有时相等，有时不等 D．PD＞PC 11．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．224，， B．225，， C．236，， D．245，， 12．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，则图中互余的角有（ ） A． 2对 B．3对 C ．4对 D．5对
上海市闸北区2019年中考数学二模试卷及答案(word解析版)
上海市闸北区2019年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）2B、；=；、；3．（4分）（2019•闸北区二模）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，那4．（4分）（2019•闸北区二模）一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是5．（4分）（2019•闸北区二模）某人在调查了本班同学的体重情况后，画出了频数分布图如图．下列结论中，不正确的是（）千克的人数占全班总人数的，故此选6．（4分）（2019•闸北区二模）将宽为1cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）HPQ=，PQ==二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•闸北区二模）计算：（1﹣）0=1．﹣﹣8．（4分）（2019•闸北区二模）已知函数，那么f（）=+1．）=故答案为：9．（4分）（2019•闸北区二模）用科学记数法表示：0.00036= 3.6×10﹣4．10．（4分）（2019•闸北区二模）分解因式：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．11．（4分）（2019•闸北区二模）点M（3，1）和点N（3，﹣1）关于x轴对称．12．（4分）（2019•闸北区二模）不等式x+2＞2x+1的解集为x＜1．13．（4分）（2019•闸北区二模）方程的解是x=0．14．（4分）（2019•闸北区二模）若1、x、2、3的平均数是3，这组数据的方差是．=．故答案为：．15．（4分）（2019•闸北区二模）甲有两张卡片，上面分别写着0、1，乙也有两张卡片，上面分别写着2、3，他们各取出一张卡片，则取出的两张卡片上写的数所得之和为素数的概率是．=故答案为：16．（4分）（2019•闸北区二模）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=1：3，设=，试用向量表示向量，=．==．．17．（4分）（2019•闸北区二模）我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果Rt△ABC是奇异三角形，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，其中，a=1，那么b=．bab=故答案为：18．（4分）（2019•闸北区二模）如图，在等腰△ABC中，底边BC的中点是点D，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M旋转，使旋转后的点D与A重合，得到△A′B′C′，如果旋转后的底边B′C′与BC交于点N，那么∠ANB的正切值等于．ACACtanC==．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2019•闸北区二模）解方程组：．原方程组可化为：，或20．（10分）（2019•闸北区二模）已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN=cm，OH⊥MN，垂足是点H．（1）求OH的长度；（2）求∠ACM的度数．MH=MN=4cmMH=2=MO21．（10分）（2019•闸北区二模）观察方程①：x+=3，方程②：x+=5，方程③：x+=7．（1）方程①的根为：x1=1，x2=2；方程②的根为：x1=2，x2=3；方程③的根为：x1=3，x2=4；（2）按规律写出第四个方程：x+=9；此分式方程的根为：x1=4，x2=5；（3）写出第n个方程（系数用n表示）：x+=2n+1；此方程解是：x1=n，x2=n+1．=9=2n+1=2n+122．（10分）（2019•闸北区二模）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了关系是一次函数：（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？，23．（12分）（2019•闸北区二模）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，==：（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．中，===）中，==）=）24．（12分）（2019•闸北区二模）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP=∠AOP，求出点D的坐标．）的坐标代入得，，，﹣（﹣，﹣25．（14分）（2019•闸北区二模）已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP=x，BQ=y．（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；（2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．得出==（，﹣+10BQ=﹣x+x|﹣，设=6BC==，==SQ=（﹣﹣，定义域是．，﹣+10x=BQ=﹣，即+xx=|﹣（﹣x﹣的长为或或。
【区级联考】上海市闵行区2019届九年级中考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各数中是无理数的是( )A.B. C. 237 D. 4p【答案】D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. =34是分数，为有理数，此选项错误；B.是有理数，此选项错误；C.237是分数，为有理数，此选项错误；D.4p 是无理数，此选项正确.故选D 【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2. 下列方程中，没有实数根方程是( )A.1= B. 210x x +-=C. 1122x x -=+D. x=-【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式△=b 2-4ac ，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】A. 1=可变形为：220x +=△=b 2−4ac =0−8=-8<0，的1=没有实数根；B. △=b 2−4ac =1+4=5>0∴方程210x x +-=有两个不相等的实数根；C.1122x x -=+可变形为：2x-x=2+2为一元一次方程，有一个实数根；D. x =-可变形为：220x x --=△=b 2−4ac =1+8=9>0x =-有两个不相等的实数根.故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ¹0)的根的判别式△=b 2−4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.3. 若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】已知直线y =kx +b 经过第一、二、四象限，则得到k ＜0，b ＞0，那么直线y =bx +k 经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频数【答案】C【解析】【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．【详解】A. 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，故本选项错误；B. 众数是表示在一组数据中，出现次数最多的数据，故本选项错误；C. 方差是表示一组数据离散程度的度量，故本选项正确；D. 频数表示某一项或某一组出现次数，是直观的数量，故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了离散程度的量，熟练掌握平均数，众数，方差，频数各自的含义是解题的关键.5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. AD ＝BDB. BD ＝CDC. ∠BAD ＝∠CADD. ∠B ＝∠C【答案】A【解析】【分析】根据已知和公共边科证明△ADB ≌△ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．【详解】∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ，∴Rt △ADB ≌Rt △ACD （HL ），∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C （全等三角形的对应角、对应边相等）故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立．故选A ．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．6. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆一定A. 与x 轴和y 轴都相交B. 与x 轴和y 轴都相切C. 与x 轴相交、与y 轴相切D. 与x 轴相切、与y 轴相交．【答案】D【解析】【分析】根据点的坐标得到圆心到x 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．【详解】圆心到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3<4，∴圆与x 轴相切，与y 轴相交，的【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，正确写出与x ，y 轴的距离是解题的关键.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：a 2•a 3=_____．【答案】a 5．【解析】【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a 2•a 3=a 2+3=a 5，故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8. 分解因式：3x 9x -=____.【答案】()()x x 3x 3+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22x 9x x x 9x x 3x 3-=-=+-．9. 已知函数f （x ）＝1x x +，那么f （﹣2）＝_____．【答案】2【解析】【分析】把x ＝﹣2代入函数解析式即可求解．【详解】解：当x ＝﹣2时，f （﹣2）＝22+1-- ＝2．故答案是：2．【点睛】本题考查知识点是求函数的值，只要把x 的取值代入函数解析式即可．10. x =的解为_____．【答案】3【解析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则11. 一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____．【答案】41【解析】【分析】已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解.【详解】依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41故答案为41【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为△＝b2﹣4ac是解决问题的关键.12. 已知反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），则k＝_____．【答案】-2【解析】【分析】直接把点（2，﹣1）代入反比例函数y＝kx即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝2x，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是______．【答案】113【解析】【分析】一副52张（没有大小王）的扑克牌中A 有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A 的概率．【详解】一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数n =52，一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A ，抽到的这张牌是A 的基本事件个数m =4，∴抽到的这张牌是A 的概率p =m n =452=113故答案为113【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.14. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是_____．成绩（环）678910次数25364【答案】8.5【解析】分析】先利用表格中数据得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案即可．【详解】由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，故这个射击运动员这次成绩的中位数是：12×（8+9）＝8.5．故答案为8.5．【点睛】本题考查了中位数的求法，正确利用中位数的定义求解是解决问题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ．设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，那么BD uuu r ＝_____．（结果用向量a r 、b r的式子表示）【【答案】13b a -r r 【解析】【分析】首先由向量的知识，得到AD uuu v 和AB uuu v 的值，即可得到BD uuu v的值.【详解】∵在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD ，∴13AD AC =uuu v uuu v =13b v ，又∵AB a=uuu v v ∴BD uuu v =AD uuu v -AB uuu v =13b v -a v 故答案为13b a -v v 【点睛】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键.16. 如图，已知在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．【答案】10【解析】【分析】根据垂径定理求出AD 的长，设半径OC=OA=r ，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r 的方程，解出即可得出OC 的长．【详解】设半径OC=OA=r ，则OD=OC-CD=r-4Q 半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ，AB=16∴AD =12AB =8，在Rt △AOD 中,OD 2+AD 2=OA ）即（r-4）2+82=r 2解得：r=10故答案10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17. 如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD ，那么BD ＝_____米．（结果保留根号）【答案】-【解析】【分析】根据坡角为45°，求出AC ，再根据∠ADC=30°，由三角函数的概念可求得DC 的长,即可得到BC 的长.【详解】∵在直角三角形ACB 中，斜边AB =200米，坡角为45°∴AC，在直角三角形ACD 中,∠ADC =30°，∴tan30°=AC DC∴DC= (米)；∴BD=DC-BC=(米)；故答案为-【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是两个直角三角形有公共的直角边,先求出公共边是解决此类题目的基本出发点.18. 如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC =，D 为边AC 上一点(点D 与点A 、C 不重合)．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD =______．为【答案】5 6．【解析】【分析】作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,根据勾股定理求出BG和CG的值；易证△BCH∽△ABG，得出对应边成比例即可求出BH和CH的值；根据折叠可知AB=BE=5，得出EH及CE的值；根据FH// AB可求出FC；最后根据FC// AB即可求出答案.【详解】如图，作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,Q AC=AB=5,\Q FH// AB\AÐBG=BCHÐQÐH=AGBÐ=90°\△BCH∽△ABG\BHAG=BCAB=CHBG\\BH=4,CH=2由折叠得，AB=BE=5\=3,CE=3-2=1 Q FH// AB\ÐF=ABDÐ=ÐEBD\EF=BE=5\FC=5+1=6 Q FC// AB\ADCD=ABFC=56故答案为56.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 先化简，再求值：2214422x x xx x x x-¸-++++，其中x﹣1．1-．【解析】试题分析：试题解析：原式=2221 (2)2 x x xx x x+-´-++=122 x xx x--++=12 x+当1时，原式1=-.考点：分式的化简求值．20. 解不等式组：6244 2133x xx x->-ìïí³-ïî，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】11x -<£；数轴表示见解析.【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出公共部分，并在数轴上表示即可.【详解】解：6x-2442133x x x >-ìïí³-ïî①② 由①得2x>-2解得1x >-．由②得2x ³3x-1解得1x £．所以，原不等式组的解集为11x -<£．在数轴画解集如下图：【点睛】本题考查了求不等式组的解集，熟练掌握不等式的求法是解题的关键.21. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，BC = 10，5cos 13ABC Ð=，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上，且23AE AC =，AD 与BE 相交于点F ．(1)求：边AB 的长.(2)求：EF BF 的值．【答案】(1)AB=13；(2)23.【解析】【分析】(1) 根据AB = AC，AD⊥BC得出BD的长；在Rt△ABD中，根据三角函数即可得出AB的长；(2) 过点E作EG // BC，交AD与点G，得出23EG AECD AC===EGBD，再根据EG // BC即可解出.【详解】解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC，∴152BD CD BC===．在Rt△ABD中，5 cos13BDABCABÐ==．∴131351355AB BD==´=．∴AB=13．(2)过点E作EG // BC，交AD与点G．∵EG // BC，23 AEAC=，∴23 EG AECD AC==．∵BD = CD，∴23 EGBD=．又∵EG // BC，∴23 EF EGBF BD==．【点睛】本题考查了平行线段成比例，正确作出平行线是解题的关键.22. 甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y1千米，乙离开出发地的路程为y2千米．试回答下列问题：(1)求y1、y2关于x的函数解析式；(2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像；(3)当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？【答案】(1)110y x =；22575y x =-；(2)见解析；(3)x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【解析】【分析】(1) 由题意，可直接写出两个函数的解析式及定义域；(2) 根据(1)中的两个解析式，在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)根据题意可得到102575x x =-解出x 的值即可得出结论.【详解】解：(1)由题意，得110y x =．22575y x =-．(2)画函数图像如下：(3)由题意，得102575x x =-．解得x=5．1010550x =´=(千米)．答：当x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，找出等量关系是解题的关键.23. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．(1)求证：△ACG ≌△DOA ；(2)求证：2DF BD DE AG ×=×．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1) 根据菱形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°；根据垂直得出∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°从而得出∠G =∠DAC ；根据BD = 2AC ，BD = 2OD 得出AC = OD ；即可判断全等(2) 根据垂直易证△CDO ∽△FDE 得出OD DF DE CD ×=×；根据△ACG ≌△DOA 及12OD BD =即可得出结论.【详解】证明：(1)在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．∵AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴∠G =∠DCA ．∴∠G =∠DAC ．∵BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴AC = OD ．在△ACG 和△DOA 中，∵∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴△ACG ≌△DOA ．(2)∵AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴∠DOC =∠DEF = 90°．又∵∠CDO =∠FDE ，∴△CDO ∽△FDE ． ∴CD OD DF DE=．即得OD DF DE CD ×=×．∵△ACG ≌△DOA ，∴AG = AD = CD ．又∵12OD BD =，∴2DF BD DE AG ×=×．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键.24. 已知抛物线2y x b x c =-++经过点A(1，0)、B(3，0)，且与y 轴的公共点为点C ．(1)求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；(2)求∠ACB 的正切值；(3)点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ．如果14EF BF =，求△BCE 的面积．【答案】(1)243y x x =-+-；C(0，-3)；(2)1tan 2ACB Ð=；(3)32.【解析】【分析】(1) 将A(1，0)、B(3，0)代入抛物线求出抛物线的解析式，令x=0即可得出点C 的坐标；(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D,根据题意可得出BC ；根据∠ADB =∠COB = 90°可得出BD ；在Rt △ACD 中即可得出tan ACB Ð的值.(3) 连接BE ．设EF = a. 由14EF BF =，得 BF = 4a ．根据三角函数值即可求出a 的值.从而求出△BCE的面积.【详解】解：(1)由题意，得309330a b a b +-=ìí+-=î解得14a b =-ìí=î所以，所求抛物线的解析式为243y x x =-+-．由x=0，得y=-3．∴点C 的坐标为(0，-3)．(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ．∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB = OC = 3．BC ==在Rt △BOC 和Rt △BDA 中，∠ADB =∠COB = 90°．∴cos BD OB ABD AB BC Ð===．∴BD =．即得 AD =，CD =．在Rt △ACD 中，∠ADC = 90°，∴1tan 2AD ACB CD Ð==．(3)连接BE ．设EF = a ．由14EF BF =，得 BF = 4a ．又∵1tan 2EF ACB CF Ð==，∴CF = 2a ．∴BC = BF +FC = 6a ．∴6a =．解得a =．即得 EF =．∴113222BCE S BC EF =×==V ．【点睛】本题考查了二次函数的综合，以及三角函数的求值，解题的关键是找到直角三角形得出所需线段的值.25. 如图，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ．(1)求证：∠BPD =∠MAN ；(2)如果sin MAN Ð=AB =，BE=BD ，求BD 长；(3)如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果∠MAN= 45°，且BE//QC ，求PQFCEF S S D D 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)BD=2；(3)23.【解析】的【分析】（1）根据垂直的定义得出∠PBA =∠PCA = 90°，根据四边形内角和为360°得∠BAC +∠BPC = 180°.根据平角∠BPD +∠BPC = 180°，等量代换得出∠BAC =∠BPD 即可得出结论.（2）根据BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD 可得∠BPD =∠BPE ，等量代换得∠BPE =∠BAC ；在Rt △ABP 中根据同角的余角相等得出∠BAC =∠ABE ，等角的正弦相等可求出AE 的值，根据勾股定理求出BD=BE=2（3）过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．可得出AC = 4a +2b.由BE // QC 易证△QCH ∽△PFC ，再根据△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比即可求出.【详解】(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠PBA =∠PCA = 90°．在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°，∴∠BAC +∠BPC = 180°．又∵∠BPD +∠BPC = 180°，∴∠BAC =∠BPD ．即∠MAN =∠BPD.(2)解：由BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ．在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得∠APB =∠ABE ．即得∠BAC =∠ABE ．∴sin sin AE BAC ABE AB Ð=Ð==．又∵AB =，∴6AE ==．∴2BE ===．∴BD=2．(3)解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°，得BG = AG ，DP = BD ．∵QH//BD ，点Q 为BP 的中点．∴1PH PQ DH BQ==．即得 PH = a ．∴12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．又∵BD //AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴BG = DC = 2a + 2b ．即得AC = 4a +2b ．由BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°．又由∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠PAC ．∴△ACP ∽△QCH ．∴PC AC QH HC=．即得2422b a b a a b+=+．解得a = b ．∴CH = 3a ．∴CQ ==．又∵∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ，∴△QCH ∽△PFC ．∴HC QC CF PC=．即得3a FC =解得FC =．∴QF QC FC =-==．又∵BE // QC ，Q 是PB 的中点，∴1PF PQ EF BQ==．即得PE=EF ．于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比，即23PQFCEF S QF S FC D D ==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形以及三角函数的综合，作出合适的辅助线是解题的关键.。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编：综合计算
A
F
D
E H
B
C
第 21 题图
21．（本题满分 10 分, 第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 5 分）
解：（ 1）∵正方形 ABCD，
∴ DC=BC=BA=,AD∠ BAD=∠ ADC=∠ DCB=∠ CBA=90°
AH=DH=CH=,BHAC⊥ BD,
∴∠ ADH=∠ HDC=∠ DCH=∠DAE= 45 °．
又∵ ∠ABC 30 ， OB 6
∴ OP OBgtan30 2 3 ……………………………………………… 1 分
∵在 Rt△POD 中， PO2 PD 2 OD 2 …………………………… 1 分
∴ (2 3) 2 PD 2 62
∴ PD 2 6 ……………………………………………………………
1分
…………（ 2 分）
又∵ DE平分∠ AD B ∴∠ ADE=∠EDH
∵∠ DAE+∠ ADE=∠ DEC, ∠ EDH+∠HDC=∠ EDC…………（ 1 分）
6 / 12
A
F
D
E H
B
C
第 21 题图
∴∠ EDC=∠ DEC ∴ DC=EC （ 2）∵正方形 ABCD，∴ AD∥ BC,
∴△ AFE∽△ CBE∴ S AEF S CEB
B
C
3
A
图4
D
21. 解：（ 1）∵ AD ∥ BC
∴ BCA CAD
………………… 1 分
B
C
∵ BAC BCA 10
∴ BAC CAD 10 ………………… 1 分 ∵ BAD 90
A
图4 H D
∴ BAC CAD 90
2019年上海中考数学二模汇编-第18题(2021年整理精品文档)
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2 2019年上海中考数学二模汇编 第18题
1。(杨浦)如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F,已知5AD，2AE，4AF，如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是
2.（黄浦)如图，在△ABC中,90ACB，3sin5B，将△ABC绕顶点C顺时针旋转,得到△11ABC,点A、B分别与点1A、1B对应，边11AB分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边11AB的中点，那么1BDBC
3.（闵行）如图，在△ABC中，AB = AC = 5，25BC，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处,联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD = ．
4.（金山）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于 ．
A B
C 2019年上海中考数学二模汇编-第18题(可编辑修改word版) 3 5.（宝山)如图，点M的坐标为（3,2)，动点P从点O出发,沿y轴以每秒1个单位的速度向上
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题08 函数之填空题(75道题)(原卷版)
专题08 函数之填空题 一．填空题（共75小题） 1．（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是 ． 2．（2019•上海）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝ ． 3．（2018•上海）已知反比例函数y （k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ． 4．（2018•上海）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 5．（2019•杨浦区三模）函数 的定义域是 ． 6．（2019•浦东新区二模）已知函数f（x） ，那么f（﹣2）＝ ． 7．（2019•松江区二模）已知函数 ，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 8．（2019•崇明区二模）已知函数f（x） ，那么f（3）＝ ． 9．（2019•普陀区二模）函数y 的定义域是 ． 10．（2019•闵行区二模）已知函数f（x） ，那么f（﹣2）＝ ． 11．（2019•杨浦区三模）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，如果y≤0，那么x的取值范围 ．
12．（2019•静安区二模）已知正比例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 13．（2019•嘉定区二模）如图，点M的坐标为（3，2），点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y＝﹣x平行，如果点M关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是 ． 14．（2019•松江区二模）如果将直线y＝3x﹣1平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是 ． 15．（2019•杨浦区二模）如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y＝ax+b和直线y＝bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1，4）的一对“对偶直线”： ． 16．（2019•徐汇区二模）如果函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝3x﹣1且在y轴上的截距为2，那么函数y＝kx+b的解析式是 ． 17．（2019•黄浦区二模）直线y＝2x﹣3的截距是 ． 18．（2019•奉贤区二模）如果正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 ． 19．（2019•宝山区二模）如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是 ．
2019年最新中考数学模拟试卷及答案428155
中考数学模拟试卷及答案解析 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 题号 一 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、选择题
1．在△ABC 中，AB = BC，∠A =80°， 则∠B 的度数是（ ） A．100° B．80° C． 20 D． 80°或 20° 2．如图，直线PAPB，是⊙O的两条切线，AB，分别为切点，120APB∠，10OP 厘米，则弦AB的长为（ ）
A．53厘米 B．5厘米 C．103厘米 D．532厘米 3．下列计算27a8÷31a3÷9a2的顺序不正确的是（ ） A．（27÷31÷9）a8-3-2 B．（27a8÷31a3）÷9a2 C．27a8÷（31a3÷9a2） D．（27a8÷9a2）÷31a3 4．“a和b的平方的和除以c”可表示为（ ） A．2()abc B．2bac C．22abc D． 2abc
5．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）
6．在ABC△中，275AB，则C（ ） A．30° B．135° C．105° D．67°30′ 7．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 8．如图，正方形ABCD的边长是3 cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边ABBC CDDAAB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形中箭头的方向（ ） A．朝左 B．朝上 C．朝右 D．朝下
9．一列列车自 2004年全国铁路第 5次大提速后，速度提高了26 km/h，现在该列车从甲站 到乙站所用的时间比原来减少了1h，已知甲、乙两站的路程是312 km，若设列车提速前的速度是x（km/h），则根据题意所列方程正确的是（ ）