平面与平面垂直的判定、性质定理
平面与平面垂直的判定和性质
A
O
BC 平面PAC 又BC 平面PBC 平面PBC 平面PAC.
【试金石】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA 平面B1D1DB
解：
D1
在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1 面A1B1C1D 平面A1B1C1D1 AA1 B1D1 ,即B1D1 AA1 A1B1C1D1是正方形 B1D1 A1C1 又AA1 A1C1 A1 B1D1 平面AA1C1C
A
B α D
C
2.如图，已知 ， l , AB , AB l , BC , DE , BC DE.求证：AC DE.
α l D β C
A B E
【课堂小结】
1.内容小结： （1）平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． （2）如果两个平面互相垂直，那么在一个面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面．
的判定方法．
【例1】如图，PA 垂直于☉O所在平面，C是圆周上异于 A,B的任意一点，试判断平面PAC与平面PBC的位置关系， 并说明理由． 解：平面PBC 平面PAC
P
PA o所在平面ABC, BC 平面ABC PA BC,即BC PA, AB是O的直径 BC AC PA AC A
【试金石】如图平行四边形ABCD中，AB=3,AD=6,
BAC 900 ,沿对角线AC折成直二面角，求折后两个顶
点B,D之间的距离．
B B C A D D D C
A
【检测】
1.如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线， CD , CD AC .求证：平面ABC 平面ACD.
面面垂直的判定和性质
1、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
l
α
.
1
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的 棱 ， 并 与 两 半 平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
性质定理
• 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
• 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平
面β的垂线，只需过这一点在平面 内作
交线的垂线。
Aα
α
A
D
β
B
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过.程 结论 注注
14
应用
例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B
C
例1题目 解答
.
15
例1已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。
P
证明： 正方形ABCD中 C，BDA
P B
A平 D平
面 面
AA BBPCCA DDB
D
A
D
A
C平
面
P
A
C， 平P面A
PA
C
B
O
C
A C P AA
B D平 面 P A C平 面 PA平C面 B D平 面 P B D
问题 发发现现 猜想 证明 证明 过. 程 结论 注
平面与平面垂直的判定及性质
平面与平面垂直的判定及性质
【自主学习】
1、二面角
(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(如
图)．叫做二面角的棱，
叫做二面角的面．记法：，在α，β内，分别
取点P、Q时，可记作；当棱记为l时，可记
作或.
2、二面角的平面角:
①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在分
叫做．别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB
②直二面角：平面角是的二面角．
3、面面垂直的定义
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个
平面互相垂直．
(2)画法：如图
（3）记作：.
4、两平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另
一个平面的，则这两个平面垂直．
(2)图形语言：如图．
(3)符号语言：⇒
5面面垂直的性质定理
(1)文字语言：两个平面，则一个平面内
与另一个平面垂直。
(3)符号语言：⇒。
线面垂直、面面垂直的性质定理
何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.
例4：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
C
推论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a
b，a 源自b 平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面相互垂直。
线面垂直则线线垂直.
线线垂直则线面垂直.
例1 已知M是菱形ABCD所在平面外一点，且 MA=MC， 求证：AC⊥平面BDM。
例2 已知AB、CD是两条不在同一个平面内 的线段，且AC=AD，BC=BD，
求证：AB⊥CD。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： a
, b a / /b
温故知新 直线与平面垂直定义： 如果直线 l 与平面 内 的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直。 直线与平面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
由定义知: 若l , a 则l a
符号语言: 若l a, l b, a b O, a , b , 则l .
若a , a , 则
面面垂直性质
面面垂直性质
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平
面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
面面垂直
定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两
个平面互相垂直。
性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于
第三个平面。
4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直
定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与
此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立
体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
平面与平面垂直的判定及性质课件人教新课标
B
F
D C
证明：∵E、F分别是AB、BD的 中点，∴EF//AD，又AD⊥BD, ∴ EF⊥BD，而CB=CD, ∴CF⊥BD, E EF、CF 面EFC，且EF∩CF=F ，∴BD⊥面EFC，又BD面BCD， A ∴面EFC⊥面BCD.
①中位线性质 ②等腰三角形三线合一 ③平面与平面垂直的判定定理
2、平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直角，就说这两个平面垂直。 （2）判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直。
l⊥，lβ，
⊥β
β
l
m
线面垂直 面面垂直
例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面， C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面
练一练 在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两 互相垂直，且BC=CD=1
( 1 )求证：平面ACD⊥平面ABC; （2）求二面角C—AB—D的大小.
（1）证面ABC
，又CD平面ACD，∴平面ACD
⊥平面ABC.
B
D
C （2）∵AB、BC、CD两两互相垂直， ∴∠CBD是所求二面角的平面角，又 BC=CD=1，CD⊥BC ∴∠CBD=45°
D1 A1
C1 B1
平面PAB与平
面ABC的二面
P
角的平面角？
C
D
C
A
B
A
D
B
平面C1D1AB与平面ABCD 的二面角的平面角.关键 点确定二面角的棱，利用 正方体棱垂直于底的特性
PC⊥平面ABC，过C作 CD⊥AB连接PD.则∠PDC为 平面PAB与平面ABC的二面 角的平面角。
就能找出。
2.3.面面垂直面垂直的判定和性质
思考6:二面角的大小可以用它的平 思考6:二面角的大小可以用它的平 6: 面角来度量， 面角来度量，二面角的平面角是多 少度，就说二面角是多少度. 少度，就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角 直二面角. 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时， 二面角的两个面重合时，二面角的 大小为多少度？ 大小为多少度？当二面角的两个面 合成一个平面时， 合成一个平面时，二面角的大小为 多少度？一般地， 多少度？一般地，二面角的平面角 的取值范围如何？ 的取值范围如何？ o o
∪ ∪ ∪ ∪
两个平面垂直的判定定理： 两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一 如果一个平面经过了另一个平面的一 经过了另一个平面的 条垂线，那么这两个平面互相垂直 互相垂直. 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
α C β A B D
AB ⊥ β ⇒α ⊥ β AB ⊂ α
已知： ⊥ ， 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB ， α
∪ ∪ ∪ ∪
α C β E
求证： ⊥ 求证：α⊥β. 证明： 证明： α∩β=CD,则B∈CD. 设 则 ∈ A ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. ⊥ ， ， ⊥
∪ ∪ ∪ ∪
B
D
在平面β内过 点作直线 在平面 内过B点作直线 ⊥CD，则 内过 点作直线BE⊥ ， 就是二面角α--CD--β的平面角， 的平面角， ∠ABE就是二面角 就是二面角 的平面角 ∵AB⊥β，BE β， ⊥ ， ， 二面角α--CD--β是 ∴AB⊥BE. ∴二面角 ⊥ 是 直二面角， 直二面角，∴α⊥β. ⊥
β l α α l β
思考5:一个二面角是由一条直线和 思考5:一个二面角是由一条直线和 5: 两个半平面组成，其中直线l叫做 叫做二 两个半平面组成，其中直线 叫做二 面角的棱，两个半平面α 面角的棱，两个半平面α、β都叫 二面角的面， 做二面角的面，二面角通常记作 二面角α -β”.那么两个相交平 “二面角α-l-β”.那么两个相交平 面共组成几个二面角？ 面共组成几个二面角？
面面垂直的判定与性质
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面 图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质．
研一研· 问题探究、课堂更高效
跟踪训练 1 如图，在三棱锥 V－ABC 中，VC⊥ 底面 ABC，D 是 AB 的中点，且 AC＝BC，求证： 平面 VAB⊥平面 VCD.
C
A
B
P C
A O B
平面ABE⊥平面BCD
平面 PAC 平面PBC
研一研· 问题探究、课堂更高效
例1
如图，已知：平面 α⊥平面 β，在 α 与 β
的交线上取线段 AB＝4 cm，AC，BD 分别 在平面 α 和平面 β 内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC＝ 3 cm，BD＝12 cm，求 CD 的长．
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ∪
√ )
D1
A1的垂线? 关键 :在求证垂直的两个平面中的一个 是在平面 α 内 找平面β B1 请找出下列各图中相关平面的 平面内找到另一个平面的垂线 ! 垂线 ? 注意书写是否规范?
C1
还是在平面β 内找平面α 的垂线 D ?
平面A1C1CA 平面 B1D1DB
角形，G 是 AD 的中点，∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60° ，
∴△ABD 为正三角形．∴BG⊥AD.
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
研一研· 问题探究、课堂更高效
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD.∴AD⊥平面 PBG， 又∵PB⊂面 PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直的判定与性质
2.3.面面垂直面垂直的判定和性质
求证：AB⊥β
C
A
证明：在平面β 内过B点作BE⊥CD， 又∵AB⊥CD，
∴∠ABE就是二面角 α -CD-β 的平面角， 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥β
B E
D
两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l m m ml
平面与平面垂直的判定
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当 的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必 须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学 的观点认识这种现象？
探求新知
探究：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板 面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗 这样的直线分别有什么性质？试说明理由！
a l
b l
c
l
两个平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
已知：平面α ⊥平面β ，α ∩β =CD，
∩
AB
α ， AB⊥CD.
C
β E
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
∪
B
D
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
∪
面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理朋友们，今天咱们来聊聊那个老生常谈但又让人头疼的问题——如何判断两个平面是否垂直？别急，跟着我一起轻松搞定它！想象一下，你站在一面墙前，这面墙就像是一个大大的镜子。
突然，你发现对面墙上也有一面镜子，而且这面镜子正好对着你的脸。
这时候，你可能会想：“哇塞，这面镜子好厉害啊！”没错，这就是我们要讨论的“面面垂直”的概念。
我们要明确什么是“面面垂直”。
简单来说，就是两个平面无论怎么转动，它们之间始终是垂直的。
就像你和你的影子，无论你怎么移动，影子始终跟随你，不会跑掉也不会倒立。
如何判断两个平面是否垂直呢？其实方法很简单，就看你能不能找到那两个相交的直线。
想象一下，如果能找到这样的两条线，那这两个平面就垂直啦！不过，有时候我们找来找去，可能都找不到这样的两条线。
这时候怎么办呢？别着急，有一种神奇的方法叫做“平行四边形法则”。
这个方法就像是给平面画上了一条隐形的线，只要这条线存在，两个平面就垂直了。
但是，这个方法也不是万能的。
即使找到了这样的一条线，也可能会发现原来的情况并不是完全垂直。
这时候怎么办？别怕，还有另一种方法叫做“三角形法则”。
这个方法就像是给平面画上了三根绳子，只要这三根绳子相互交叉，两个平面就垂直了。
这两种方法都不是唯一的。
在实际情况中，我们可能需要结合多种方法来判断两个平面是否垂直。
但无论如何，记住一点：只要找到两条相交的直线，或者三条相互交叉的线，两个平面就一定垂直了。
朋友们，关于“面面垂直”的判断和性质定理，今天就讲到这里。
希望你们通过这篇文章，能够对这个问题有一个清晰的认识。
下次再遇到类似的问题，你们也能轻松应对啦！别忘了点赞关注哦，我们下期再见！。