一元二次方程根与系数的关系应用例析解
21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
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5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
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例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
的蛛网雁胸圣！这个巨大的蛛网雁胸圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分悠闲的雁胸！这巨圣有着水绿色烤鸭模样的身躯和深绿色细小樱桃般 的皮毛，头上是绿宝石色磨盘一样的鬃毛，长着紫罗兰色菊花模样的虎尾雨萍额头，前半身是米黄色柳叶模样的怪鳞，后半身是扁扁的羽毛。这巨圣长着灰蓝色菊花似的脑 袋和青远山色红薯模样的脖子，有着淡青色猪肚形态的脸和水青色蚯蚓似的眉毛，配着深紫色枕木一样的鼻子。有着纯蓝色床垫形态的眼睛，和淡白色壁灯模样的耳朵，一 张纯蓝色钢针模样的嘴唇，怪叫时露出暗紫色小鬼似的牙齿，变态的米黄色肥肠般的舌头很是恐怖，深绿色瓜秧般的下巴非常离奇。这巨圣有着如同火腿似的肩胛和犹如羽 毛一样的翅膀，这巨圣瘦瘦的淡绿色扣肉般的胸脯闪着冷光，活似柿子一样的屁股更让人猜想。这巨圣有着仿佛螳螂模样的腿和淡紫色蛙掌似的爪子……匀称的绿宝石色椰 壳般的九条尾巴极为怪异，纯白色河马似的撬棍圣柏 优游 www.youyoupingta 优游 肚子有 种野蛮的霸气。淡绿色牙刷一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种深 紫色鸡爪般的气味，乱叫时会发出深青色狮子形态的声音。这个巨圣头上水蓝色胶卷一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似拐棍一样的铃铛深绿色南瓜模样的脑袋好像十分 威猛但又带着几分艺术。这时那伙校精组成的巨大梦唇怪忽然怪吼一声！只见梦唇怪抖动水红色粉条形态的鬃毛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突 然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……五十五条深青色泡菜模样的腐烂巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵暗黄色蝎子模样的邪恶巨大怪芽疯 速膨胀起来……一簇簇灰蓝色蜜桃模样的腐臭巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵青古磁色标枪模样的阴冷巨蕾恐怖地钻了出来……随着淡蓝色长绳模样的贪婪巨花狂速 盛开，无数绿宝石色贝壳模样的变质花瓣和亮青色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数白象牙色试管模样的阴森果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果 实上都骑着一个梦唇怪的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有假货性！”壮扭公主道。“还多少带点凶暴性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光 妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大梦唇怪猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见狗腿玉喉圣转动绿宝石色椰壳般的九条尾巴，整个身 体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的淡蓝色花蕾一样绽开……七十二条深青色橱窗模样的时尚尾
1元二次方程根与系数的关系
1元二次方程根与系数的关系1元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个方程的根可以通过求解方程的判别式来得到。
判别式D=b²-4ac可以判断方程的根的情况。
根据判别式的值，可以分为以下三种情况：1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。
其中，“±”表示两个不同的解。
2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。
3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。
其中，“±”表示两个不同的解，而√(-D)表示虚数单位i乘以根号下的-D。
接下来，我们将具体讨论根与系数之间的关系。
我们来看当a=1时的情况。
也就是1x²+bx+c=0。
根据判别式D=b²-4ac，我们可以得到此时的判别式为D=b²-4c。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。
2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。
3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。
接下来我们来看根与系数的具体关系。
首先考虑D>0的情况。
根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²>4c。
也就是说，系数b的平方大于4倍系数c。
当b²=4c时，判别式D=0，方程有两个相等的实根。
当b²<4c时，判别式D<0，方程没有实根。
然后考虑D=0的情况。
根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²=4c。
一元二次方程的根与系数的关系
(A) 一定都是奇数(B)一定都是偶数(C) 有可能是真分数(D) 有可能是无理数
4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.
(2)如果 是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
5.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为
7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.
作业的答案或提示
.
课堂教学设计说明
1.观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先
从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数
2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是().
3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k=.
答案或提示
(四)小结
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代
后，猜想)为x1+x2=- ，x1x2= .
4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明
就可以了.
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,
5.读课文P31第3行第4行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象.
专题05 根与系数关系的应用(解析版)
专题05 根与系数的关系问题考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠ 2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系： Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程没有实数根； 4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 应用举例:招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2，所以（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．【例2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∵=4m ，∴=4m ，∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2， 故选A ．【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C【解析】∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1， ∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4， ∴m n =（﹣4）2=16．故选C ． 招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于x 的一元二次方程的两个非负实根，∴可得a +b =4，ab =t ﹣2，===，∵≥0，∴代数式的最小值是﹣15，故选A ．方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣4 D ．4【答案】D【解析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣1，x 1?x 2＝﹣3，x 12+x 1＝3，∴x 22﹣4x 12+17＝x 12+x 22﹣5x 12+17＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣5x 12+17 ＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x 12+17＝24﹣5x 22＝24﹣5（﹣1﹣x 1）2 ＝24﹣5（x 12+x 1+1）＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D ．2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1【解析】设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13.设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为 ． 【答案】32-【解析】∵方程1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根， ∴1235x x +=，1225x x =-， ∴1211x x +=1212x x x x +=32()55÷-=32-． 故答案为：32-．4.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值． 【答案】（1）m ≤；（2）1【解析】（1）由题意△≥0， ∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤．（2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．5.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值． 【答案】（1）a ＜2；（2）a 的值为﹣1，0，1．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．6.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=37.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m；②．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x 1x 2﹣17＝（2m+1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．8.已知x 1，x 2 是关于x 的一元二次方程x 2-2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根． （1）若（x 1-1）（x 2 -1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m 的值为6;（2）17.【解析】(1)(x 1－1)(x 2－1)＝28，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＝27，而x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5， ∴m 2＋5－2(m ＋1)＝27，解得m 1＝6，m 2＝－4， 又Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2＋5)≥0时，m ≥2， ∴m 的值为6;(2) 若7为腰长，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一根为7， 即72－2×7×(m ＋1)＋m 2＋5＝0， 解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，方程x 2－22x ＋105＝0，根为x 1＝15，x 2＝7，不符合题意，舍去． 当m ＝4时，方程为x 2－10x ＋21＝0，根为x 1＝3，x 2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17 若7为底边，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m ＝2，此时方程为x 2－6x ＋9＝0，根为x 1＝3，x 2＝3，3＋3<7，不成立， 综上所述，三角形周长为179.已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 【答案】（1）m ＞﹣174；（2）m =﹣4． 【解析】（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=24m-．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴222(21)2(4)m m----+=+-=22()2a b a b ab=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．10.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．【答案】（1）略；（2）2；（3）1．【解析】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
之差的绝对值．因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式．
思考题：1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根， （1）、求m的取值范围 （2）、如果x 1，x 2满足7+4 x 1﹒x 2＞x 1 2+x 2 2 且m为整数，求m的
值。
2、已知x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根， 且 X 1 2+x 2 2 =8。求m的值
分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要 利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组， 解此方程组即可求出p、q．
解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得
X 1＋x 2＝－p，x 1·x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1·x 2＋7 ……②
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值
例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？ 分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1·x 2＞0
例3：如果两圆圆心距等于2，半径分别为R，r，且R，r是方程4x 2－20x＋ 21＝0的两个根，判断两圆的位置关系．
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
九年级数学一元二次方程根与系数的关系
1 2 k x x y 0 2 y k ( 2 x 1 ) x x 1 x x 2
.
【例5】 已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个 相等的实数根. (1)求证：关于 y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两 个不相等的实数根； (2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求 代数式m2n+12n的值. 14
【例3】 已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根 的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=(1+2k)/x 的图像的两个分支在各自的象限内， y 随 x 的增大而减小， 求满足上述条件的k的整数值. k=0,1.
典型例题解析
【例4】 已知方程组 (x,y为未知数)，有两个不同的实数解 y y 1 , y y 2 (1)求实数k的取值范围； (1)k＞-1/2，且k≠0. 1 1 (2)若 y 1 y 2 3 , 求实数k的值. (2) k=1. x1 x2
课前热身
1.(2004年· 黄冈)下列说法中不正确的是 A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5 (A )
2.(2004 年 · 河北省 ) 若 x1,x2 是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则x12+x22 的值是 ( A ) A.5/4 B.9/4 C.11/4 D.7 3.(2004 年 · 沈阳市 )请写出一个二次项系数为 1，两实根 之和为3的一元二次方程： x2-3x-4=0 。
一元二次方程的根与系数的关系： PPT课件
例1
例2
小结
小测验
结论
探究
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程 x1 + x2
x1 ·x2
x2 5x 6 0
5
6
2x2 5x 3 0
5 2
3 2
6x2 x 2 0
1 6
1 3
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 ·x2与方 程 的系数有什么关系？
返回
结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
返回
公式的特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
3
2
2
1
13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用
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1 一元二次方程根与系数的关系应用例解 （有兴趣的同学，请把趁热打铁部分做一做，有答案的哈）
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记
一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴ 2
解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出
，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 3
判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为，
∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即 4
解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 解法二：设方程的另一个根为， 根据题意，利用韦达定理得： ， ∵，∴把代入，可得： ∴把代入，可得： ， 即 解得 ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 5
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根， ∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为 则，
∵ ∴ ∴ 整理得： 解得： 又∵，∴ 说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根， 6
∴则有 ∴ 又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能： （1） （2）
若， 则有： ； 即有： 解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。 若 ， 则有： 即有： 7
解这个不等式组，得； 又∵，∴当时，两根能同号 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。 分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以 设，与相加，得： ）
（变形目的是构造和） 根据根与系数的关系，有： ， 于是，得： 8
∴=0 解法二：由于、是方程的实数根， ∴ ∴ 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
两式相减，得
当时， ，方程的判别式 9
方程无实数解
当时， 有实数解 代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：； （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且 另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。 【趁热打铁】 10
一、填空题： 1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。 2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。
3、已知关于的方程的两根为，且，则 。
4、已知是方程的两个根，那么： ； ； 。 5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。
7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。 11
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。 4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。 12
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。 6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。 答案与提示： 一、填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得： 2、提示：，由韦达定理得：，，∴， 解得：，代入检验，有意义，∴。 3、提示：由于韦达定理得：，，∵， ∴，∴，解得：。 13
4、提示：由韦达定理得：，， ；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则
；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，
∴，∴ 8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，