【全国百强校】浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(word版有答案22题有解析)
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杭州学军中学2018-2019学年第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分.
1.已知集合1,0,1M，0,1,2N，则MN（ ）
A. {0,1} B. {1,0,2} C. {1,0,1,2} D. {1,0,1}
2.函数2()ln(1)fxxx的定义域为（ ）
A. (0,1) B. [0,1) C. (0,1] D. [0,1]
3.已知函数33,0()log,0xxfxxx，则1()3ff等于（ ）
A. 1 B. 2log3 C. 3 D. 13
4.使函数()fxx的定义域为R且为奇函数的的值可以是（ ）
A. 1 B. 12 C. 3 D. 以上都不对
5.已知集合,,MNP为全集U的子集，满足MPN，则下列结论不正确的是（ ）
A. UUCNCP B. UUCPCM C. UCPM D. UCMN
6.
设函数()log(0,1)afxxaa，若122018()4fxxx…，则
222
112018
()()()fxfxfx…
的值等于（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 42log8
7.
设|24Axx，|23Bxaxa，若B真包含于A，则实数a的取值范围是
（ ）
A. [1,3] B. (3,){1} C. {1} D. (3,)
8.已知函数22()log(3)fxxax在(2,4)上是单调递减的，则a的取值范围是（ ）
A. 13(,4]4 B. 13[,4]4 C. [8,) D. (,4]
2
9.
对于函数()fx，若对任意的,,abcR，(),(),()fafbfc都能成为某一三角形的三边长，则
称()fx为“可构造三角形函数”，已知函数()1xxetfxe是“可构造三角形函数”，则实数t的取值
范围是（ ）
A. 1[,2]2 B. [0,1] C. [1,2] D. [0,)
10.
设函数2()min2,,2fxxxx，其中min,,xyz表示,,xyz中的最小者，下列说法
错误的是（ ）
A. 函数()fx是偶函数 B. 若[1,)x时，有(2)()fxfx
C. 若xR时，有(())()ffxfx D. 若[4,4]x时，有()2()fxfx
二、填空题：每小题4分，共28分.
11. lglg1ab，则ab_________.
12.已知2211()fxxxx，则()fx ________.
13.已知22()31xaxafx的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
14.设max,ab表示,ab两数中的最大值，若()max,fxxxt关于1x对称，则t
________.
15.设方程220+=xmx的两根，，其中12（，），则实数m的取值范围是______________.
16.已知lg20.3010，则20182是_________位数.
17.
已知函数()fx满足对任意的,mn都有()()()fmnfmfn，设
1
()()1xgxfxa
(0,1aa
，(ln2018)2015g，则
1
(ln)2018g
_________________.
三、解答题：
18.已知集合UR，集合2|220Axxaxa，|12Bxx.
（1）当1a时，求AB；（2）若ABA，求实数a的取值范围
.
3
19.设函数2()111fxxxx
（1）设11txx，求t的取值范围；
（2）求()fx的最大值
.
20.已知函数()(0)afxxax
（1）判断()fx的奇偶性；
（2）判断函数()fx在(,)a上的单调性，并用定义证明
.
4
21.已知函数()2xfx,2()2gxxxb.
（1）若()10()mfxfx对任意的[1,3]x恒成立，求m的取值范围；
（2）若12,[1,3]xx，对任意的1x，总存在2x，使得12()()fxfx，求b的取值范围
.
22.已知定aR，2()log(1)fxax.
（1）求2()fx的值域；
（2）若关于x的方程22()log(4)(25)0fxaxax的解集恰有一个元素，求实数a的
取值范围；
（3）当0a时，对任意的1(,)3t，2()fx在[,1]+tt的最大值与最小值的差不超过4，求
a
的取值范围
.
5
参考答案：
1——5ABDCD 6——10BBBAD
11.10 12.2)(xxf 13.0,1 14.2 15.3,22 16.608 17.2018
18.1)2(;2,11aBA 19.2)2(;2,2)1(t
20.（1）奇函数 （2）增函数，证明略
21.（1）6m （2）75b
22.（1）0,,0;0,0;.0,0值域为值域为值域为aaa
（2）
421aa或
解析：
01)4()1()52()4(1)52()4(log)1(log2222xax
xaxaax
xaxaax
①
当4a时，
41,121a
xx
42104101041010101010141,1212121aaaaaaaaaxaxaxaxaxx或
或
或
不能同时为根
（3）
4
9
0a
精品解析：【全国百强校】浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018学年第一学期高一期中联考数学试题卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，考点：集合的交集运算点评：两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合2.的值（）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不确定【答案】A【解析】【分析】由，故3 是第二象限角，可得结论.【详解】∵，故3是第二象限角，故，故选A．【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，判断3是第二象限角是解题的关键，属于基础题.3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，根据基本函数的性质依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，为幂函数，其定义域为，是奇函数且在上为减函数，不符合题意；对于C，为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，不符合题意；对于D，，其定义域为，有，为奇函数，且，在上为增函数，符合题意；故选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.4.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】【分析】通过函数的对应法则可判断A错误；对于B，两个函数的定义域和对应法则一致，表示同一函数；对于C，两函数定义域不同；对于D，两函数定义域不同.【详解】对于A，和对应关系不同，故A错误；对于B，和两个函数的定义域和对应法则一致，表示同一函数，故B正确；对于C，两函数定义域不同，故C错误；对于D，两函数定义域不同，故D错误，故选B.【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．5.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，所以函数的零点所在区间为．考点：零点区间．6.已知，则的解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于已知条件中，给定的是一个复合函数的解析式，故可用换元法，令，解出，代入即可得结果.【详解】令，得，∴，∴，故选A．【点睛】求解析式的几种常见方法：①代入法：只需将替换中的即得；②换元法：令，解得，然后代入中即得，从而求得，当表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数类型确定时，可用待定系数法；④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．7.如果，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据函数在是减函数，且，所以，所以，故选C.8.已知定义在上的奇函数的图象如右图所示，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域为，得到，根据函数过原点得到，根据，判断，的关系，进而可得结果.【详解】∵函数过原点，∴，∴，由图象知函数的定义域为，则，又，即，则，∴，故选D．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和应用，根据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键，其性质主要包括函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称性等，同时过某点也是常用方法，属于中档题.9.设函数（为自然对数的底数）．若且，则下列结论一定不成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】，作出函数图象如下图：若，则，则，则A可能成立；若若则，则B可能成立对于D，若，则，，则D不成立；若，则，，则D成立.故有C一定不成立，故选C.10.已知函数，则方程实根的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】对分类讨论：当时，显然可知有一实根；当时，方程可化为或，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可．【详解】当时，，，∴有一实根；当时，，，∴，∴或|，分别画出函数以及，的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C．【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数零点的个数即等价于函数和图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知是第四象限角，且，则_______，________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由为第四象限角，且的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值，进而确定的值.【详解】∵是第四象限角，且，∴，即，将其代入恒等式可得，即，（舍负），，故答案为，.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.12.函数的单调递增区间为________________.【答案】【分析】函数由，复合而成，求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可得结果.【详解】函数由，复合而成，单调递减令，解得或，即函数的定义域为，由二次函数的性质知在是减函数，在上是增函数，由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间，故答案为.【点睛】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！13.若幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则____________，______________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】由幂函数的定义可得的值，根据指数函数的特征，求出函数的图象所经过的定点，将定点代入中即可得的值.【详解】∵为幂函数，∴，解得，根据指数函数的性质可得过定点，又∵过点，∴，解得，故答案为，.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，注意系数为1，指数函数的图象过定点问题，求出该定点是解题的关键，属于基础题.14.若，则的取值范围是_________；若，则的取值范围是______.【答案】(1). (2).【分析】根据，结合对数函数的单调性可解不等式；对底数进行讨论，分为和两种情形解不等式.【详解】（1）∵，函数为减函数，∴不等式的解集为；（2）当时，函数单调递增，∴，满足题意当时，函数单调递减，，解得，综上可得的取值范围是；故答案为，.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．15.函数的定义域是____________，值域是___________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据偶次根式下必须大于等于0可得不等式，解出即可得函数定义域，根据分式函数的性质即可得值域.【详解】要使函数有意义需满足，解得，即函数的定义域为；化简，∵，∴，，，，，即函数的值域为，故答案为，.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域和值域问题，该题的难点在于掌握分式函数的性质，属于中档题.16.若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由题意根据数形结合，只要，并且对称轴在之间，，解不等式组即可．【详解】由题意，要使函数在区间上有两个零点，只要，即，解得，故答案为．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，函数零点的分布，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组，常见的形式有考虑端点值处函数值的符号，对称轴与所给区间的关系，对称轴处函数值的符号等，属于中档题.17.已知函数是定义在上的单调函数，对于任意的，恒成立，则__.【答案】5【解析】【分析】先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式即可．【详解】因为函数是定义在上的单调函数，对，恒成立所以存在常数，使得，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，故答案为5.【点睛】本题主要考查了恒成立的思想，以及函数单调性，求出函数的解析式是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知集合，．（1）求；（2）已知，若，求实数的取值集合．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过解指数不等式以及一元二次不等式可得集合A，B，先求交集再求补集即可；（2）由为的子集，根据集合与列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围．【详解】由集合中的不等式变形得：，即，解得，即，由集合中的不等式，变形得：，解得，即，∴，（2）∵，，∴，解得：，则的范围为．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.19.（1）计算：；（2）已知，化简并计算：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用对数运算法则化简求解即可；（2），直接利用有理指数幂化简，将代入求解即可．【详解】（1）；（2）已知，.【点睛】本题主要考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.20.已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断在定义域内的单调性，并根据函数单调性的定义证明；（3）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）列出不等式组，解出即可得函数的定义域；（2）利用单调性的定义可证得函数在定义域内为减函数；（3）原不等式等价于，结合单调性即可得结果.【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为.（2）在区间（0,4）上单调递减，下面给予证明：任取，则∵，∴；又，∴，∴，∴，∴在区间（0,4）上单调递减.（3）∵，∴原不等式等价于，∴，.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，利用定义证明函数的单调性，即取值、作差、化简、下结论等，利用单调性解抽象函数的不等式，该题中解题的关键为观察得出原不等式等价于，属于中档题.21.设函数是定义域为的奇函数．（1）求值；（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立时的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求实数的值．【答案】（1）2；（2）；（3）2【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；（2）由（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为，即恒成立，由△＜0求得t的取值范围；（3）由求得a的值，可得g（x）的解析式，令，可知为增函数，t≥f（1），令，分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m 的值试题解析：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴1－（k－1）＝0，∴k＝2，（2）单调递减，单调递增，故f（x）在R上单调递减。
浙江省杭州学军中学(紫金港校区)2024-2025学年高一上学期数学期中试卷及答案
浙江省杭州学军中学（紫金港校区）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：审题人：考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知命题:0p x ∀>，则命题p 的否定是（）A．0x ∀>≤B．00x ∃≤C．00x ∃>D．0x ∀≤≤2．若集合1522A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，513B xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A ．()3,3-B ．(3,3]-C ．(2,2)-D ．[2,2)-3．设 2.52.35211,log ,333a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．a c b<<4．现使用一架两臂不等长的天平称20g 药品，操作方法如下：先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（）A ．等于20gB ．大于20gC ．小于20gD ．以上都有可能5．若函数2242()21x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()y f x =的图象与函数e x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()243y f x x =-+的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞7．已知()(2)(3),()33xf x m x m x mg x =-++=-，若命题“R,()0x f x ∀∈<或()0g x <”为真命题，则m 的取值范围是（）A ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,0-C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知()()11,,2(1)12,2x a x f x a a x x x ⎧-≤⎪⎪=>⎨⎪+->⎪⎩的值域为2,,5D D ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，则a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．19,210⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(2,5)D ．36,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上是减函数的是（）A ．54y x=B ．||3x y =C ．2lg(1)=+y x D ．14y x x=-+10．下列说法不正确的是（）A ．()f x 的定义域为(1,2)-，则(21)f x -的定义域为()3,3-B ．不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C ．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()1,3-，则2231b c a-+有最小值D ．若110,0,133a b a b a b>>+=++，则a b +的最小值为111．定义在(1,1)-的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且当10x -<<时，()0f x <，则（）A ．()f x 是奇函数B ．1115194f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．111342f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在(1,1)-上单调递增三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知幂函数()()22333mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则m 的值为．13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()41x f x -=+，则函数()f x 的解析式为．14．已知函数265,0()1()1,02x x x x f x x ⎧---<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+有5个不同的实数根，则a 的取值范围为․四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求下列各式的值：()561log 3074log 8log 0.22π--⎛⋅+⋅- ⎝⎭；(2)已知17(0)x x x -+=>，求3322x x -+．16．已知集合{}3log (2)3,{242}A xx B x m x m =+≤=-<<+∣∣．(1)当0m =时，求()R ,A B A B ⋃⋂ð；(2)若A B A = ，求实数m 的取值范围．17．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x （单位：摄氏度）与保鲜时间t （单位：小时）之间的函数关系式为()e ax b t x +=．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈18．已知非常数函数19()log 2a xf x bx-=+是定义域为(2,2)-的奇函数．(1)求实数,a b 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)已知2()423x x g x m +=⋅-+，且12121(1,2),[1,1],((2))x x f x g x ∀∈∃∈-->-，求m 的取值范围．19．函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m =+-+-≠．(1)当1,0==m n 时，①求函数()f x 的不动点；②记()h a 为函数()f x 在[],2a a +上的最大值与最小值之差，求()h a ；(2)若()f x 的两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当16m <<时，求实数n 的取值范围．1．C【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题:0p x ∀>的否定是00x ∃>.故选：C 2．A【分析】解不等式化简集合,A B ，再根据并集运算即可求解.【详解】()155153,222222A x x x x ⎧⎫⎧⎫=+<=-<+<=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，[)55211002,3333x B x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=≤-=+≤=≤=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，所以A B = ()3,3-.故选:A.3．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解【详解】 2.5 2.32.311,3,33a c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减，可得 2.52.301110,3133a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭==⎭<55221log log 103b =<=所以b a c <<，故选：C 4．B【分析】利用平衡条件得出x 的表达式，结合基本不等式可得答案.【详解】设天平左臂长为m ，右臂长为n ，,0m n >且m n ≠，左盘放的药品为1x 克，右盘放的药品为2x 克，则211010m nx mx n =⎧⎨=⎩，解得121010,n mx x m n ==，12101020n m x x x m n =+=+≥=，当且仅当m n =时，取到等号，而m n ≠，所以20x >.故选：B 5．D【分析】根据函数解析式可求得()2f x -为奇函数，再利用奇函数性质即可得出结论.【详解】易知函数22242()22121x x xf x x x ++==+++，可得2()221x f x x -=+；易知()2f x -为奇函数，且其最大值为2M -，最小值为2N -，由奇函数性质可得220M N -+-=，即4M N +=.故选：D 6．D【分析】由题意，函数()y f x =与e x y =互为反函数，求得()f x ，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.【详解】由题意，函数()y f x =与e x y =互为反函数，则()ln f x x =，所以()()2243ln 43y f x x x x =-+=-+，由2430x x -+>，解得1x <或3x >，即函数的定义域为{|1x x <或3}x >，令243u x x =-+，当1x <时，u 单调递减；当3x >时，u 单调递增，又ln y u =在(0,)+∞上单调递增，所以()243y f x x =-+的单调递增区间为()3,+∞.故选：D.7．B【分析】从()330xg x =-<作为题目切入点，分段讨论x 的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.【详解】()330,xg x =-<解得1x <，此时无论()f x 取何值，均符合题意；当1x =时，()330,xg x =-=，只需()()(1)1240f m m m =-+<，解得12m >或40m -<<；当1x >时，()330xg x =->，由题中条件，只需()0f x <对于(1,)x ∈+∞恒成立，当0m =时，()0f x =不符合题意；当0m >时，()()()23f x m x m x m =-++图象为开口向上的抛物线，不能满足()0f x <对(1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；当0m <时，()0f x =的2个根为122,3x m x m ==--，需12121,2314x m m x m m ⎧=≤≤⎧⎪∴⎨⎨=--≤⎩⎪≥-⎩，结合0m <，可得40m -≤<，综合上述可知m 的取值范围是()4,0-，故选：B.【点睛】将()0g x <作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论x 的范围分类讨论求解；8．D【分析】分别讨论2a >，2a =，12a <<时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解.【详解】当2a >时，由指数函数的单调性得到D取值范围为，此时5(,2∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭不成立，故舍去；当2a =时，()11,2212,2x f x x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩，若12x ≤时，()1f x =，若12x >时，()222f x x x =+-≥-，当且仅当x =此时2,5D ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭当12a <<时，若12x ≤时，()()1xf x a =-单调递减，所以())f x ∈+∞，若12x >时，()22a f x x x =+-≥，当且仅当12x =>时，等号成立；即1212225a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪≥⎪⎩解之可得36225a ≤<，综上可知36[2]25a ∈.故选：D 9．BC【分析】利用函数的奇偶性及在(,0)-∞上的单调性，逐项判断即得.【详解】对于A ，函数54y x =的定义域为[0,)+∞，该函数不具奇偶性，A 不是；对于B ，函数||3x y =的定义域为R ，||||33x x -=，是偶函数，当0x <时，3x y -=在(,0)-∞上单调递减，B 是；对于C ，函数2lg(1)=+y x 的定义域为R ，22lg[()1]lg(1)x x -+=+，是偶函数，在(,0)-∞上单调递减，C 是；对于D ，函数14y x x=-+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，11()()4()4x x x x -+-=--+-，是奇函数，D 不是.故选：BC 10．AC【分析】根据复合函数定义域求法判断选项A ；分0k =与0k ≠讨论，求出23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件，再根据充分不必要条件的定义判断选项B ；根据一元二次不等式的解集和根与系数的关系可得0,2,3a b a c a <=-=-，化简2231b c a-+，再根据基本不等式判断选项C ；()()11443333a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+++⋅+ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开利用基本不等式判断选项D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为(1,2)-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故(21)f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立；当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -<<，综上所述:不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；对于C ，因为一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，所以当且仅当()03131a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=⨯-⎪⎩，即当且仅当0,2,3a b a c a <=-=-，所以222223112913113b c a a a a a a a a-+-++===+.因为0a <，所以上式()113322a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当13a a=，即a =时取等.所以2231b c a-+有最大值-，故C 错误；对于D ，因为11133a b a b+=++，所以()()()()1144333333a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+++=+++⋅+ ⎪⎣⎦++⎝⎭3232433a b a b a a b b +++≥++++=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以1a b +≥，即a b +的最小值为1，故D 正确.故选:AC.11．ABD【分析】根据赋值可以求得(0)0f =，令0x =，可得()()f y f y -=-，即得奇函数，A 正确；赋值11,45x y ==，可得B 正确；根据单调性定义，判断()f x 在(1,1)-为增函数，可得D 正确；再利用赋值和函数单调性确定C 错误.【详解】对于选项A ，令0x y ==，则()()()0000f f f -==，令0x =，(0)()()f f y f y -=-，则()()f y f y -=-对(1,1)y ∀∈-恒成立，则函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ，令11,45x y ==，1111145(()()()14519145f f f f --==-⨯，即111()()(5194f f f +=，故B 正确；对于选项D ，12,,(11)x x ∀∈-，设12x x <，则12120,10x x x x --，121212*********(1)(1)10111x x x x x x x x x x x x x x --+-+-+==>---，则1212101x x x x --<<-则121212()()()01x x f x f x f x x --=<-，则12()()f x f x <，即函数()f x 在(1,1)-为增函数，故D 正确；对于选项C ，1111123()()()()1235123f f f f --==-⨯，因为()f x 为增函数，则11()()54f f <，则11111((()(()34352f f f f f +>+=，故C 错误.故选：ABD .【点睛】抽象函数问题解决策略：赋值法求函数值或者判断不等关系；抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造12()()f x f x -，比较其和0的大小（或者构造12()()f x f x ，比较其和1的大小），进而确定单调性.12．1-【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.【详解】()f x 是幂函数，所以2331m m --=，解得1m =-或4m =，当1m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+上递减，符合题意；当4m =时，()17f x x =，在()0,∞+上递增，不符合题意，舍去.综上所述，m 的值为1-.故答案为：1-.13．()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩【分析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数和0x <时的解析式，求出0x >时的解析式，注意定义在R 上的奇函数满足()00f =.【详解】当0x >时，0x -<，所以()()()4141x xf x f x =--=-+=--，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，综上：函数()f x 的解析式为：()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩故答案为：()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩14．(1,0](2,3]- 【分析】由方程可得()f x a =-或()3f x a =-，将方程有5个不等的实数根等价于()y f x =与的图象与直线y a =-和3y a =-共有五个交点，再作出()y f x =的图象，数形结合求出a 的范围.【详解】当0x <时，2()65f x x x =---在(,3]-∞-上单调递增，函数值集合为(,4]-∞，在[3,0)-上单调递减，函数值集合为(5,4]-，当0x ≥时，1()1()2xf x =-在[0,)+∞上单调递增，函数值集合为[0,1)，函数()y f x =的图象如下：方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+化为[()][()3]0f x a f x a ++-=，解得()f x a =-或()3f x a =-，方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+有5个不等的实数根，等价于()y f x =与的图象与直线y a =-和3y a =-共有五个交点，而3a a -<-，因此03150a a ≤-<⎧⎨-<-<⎩或13401a a ≤-<⎧⎨≤-<⎩，解得23a <≤或10a -<≤，所以a 的取值范围为(1,0](2,3]- .故答案为：(1,0](2,3]- 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.15．(1)110-;(2)18.【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算，结合对数换底公式即可求解；（2）根据2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭及3333112222x x x x --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111221x x x x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】（1561log 3074log 8log (0.2)2π2--⎛⋅+⋅- ⎝⎭55log 3741116log 8log 72835⎛⎫=-+⋅-+⨯ ⎪⎝⎭53log 22522log 8log 7153log 7log 4=⨯⨯-1312510=-=-.（2）2111222729x x x x --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，因为0x >，所以11220x x -+>，所以11223x x -+=.3333112222x xx x --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111221x x x x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()3713618=⨯-=⨯=.16．(1){}425A B xx ⋃=-<≤∣；()}{R 42A B x x ⋂=-<≤-∣ð；(2)1m ≥;【分析】（1）先根据对数函数单调性求集合，再根据集合交并补求解；（2）由集合间的基本关系可得：B A ⊆，对集合B 进行讨论，即可得到答案；【详解】（1）由题意知：0227x <+≤，解得：225x -<≤，即{}225,A xx =-<≤∣{}R 225A x x x =≤->∣或ð，当0m =时，{42}B xx =-<<∣，所以{}425,A B xx ⋃=-<≤∣()}{R 42A B x x ⋂=-<≤-∣ð；（2）因为A B A = ，所以B A ⊆，当B =∅时，242,6m m m -≥+≥；当B ≠∅时，6m <且242225m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：16m ≤<，综上所述：1m ≥.17．(1)499(2)2.33【分析】（1）由题意有86e 432e576a b a b ++⎧=⎨=⎩，则24323e 5764a==，代入4x =，计算即可得()4t ；（2）令e 960ax b +≥，结合指数函数的性质计算即可得.【详解】（1）依题意得86e 432e 576a b a b ++⎧=⎨=⎩，则24323e 5764a==，当7x =时，()87e 7e499e a b a ba t ++===≈，即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；（2）由题意令e 960axb +≥，得()13622e e960x a b a -+⋅≥，即13235769604x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则1323543x -⎛⎫≥⎪⎝⎭，则13235lg lg 43x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即5lg1lg 5lg 31lg 2lg 333 1.83332lg 3lg 4lg 32lg 2lg 4x ----≤==≈---解得： 2.334x ≤故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.18．(1)2a =，1b =；(2)单调递增，证明见解析；(3)2m ≤.【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出,a b .（2）由（1）求出函数()f x ，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.（3）根据给定条件，将不等式转化为1min 21[()]()2f xg x >-，再结合函数的单调性求出最值即可.【详解】（1）函数()f x 为(2,2)-上的奇函数，则()()0f x f x -+=，且(0)0f =，即1199log log 022a x a x bx bx +-+=-+，整理得221229log 04a x b x -=-，即22224a x b x -=-，于是2241a b ⎧=⎨=⎩，解得2a =±，1b =±，当2a =-，1b =-时，192()log 2xf x x--=-，此时0x =，函数()f x 无意义；当2a =-，1b =时，12a xbx-=-+，函数()f x 无意义；当2a =，1b =-时，12a xbx-=+，函数()f x 为常数函数，不符合要求；当2a =，1b =时，19922()log log 22x xf x x x -+==+-，定义域为(2,2)-，符合题意，所以2a =，1b =.（2）由（1）知，9924()log log (1)22x f x x x+==---，函数412y x =--在(2,2)-上单调递增，而函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在(2,2)-上单调递增，1212,(2,2),x x x x ∀∈-<，则124220x x >->->，1244122x x <<--，于是124401122x x <-<---，而函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，因此991244log (1)log (1)22x x -<---，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上单调递增.（3）由（2）知，函数()f x 在(1,2)上单调递增，则(1,2)x ∀∈，1()(1)2f x f >=，由1(1,2)x ∀∈，2[1,1]x ∃∈-，121211(((())))22f x g x f x g x ->-⇔>-，得211()22g x ≥-，因此[1,1]x ∃∈-，2242()1423122x x x xg x m m +≤⇔⋅-+≤⇔≤-，当[1,1]x ∈-时，1222x ≤≤，11222x ≤≤，224212(1)22222x x x -=--+≤，当且仅当0x =时取等号，于是2m ≤，所以m 的取值范围是2m ≤.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；②若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；④若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．19．(1)①2,4-；②22342,2131,422()9113,422142,2a a a a a h a a a a a a ⎧--≤-⎪⎪⎪-+-<<-⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎪⎪+≥⎩(2)713,32⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）①求得()f x 的解析式，可令00()f x x =，解方程可得所求不动点；②根据二次函数的对称轴、最值、单调性即可解答；（2）结合韦达定理和不动点，可得n 关于m 的式子，再由对勾函数的单调性，可得所求范围.【详解】（1）①当1,0==m n 时，2()8f x x x =--，设0x 为()f x 的不动点，因此20008x x x --=，解得02x =-或04x =，所以2,4-为函数()f x 的不动点；②当32a ≤-时，()()(242h a f a f a a =-+=--）；当3122a -<<-时，211()()()24h a f a f a a =-=-+；当1122a -<≤时，219()(2)()324h a f a f a a =+-=++；当12a ≥时，()(2)()42h a f a f a a =+-=+综上得：22342,2131,422()9113,422142,2a a a a a h a a a a a a ⎧--≤-⎪⎪⎪-+-<<-⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎪⎪+≥⎩（2）因为()f x 的两个不动点为12,x x ，所以2(1)8mx n x n x +-+-=，即2(2)80mx n x n +-+-=，根据韦达定理得122n x x m-=-+，因为()()121222m n f x f x x x m m-+=+=-=-+，所以2224(2)2(2)4422222m m m m n m m m m +++-++===++-+++，设2t m =+，因为16m <<，所以38t <<，由对勾函数性质得4()2f t t t=+-在(3,8)上单调递增，所以47413(3)32,(8)823382f f =+-==+-=，所以741322322m m <++-<+，所以71332n <<，即n 的取值范围是713(,)32.【点睛】本题考查函数的不动点的理解和运用，考查二次函数根据单调性求最值，考查对勾函数的单调性和运用.。
浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
杭州学军中学2017学年第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1. 右图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合为全集的子集，图中阴影部分不在集合中，可以推出在集合中，但阴影部分又在集合中，故阴影部分是这两个集合的交集，
所以阴影部分表示的集合为,故选C.
2. 下列函数中，定义域为的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A中，函数，所以函数的定义域为；
对于B中，函数，所以函数的定义域为；
对于C中，函数，所以函数的定义域为；
对于D中，函数，所以函数的定义域为，故选 D.
3. 已知，，，，则（）
A. B. C. D.。
浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一12月竞赛测试(二)数学试题Word版含解析
测试题（二）（100分钟）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．设函数()f x '是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________．2．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________．3．将正整数1，2，，n ，按第k 组含1k +个数分组：(1,2)，(3,4,5)，(6,7,8,9)，．那么2016在第__________组．4．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．5．设函数2()e 1f x x ax 2=---当0x ≥时单调递增，则a 的取值范围为__________．6．从m 个男生和n 个女生（104m n >≥≥）中任选2个人当班长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同，如果A 的概率和B 的概率相同，则(,)m n 可能为__________．7．已知锐角α，β满足条件：4422sin cos 1cos sin ααββ+=，则αβ+=__________．8．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线L 与C 交于P ，Q 两点，设L 与抛物线C 的准线交于点M ，且3FM FP =，则||FP =__________．二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）如图1，直角梯形ABCD ，112AB AD DC ===，将ABD △沿BD 折起来，使平面ABD ⊥平面BCD ．如图2，设G 为AD 的中点，2AH HC =，BD 的中点为O ．（1）求证：AO ⊥平面BCD ．（2）求平面GHB 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段BC 上是否存在点E ，使得DE ∥平面GBH ，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由．10．（本小题满分20分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a+=>>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：（1）直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值22a b-． （2）若l 过点(,)b a ，延长线段OM 与C 交于点P ，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l的斜率1a k b=．11．设m ，n 是正整数，满足22|1mn m n ++．证明：2213m n mn ++=．13．如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm ），底座是正四棱台．（1）求这个奖杯的体积（π取3.14）．（2）求这个奖杯底座的侧面积．14．已知两个边长为a 的正三角形ABC 与ABD ．B A D（1）当CD 的距离为多少时，三棱锥ABCD 的体积最大？（2）求三棱锥ABCD 的体积最大时的表面积．6．棱台上、下底面面积之比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）．A ．1:7B ．2:7C ．7:19D ．5:167．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为14的正方形，且ADE △、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，则该多面体的体积为（ ）． F EC B ADABC ．43D ．328．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA '和1CC 上，AP C Q '=，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）．C'B'A'Q PC BAA ．2VB ．3VC ．4VD ．5V9．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a （如图②），则图①中的水面高度为__________．①10．棱长均为1的三棱锥，其一个面水平放置，则它的侧视图的面积的最小值为__________．11．直角梯形的一个内角为45度，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π，则此旋转体的体积为__________．12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是__________．俯视图侧视图正视图。
浙江省杭州学军中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
⎛⎛⎛⎪⎪ ⎪ 杭州学军中学2018 学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分 ，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在平面直角坐标系中，角α以 x 轴非负半轴为始边，终边在射线 y = 2 x (x ≥ 0)上，则 tan α的值是 （ ▲ ）1 A ．2 B ． - 2C ． 2D ． - 122．已知等比数列{a n } 的各项均为正，5a 3 , a 2 ,3a 4 成等差数列，则数列{a n } 的公比是（ ▲ ）1 1 A ． B ． 2C ． 2 3D ． - 2 A ．g (x ) = sin 4 x + π⎫ ⎝ 6 ⎭ C ． g (x ) = sin 2 x + π⎫ ⎝ 6 ⎭B ．g (x ) = sin 4 x - π⎫ ⎝ 3 ⎭ D ．g (x ) = sin 2x 4．已知数列{a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 - a n ≥ 2(n ∈ N *) ，则（ ▲ ）A ． a n ≥ 2n -1B ．a n ≥ 2n + 1 C ． S n ≥ 2n -1 D ． S n ≥ n 25．已知cos α+ cos β = 1 , sin α+ sin β = 1，则cos (α- β) = （ ▲ ）2 359 59 A ． -B ． 72 72C ． 13D ．- 1336 366．已知 ∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，若满足 b = 2, B = 60︒ 的三角形有 两解，则边长 a 的取值范围是 （ ▲ ）A ． 2 < a < 2 3B ． 2 < a <4 3 3 C ． 3 < a < 2 21 D ． < a <2 2s 2 n9．在∆ABC内有任意三点不共线的2016 个点，加上A，B，C 三个顶点，共2019 个点，把这2019 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（▲）A．4033 B．4031 C．4029 D．402710．已知O 为锐角∆ABC的外接圆的圆心，tan A = 2 ，若cos BAB+cos CAC =2m AO，sin C sin B则m 的值为（▲）A．5B．2 55 5C．3D．2 33 3二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）11．在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，若a =4,c = 2 ，B =60︒，则b =▲，C =▲．12．记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，公差为d ，若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ．则d =▲，S n =▲．13．已知0 <α<π<β<π，tanα=4，cos(β-α) =．2 3 10则sinα= ▲，cosβ=▲．14．已知数列{a n } ，{b n } 满足a1 = 1，且a n ，a n +1 是函数f (x) =x-b n x + 2的两个零点，则a5 =▲，b10 =▲．15．在各项均为正数的等比数列{a n } 中，若log2 (a2 a3a5a7 a8 )= 5 ，则a1a9 =▲ . 16．若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为▲．17．在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，设∆ABC的面积为S ，S若3a2 = 2b2 +c2 ，则b2 +2c2的最大值为▲．三、解答题（本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分14 分）已知函数f (x)= （I）求f (x)的最小正周期；3 co⎛2x -⎝π⎫⎪- 2 s in x cos x ．3 ⎭（II）求f (x)在[0,π]上单调递增区间．19. （本小题满分15 分）在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，已知a = 3 ，且b2 +c2 =3+bc ．（I）求角A 的大小；（II）求b⋅s in C 的最大值．n 20．（本小题满分 15 分）已知 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和， a 4 = 2, S 21 = -252 . （I ）求a n ； （II ）设T n = a 1 + a 2 + + a n ，求T n .π21. （本小题满分 15 分）如图，在 ∆ABC 中，B =，BC = 2 ，点 D 在边 AB 上，AD = DC ， 3DE ⊥ AC ， E 为垂足．（I ）若 ∆BCD 的面积为3 ，求 CD 的长；3（II ）若 DE = 6 ，求角 A 的大小．2第 21 题22. （本小题满分 15 分）已知数列{a n } 的前n 项和为 S n ， a 1 = 4 且λa n = S n + 4 ．其中λ为 常数．（I ）求λ的值及数列{a n } 的通项公式；（II ）记 b n = 1 log 2 a n ⋅ 1 log2 a n +1n -1，数列{b n } 的前n 项和为T n ，若不等式 (- 1)n -1 (2n - 5)T - k ⋅ n ⋅ 2n + 2 ≤ 0 对任意n ∈ N * 恒成立，求实数 k 的取值范围．56。
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题． 14．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°，则AO BC ⋅=u u u r u u u r_____． 【答案】8【解析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 连接，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出.【详解】如图，AC 中点，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则OD AC ⊥，OE AB ⊥，212AO AC AC ∴⋅=u u u r u u u r u u u r ，212AO AB AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，()222211115382222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：8. 【点睛】本题考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义，属于基础题． 15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342T ππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=.故答案为：163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．16．定义在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的函数y =的图象与y ＝4tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_____．【解析】先将12PP 的长转化为求sin x 的值，再由x 4tan x x =可求出sin x 的值，从而得到结论. 【详解】由题意可得，线段12PP 的长即为点2P 的纵坐标，即sin x 的值，且其中的x 即为P 的横4tan x x =sin 4cos xx x =，24sin 0x x +=，解得sin x =，（舍负）所以线段12PP .. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 17．设函数f （x ）＝2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）＝a +b 成立，则t 的取值范围是_____． 【答案】()1,+∞【解析】对任意不为零的实数a ，b 均有()0f x a b =+成立等价于()()22112x b x a -=-，分12x =或12x ≠两种情况讨论，即可求出t 的范围.【详解】f （x ）＝a +b 成立等价于（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a ， 当x 12=时，左边＝0，右边≠0，不成立，当x 12≠时，（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a 等价于21221b x a x -=-， 设k ＝2x ﹣1，则x 12k +=， 则22(1)1211222k b k k a k k +---+===（1k -k ﹣2）， ∵x ∈（0，t ），（t 12＜），或x ∈（0，12）∪（12，t ），（t 12＞）， ∴k ∈（﹣1，2t ﹣1），（t 12＜），或k ∈（﹣1，0）∪（0，2t ﹣1），（t 12＞），（） ∵∀a ，b ∈R ， ∴12b a =（1k -k ﹣2），在（）上恒有解， ∴12（1k-k ﹣2），在（）上的值域为R ， 设g （k ）12=（1k-k ）﹣1，则g （k ）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减， 对应值域为(,1),((21),)g t -∞--+∞ 要保证12（1k-k ﹣2）在（）上的值域为R ，则 ∴1122(21)1211t t g t t ⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-<--⎩⎩＞＞＞， 解得t ＞1，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题18．计算下列各式的值：（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）-23 （2）2（）2•lg5【答案】（1）3（2）1【解析】（1）利用指数的运算法则化简求解即可；（2）利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）23-=914+-494-=3； （2）2（）2•lg5=2（）2•lg5+1﹣＝++1﹣＝lg1﹣＝1．【点睛】本题考查指数的运算法则以及对数运算法则的应用，属于基础题．19．（1）已知tanθ＝2，求sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4的值． （2）已知()()()()332sin cos tan f x cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求73f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）175；（2【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式化简变形，代入73πθ=-求解. 【详解】（1）∵tanθ＝2，∴sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4 2222222344sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+ 222222525211sin sin cos cos tan tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+； （2）∵f （θ）()()()332sin cos tan cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin cos tan sin θθθθ⋅-⋅-==--sinθ．∴7733 f sinππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin（3π-）＝sin33π=．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且19BE BC DF DCλλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，．（1）当λ12=，求|AEu u u r|；（2）求AE AF⋅u u u r u u u r的最小值．【答案】（1）13（2）2918【解析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出AEu u u r，DFu u u r，（1）当12λ=时，73,4AE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，即可求出答案；（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.【详解】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（123，D（12-3，∴AE AB BE =+=u u u r u u u r u u u r （2，0）+λ（12-=212-λ），（1）当λ12=时，AE =u u u r （74，则|AE u u u r |==（2）∵DE AD DF =+=u u u r u u u r u u u r （12）19λ+（1，0）＝（1129λ+，∴17217189218AE AF λλ⋅=++≥+u u u r u u u r 1722918318=+=，当且仅当λ23=时取得最小值．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.21．已知函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭： （1）若04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求y ＝f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b ﹣a 的最小值．【答案】（1）x 4π=时，，最小值为12， x 12π=时，最大值为1；（2）283π． 【解析】（1）根据三角函数的单调性的性质；（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）∵04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x 3π+∈[3π，56π]， ∴12≤sin x （2x 3π+）≤1，即f （x ）∈[12，1]， 当x 4π=时，f （x ）取得最小值，最小值为12， 当x 12=π时，f （x ）取得最大值，最大值为1；（2）函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x 12π-）3π+]+1＝2sin （2x 6π+）+1， 令g （x ）＝2sin （2x 6π+）+1＝0，解得x 6π=-+k π或x 2π=+k π，k ∈Z ， 即g （x ）的零点相离间隔依次为3π或23π， 故若y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，则b ﹣a 的最小值为103π⨯+922833ππ⨯=． 【点睛】 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题．22．已知函数：f （x ）＝x 2﹣mx ﹣n （m, n ∈R ）．（1）若m +n ＝0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（2）若存在实数m ，使得当x ∈[1，2]时，不等式x ≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）[﹣4，8]．【解析】（1）由题意可得()()10x m x +-≥，分类讨论1m <-，1m =-，1m >-，结合二次不等式的解法可得所求解集；（2）由题意可得14n x m x≤++≤对[]1,2x ∈恒成立，即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，考虑()n y x n R x=--∈在[]1,2单调性，可得n 的不等式，即可得到n 的取值范围. 【详解】（1）由x ≤x 2+mx ﹣m ，即（x +m ）（x ﹣1）≥0，①m ＝﹣1时，可得x ∈R ；②m ＜﹣1时，﹣m ＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m ，+∞）；③m ＞﹣1时，﹣m ＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m ]∪[1，+∞）；（2）x ∈[1，2]时，x ≤x 2+mx +n ≤4x 恒成立，即为1≤x n x++m ≤4对x ∈[1，2]恒成立， 即存在实数m ，使得﹣x n x -+1≤m ≤﹣x n x-+4对x ∈[1，2]恒成立， ∴（﹣x n x -+1）max ≤（﹣x n x -+4）min ，当0n <时，由n y x x =--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，40n ∴-≤< 当01n ≤≤时，由n y x x=--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，01n ∴≤≤ 当4n ≥时，由n y x x=--在[1，2]递增， ∴132n n --≤-， 84n ∴≥≥ 当14n <<时，由n y x x=--在[1，2]先增后减，∴13n -≤-或122n -≤-，14n ∴<< 综上，实数n 的取值范围：[﹣4，8]．【点睛】本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.。
浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
杭州学军中学2018-2019学年第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线10x y ++=的倾斜角是（ ） A.34π B. 23π C.4π D. -4π 2．如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，则实数a =（ ） A ．1 B ．2- C ．23-D ．13- 3. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．1B ．9C ．15-D ．9-4．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是 （ ）A ．222+B ．12+C ．122+D ． 25．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．2 5B ．3 3C ．6D ． 2106．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1 所成角的正弦值为 （ ） A ．223 B ．23 C ．24D ．137．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A ．515 B ．22 C ．510 D ．0E G FD 1D C 1B 1A 1CBACABDA 1B 1C 1D 1P E F8．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤,集合{}222(,)B x y x y r =+≤,若B A ⊂, 则实数r 可以取的一个值是（ ） A ．21+B ．3C ．2D ．212+9．已知圆M :()()22234x y -+-=,过x 轴上的点()0,0P x 存在圆M 的割线PAB ,使得PA AB =,则0x 的取值范围是（ ）A ．[33,33]-B ．[32,32]-C ．[233,233]-+ D. [232,232]-+10.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为线段C B 1 的中点，F 是棱11D C 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点， 则PF PE +的最小值为（ ）A. 625B. 221+C.26 D.223二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．． 11．直线310x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程是 12．如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38， 则=a ．13．已知P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2.，则点(,)Q x y y -构成的图形的面积为________．14．有且只有一对实数(,)x y 同时满足：20x y m +-=与223(0)x y y +=≥，则实数m 的取值范围是15．异面直线,a b 成60︒角，直线a c ⊥，则直线,b c 所成角的范围是 16．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的坐标为 17.在平面直角坐标系xOy 中，点()30A ,，直线:24l y x =+，设圆C 的半径为1，圆心 C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使||2||MO MA =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是三．解答题：本大题共4小题，满分42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分10分）已知圆5)1(:22=-+y x C ,直线:120l mx y m -+-= (1)求证:不论m 取何实数,直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)设直线l 与圆C 交于点,A B ，当||23AB =时，求直线l 的方程。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学(西溪校区)高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学（西溪校区）高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<…，则()R C M N ⋂等于（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,1) C ．(1,0]- D ．(1,1)-【答案】C【解析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集. 【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B【解析】根据相等函数的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =不是同一函数，排除C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x =与()2g x =不是同一函数，排除D.故选：B【点睛】本题主要考查相等函数的判定，要使两函数相等，只需定义域相同，对应关系一致，属于基础题型.3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( ) A ．()2x f x = B ．()f x x x = C ．1()f x x=-D ．()lg f x x =【答案】B【解析】利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，()()2xf x f x --=≠±，故函数为非奇非偶函数.对于B 选项，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当0x ≥时，()2f x x =为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在0x <时也是增函数，且()00f =，故函数在R 上为递增函数，符合题意，B 选项正确.对于C 选项，函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数在这个区间上没有单调性，C 选项不符合题意.对于D 选项，由于函数定义域是()(),00,-∞⋃+∞，且()()f x f x -=，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】 当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为 A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg2]【答案】C【解析】因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2．因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选:C ．6．已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()12x f x g x +=+，则()1(g =)A ．32B ．2C ．52D ．4【答案】C【解析】根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可． 【详解】函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()12x f x g x +=+，()()111124f g +∴+==，① ()()11011221f g -+-+-===，即()()111f g -+= ② 由+①②得()215g =，则()512g =， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．7．已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2.5log 3b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先由函数为偶函数，得到0m =，根据指数函数单调性，得到()f x 单调性，进而可得出结果. 【详解】因为定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，所以()()f x f x -=，即--=-x m x m ，因此0m =；所以()11,0112221,0xxx x f x x ⎧⎛⎫-≥⎪⎛⎫⎪=-=⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪-<⎩， 因此当0x ≥时，()f x 单调递减；当0x <时，()f x 单调递增；又()()()0.522log 3log 3log 3==-=a f f f ，()2.5log 3b f =，()2(0)==c f m f ， 而2 2.5log 3log 30>>，所以 ()()()2 2.5log 3log 30<<f f f ， 即a b c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查由函数单调性判断函数的大小，熟记函数奇偶性以及指数函数的单调性即可，属于常考题型.8．已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],4-∞B ．()4,-+∞C ．[]4,4-D ．(]4,4-【答案】C【解析】先由题意，得到23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；根据二次函数性质，列出不等式求解，即可求出结果. 【详解】因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；因此，只需2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选：C 【点睛】本题主要考查由复函数函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.9．已知0a >，设函数()[]()120192018+2019,20191x xf x x x a a ++=∈-+的值域为[],M N ，则M N +的值为（ ） A ．0 B ．2019C ．4037D ．4039【答案】C【解析】根据()f x 得到()f x -，求得()()4037+-=f x f x ，所以函数()f x 关于点40370,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，从而可求出结果.【详解】因为()12019201911+2019201920192019120191++-==-+++x x xf x x x ， 所以()1201920192019201920192019120191--=--+=--++xx xf x x x ， 因此()()4037+-=f x f x ，所以函数()f x 关于点40370,2⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，又函数()[]()120192018+2019,20191x xf x x x a a ++=∈-+的值域为[],M N ，则4037+=M N .故选：C 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，熟记函数的对称性即可，属于常考题型. 10．已知m R ∈，函数()31x f x m m x +=-+-在[]2,5x ∈上的最大值是5，则m 的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[]2,5D ．[)2,+∞【答案】A【解析】先由题意得到3251+≤≤-x x ，分别讨论2m ≤，25<≤m ，722<≤m 三种情况，即可求出结果. 【详解】因为34111x y x x +==+--在[]2,5x ∈上单调递减，因此3251+≤≤-x x ； 若2m ≤，则3()1x f x x +=-的最大值为5，符合题意；若25<≤m 时，()f x 的最大值为()2f 与()5f 中较大的， 由()()25=f f ，即52-+=-+m m m m ，解得72m =， 显然722<≤m 时，()f x 的最大值为5，72m >时，()f x 的最大值不为定值。
2018~2019学年浙江杭州学军中学高一下学期期中理科数学试卷
/2018~2019学年浙江杭州学军中学高一下学期期中理科数学试卷
一、选择题（本大题共8题，每小题3分，共计24分）1.A.B.C.D.已知向量，，若，则等于（ ）．
2.A.B.C.或D.或在中，，，，则等于（ ）．
3.A.B.C.D.在等差数列中，若，则（ ）．
4.A.B.C.D.若，则（ ）．
5.A.B.C.D.已知数列中，，，若为等差数列，则等于（ ）．
6.A.B.C.D.的三内角B的对边边长分别为b.若，，则（
）．，，，，
7.A.B.C.D.已知函数的图象关于直线对称，则函数的最
大值是（ ）．
8.若对任意实数，均有恒成立，则下列结论中正确的是（ ）．
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A.当时，的最大值为B.当时，的最大值为C.当时，的最大值为D.当时，的最大值为
二、解答题（本大题共7题，每小题4分，共计28分）9.的值为 ．
10.如果等腰三角形的周长是底边边长的倍，那么它的顶角的余弦值为 ．11.已知，则的值是 ．12.等差数列中，，公差，若，则 ，使前项和取得最大值的正整数的值是 ．
13.已知的前项和，则的值为 ．14.若，在区间上单调递减．则取值范围 ．15.已知函数，下列说法正确的是 ．①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称；⑤的最小正周期为．
三、解答题（本大题共5，共计48分）16.（1）（2）已知，，．求与的夹角．当为何值时，与垂直？
17.（1）（2）等差数列中，公差，前项和为，且满足，．求数列的通项公式．通过构造一个新的等差数列，求非零常数．
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18.（1）（2）已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，始边在直线上．则：求的值．已知，，，求的值．
19.（1）（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且．求角的大小．若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
20.（1）（2）（3）已知向量，，函数．求函数的单调增区间．若方程在上有解，求实数的取值范围．设，已知区间（，且）满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷1.（单选题，3分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A.{x|1≤x＜2}B.{x|0＜x＜2}C.{x|0＜x≤1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题，3分）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数g(x)=f(x2)+f(x−2)的定义域为（）A.（0，2）B.（1，2）C.（2，3）D.（-1，1）3.（单选题，3分）若角α的终边与单位圆交于点P（- 35，45），则sin（π2+α）=（）A. 35B.- 35C.- 45D. 454.（单选题，3分）函数f（x）= e x−e−xx2的图象大致为（）A.B.C. D.5.（单选题，3分）已知a=log 2e ，b=ln2，c= log 12 13 ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b6.（单选题，3分）已知sinα+cosα= 12 ，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα =（ ）A. √77B.- √77C. √33D.- √337.（单选题，3分）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，AB⊥AD ，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x+2y=1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的最大值等于（ ）A.1B.2C.3D.48.（单选题，3分）平面向量 a ， b ⃗ 满足， (a )2−a •b ⃗ −3=0 ， |b ⃗ |=2 ，则 |a −b⃗ | 最大值是（ ）A.1B.2C.3D.49.（单选题，3分）将函数y=sin （2x+ π5 ）的图象向右平移 π10 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间[ 3π4 ， 5π4 ]上单调递增B.在区间[ 3π4 ，π]上单调递减C.在区间[ 5π4 ， 3π2 ]上单调递增D.在区间[ 3π2 ，2π]上单调递减10.（单选题，3分）函数y=x+ √x 2−2x +3 的值域为（ ）A.[1+ √2 ，+∞）B.（ √2 ，+∞）C.[ √3 ，+∞）D.（1，+∞）11.（填空题，4分）已知向量 a =(1，2) ， b ⃗ =(x ，−3) ，若满足 a ∥b⃗ ，则x=___ ，若满足 a ⊥b⃗ ，则x=___ ． 12.（填空题，4分）函数f （x ）= √log 2x −1 的定义域为___ ．13.（填空题，4分）若 sin (π6−α)=513 ，则 cos (π3+α) =___14.（填空题，4分）已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．15.（填空题，4分）已知f （x ）=sin (ωx +π6) （ω＞0），f （ π6 ）=f （ π3 ），且f （x ）在区间 (π6，π3) 上有最小值，无最大值，则ω=___ ．16.（填空题，4分）定义在区间 (0，π2) 上的函数 y =√5cosx 的图象与y=4tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为___ ．17.（填空题，4分）设函数f （x ）=2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）=a+b 成立，则t 的取值范围是___ ．18.（问答题，8分）计算下列各式的值：（1）27 23 +16−12 -（ 12 ）-2-（ 827 ） −23（2）2（lg √2 ）2+lg √2 •lg5+ √(lg √2)2−lg2+119.（问答题，8分）（1）已知tanθ=2，求sin 2θ-2sinθcosθ-3cos 2θ+4的值．（2）已知 f (x )=sin (π−θ)cos (π+θ)tan (3π−θ)cos(3π2−θ) ，求 f (−7π3) 的值．20.（问答题，8分）在等腰梯形ABCD 中，AB || DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =19λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）当λ= 12 ，求| AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |； （2）求 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21.（问答题，8分）已知函数 f (x )=2sin (2x +π3) ：（Ⅰ）若 x ∈[0，π4] ，求y=f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移 π12 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，区间[a ，b]（a ，b∈R 且a ＜b ）满足：y=g （x ）在[a ，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b]中，求b-a 的最小值．22.（问答题，10分）已知函数：f （x ）=x 2-mx-n （m ，n∈R ）．（Ⅰ）若m+n=0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m ，使得当x∈[1，2]时，不等式x≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．。