大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编WORD版
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编WORD版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】 大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为532，，和314，，，则该球面的方程为______________________
2、函数22
ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为
3、曲面22
zxy与平面240xyz平行的切平面方程为
4、2222222(,)(0,0)(1cos())sinlim()exyxyxyxyxy
5、设二元函数yxxyz32，则yxz2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222
zyx是（ ）
（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； （B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； （C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成； （D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成． 2、微分方程23cos2xxxyy
的一个特解应具有形式（ ）
其中3212211,,,,,,dddbaba都是待定常数.
(A).212211sin)(cos)(xdxbxaxxbxax;
(B).32212211sin)(cos)(dxdxdxbxaxxbxax
;
(C).32212211)sincos)((dxdxdxbxabxax
;
(D).322111)sin)(cos(dxdxdxxbxax
3、已知直线22122:
zyxL与平面4 2:zyx,则 （ ）
(A).L在内; (B).L与不相交; (C).L与正交; (D).L与斜交. 4、下列说法正确的是（ ）
(A) 两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数，使得ba； (B) 二元函数yxfz,的两个二阶偏导数22xz,22yz在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的充分条
件； (D) 二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微 的必要条
件.
5、设),2,2(yxyxfz且2Cf（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则yxz2（ ） (A)122211322fff; (B)12221132fff;
(C)12221152fff; (D)12221122fff.
三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。 (1)（6分）22
1xyyxy
(2)（7分）xxeyyy2
23
2、（本题8分）设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。 3、（本题8分）求函数yyxeyxfx2,22
的极值。
四、应用题（本题8分） 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生
产使其总成本最少？最小成本为多少？
五、综合题（本大题共21分） 1、（本题10分）已知直线011xczbyl：，
012yczax
l：，求过1l且平行于2l的平面方
程． 2、（本题11分）设函数(,,)lnln3lnfxyzxyz 在球面22225(0,0,0)xyzRxyz上求一点，使函数(,,)fxyz取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数
xyxzFxuk,，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试证
明:zuzyuyxux
xyxzFkxk,
第二学期高等数学期中考试试卷答案 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 21113222zyx
2、12． 3、2450xyz． 4、0 5、2
32xy；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A） 三、计算题（本大题共29分） 1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：xx
yyd)1(1d2
上式两端积分得c
xxxxyyy2)d1(arctan1d2
2
即 ： cxxy2arctan2 其中c为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232
rr特征根为,11r ,22r于
是，该齐次方程的通解为,221x
eCxCY因2是特征方程的单根，故可设题设方
程的特解：.)(210*x
ebxbxy代入题设方程,得,22010xbbxb比较等式两端同次幂
的系数,得,
2
1
0b ,11b
于是，求得题没方程的一个特解*
y.)121(2xexx
从而，所求题设方程的通解为.)1
2
1
(2221xxxexxeCeCy 2、解：utvutuvuuzsincos22， uvutuvvvz2cos2，u
tzcos
依复合函数求导法则，全导数为 3、解：解方程组022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx，得驻点1,21。由于124,22yyxeyxfAx
xx，142yexyfBxxy，
xyyeyxfC22,在点
1,21处，02eA，0B，eC2，224eBAC，所以函数在点
1,
2
1处取得极
小值，极小值为21,2
1e
f。
四、应用题（本题8分） 1、解：即求成本函数yxc,在条件8yx下的最小值 构造辅助函数 )8(2,22
yxxyyxyxF
解方程组 080402yxFyxFyxFyx 解得 3,5,7yx 这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22
c（万）
五、综合题（本大题共21分） 1、解：直线1l与2l的方向向量分别为
bccb1100011101，，，，，，s
，
acca1010101012，，，，，，s， 作 221111cbcca，，ssn， 取直线1l上的一点cP，，001，则过点1P且以2111cbcca，，n为法向量的平面01czbya
x ，
就是过1l且平行于2l的平面方程．
2、解：设球面上点为(,,)xyz． 令 2222
(,,,)lnln3ln(5)LxyzxyzxyzR，
由前三个式子得222
3
zxy，代入最后式子得,3xyRzR．由题意得(,,)fxyz在
球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,,3)RRR就是最大值点，最大值为5(,,3)ln(33)fRRRR．
六、证明题（本题共12分）1、证明：
所以，zuzyuyxux
高一下学期期中考试数学试卷含答案(新教材)
高一级第二学期数学期中考试试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求）1．若复数z 满足3)65(=-+i z ，则z 的虚部是（ ）A. i 6-B. i 6C. -6D. 62．已知向量a =(2,1) ,b =(x ,-2),若a ∥b ,则a +b =( )A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π4．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =( ) A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π65．用m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αB ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nC ．若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥αD ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n6．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''△．已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC △的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C 2D ．227.在等腰梯形ABCD 中， AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝ ( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD → 8.长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60︒和45︒，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．64 B ．63 C ．26 D ．23二、多选题(本题包括4个小题，每小题5分，共20分。
高等数学期中考试带答案
高数考试一．填空（共15分） 1.13lg(1)=++-y x x 的定义域是 ;2.e ,0,()0,0;已知在连续，则⎧<===⎨+≥⎩ x x f x x a a x x ;()ln 13.lim1cos →+=-x x x x.4.设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-则(0)='f .5.曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 .答案：一.1.[-3,0)∪(0,1); 2.1a =; 3.2; 4. (1)!-nn ；5.21,e ⎛⎫⎪⎝⎭二.选择（共15分） （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ A ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）当n →∞时，1sinn n是一个（D ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （5）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（C ）.A.52B.25C.1D.∞ 三. 计算和解答(共70分)1. 求下列极限：（10分） ()2cot 2.lim 13tan ;→+xx a x0e 1.lim(e 1)→---x x x x b x 解：()()2231cot 2233tan 0.lim 13tan lim 13tan →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦xx x x a xx e ｂ． 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.32.arccos3-=-x y 求3x y ='.（5分）解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：（10分）(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；解： d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t t x x a t t t===--， 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---4.1e 求由方程确定的二阶导。
大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)
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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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东南大学大一公共课高等数学期中考试卷及答案
东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学期中 考试学期X X -X X -3得分适用专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．2244lim x y x y x y →∞→∞+=+ ； 2． 设(,)()zxyz z x y z f t dt ==⎰由方程确定，其中f 连续，则 dz =；3．设(2),Re z Ln i z =-= 则 , Im z =；4．曲面231(1,2,0)z xy z e --=在点处的法线方程为 ； 5．交换积分次序：12201d (,)d d (,)d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）1．设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分22(4)Cx y x ds +-=⎰[ ](A) 1 (B) 3- (C) 2π (D) 6π-2. 设{(,)1,11}D x y y x x =-≤≤-≤≤，则 [ ](A)20Dx dxdy =⎰⎰ (B) 34(3)0Dy x dxdy +=⎰⎰(C)ln(0Dx y dxdy +=⎰⎰ (D) (sin cos )0Dy x dxdy +=⎰⎰ 3. 二次积分sin 20d (cos ,sin )d f πϕϕρϕρϕρρ⎰⎰可以写成 [ ](A) 10d (,)d y f x y x ⎰(B) 100d (,)d y f x y x ⎰ (C)11d (,)d x f x y y ⎰⎰(D) 10d (,)d x f x y y ⎰4. 以下表述正确的是 [ ](A) 若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数，则00lim (,)x x y y f x y →→ 一定存在；(B) 若复变函数()f z 在点0z 处解析，则()f z 在点0z 的某个邻域内必然连续； (C) 若(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在偏导数,x y f f ，则(,)z f x y =在该点处必可微； (D) 以上表述皆不正确。
2021年高一下学期期中测试数学试卷 Word版含答案
2021年高一下学期期中测试数学试卷 Word 版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．函数的最小正周期是__________．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos2θ ＝____________．3．已知sinαcosα = 18 ，且，则cosα－sinα的值为__________．4．将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是 ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为，若成等差数列，则公比q ＝ ．6．已知E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，b ，c 分别是方程 的两个根，则a 的值为______．8．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．9．函数的最小值是 ．10．已知为第二象限角，，为第二象限角，，则的值为 ．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin C 的值为______．12．如果是方程的两根，则的值为 ． 13．已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最小正周期是，最小值是－2，且图象经过点，则__________． 14．已知都是锐角，且，则的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．(本小题14分)在△ABC中，已知，求角A的度数和△ABC的面积.16．(本小题14分)已知等差数列的各项均为正数，，前n项和为，是等比数列，，且，求数列与的通项公式．17．(本小题14分)已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sinωx cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的单调增区间及其图象的对称轴方程．18．(本小题16分)在△ABC中，已知2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．19．(本小题16分)已知数列{a n}的前n项和记为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n＋1(n≥1)．(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项为正数，前n项和为T n，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求T n.20．(本小题16分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝22ff－1，当x∈时，求函数g(x)的值域．参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数的最小正周期是__________．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝____________．3．已知sinαcosα = 18，且，则cosα－sinα的值为__________．4．将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为，若成等差数列，则公比q ＝ ． 6．已知E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，b ，c 分别是方程 的两个根，则a 的值为______．48．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．39．函数的最小值是 ．10．已知为第二象限角，，为第二象限角，，则的值为 ．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin C 的值为______．12．如果是方程的两根，则的值为 ． 13．已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最小正周期是，最小值是－2，且图象经过点，则__________． 14．已知都是锐角，且，则的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，共90分）15．(本小题14分)在△ABC 中，已知，求角A 的度数和△ABC 的面积. 【解答】16．(本小题14分)已知等差数列的各项均为正数，，前n 项和为，是等比数列，， 且，求数列与的通项公式．【解答】设的公差为d ，的公比为q ，则，解得（舍去） 所以，.1)sin()4424675sin 75sin(4530)1242ABC ABC A A A ABC A A S S ππππ∆∆-=-=∆∴-=∴=︒︒=︒+︒=∴=⋅⋅∴=为的内角17．(本小题14分)已知函数f (x )＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求f 的值；(2)求函数f (x )的单调增区间及其图象的对称轴方程． 【解答】 (1)f (x )＝12(1＋cos2ωx )＋32sin2ωx ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－12. (2)分别由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以，函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π6(k ∈Z )．18．(本小题16分)在△ABC 中，已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．【解答】(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．19．(本小题16分)已知数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[解答] (1)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15得，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或－10. ∵等差数列{b n }的各项均为正数，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .20．(本小题16分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝22ff －1，当x ∈时，求函数g (x )的值域．【解答】 (1)由图象知T ＝4⎝⎛⎭⎫π2－π4＝π，则ω＝2πT ＝2. 由f (0)＝－1得sin φ＝－1，即φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ， ∴g (x )＝22f ⎝⎛⎭⎫x 2f ⎝⎛⎭⎫x 2－π8－1＝22(－cos x )⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝22cos x ⎣⎡⎦⎤22cos x ＋sin x －1＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， ∴g (x )的值域为[－1，2]． 25990 6586 斆,25097 6209 戉27498 6B6A 歪526074 65DA 旚37599 92DF 鋟L*M23926 5D76 嵶34920 8868 表22502 57E6 埦-1O y x1。