倍长中线法(含答案)
专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。
（1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。
（不需证明）（2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。
【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
（1）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明）（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。
2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。
（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。
4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。
CF。
（不需证明）（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=12（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。
【答案】（2）证明见解析【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。
图3同图2证明相同。
(BD+CF)【解答】（2）图2的结论为:ME=12(CF-BD)图3的结论为: ME=12图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又∵BD⊥m,CF⊥m∴BD ∥CF ∴∠DBM=∠KCM又∵∠DMB=∠CMK BM=MC∴△DBM ≌△KCM ∴DB=CK DM=MK由易证知:EM=12FK ∴ME=12(CF+CK)=12(CF+DB)图3的结论证明如下：连接DM 并延长交FC 于K又∵BD ⊥m,CF ⊥m ∴BD ∥CF ∴∠MBD=∠KCM又∵∠DMB=∠CMK BM=MC∴△DBM ≌△KCM ∴DB=CK DM=MK由易证知:EM=12FK ∴ME=12(CF-CK)= 12(CF-DB)【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
（3）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明） （4）将ΔCOD 绕点O 旋转到图2，图3所示位置是，线段OH 与AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。
【答案】（2）证明见解析【分析】（1）只要证明△AOD ≌△BOC ，即可解决问题；①如图2中，结论：OH=21AD ，OH ⊥AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ， 由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；②如图3中，结论不变．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G ．由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD ，OA=OB ，∵在△AOD 与△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC （SAS ），∴∠ADO=∠BCO ，∠OAD=∠OBC ，∵点H 为线段BC 的中点，∴OH=HB ，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD ，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH ⊥AD（2）解：①结论：OH=AD ，OH ⊥AD ，如图2中，延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，易证△BEO ≌△ODA ∴OE=AD ∴OH=OE=AD由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH ⊥AD ．②如图3中，结论不变．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G ．易证△BEO ≌△ODA ∴OE=AD ∴OH=OE=AD由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH ⊥AD ．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为√6−√2或2√3.3【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=1EK=OE；2（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2√3，AE=CK，∴FK=2，，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，在Rt△EFK中，tan∠FEK=√33EK=2，∴EK=2FK=4，OF=12∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=1PF=1，HF=√3，OH=2﹣√3，2∴OP=√12+(2−√3)2=√6−√2.如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=√33OE=2√33， 综上所述：OP 的长为√6−√2或2√33. 3.已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BD 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点。
（3）当点P 与点O 重合时，如图1，易证OE=OF （不需证明）（4）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。
【答案】（2）图2中的结论为：CF=OE+AE ，图3中的结论为：CF=OE ﹣AE ，证明见解析【分析】（1）由△AOE ≌△COF 即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE ，延长EO 交CF 于点G ，只要证明△EOA ≌△GOC ，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE ﹣AE ，延长EO 交FC 的延长线于点G ，证明方法类似．【解答】（1）∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（5）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴OE=OF．4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．【解答】（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，{∠EFM＝∠MBHFM＝BM∠FME＝∠BMH，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH，∵CD=BC，∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2）如图2，连接AE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为BF的中点，∴CM=12BF，EM=12BF，∴CM=ME，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°-135°-135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，{DE＝DG∠MDE＝∠MDGDM＝DM，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD，∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法例 1：△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一， 添加辅助线．在利用中线解决几何问题时， 常常采用 “倍长中线法 ”所谓倍长中线法， 就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形， 从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某， 使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成 【方法精讲 】常用辅助线添加方法——倍长中线SAS 全等三角形模型的构造。
AA△ ABC 中 AD 是 BC 边中线BDC方式 1： 延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BEB DCE方式 2：间接倍长AAF 作 CF ⊥ AD 于 F ， MDB D C作 BE ⊥ AD 的延长线于 连接 BEE BC 延长 MD 到 N ， 使 DN=M ，D 连接 CNEN经典例题讲解：例2：已知在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEADBFCE例3：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFAFEBD C例4：已知：如图，在ABC 中，AB 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC AC ，D、E 在BC上，且DE=EC，过D作DF // BAAFB D E C例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCE D自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CF3、如图，AD为ABC 的中线，DE平分BDA 交AB于E，DF平分ADC 交AC于F. 求证：BE CF EFAEFB CD第14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90 ，CM AB于M，AT 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.A MD BETCWelcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
倍长中线法、截长补短法
倍长中线（线段）造全等1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD证明：延长AD到E,使DE=AD, 则△ ADC≌△ EBD ∴BE=AC=2在△ ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE，∴ 10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数, 则AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。
3、已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是________ .4、在△ ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是（） A 、1<AB<29 B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<19 1、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD 到G，使DG=A，D 连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。
2、已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明Δ BDG≌Δ CDA 三角形BEG是等腰三角形C 6、如图，△ ABC中，BD=DC=A，CE 是DC的中点，求证：AD平分∠ BAE.7、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ ABD的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE至F，连结DF证明Δ ABE≌Δ FDE（SAS）进而证明Δ ADF≌Δ ADC（SAS）11、已知：如B D E C图，在ABC中，AB AC ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH【过程书写】证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF ，连接CG．在△ DEF 和△ CEG 中，ED ECDEF CEGEF EG∴△ DEF≌△ CEG（SAS）∴DF =CG，∠ DFE=∠G∵DF=AC∴CG=AC∴∠ G=∠ CAE∴∠ DFE =∠ CAE∵DF ∥AB∴∠ DFE =∠ BAE∴∠ BAE=∠ CAE∴AE 平分∠ BAC截长补短7.6 作业：如图, ∠B=∠C=90°,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC求证: 点M 为BC的中点7.9 作业：已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4。
二 倍长中线法和截长补短法-中考数学第一轮复习(全国通用)
模型一、二模型一倍长中线法模型1．（2019•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．【答案】．【解答】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，在△ADH与△BDC中，，∴△ADH≌△BDC（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴△ABC的面积＝S△ACH＝×4×4＝8，故答案为：8．2.（2020•三亚三模）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠B＝90°；而∠GEF＝90°，∴∠AGE+∠AEG＝∠AEG+∠FEB，∴∠AGE＝∠FEB，∴△AGE∽△BEF，∴，而AG＝1，BF＝2，AE＝BE，∴AE＝BE＝；由勾股定理得：GE2＝AG2+AE2，EF2＝BE2+BF2，∴GE2＝3，EF2＝6，∴GF2＝GE2+EF2＝9，∴GF＝3，故选：A．3．（2019•安顺）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AD＝CD+AB（2）AB＝AF+CF 【解答】解：（1）AD＝AB+DC理由如下：∵AE是∠BAD的平分线∴∠DAE＝∠BAE∵AB∥CD∴∠F＝∠BAE∴∠DAF＝∠F∴AD＝DF，∵点E是BC的中点∴CE＝BE，在△CEF和△BEA中，，∴△CEF≌△BEA（AAS）∴AB＝CF∴AD＝CD+CF＝CD+AB（2）AB＝AF+CF理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠F AG，∵∠BAG＝∠G，∴∠F AG＝∠G，∴F A＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF4.（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．【答案】（1）DE＝2AM，DE⊥AM（2）DE＝2AM．DE⊥AM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案为DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH，∵M是BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE与AM之间的位置关系是DE ⊥AM．模型二截长补短模型类型一构造相等线段5.（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）CE+CF＝CD（2）FC＝CD+CE【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．6．（2021•嘉峪关）问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．【答案】（1）略（2）DE＝8【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF，∵DE＝AF，∴BH＝AE，∴BH＝BF，∵∠ABH＝90°，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形；类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD，∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等边三角形，∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．7．（2021•宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【答案】（1）DE平分∠ADB（2）（3）【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．2、倍数量关系类型二构造38．（2019•阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．【答案】（1）①略②略（2）AD﹣BD＝CD【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵∠EAC+∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE；②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CD，∵DE＝AD+AE，AE＝BD，∴DE＝AD+BD，∴AD+BD＝CD；（2）解：AD﹣BD＝CD；理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE＝＝＝CD，∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，∴AD﹣BD＝CD．10．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC 与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．【答案】（1）BD⊥EC（2）AE＝（3）略【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠P AG＝∠P AD+∠DAG＝∠P AD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△P AG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．11.（2020秋•九龙坡区期中）在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE．（1）如图1，连接BD，延长BE至点F，使BF＝BD，且AF∥BD，若AB＝，求AF 的长度；（2）如图2，过点D作BF的垂线DG，垂足为点G，交AF于点H，分别延长BA，DH 交于点P，连接PE，过点F作FQ⊥BD于Q．求证：BE＝DG+FG；【答案】（1）①AF＝﹣1，（2）略．【解答】解：（1）①过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，如图1，∵四边形ABCD为正方形，AB＝，∴∠DAG＝∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，BD平分∠ADC和∠ABC，AB＝AD＝，∴∠ADB＝45°，BD＝，∵AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADB＝45°，∴∠GAF＝45°，∴∠AGF＝∠GAF＝45°，∴AG＝GF，不妨设AG＝GF＝x，则BG＝x+，∵BG2+GF2＝BF2，BF＝BD＝2，∴，解得，x＝，或x＝﹣（舍），∴AF＝AG＝﹣1；②连接PF和DF，如图2，∵DG⊥BF，∴∠DGE＝∠BAE＝90°，∵∠AEB＝∠DEG，∴∠ABE＝∠GDE，∵∠BAE＝∠DAP＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADP（ASA），∴BE＝DP，AE＝AP，设AB＝a，则BF＝BE＝a，∵AF∥BD，∴S△FBD＝S△ABD，∴，∴FQ＝，∴sin∠QBF＝，∴∠QBF＝30°，∵AF∥BD，∴∠AFB＝∠DBF＝30°，∠EAF＝∠ADB＝45°，∴∠EAF＝∠P AF＝45°，∵AF＝AF，∴△AEF≌△APF（SAS），∴∠AFE＝∠AFP＝30°，∴∠EFP＝60°，∴PG＝，∵DG+PG＝DP＝BE，∴BE＝DG+FG；。
初中倍长中线法经典例题
初中倍长中线法经典例题
积极锻炼自己的能力，追求自己的梦想。
初中倍长中线法是一种几何相关的解题方法，主要用于解决与平行线、角平分线等有关的问题。
以下是一个经典的例题：
例题：在平面直角坐标系中，已知点A(-3, 2)，B(4, 8)，C(6, k)，以及点P(x, y)在线段BC 上。
如果AP与直线y = -2x + 6平行，求点C的纵坐标k的值。
解析：
1.首先根据题意，点C在直线BC上，所以C的横坐标为6。
2.由于AP与直线y = -2x + 6平行，所以AP的斜率与直线y = -2x + 6的斜率相等。
3.直线y = -2x + 6的斜率为-2，因此我们可以通过点A和点P计算AP的斜率。
AP的
斜率= (y - 2) / (x - (-3)) 由于AP与直线y = -2x + 6平行，所以AP的斜率应该等于-2。
即, (y - 2) / (x + 3) = -2
4.接下来，我们利用点B和点C计算线段BC的斜率。
BC的斜率= (k - 8) / (6 - 4)
5.根据倍长中线法，线段BC的斜率应该是-2与AP的斜率的平均值。
即, (k - 8) / 2 = (-2
+ (-2)) / 2
6.将上述方程整理得到k = -4
7.因此，点C的纵坐标为-4。
答案：点C的纵坐标k的值为-4。
13.13专题11：--倍长中线法
13.13专题11：--倍长中线法一．【知识要点】1.倍长中线法:通过将中线或类似于中线的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等，俗称中线倍长.二．【经典例题】1．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是__________.2.如图,在△ABC中,点E为BC的中点,CF∥AB且∠BAE=∠EAF,求证:AF+CF=AB.3.如图,点D为BC的中点,DE⊥DF交AB于E,交AC于F,连EF,若BE=5,CF=3,求EF 的取值范围.4．如图，在△ABC中，CE为△ABC的角平分线，AD⊥CE交BC于点D，垂足为点F，且∠ACB ＝2∠B．（1）当∠B＝31°时，求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝EC；（3）求证：AB＝2CF．5.如图,△ABC为等边三角形,EC=ED,∠CED=120°,P为BD的中点.求证:AE=2PE.三．【题库】【A】1. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .2.如图,△ABC中,D为BC的中点.(1)求证:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.【B】1.已知,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AC=5,AD=4,则AB的取值范围是( )A. 1<AB<9B. 3<AB<13C. 5<AB<13D. 9<AB<132.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是____________；中线AD的取值范围是_________________．3.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证:AE=2AD.【C】1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，过B点作直线分别交AC，AD于点E，F,当AE=EF 时，图中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由。
倍长中线法 讲解+习题
A
F
DE
C （图1）
G
例二
如图2，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，求AB边的取值范围。
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE
B
∵AD是中线
∴BD=DC
E
∵∠ADB=∠CDE，AD=DE
∴△ABD≌△CDE（SAS）
∴CE=AB
在△CDE中，AC=5 ，AE=2AD=14
∴9＜CE＜19
即9＜AB＜19
倍 长中线法
几何心法
几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线延长加倍看； 底角倍半角分线，有时也作延长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等； 公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠； 中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线； 梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰延长一点点，亦可平移对角线。
知识回顾
三角形全等判定定理
边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等 直角三角形斜边、直角边定理（HL）：有斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等
有何用处
常见的是为了得到： 1、边的关系 可以使是边也可以是倍数边的关系 2、角的关系 可以是等角也可以是倍角的关系
边的问题
初中阶段证明边的关系几大思路
1
找全等 （相似） 三角形
2
找等价 （替代）
关系
3 圆的相关知识
构造全等三角形
1、倍长中线法 2、截取法
例一
如图1，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且 DE=EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，DF=AC。 求证：AE平分∠BAC
倍长中线法(经典例题)
倍長中線法知識網路詳解：中線是三角形中の重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常採用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形の中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形の有關知識來解決問題の方法．倍長中線法の過程：延長某某到某點，使某某等於某某，使什麼等於什麼（延長の那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線最重要の一點，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型の構造。
【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD於F，延長MD到N，作BE⊥ADの延長線於E 使DN=MD，連接BE 連接CN經典例題講解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線ADの取值範圍例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC の延長線上，DE 交BC 於F ，且DF=EF ，求證：BD=CE過D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 邊上の中線，E 是AD 上一點，且BE=AC ，延長BE 交AC 於F ，求證：AF=EF例4：已知：如圖，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，過D 作BA DF //交AE 於點F ，DF=AC. 求證：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABDの中線，求證：∠C=∠BAE自檢自測：1、如圖，△ABC中，BD=DC=AC,E是DCの中點，求證，AD平分∠BAE.2、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊の中點，∠BAE=∠EAF，AF與DCの延長線相交於點F。
試探究線段AB與AF、CF之間の數量關係，並證明你の結論.3、如圖，AD 為ABC ∆の中線，DE 平分BDA ∠交AB 於E ，DF 平分ADC ∠交AC 於F. 求證：EF CF BE >+4、已知：如圖，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 於M ，AT 平分∠BAC 交CM 於D ，交BC 於T ，過D 作DE//AB 交BC 於E ，求證：CT=BE.。
中线倍长专题(解析版) -人教版八年级数学上册
中线倍长专题答案解析1．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD 是△ABC 的中线，若AB ＝8，AC ＝6，求AD 的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD 至点E ，使ED ＝AD ，连接BE ．可证出△ADC 与△EDB ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD 转化到同一个△ABE 中，进而求出AD 的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD 的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，BA ＝BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝BC ．写出AD 与AE之间的数量关系并证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由见分析解：（1）证明：延长AD 至E ，使DE =AD ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴AC =BE =6，在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，∴8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由如下：证明：延长AD 至F ，使DF =AD ，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，在△BDF 和△CDA 中，BD CDBDF CDA DF DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CDA （SAS ），∴AC =BF ，∠CAD =∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBA +∠BAC =180°，∵BA =BC ，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠ACE +∠BCA =180°，∴∠FBA =∠ACE ，∵BA =BC ，EC =BC ，∴BA =EC ，在△ACE 和△FBA 中，CE BAACE FBA AC BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△FBA （SAS ），∴AE =AF ，∵2AD =AF，∴2AD =AE ．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，且BE ＝AC ，求证：∠BED ＝∠CAD ．解：延长AD 到E ，使FD ＝AD ，连接BF在△ADC 和△FDB 中，BD CD BDF ADC DF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC FDB ≌（SAS ）∴BF ＝AC ，∠F ＝∠CAD ．∵BE ＝AC ，∴BF ＝BE∴∠BED ＝∠F ，∴∠BED ＝∠CAD ．2．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD 到M ，使得DM ＝AD ；②连接BM ，通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在△ABM 中；③利用三角形的三边关系可得AM 的取值范围为AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，从而得到AD 的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC 与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见分析；（3）EF ＝2AD ，证明见分析．解：（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，∴∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，∴AC ∥BM ；（3）EF ＝2AD ，理由：如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）知，△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴BM ＝AF ，由（2）知：AC ∥BM ，∴∠BAC +∠ABM ＝180°，∵∠BAE ＝∠FAC ＝90°，∴∠BAC +∠EAF ＝180°，∴∠ABM ＝∠EAF ，在△ABM 和△EAF 中，AB EA ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△EAF （SAS ），∴AM ＝EF ，∵AD ＝DM ，∴AM ＝2AD ，∵AM ＝EF ，∴EF ＝2AD ，即：EF ＝2AD ．举一反三：【变式】某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC 的边BC 到D ，使DC ＝BC ，过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ，求证：△ABC ≌△EDC ．【理解与应用】如图2，已知在△ABC 中，点E 在边BC 上且∠CAE ＝∠B ，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE ．（1）求证：AC ＝BD ；（2）若BD ＝3，AD ＝5，AE ＝x ，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见分析；[理解与应用]（1）见分析；（2）1＜x ＜4解：[探究与发现]证明：∵DE ∥AB ，∴∠B =∠D ，又∵BC =DC ，∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE 到F ，使EF =EA ，连接DF ，∵点E 是CD 的中点，∴ED =EC ，在△DEF 与△CEA 中，EF EA DEF CEA ED EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CEA （SAS ），∴AC =FD ，∴∠AFD =∠CAE ，∵∠CAE =∠B ，∴∠AFD =∠B ，∵AD 平分∠BAE ，∴∠BAD =∠FAD ，在△ABD 与△AFD 中，B AFD BAD FAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AFD （AAS ），∴BD =FD ，∴AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD ≌△AFD ，∴AB =AF =2x ，∵BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．3．阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．（1）如图1，在△ABC 中，若AB ＝12，AC ＝8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______.问题解决：（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF ＝12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．问题拓展：（3）如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝60°，点D 是△ABC 外角平分线上一点，DE ⊥AC 交CA 延长线于点E ，F 是AC 上一点，且DF ＝DB ．求证：AC ﹣AE ＝12AF．【答案】（1）2＜AD ＜10；（2）证明见分析；（3）证明见分析.解：（1）延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB CD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝8，AB ﹣BE ＜AE ＜AB+BE ，即21﹣8＜2AD ＜12+8，∴2＜AD ＜10，故答案为2＜AD ＜10；（2）证明：延长CB 到G ，使BG ＝DF ，∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∠ABC+∠ABG ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABG ，在△ABG 和△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠GAB ＝∠FAD ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠FAD+∠BAE ＝∠GAB+∠BAE ＝12∠BAD ，∴∠GAE ＝∠FAE ，在△AEG 和△AEF 中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEG ≌△AEF （SAS ），∴EF ＝GE ，∴EF ＝BE+BG ＝BE+DF ；（3）证明：作DH ⊥AB 于H ，在AB 上截取BR ＝AF ，∵∠CAB ＝60°，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ，∵点D 是△ABC 外角平分线上一点，DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DE ＝DH ，AH ＝AE，在Rt △DEF 和Rt △DHB 中，DE DH DF DB=⎧⎨=⎩∴Rt △DEF ≌Rt △DHB （HL ）∴∠DFA ＝∠DBA ，在△DAF 和△DRB 中，AF BR DFA DBR DF DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△DRB （SAS ）∴DA ＝DR ，∴AH ＝HR ＝AE ＝12AR ，∵AF ＝BR ＝AB ﹣AR ＝2AC ﹣2AE ∴AC ﹣AE ＝12AF ．举一反三：【变式】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CP CM的值．【答案】（1）见分析；（2）21kk +解：（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM 中，CM DMAMC BMD AM BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACM BDM ∴∆≅∆，AC BD ∴=，2CM CN = ，CD CN ∴=，在DCB 与NCB △中，CD CNDCB NCB CB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DCB NCB ∴∆≅∆，BN BD ∴=，AC BN ∴=；（2）如图所示，120AMC ∠=︒ ，60CMN ∴∠=︒，NP 平分MNC ∠，BCN BCM ∠=∠，1602PNC BCN AMC ∠+∠=∠=︒，120CON ∴∠=︒，60COP ∠=︒，180CMN BOP ∴∠+∠=︒，作CQ CP =，在CPO △与CQO 中，CQ CPQCO PCO CO CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CPO CQO ∴∆≅∆，123∴∠=∠=∠，45∴∠=∠，在NOB 与NOQ 中，45BNO QNO NO NO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NOB NOQ ∴∆≅∆，BN NQ ∴=，CN CP NB ∴=+，2CM CP AC ∴=+，设AC a =，CP ka ∴=，(1)2a k CM +=，21CP k CM k ∴=+．。
类比探究之结构类比((类)倍长中线)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？问题3：中点结构的常见处理思路是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，解决此问题的主要方法是什么？答：类比是解决此类问题的主要方法：字母类比，辅助线类比和思路类比.在这个基础上还有结构类比，做好类比需要把握变化过程中的不变特征.问题2：目前我们所学的结构类比中有两种结构，分别是什么？答：旋转结构和中点结构，其中中点结构中包含：（类）倍长中线，平行夹中点，以及中位线.问题3：中点结构的常见处理思路是什么？答：①直角三角形斜边中线等于斜边一半；②等腰三角形三线合一；③一般三角形一边上的中点可以考虑倍长中线；④平行夹中点考虑延长证全等；⑤多个中点考虑构造中位线．类比探究之结构类比（（类）倍长中线）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上．连接EC，取EC的中点F，连接AF，DF．为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们只需要延长DF交线段AC于点G，说明AF是等腰直角三角形ADG的中线即可．将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，类比上面的做法，为了证明FA⊥FD，FA=FD，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CG⊥DF，交DF的延长线于点GC.延长DF到G，使FG=DF，连接CG，AD，AGD.延长DF交AC的延长线于点G，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.在第1题图2的证明中，说明△ADG是等腰直角三角形之前，证明AD=AG需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.已知等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上一点，过D点作DE⊥BC交AB于E，连接CE，F为CE中点，连接AF，DF，易证AF=DF；（1）若将图①中△BDE绕点B顺时针旋转45°，如图②所示，取CE的中点F，连接AF，DF，则下列结论中错误的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.（上接第3题）（2）将图①中△BDE绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，则（1）中的结论中，AF=DF以及AF⊥DF仍然成立，我们需要作的辅助线是( )A.连接ADB.过点C作CM⊥DF，交DF的延长线于点MC.延长AF到M，使FM=AF，连接DM，AD，EMD.延长DF交AC的于点M，连接AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题5.（上接第3题，第4题）（3）如图③，说明△ADM是等腰直角三角形之前，证明AD=DM 需要直接使用到某对三角形全等，则判定这对三角形全等的条件是( )A.AASB.ASAC.SSSD.SAS答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练类比探究的处理框架，我们一起来对本套试题进行反思和小结，同学们在做的时候哪些题目有困难？问题2：针对做题时的困难，需要进行反思；主要原因是：①类比不下去；②找不到不变特征；③每一问都不同，不知如何类比．。
倍长中线法(经典例题)87297教案资料
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。