格林Green公式曲线积分与路径无关的条件
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积分与积分路径无关的条件
积分与积分路径无关的条件
平面上曲线积分与路径无关的条件是什么：一个在任何条件下适用的条件是原函数
存在.如果积分区域是单连通区域,如果āq/āx=āp/āy也满足积分与路径无关曲线积分与路径无关的条件。
格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件. - ：首先格林公式中的两个条件是完全独立的,不存在哪个可以推出哪个的可能,由闭区域d由分段光滑曲线l围成是推不出
p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数的(而且你在问题补充里说的那几个哪个也推不出来),因为围成d的分段光滑曲线l第二型曲线积分与与路径无关的条件是什么? - ：p
对y的偏导=q对x的偏导格林公式的二,平面曲线积分与路径无关的条件 - ：【定义】设g 是一个开区域,函数p(x,y)与q(x,y)在g 内具有一阶连续偏导数,如果对于g 内任意两点 a,b,以及g 内从a 点到b点的任意两条曲线l1,l2 ,(pdx+qdy)在l1上的曲线积分
=(pdx+qdy)在l2上的曲线积分恒成立,就称曲线积分在内积分与路径无关 - ：这个是那个格林公式还是高斯公式来着意思就是说有一个积分是pdx+qdy 如果偏q/偏x=偏p/偏y 那就与路径无关。
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
数学与其他学科的交叉应用
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
下页
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
首页
三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
首页
三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
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例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
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L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件
ydx
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
21-3格林公式曲线与路径的无关性
一 问题的提出 二 区域的连通性及分类 格林(Green) 三 格林(Green)公式 格林(Green) 四 格林(Green)公式的简单应用 五 曲线积分与路径的无关 六 二元函数的全微分求积 七 小结与思考判断题
一 问题的提出
在一元函数的微积分中我们通过 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 Newton-lebiniz公式可以把定积分和原 函数联系起来.在曲线积分中, 函数联系起来.在曲线积分中,我们是否 有相似的联系呢?下面的Green Green公式告诉 有相似的联系呢?下面的Green公式告诉 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 我们,在曲线积分中,也有相似的联系. 即二重积分与曲线积分的联系, 即二重积分与曲线积分的联系,这就是 我们所要讲授的Green公式. Green公式 我们所要讲授的Green公式.
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系 .
于 忆 式: 便 记 形 式
∫∫ x ydxdy = ∫L Pdx + Qdy. D P Q
四 应用
1) 简化曲线积分
例 1 计算 ∫
AB
y
A
D
xdy ,其中曲 其中曲
o L
B
线 AB 是半径为r 的圆在 第一象限部分. 第一象限部分
N
1 0 a = ∫a x ( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
五 曲线积分与路径的无关
如果在区域G内有 如果在区域 内有
y
L 1
∫L Pdx + Qdy
1
B
green公式
∫L Pdx +Qdy − ∫L
1
Pdx +Q y d
L2
B
L 1
2
A
=∫
L1+L− 2
Pdx +Q y d
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx +Q y d
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx +Qdy= ∫APdx +Qdy
B
(3) 证明 (2) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
o
(10) ,
(x,0)
x
x = −arctan 2 y
π
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A(0, )
2
y
r r k 解 : W = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( ydx − xdy) L L r2 o 令 则有
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 取定点 ( x0, y0)∈D及动点 ( x, y) ∈D, 则原函数为
u( x, y) = ∫
( x, y)
= ∫ P(x, y0)dx +∫ Q(x, y)dy
或 u(x, y) = Q(x0, y)dy + P(x, y)dx ∫ ∫
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx A = ∫ xdy = −∫ ydx L L L 2 =a x =acosθ , 0 ≤θ ≤ 2 所围面积 π 例如, 例如, 椭圆 L: y = bsinθ
格林公式·曲线积分和路线的无关性
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
由于 ∫ x dy = 0, ∫ x dy = 0, 因此 OA BO 1 2 ∫AB x dy = − ∫∫ dσ = − 4 πr . D
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件高等数学三年专科最新版精品课件
3
例3
计算曲线积分
AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy .
其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周
x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L 是一条正向的封闭曲线. y 我们设由它围成的区域为 D.
AnB
Pdx Qdy AmB Pdx Qdy ,
y
因此
0.
AnBmA
Pdx Qdy
BmA
m
D B
n
AnB
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
O
A
AnB
AmB
x
再证充分性. AnB 与 AmB 设 A、B 是 D 内的任意两点， 是 D 内的任意两条路径. 因为对 D 内任意一条 闭曲线 C， 恒有 Pdx Qdy 0, 所以由题设有
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节
格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线
L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
( a)
( b)
定理 1
在区域 D 中，曲线积分 L Pdx Qdy
与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲 线 C，有
C
Pdx Qdy 0.
例3
计算曲线积分
AnO
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy .
其中AnO为由点 A(a, 0) 至点 O(0, 0) 的上半圆周
x2 + y2 = ax(a > 0).
解 如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L 是一条正向的封闭曲线. y 我们设由它围成的区域为 D.
AnB
Pdx Qdy AmB Pdx Qdy ,
y
因此
0.
AnBmA
Pdx Qdy
BmA
m
D B
n
AnB
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
O
A
AnB
AmB
x
再证充分性. AnB 与 AmB 设 A、B 是 D 内的任意两点， 是 D 内的任意两条路径. 因为对 D 内任意一条 闭曲线 C， 恒有 Pdx Qdy 0, 所以由题设有
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节
格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线
L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
( a)
( b)
定理 1
在区域 D 中，曲线积分 L Pdx Qdy
与路径无关的充要条件是：对 D 内任意一条闭曲 线 C，有
C
Pdx Qdy 0.
§4 格林(Green)公式和曲线积分与路径无关性
。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，
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格林公式的应用
从
证明了：
D
Q x
P y
dxdy
P( x, y)dx Q( x, y)dy（格林公式）
L
练习1 计算积分 (ex sin y y)dx (ex cos y 1)dy
L
y
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
1
解 (ex sin y y)dx (ex cos y 1)dy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D2 L2
D L
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(Hale Waihona Puke Q xP y)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算 xdy ,其中曲 AB
线 AB是半径为r 的圆在
第一象限部分.
y
A
D
oL
Bx
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成
的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
记D1由L 和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
y
L
D1
l
or
x
2r 2
0
cos2
r2
r2
sin2
d
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
则 Q P e y2 , x y
A
x
1
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx
OA
0
1 (1 e1 ). 2
例3
计算
L
xdy x2
ydx y2
,其中L
为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向.
G
G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
二、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
L
xdy x2
ydx y2
0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L