2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高一上学期期初数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市第一中学高一上学期期初数学试题一、单选题1．已知集合 {}{21}2101A x x B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B =（ ）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{}2,1,0--【答案】B【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{21}2101A xx B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B ={1,0,1}-. 故选：B.2．已知集合{}1,2,3,5,10,{A B x x ==∣为质数}，则A B 的非空子集个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16【答案】B【分析】由题意易知{}2,3,5A B =，则可求出答案.【详解】结合交集的运算易得{}2,3,5A B =，共含有3个元素，其非空子集个数为3217-=.故选：B.3．设,a b ∈R ，则“2a <且2b <”是“4a b +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.【详解】若2a <且2b <，则4a b +<，充分性成立；取1,3a b =-=，则4a b +<成立，但“2a <且2b <”不成立，必要性不成立.因此“2a <且2b <”是“4a b +<”的充分不必要条件. 故选：A.4．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ） A ．21,0x x x ∃≤-≤B ．1x ∀>，20x x -≤C ．21,0x x x ∃>-≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合” 【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”， 故命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“21,0x x x ∃>-≤”. 故选：C5．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ） A ．120 B ．144C ．177D ．192【答案】A【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂= 不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z 即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++= 由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =故选：A6．已知集合{}21A x x =-<≤， {}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤，A B =（ ）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【答案】B【分析】根据题意，由{|23}A B x x =-<≤求出a 的值，进一步求出A B 得答案. 【详解】因为{}21A x x =-<≤， {}0B x x a =<≤，并且{|23}A B x x =-<≤， 所以3a =，所以{|01}A B x x =<≤. 故选：B.7．“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．02a << C ．102a <<D ．1a >【答案】B【分析】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”解出a 的取值范围， 即可解决此题．【详解】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”， 可得()2240a a --<，解得：01a <<. 故选：B ．8．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数； （3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈． 则下列选项哪个是正确的（ ） A ．集合P 中一定有0但没有2 B ．集合P 中一定有0可能有2 C ．集合P 中可能有0可能有2 D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ． 假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中， 故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数）， 由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾． 故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈， 得2,4,6,---均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾． 综上，0P ∈，2∉P . 故选:A ．二、多选题9．已知集合{}1,2,3A =，集合{},B x y x A y A =-∈∈，则（ ） A ．{}1,2A B = B ．{}1,0,1,2,3A B =- C ．0B ∈ D ．1B -∈【答案】AC【分析】根据已知条件及集合B 的含义，求出集合B ，再利用元素与集合的关系及交集与并集的定义即可求解.【详解】由题意可知，当x ，y 取相同数时，0x y -=；当x ，y 取不同数时，x y -的取值可能为1或2，所以{}0,1,2B =，所以{}1,2A B =，{}0,1,2,3A B =，0B ∈，1B -∉． 故选：AC.10．下列说法正确的是（ ）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”， 故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取1x =-，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取1x =-，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”， 所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．设0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22ab>B ．ac bc <C ．a b >-D >【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，因为0a b <<，所以20ab >，对a b <两边同乘2ab ，则有22a b>，故选项A 一定成立；对于B ，当0c ≤时，选项B 不成立； 对于C ，a a b =->-，故选项C 一定成立；对于D ，由0a b ->->>D 成立. 故选:ACD.12．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【分析】分别将各选项代入集合A ，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案. 【详解】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误； 选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确； 选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确； 选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确. 故答案为：BCD.三、填空题13．己知集合{,||,2}A a a a =-，若3A ∈，则实数a 的值为____________．【答案】3-【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.【详解】由集合中元素的互异性得||a a ≠，故0a <，则20a -<，又3A ∈，所以||3=-=a a ，解得3a =-．故答案为：3a =-14．已知全集{3,15U x x n n ==≤≤且}n ∈N ，{}2|270,A x x px p =-+=∈N ，{}2|150,B x x x q q =-+=∈N ，且{}3,9,12,15U A B ⋃=，则p q +的值为_____________． 【答案】66【分析】由题意，A 、B 的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即∆）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数p q 、 【详解】由题意，A 、B 的元素个数最多为2个.{3,6,9,12,15}=U ，{}3,9,12,15U A B ⋃=，对2270-+=x px ，2108p ∆=-，如有根可设为12x x 、 ()12x x ≤； 对2150-+=x x q ，2254q ∆=-，如有根可设为34x x 、 ()34x x ≤. （1）当21080p p ∆=-=⇒=N ，不符合；（2）当21080p p ∆=-<⇒<则A =∅，则{}3,9,12,15U B =，则{}6B =，故36x =或46x =且有343344156954x x x x x qx q q +==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪∈=⎩⎩N ，即此时{}6,9B =与{}6B =矛盾，不符合； （3）当21080p p ∆=->⇒>12112212273912U x x x x x px p p x x A B=⎧=⎧⎪+=⎪⎪⇒=⎨⎨∈⎪⎪=⎩⎪∈⋃⎩N 、，则{}3,9A =，则{}12,15UB ⊆，i.当225225404q q ∆=-=⇒=∉N ，不符合； ii.当225225404q q ∆=-<⇒>，B =∅，则{}3,6,9,12,15U A B ⋃=，不符合； iii.当225225404q q ∆=->⇒<，则{}34,B x x =，则{}34334415695412,15U x x x x x qx q q B+=⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒=⎨⎨∈⎪⎪=⎩⎪⊆⎩N ，综上，12,54,66p q p q ==+=. 故答案为：6615．设:231,:27αβ<≤+-≤≤a x a x ，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],2-∞【分析】由题知(]2,31a a +是[]2,7-的真子集，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：因为α是β的充分非必要条件，(]2,31a a +是[]2,7-的真子集， 所以，当(]2,31a a +=∅时，231a a ≥+，解得1a ≤-， 当(]2,31a a +≠∅时，22317-≤<+≤a a ，解得12a -<≤． 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞ 故答案为：(],2-∞16．若13a <<，25b <<，则231a b -+的取值范围为______． 【答案】()12,1-【分析】根据,a b 的范围求出2,3a b -的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得231a b -+的范围.【详解】解：因为13a <<，所以226a <<； 又因为25b <<，所以1536b -<-<-， 所以122311a b -<-+<． 故答案为：()12,1-.四、解答题17．已知集合{}42A x x =-<<，{5B x x =<-或}1x >．求A B ，()RA B ；【答案】{5A B x x ⋃=<-或}4x >-；(){}41A B x x ⋂=-<≤R 【分析】由并集、补集和交集定义直接求解即可. 【详解】由并集定义知：{5A B x x ⋃=<-或}4x >-； {}51B x x =-≤≤R ，(){}41A B x x ∴⋂=-<≤R .18．已知集合{}24M x x =-<≤，集合{}44N x x m =-<-<．(1)若MN R，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1){|6m m ≤-或8}m ≥； (2)存在，[]0,2m ∈.【分析】（1）化简集合N ，求出其补集，由M N R列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为MN ，列出不等式组求解即可.【详解】(1)由题意，{}|44N x m x m =-<<+，所以{|4N x x m =≤-R或}4x m ≥+，因为MN R，所以42m +≤-或44m -≥，解得6m ≤-或8m ≥，所以实数m 的取值范围是{|6m m ≤-或8}m ≥.(2)假设存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件， 则NM RR，即M N ，则4244m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得02m ≤≤， 故存在实数[]0,2,m ∈使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件.19．已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥． (1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若B C B =，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)[]2,3 (2)()[),01,-∞⋃+∞【分析】将集合的运算结果转化为集合间的关系，根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组）并求解，特别要注意端点值能否取到求解即可. 【详解】(1)∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤．∴实数m 的取值范围为[]2,3．(2)∵B C B =，∴B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆． 当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ， 若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥，∴无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是()[),01,-∞⋃+∞．20．已知集合{}|14A x x =-≤≤，{2B x x =<-或}5x >. (1)求B R，()A ⋂R B ；(2)若集合{}21|C x m x m =<<+，且∃x C x A ∈∈，为假命题.求m 的取值范围. 【答案】(1){}25B x x =-≤≤R，()()(),25,R A B ⋂=-∞-⋃+∞(2)2m ≤-或1m ≥【分析】（1）由集合的交并补运算可得解；（2）转化条件为A C ⋂=∅，对C 是否为空集讨论即可得解. 【详解】(1){}25B x x =-≤≤R，{R1A x x =<-或}4x >，(){R2A B x x ⋂=<-或}5x >；(2)∵∃x C x A ∈∈，为假命题，∴x C x A ∀∈∉，为真命题，即A C ⋂=∅， 又{}21|C x m x m =<<+，{}|14A x x =-≤≤， 当C =∅时，21m m ≥+，即1m ≥，A C ⋂=∅；当C ≠∅时，由A C ⋂=∅可得，2111m m m <+⎧⎨+≤-⎩，或2124m m m <+⎧⎨≥⎩， 解得2m ≤-，综上，m 的取值范围为2m ≤-或1m ≥.21．在①x ∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．问题：求实数a 满足的条件，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，都是真命题．【答案】选择条件①：{}21a a a ≤-=或；选择条件②：203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【分析】对命题[]:1,2p x ∀∈，转化为不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立，求解2x 的最小值即可得1a ≤.选择条件①：根据判别式大于等于0求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可； 选择条件②：根据区间端点满足的不等式求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可；【详解】选择条件①．由命题p 为真，可得不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立． 因为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 若命题q 为真，则方程2220x ax a ++-=有解， 所以()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-． 又p ，q 都是真命题，所以2a ≤-或1a =， 所以实数a 的取值范围是{}21a a a ≤-=或． 选择条件②，由命题p 为真，可得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立． 困为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤． 因为区间(),3B a a =，则3a a <，故0a >， 由A B =∅，得4a ≥或32a ≤，即203a <≤或4a ≥．又p ，q 都是真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，得203a <≤， 所以实数a 的取值范围是203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ 22．对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解【详解】(1)对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”，对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a 均为偶数， 故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同①若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，②若i a 为偶数，此时取2i i a b =，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”，若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n 为奇数 综上，集合A 中元素个数为奇数(3)由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”， 去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ， 去掉1后，35791113+++=+， 去掉3后，19135711++=++， 去掉5后，91313711+=+++， 去掉7后，19113513++=++， 去掉9后，13511713+++=+， 去掉11后，3791513++=++， 去掉13后，1359711+++=+， 故{1,3,5,7,9,11,13}A是“和谐集”，元素个数的最小值为7。