排列组合和排列组合计算公式
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示.pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1.2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cn,m 表示.cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m;3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/n1!*n2!*...*nk!.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m.排列Pnmn为下标，m为上标Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n组合Cnmn为下标，m为上标Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。
特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。
排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。
两条性质两公式，函数赋值变换式。
1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 分步②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 分类2. 排列有序与组合无序Anm=nn-1n-2n-3…n-m+1=n!/n-m! Ann =n!Cnm = n!/n-m!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=k+1!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑插空法解决相间问题间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：1把具体问题转化或归结为排列或组合问题;2通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;3分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;4列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①a+bn=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：1+xn=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
排列组合计算方法
排列组合计算方法
排列组合是一种数学计算方法，用于确定一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是无关紧要的。
以下是计算排列和组合的方法：
1. 排列计算方法：
排列是从一组对象中选取特定数量的对象进行排列的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则排列数可以通过以
下公式计算：
nPr = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 3 * 2 * 1。
2. 组合计算方法：
组合是从一组对象中选取特定数量的对象进行组合的方法。
用
n表示总对象数，r表示选择的对象数，则组合数可以通过以
下公式计算：
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
其中，n!和r!表示n和r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
通过以上的排列和组合计算方法，我们可以得到不同排列和组合的数量。
在实际应用中，这些计算方法可以用于解决各种问题，如概率计算、组合问题、排序问题等。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则摘要：一、排列组合的概念二、排列组合的运算法则1.排列公式2.组合公式3.排列组合公式三、实例解析四、应用场景正文：排列组合是组合数学中的基本概念，它广泛应用于各种学科和实际问题中。
排列组合的研究对象是有限的、不同的元素，主要研究将这些元素进行有序排列或无序组合的问题。
接下来，我们将介绍排列组合的运算法则，并通过实例进行解析。
一、排列组合的概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。
排列用符号A(n,m)表示。
2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素之间的顺序，称为组合。
组合用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的运算法则1.排列公式排列公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
2.组合公式组合公式为：C(n,m) = n! / [m! * (n-m)!]其中，n!和m!分别表示n和m的阶乘。
3.排列组合公式排列组合公式为：P(n,m) = C(n,m) * A(m,m)其中，P(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数。
三、实例解析例如，有5个人参加一场比赛，需要分成3个小组，求不同的分组方法数量。
解：根据组合公式，C(5,3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10所以，有10种不同的分组方法。
四、应用场景1.密码学：在密码学中，排列组合可用于计算密码组合的数量，以评估密码的安全性。
2.组合优化：在组合优化问题中，排列组合可用于计算不同方案的数量，以便找到最优解。
3.概率论：在概率论中，排列组合可用于计算事件的组合概率。
4.生物学：在生物学中，排列组合可用于研究基因组合和生物多样性。
总之，排列组合的运算法则在许多领域具有广泛的应用价值。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
排列组合的基本概念与计算
排列组合的基本概念与计算排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到物体的排列和组合方式。
在许多问题中，我们需要计算排列和组合的数量，以解答问题或得出结论。
本文将介绍排列组合的基本概念和计算方法。
一、排列的基本概念与计算排列是指从一组物体中按照一定的顺序选取若干个物体进行排列。
在排列中，每个物体只能使用一次。
考虑以下例子：例1：有A、B、C三个物体，从中选取两个进行排列。
解：从A、B、C三个物体中选取两个进行排列，可以有以下六种结果：AB、AC、BA、BC、CA、CB。
这些结果是不相同的。
因此，从三个物体中选取两个进行排列，共有6种可能。
根据以上例子，可以总结出排列的计算公式。
设有n个物体，从中选取m个进行排列。
则排列的总数为P(n,m)。
根据计算公式，有： n!P(n,m) = ------(n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即将一个数从1乘到它本身的连乘积。
二、组合的基本概念与计算组合是指从一组物体中按照一定的顺序选取若干个物体进行组合。
在组合中，物体的顺序不重要，只考虑选取的物体是否相同。
考虑以下例子：例2：有A、B、C三个物体，从中选取两个进行组合。
解：从A、B、C三个物体中选取两个进行组合，可以有以下三种结果：AB、AC、BC。
由于AB和BA是同一种组合的情况，因此这三种结果是相同的。
因此，从三个物体中选取两个进行组合，共有3种可能。
根据以上例子，可以总结出组合的计算公式。
设有n个物体，从中选取m个进行组合。
则组合的总数为C(n,m)。
根据计算公式，有： n!C(n,m) = ------m!(n-m)!其中，"!"表示阶乘运算。
总结：排列和组合是数学中的基本概念，用以描述物体的排列和组合方式。
排列和组合的计算公式分别为P(n,m)和C(n,m)。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定使用排列还是组合的计算公式，并根据公式计算出对应的结果。
通过掌握排列组合的基本概念与计算方法，我们能够更好地解决实际问题，拓宽数学思维，提高解决问题的能力。
排列组合公式高中
排列组合公式高中
排列组合是数学中的一种计数方法，用于确定从给定的元素集合中选取若干个元素进行排列或组合的方式数。
1. 排列公式：
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式数。
若有n个元素，选取r个元素进行排列，排列的方式数记为P(n,r)。
排列公式为：
P(n,r) = n! / (n-r)!
n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1。
(n-r)!表示n-r的阶乘。
2. 组合公式：
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式数。
若有n个元素，选取r个元素进行组合，组合的方式数记为C(n,r)。
组合公式为：
C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)
n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1。
(r! * (n-r)!)表示r的阶乘与(n-r)的阶乘的乘积。
以上就是高中排列组合的公式，希望能对你有所帮助。
排列组合公式大全
排列组合公式大全在组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列指的是从一组元素中选择出一些元素按照一定的顺序排列，而组合则是从一组元素中选择出一些元素，不考虑顺序。
排列和组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的排列和组合公式，供读者参考。
排列公式1. 排列的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行排列，记为P(n, r)。
排列的结果是有序的，具体的排列方式有nPr种。
2. 全排列公式当r等于n时，即从n个元素中选取n个元素进行排列，这种排列方式称为全排列。
全排列的总数为n!（n的阶乘），即：P(n, n) = n!3. 部分排列公式当r小于n时，即从n个元素中选取r个元素进行排列，这种排列方式称为部分排列。
部分排列的总数为：P(n, r) = n! / (n - r)!4. 循环排列公式循环排列是一种特殊的排列方式，它指的是把元素排列成一个环状。
对于n个元素的循环排列，总数为(n - 1)!。
P(n, 1) = (n - 1)!5. 有限排列公式在排列中，如果元素可以重复使用，则称为有限排列。
从n个元素中选取r个元素进行有限排列的总数为nr。
组合公式1. 组合的定义在数学中，从n个元素中选取r个元素进行组合，记为C(n, r)。
组合的结果是无序的，具体的组合方式有Cnr种。
2. 组合公式组合的总数可以使用下列公式计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)3. 组合与排列的关系组合数与排列数之间存在一定的关系。
具体来说，C(n, r)可以通过P(n, r)除以r!来计算，即：C(n, r) = P(n, r) / r!4. 二项式系数公式二项式系数是组合数学中常见的概念，它对应于二项式展开中各项的系数。
n 个元素的二项式系数可以使用组合公式计算：C(n, 0) = 1C(n, n) = 1C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)总结本文介绍了一些常见的排列和组合公式。
排列组合公式公式解释
排列组合公式公式解释
排列组合公式是用于计算排列和组合问题的一种数学公式。
排列是指从n个不同元素中取出m个进行排列的方法数，排列公式如下：
P(n,m) = n! / (n-m)!
其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合是指从n个不同元素中取出m个进行组合的方法数，组合公式如下：
C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)
其中m!表示m的阶乘。
排列和组合的公式都基于阶乘的概念，通过计算阶乘来得到最终的结果。
排列和组合公式的应用范围很广，可以解决很多与选择和排列相关的问题，例如从一组人中选出若干个人担任不同的职务，从一组物品中选出若干个进行排序等。
排列组合计算公式怎么算
排列组合计算公式怎么算排列组合是概率和统计中的一个基本概念。
它与对象的排列和组合方式有关，用于计算可能的结果的数量。
在实际应用中，排列组合常被用于数学、计算机科学、工程等领域。
本文将介绍排列和组合的基本概念，以及如何计算排列组合的公式。
排列是指从给定的对象集合中选取若干对象，按照一定的顺序进行排列。
组合是指从给定的对象集合中选取若干对象，不考虑其顺序。
下面将详细介绍这两种概念。
一、排列：排列是指从给定的对象集合中选取若干对象，按照一定的顺序进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选取r个对象进行排列，可以得到排列的公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，P(n,r)表示从n个对象中选取r个对象进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
例如，假设有5个不同的球，要从中选取3个进行排列，那么可计算得到：P(5,3) = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5×4×3×2×1 / 2×1= 5×4×3= 60所以，从5个不同的球中选取3个进行排列的可能性有60种。
排列也可以用数学符号表示为P(n,r)。
二、组合：组合是指从给定的对象集合中选取若干对象，不考虑其顺序。
假设有n个不同的对象，要从中选取r个对象进行组合，可以得到组合的公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，C(n,r)表示从n个对象中选取r个对象进行组合的可能性，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。
例如，假设有5个不同的球，要从中选取3个进行组合，那么可计算得到：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!)= 5! / (3!×2!)= 5×4 / (2×1)= 10所以，从5个不同的球中选取3个进行组合的可能性有10种。
排列与组合的计算公式讲解
排列与组合的计算公式讲解排列与组合，这可是数学世界里相当有趣的一部分呢！咱先来说说排列。
排列呀，就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的水果里，选 3 个排成一排，这就叫排列。
那排列的计算公式是啥呢？咱记好了哈，A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1 。
我给您举个例子哈。
有一次我去超市买水果，看到苹果、香蕉、橙子、草莓和芒果。
我就想，如果我要选 3 种水果带回家，能有多少种不同的排列方式呢？按照排列公式，那就是 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! =5×4×3 = 60 种。
哇，原来有这么多种选择呢！再来说说组合。
组合呢，就是从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑顺序。
还是拿水果举例，从 5 个水果里选 3 个组成一组，这就叫组合。
组合的计算公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
比如说，还是那 5 种水果，我这次不考虑顺序，只要选 3 种，那组合的方式就是 C(5, 3) = 5! / (3!×(5 - 3)!) = 10 种。
那排列和组合有啥区别呢？简单说，排列是要考虑顺序的，组合不考虑。
比如说，从 A、B、C 三个字母中选两个进行排列，那 AB 和BA 是两种不同的排列；但要是组合的话，AB 和 BA 就算是一种。
咱在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说，安排座位，这就是排列；从一堆东西里选几个出来，不考虑顺序，就是组合。
再举个例子，学校组织运动会，要从 10 个同学里选 3 个参加跑步比赛，这就是组合；但要是决定这 3 个同学的出场顺序，那就是排列啦。
总之，排列组合的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多联系实际，就能很好地掌握啦。
就像我们在生活中面对各种选择一样，有时候顺序重要，有时候不重要，搞清楚这一点，排列组合也就不难理解啦！希望您通过我的讲解，能对排列组合的计算公式有更清楚的认识，在数学的世界里畅游得更欢快！。
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排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种 C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。