新部编人教版八年级下册数学 《矩形(2)》教案

18.2.1矩形第二课时

一、教学目标

1．核心素养:

通过探索矩形的判定，发展合情推理的意识，掌握几何思维方法并渗透运动联系、从量变到质变的观点，进一步形成严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值．

2．学习目标

（1）18.2.1.1通过实例，理解并掌握矩形的判定；

3．学习重点

定理“对角线相等的平行四边形是矩形”、“有三个角是直角的四边形是矩形”的探究与证明．

4．学习难点

选择合适的判定方法证明四边形为平行四边形．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

阅读教材P54 ，矩形的定义是什么？还有哪些方法可以判定矩形？

2．预习自测

1.下列说法正确的是（）

（1）两组对边分别平行且有一个角是直角的四边形是矩形

（2）对角线互相平分且一组对边相等的四边形矩形

（3）一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

（4）四个角都相等的四边形是矩形

A.(1)(2)

B.(1)(4)

C.(2) (4)

D.(1) (3)

（知识点：矩形的判定）

2.如图所示，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A. AB=BC

B.AC⊥ BD

C.∠ABC=90°

D.∠ABD=∠CBD

B

（知识点：矩形的判定）

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）什么是矩形？ （2）矩形有哪些性质？

（从边、角、对角线三方面去归纳）

2．问题探究

问题探究一

●活动一 回顾旧知，巩固矩形的性质

矩形的定义：有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形．

矩形的性质：

①矩形的对边 平行且相等 ；

②矩形的对角 相等 ；

③矩形的对角线互相 平分 ；

④矩形的四个角都是 直角 ；

⑤矩形的对角线 相等 ．

●活动二 逆向思维，探求矩形的判定 阅读教材：由矩形定义，我们可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

探究：李芳同学用“边—直角，边—直角，边—直角，边”这们四步，画出了一个四

边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？

为什么？让请你按照李芳的方法画一

画.

归纳总结：有三个角是直角的四边形是

想一想：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是是量

一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道

为什么吗？

（1）引导学生将实际问题转化为数学问题

（2）在老师启发下解决问题

（3）归纳总结出判定矩形的又一种方法：

归纳总结矩形的判定方法：

1．矩形的判定方法一（定义）：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

符号语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90o，

∴四边形ABCD是矩形．

2．矩形的判定方法二（定理）：

对角线相等的平行四边形是矩形．

符号语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

3．矩形的判定方法三（定理）：

有三个角是直角的四边形是矩形．

∵∠A=∠B=∠C=90o，

∴四边形ABCD是矩形．

简单记忆：

①一个直角+平行四边形=矩形；

②对角线相等+平行四边形=矩形；

③三个直角+四边形=矩形．

●活动三运用判定，解决实际问题

例1．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．

求证：四边形BCDE是矩形．

【知识点：矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质】详解：

证明：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD－∠BAC=∠CAE－∠BAC，

∴∠BAE=∠CAD，

∵在△BAE 和△CAD 中：?????AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AC

， ∴△BAE≌△CAD（SAS ），

∴∠BEA=∠CDA，BE=CD ，

∵DE=BC，

∴四边形BCDE 是平行四边形，

∵AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠BEA=∠CDA，

∴∠BED=∠CDE，

∵四边形BCDE 是平行四边形，

∴BE∥CD，

∴∠CDE+∠BED=180°，

∴∠BED=∠CDE=90°，

∴四边形BCDE 是矩形．

点拨：求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD ，得出平行四

边形BCDE ，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求

出即可．

例2．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB

的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．

（1）求证：OE=OF ；

（2）若CE=12，CF=5，求OC 的长；

（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．

【知识点：矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 】

详解：

（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF=122+52=13，

∴OC=EF=6.5；

（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明如下：

当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

点拨：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，进而得出答案；（2）根据已知得出∠ACE+∠ACF=∠BCE+∠DCF=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．3．课堂总结

【知识梳理】

认识矩形的性质与判定互为逆定理，掌握矩形判定的常用三种方法：

①一个直角+平行四边形=矩形；

②对角线相等+平行四边形=矩形；

③三个直角+四边形=矩形．

【重难点突破】

使用矩形判定时要注意条件，分析条件跟哪种方法最接近，就使用哪种方法．如易于得到平行四边形，则利用对角线相等的平行四边形是矩形进行证明；如果给的条件是直角方面的，则利用有三个角是直角的四边形为矩形来证明.

4.随堂检测

1.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，因为【知识点：矩形的判定和性质】

2.下列四边形不一定是矩形的是（）

A．四个角相等的四边形

B．有三个角是直角的四边形

C.一组对边平行且对角线相等的四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形

【知识点：矩形的判定和性质】

3.如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）

A. AB=CD

B.AD=BC

C. AB=BC

D. AC=BD

B

【知识点：矩形的判定和性质】

4.如图，已知平行四边形ABCD，有下列条件：①AC=BD ②AB=AD ③∠CAD=∠ACB ,

④AB⊥BC其能说明平行四边形ABCD是矩形的有

【知识点：矩形的判定和性质】

5．如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的F处，折痕为AE，求CE的长．

【知识点：矩形的判定和性质，勾股定理的应用，翻折变换；数学思想：数形结合】

参考答案：

预习自测

1.B

2.C

随堂检测

1.对角线相等的平行四边形是矩形

2.C

3.D

4.①④

5. 解：∵△AFE是△ADE沿AE对折后的图形，

∴△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10，DE=EF．

在Rt△ABF中，由勾股定理知，

BF=AF2－AB2=102－82=6．

∴FC=BC－BF=10－6=4（cm）．

设EC=x，则DE=EF=8–x．

在Rt△EFC中，由勾股定理得（8－x）2=x2+42．

∴x=3cm，即EC=3cm．