九年级上册数学二次函数测试题及答案
1 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
4. 抛物线的对称轴是( ) A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0
6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1A. y12
10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )
A. B. C. D. 二、填空题(每题4分，共32分) 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不
计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.
18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)
19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标； (2)求此二次函数的解析式； 3
20. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8. (1)求二次函数解析式； (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积S△MCB.
22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 4
答案与解析： 一、选择题 1.考点：二次函数概念.选A. 2. 考点：求二次函数的顶点坐标. 解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C. 3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标. 解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C. 4.
考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为. 解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为
答案选B. 5. 考点：二次函数的图象特征.
解析：由图象，抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴在y轴右侧， 抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C. 6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.
解析：由图象，抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴在y轴右侧， 5
抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方， 在第四象限，答案选D. 7. 考点：二次函数的图象特征. 解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.
8. 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状. 解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，
所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C. 9. 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质. 解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2方，所以y2
10. 考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C. 二、填空题 11. 考点：二次函数性质.
解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1. 6
12. 考点：利用配方法变形二次函数解析式. 解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2. 13. 考点：二次函数与一元二次方程关系. 解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4. 14. 考点：求二次函数解析式.
解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3， 答案为y=x2-2x-3. 15. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一. 解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1. 16. 考点：二次函数的性质，求最大值. 解析：直接代入公式，答案：7. 17. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一. 解析：如：y=x2-4x+3. 18. 考点：二次函数的概念性质，求值.
答案：. 三、解答题 19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)A′(3，-4)
(2)由题设知： ∴y=x2-3x-4为所求 (3) 7
20. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根
又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9)
. 21. 解： (1)依题意：
(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1 ∴B(5，0)
由，得M(2，9) 作ME⊥y轴于点E，
人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数单元测试卷含答案解析
第二十二章《二次函数》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ． y =2x +1B ． y =(x −2)2−x 2C ． y =2x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣33．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ． y=（x +2）2﹣5 B ． y=（x +2）2+5 C ． y=（x ﹣2）2﹣5 D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ． 34或1 B ． 14或1 C ． 34或12 D ． 14或34 6．下列具有二次函数关系的是( )A ． 正方形的周长y 与边长xB ． 速度一定时，路程s 与时间tC ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长xD ． 正方形的面积y 与边长x7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表： x … ，1 0 1 2 2.5 3 4 … y 1 … 0 m 1 ，8 n 1 ，8.75 ，8 ，5 … y 2…5m 2，11n 2，12.5，11，5…则关于它们图象的结论正确的是（）A．图象C1，C2均开口向下B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，C．当x，4时，y1，y2D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A．√61B．8C．7D．912．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153B．218C．100D．216二、填空题13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．三、解答题18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，，1）求该二次函数的对称轴；，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：，1，求y与x之间的函数关系式；，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值及点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．【详解】A选项：一次函数，错误；B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C选项：不是整式，错误；D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选：D．【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数. 2．A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．【详解】∵y，2，x−1，2，3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，故选：A，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣b＜1，2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．5．A【解析】【分析】首先根据题意确定a，b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a，b为整数确定a，b的值，从而确定答案．【详解】，0，a+b，2=0，依题意知a，0，b2a故b，0，且b=2，a，a，b=a，，2，a，=2a，2，于是0，a，2，∴，2，2a，2，2，又a，b为整数，∴2a，2=，1，0，1， 故a=12，1，32，b=32，1，12，∴ab=34或1，故选A， 【点睛】根据开口和对称轴可以得到b 的范围。
数学九年级上册《二次函数》单元测试含答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．2m (m 2﹣4)B ．12 m 2﹣2C ．2m (4﹣m 2)D ．2﹣12m 2 2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣12或( )A ．0B ．1C ．2D ．33．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -4．如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,45OBC ∠=︒,则下列各式成立的是( ).A ．10b c --=B ．10b c ++=C ．10b c -+=D ．10b c +-=5．将抛物线y=3x 2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为( ) A ．y=3(x ﹣2)2﹣1B ．y=3(x ﹣2)2+5C ．y=3(x+2)2﹣1D ．y=3(x+2)2+56．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是( )A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)8．抛物线y＝﹣13(x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=x2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b的值是()A．4 B．5 C．6 D．711．抛物线y＝3(x﹣2)2+5的顶点坐标是()A．(﹣2,5) B．(﹣2,﹣5) C．(2,5) D．(2,﹣5)12．抛物线y＝x2+x﹣1的对称轴是()A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣12D．直线x＝12二、填空题13．如图,抛物线y＝14x2＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____． 15．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．三、简答题17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．18．已知243(3)5mm y m x +-=++是关于x 的二次函数.(1)求m 的值. (2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？19．如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△AB C;20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间的函数关系．21．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(﹣4,0)．(1)求m的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m时,则水面的宽度为多少？23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．参考答案1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．(m 2﹣4)B ． m 2﹣2C ．(4﹣m 2)D ．2﹣m 2 【答案】B【解析】【分析】先求出A 的坐标,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,根据题意可知x 1+x 2=2,x 1﹣x 2=m ,从而求出x 1与x 2的表达式．【详解】∵y =﹣2x 2+4x =y =﹣2(x -1)2+2,∴抛物线的对称轴为：x =1,令y =0代入y =﹣2x 2+4x ,∴0=﹣2x 2+4x ,∴x =0或x =2,∴A (2,0),∴OA =2,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,∴． ∵抛物线向右平移m (m ＞2)个单位长度,∴PQ =m ,∴x 1﹣x 2=m ,∴,解得：x 1=,x 2=． 把x 1=代入y =﹣2x 2+4x ,∴y =2﹣＜0,∴在△PCD 中,CD 边上的高为：﹣2． ∵OA =CD =2,∴S △PCD =×2×()=﹣2． 故选B ．2m 122m 121212x x +=12122x x x x m +=⎧⎨-=⎩22m +22m -22m +22m 22m 12222m -22m【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点,解题的关键是求出P 的坐标,然后根据三角形面积公式即可求出△PCD 的面积,本题属于中等题型．2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣或．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性,以及M 的定义,逐一判断即可．【详解】解：∵x ＞0时,函数y 2的图象在上面,∴y 2＞y 1,故①错误．当x ＜0时,M 的值=y 1或y 2,122∵x ＜0,y 随x 增大而增大,∴x 值越大,M 值越大,故②正确．刚才图象可知M 的最大值为2,∴使得M 大于2的x 值不存在,故③正确,y 2=1时,x=-, y 1=1时观察图象可知：x=-或时,M=1,故④正确．故选D ．【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用函数的性质解决问题3．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项．其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【详解】解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6．故选A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 121222316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=4．如图,抛物线与轴交于点、,与轴交于点,,则下列各式成立的是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据,有,可设点C 、B 的坐标为,代入解析式,即可解得答案.【详解】,OB=OC,可设点C 、B 的坐标为(0,c)、(c,0),把B(c,0)代入,得即故选：B【点评】本题考查了抛物线与x 轴有交点,根据题意得到点C 、B 的坐标是解题的关键.2y x bx c =++x A B y C 45OBC ∠=︒10b c --=10b c ++=10b c -+=10b c +-=45OBC ∠=︒OB OC =()()0,,0c c、45OBC ∠=︒∴2y x bx c =++20,c bc c ++=(1)0c c b ++=0c ≠∴10b c ++=5．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为() A．y=3(x﹣2)2﹣1 B．y=3(x﹣2)2+5C．y=3(x+2)2﹣1 D．y=3(x+2)2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3(x+2)2+2；再向下平移3个单位为：y=3(x+2)2+2﹣3,即y=3(x+2)2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向,可得C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),∴抛物线的对称轴是：直线x=-1,且开口向下,∵C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,∴y1>y2,故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小,是解题的关键．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是()A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x ＝1故选项A 正确；当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大,故选项B 正确；图象的顶点坐标是(1,4),故选项C 正确；图象与x 轴的另一个交点是(3,0),故选项D 错误.故选D【点评】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.8．抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣(x ﹣4)2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点,通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点,从而可判断抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数． 【详解】解：当 y ＝0 时,﹣(x ﹣4)2+1＝0,解得 x 1＝x 2＝4则抛物线与x 轴的交点坐标为(4+；13131313当 x ＝0 时,y ＝﹣( x ﹣4)2+1＝﹣,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,﹣)． 故选D ．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x 面积为y,则y 与x 有函数关系；②x 个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y 与x 有函数关系；④若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数关系式,然后由二次函数的定义进行判断．【详解】①依题意得：y=x 2,属于二次函数关系,故正确；②依题意得：y=x(x-1)=x 2-x,属于二次函数关系,故正确；③依题意得：y=6x 2,属于二次函数关系,故正确；④依题意得：y=120x,属于一次函数关系,故错误；综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C ．【点评】本题考查二次函数的定义：一般地,形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数．其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．y═ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式．1313313310．二次函数y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴,结合条件可得到关于b 的方程,可求得b 的值．【详解】∵y=x 2+bx+1, ∴对称轴为x=-, ∵y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=-3,∴-=-3,解得b=6, 故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴,掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键,即二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-． 11．抛物线y ＝3(x ﹣2)2+5的顶点坐标是( )A ．(﹣2,5)B ．(﹣2,﹣5)C ．(2,5)D ．(2,﹣5)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,5),故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等．12．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是( )2b 2b 2b aA ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣D ．直线x ＝ 【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式x ＝﹣可得对称轴． 【详解】∵对称轴x ＝﹣﹣＝﹣＝﹣, ∴对称轴是直线x ＝﹣． 故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴． 13．如图,抛物线y ＝x 2＋x ＋3的顶点为P,与y 轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意求得A,P 的坐标,再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形,以及A′,P 的坐标,然后求得AD,PP′的长,再求出面积即可.【详解】如图,连接AP,AP′,过点A 作AD ⊥PP′于D 点,由题意可得,四边形APP′A′为平行四边形,1212b 2ab 2a 121 121214将x=0代入函数得y=3,∴点A 的坐标为(0,3),又∵抛物线y ＝x 2＋x ＋3=(x 2+4x+4)+2=(x+2)2+2, ∴顶点P 的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),∴∠AOP ＝45°,∴△AOD 为等腰直角三角形,∴AD=OD,在Rt △AOD 中,AD 2+OD 2=9,即2AD 2=9, ∴则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为×=12. 故答案为12.14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____．【答案】直线x ＝2【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性,即可得到答案．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,∴其对称轴为：直线x ＝．故答案为：直线x ＝2．14141421522【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性,掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点关于抛物线的对称轴对称,是解题的关键．15．抛物线的顶点坐标是__________.【答案】(-5,-3)【解析】【分析】由于抛物线y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解．【详解】∵抛物线y=-2(x+5)2-3,∴顶点坐标为：(-5,-3)．故答案为(-5,-3).【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题． 16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣(x ﹣2)2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标,所以可设顶点式求解,即设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入即可求出a 的值.【详解】设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入,得-7=a (0-2)2 -3,解之得,a =-1.∴y =-(x -2)2 -3.故答案为y =-(x -2)2 -3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为10022(5)3y x =-+-米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米．(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD,表示AB 构成方程；(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】(1)设AD=x 米,则AB=米 依题意得,＝450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得：1002x (100)2x xS=,0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a-a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,a≤x ＜50+ 当a ＜25+＜50时,即0＜a ＜时, 则x=25+时,S 最大=(25+)2=, 当25+≤a ,即≤a ＜50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大==, 综合①②,当0＜a ＜时,-()=＞0 ＞,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米 2(100)1(50)125022x x x ---+＝1222(1002)[(25)](25)244x a x a a x +---+++＝2a 4a 10034a 4a 21000020016a a ++4a 1003(1002)2a a a +-21502a a -100321000020016a a ++21502a a -2(3100)16a -21000020016a a ++21502a a -21000020016a a ++当≤a ＜50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米； 当≤a ＜50时,围成长为a 米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米． 【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系．18．已知是关于x 的二次函数.(1)求m 的值.(2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？【答案】(1)或.(2)当时,该函数图象的开口向上.(3)当时,该函数有最大值.【解析】【分析】根据题意可知,本题考查是二次函数的基础性质,(1)根据x 的次数为2且二次项系数不为0,判断m 的值；(2)通过二次项系数的正负判断开口方向,为正开口向上,为负开口向下；(3)对任意的x 值,函数有最大值,在函数开口向下时,函数才有最高点,即二次项系数小于0. 【详解】解：(1)根据题意,得解得 ∴或.(2)∵函数图象的开口向上,∴,∴∴.∴当时,该函数图象的开口向上.(3)∵函数有最大值,∴.100310034a 21000020016a a ++10032a 21502a a -243(3)5mm y m x +-=++5m =-1m =1m =5m =-2432,30,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩51,3.m m m =-=⎧⎨≠-⎩或5m =-1m =30m +>3m >-1m =1m =30m +<∴,∴.∴当时,该函数有最大值.【点评】本题关键点：二次函数 中,；时开口向下,函数有最高点,即有最大值,时开口向上,函数有最低点,即有最小值.19．如图,抛物线y =2(x -2)2与平行于x 轴的直线交于点A ,B ,抛物线顶点为C ,△ABC 为等边三角形,求S △AB C;【解析】【分析】过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), 于是得到对称轴为直线x=2,设B(m,n),根据△ABC 是等边三角形,得到BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,求出由于PB=n=,于是得到 ,解方程得到m 的值,然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), ∴对称轴为直线x=2,设B(m,n),∴CP=m-2,∵AB ∥x 轴,3m <-5m =-5m =-2y ax bx c =++0a ≠0a <0a >222x -（）222m -（）222m -（）222x -（）∴AB=2m-4,∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,∴∵PB=n=,, 解得不合题意,舍去), ∴, ∴S △ABC =．【点评】本题考查二次函数的性质.20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)若平行于墙的一边长为y 米,直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S 与x 之间的函数关系．222m -（）222m -（）321322=【答案】(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)S ＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【解析】【分析】(1)由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度,根据墙的长度就可以求出的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数即可.【详解】解：(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)设矩形苗圃的面积为SS ＝xy ＝x(30﹣2x)＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型.21．已知二次函数y =x 2+3x +m 的图象与x 轴交于点A (﹣4,0)．(1)求m 的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．【答案】(1)m =-4；(2)(0,﹣4),(1,0)．【解析】【分析】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m ,即可求解；(2)令x =0时,则：y =﹣4,令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,即可求解．【详解】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m 得：16﹣12+m =0,解得：m =﹣4；(2)当x =0时,则：y =﹣4,∴函数图象与y 轴的交点为(0,﹣4)．令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,解得：x 1=1,x 2=﹣4,∴函数图象与x 轴的另一个交点为(1,0)．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点,是二次函数基础类题目．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：x(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m 时,则水面的宽度为多少？【答案】(1)y=﹣x 2+2;(2)【解析】【分析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点B 、点C 的坐标,将B 、C 的坐标代入抛物线解析式,列方程组求出未知参数即可；(2)令y =﹣1,解出x ,即可求出水面的宽度.【详解】解：(1)由题意设抛物线解析式为：y =ax 2+b (a ≠0),∵当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,∴点C (0,2),点B (2,0),代入得：, 解得：,∴拱桥所在抛物线的解析式为y =﹣x 2+2； (2)当水位下降1m 时,水位纵坐标为﹣1,令y =﹣1,则﹣1=﹣x 2+2, 解得x 12240b a b =⎧⎨+=⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1212∴水面宽度为.【点评】本题主要考查二次函数的应用,建立直角坐标系,求出抛物线的解析式是解题的关键.23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】y=﹣4t2+24t(0＜t＜6)【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出BP以及BQ的长；然后根据所求三角形的面积与时间的关系,得出S与t的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间,求出t的取值范围即可.【详解】△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化,∵在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,∴BP=12﹣2t,BQ=4t,∴△PBQ的面积S随出发时间t(s)的解析式为：y=(12﹣2t)×4t=﹣4t2+24t,(0＜t＜6)．【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题,用含t的代数式表示出BP以及BQ的长是解答本题的关键.24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．【答案】(1) 抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4；(2) 当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,M的坐标为：(2, 6)；(3) 点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【解析】【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为：y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点M的坐标为：(x,-x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【详解】解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0, 4), ∴点A′的坐标为：(4, 0),∵点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),抛物线经过点C、A、A′,设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,∴{a−b+c=0c=416a+4b+c=0,解得：{a =−1b =3c =4,∴此抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4；(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为：y =kx +b ,∴{b =44k +b =0, 解得：{k =−1b =4, ∴直线AA′的解析式为：y =−x +4,设点M 的坐标为：(x, −x 2+3x +4),则S △AMA′=12×4×[−x 2+3x +4−(−x +4)]=−2x 2+8x =−2(x −2)2+8,∴当x =2时,△AMA′的面积最大,最大值S △AMA′=8,∴M 的坐标为：(2, 6)；(3)设点P 的坐标为(x, −x 2+3x +4),当P,N,B,Q 构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC 中,点A 、C 的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),∴点B 的坐标为(1, 4),∵点Q 坐标为(1, 0),P 为抛物线上一动点,N 为x 轴上的一动点,①当BQ为边时,PN // BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴−x2+3x+4=±4,当−x2+3x+4=4时,解得：x1=0,x2=3, ∴P1(0, 4),P2(3, 4)；当−x2+3x+4=−4时,解得：x3=3+√412,x4=3−√412,∴P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)；②当BQ为对角线时,BP // QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【点评】此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．。
九年级上册数学《二次函数》单元检测题(含答案)
【考试时间:90分钟分数:120分】
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)、
1.下列函数1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示，给出以下结论:① ;② ;③ ;④ ，其中结论正确有()个．
A.2个B.3个C.4个D.5个
C.10D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线 自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【详解】∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3，
当x=3时，函数有最小值−4，
∵1≤x≤6，
∴当x=6时，函数的最大值为14，
∴最大值与最小值的和为−4+14=10.
故答案选C.
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值.
17.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为_________．
18.如图，利用一面墙(墙的长度不超过 )，用 长的篱笆围一个矩形场地，当 ________ 时，矩形场地的面积最大．
19.将一条长为20 cm 铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________.
14.已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论:① ;② ;③ ;④ ．正确的是________．
15.如图所示，有一根长 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积 与它的一边长 之间的函数关系式________．
16.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学 二次函数 单元试卷（一）时间90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m yx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为 。
数学九年级上册《二次函数》单元测试题附答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷【考试时间：90分钟 满分：120分】一．选择题1．（2020•雁塔区校级模拟）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,分析下列四个结论,其中正确结论的个数有( )①0abc <；②30a c +>；③22()a c b +<；④248ac a b -<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020•雁塔区校级模拟）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线1x =；③当2x <时,函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4．其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020•碑林区校级二模）如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-,其对称轴为直线12x =-,结合图象分析下列结论：①0abc >；②当0x <时,y 随x 的增大而增大；③30a c +>；④若m ,()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根,则3m <-且2n >,其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．（2020•滨海新区一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴为直线13x =-,有下列结论：①0abc >； ②20b c +>；③520a b c ++<．其中,正确结论的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．（2020•泉州二模）已知点1(,)A a m y -,2(,)B a n y -,3(,)C a b y +都在二次函数221y x ax =-+的图象上,若0m b n <<<,则1y 、2y ,3y 的大小关系是( ) A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<6．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知二次函数23y x bx a =-+-的图象与x 轴有交点,对称轴位于y 轴左侧,则当关于a ,b 的代数式22(6)a b -+有最小值时,该二次函数的顶点坐标为( ) A ．(1,0)B ．(1,2)C ．(1,0)-D ．(1,2)-7．（2018春•江阴市期中）如图,直线(y kx b k =+、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点(4,0)A -、(0,3)B ,抛物线221y x x =-++与y 轴交于点C ,点E 在抛物线221y x x =-++的对称轴上移动,点F 在直线AB 上移动,CE EF +的最小值是( )A ．1.4B ．2.5C ．2.8D ．3二．填空题8．（2020•铁西区二模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图,图象过点(1,0)-,对称轴为直线2x =,下列结论：①40a b +=；②93a c b +>；③,30a c +>；④当1x >-时,y 的值随x 值的增大而增大；⑤242(a b am bm m +-为任意实数）．其中正确的结论有 ．（填序号）9．（2020•镇江模拟）已知二次函数2(21)1y ax a x a =++++与x 轴交于A 、B 两点,(A 点在B 点左侧）C 为二次函数上一点且横坐标为1,已知ABC ∆的面积为72,则a 的值为 ． 10．（2020•肥东县二模）如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y kx =的图象与二次函数2142y x x =--+的图象交于P 点(P 在第二象限）,经过P 点与x 轴垂直的直线l 与一次函数4y x =+的图象交于Q 点,当32PQ =时,则k 的值为 ．11．（2019秋•惠城区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示,图象过点(4,0)-,对称轴为直线1x =-,下列结论：①0abc >；②20a b -=；③一元二次方程20ax bx c ++=的解是14x =-,21x =；④当0y >时,42x -<<,其中正确的结论有 ．12．（2019秋•娄星区期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴为1x =,给出下列结论：①0abc >； ②当2x >时,0y >；③30a c +>；④30a b +>,其中正确的结论有 ．13．（2019秋•南关区校级月考）抛物线22y x x =++的图象上有三个点(3,)a -、(2,)b -、(3,)c ,则a 、b 、c 的大小关系是 （用“<”连接）．14．（2014秋•金牛区期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,有下列5个结论：①0abc <；②0a b c -+>；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()(1a b m am b m +<+≠的实数）,其中正确结论的序号有 ．15．（2008秋•富阳市校级月考）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,3)A -、(3,3)B -、(1,5)C -,顶点为M 点．在抛物线上是找一点P 使90POM ∠=︒,则P 点的坐标 ． 三．解答题16．（2020春•南岸区校级月考）如图,抛物线223y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）,交y 轴于点C ,抛物线的顶点为点D ． （1）求AB 的长度和点D 的坐标； （2）求直线AC 的函数表达式；（3）点P 是第四象限抛物线上一点,当2PAC PAB S S ∆∆=时,求点P 的坐标．17．（2020•十堰）某企业接到生产一批设备的订单,要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台,该企业第一天生产22台设备,第二天开始,每天比前一天多生产2台．若干天后,每台设备的生产成本将会增加,设第x 天(x 为整数）的生产成本为m （元/台）,m 与x 的关系如图所示．（1）若第x 天可以生产这种设备y 台,则y 与x 的函数关系式为 ,x 的取值范围为 ； （2）第几天时,该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于10800元的天数．18．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天(x 为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为24(020)5112(2030)5x x p x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；（2）当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少？（销售额=销售量⨯销售价格）19．（2020•沭阳县模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标是(3,0),并且3OA OC OB ==,动点P 在过A ,B ,C 三点的抛物线上, （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ,使得ACP ∆是以AC 为底的等腰三角形？若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在,说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ,交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F ,连接EF ,以线段EF 的中点G 为圆心,以EF 为直径作G ,求G 最小面积．20．（2020•眉山）如图1,抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,已知点B 坐标为(3,0),点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；∆的面积最大时,求点P的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当PBC⊥轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线（3）如图2,点M为该抛物线的顶点,直线MD xMC的距离等于点N到点A的距离？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析一．选择题1．（2020•雁塔区校级模拟）已知二次函数的图象如图所示,分析下列四个结论,其中正确结论的个数有①；②；③；④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：抛物线开口向下,,对称轴在轴左侧,、同号,,抛物线与轴的交点在上方,,所以,,因此①不正确； 当时,, 当时,, ,即,也就是,因此③正确；抛物线顶点纵坐标,即,又,因此有,所以④正确；对称轴在之间,因此有,又,故有,而,有,即,因此②不正确；综上所述,正确的结论有：③④, 故选：．2．（2020•雁塔区校级模拟）已知二次函数的与的部分对应值如表：2(0)y ax bx c a =++≠()0abc <30a c +>22()a c b +<248ac a b -<0a <y a b 0b <y (0,2)2c >0abc >1x =0y a b c =++<1x =-0y a b c =-+>()()0a b c a b c ∴++-+<22()0a cb +-<22()a c b +<2y >2424ac b a ->0a <248ac a b -<0~1-12ba ->-0a <2b a >0a b c ++<20a a c ++<30a c +<B 2y ax bx c =++y x下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时,函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：根据题意：将点、、代入二次函数中, ,解得,所以二次函数,,抛物线的开口向下,所以①正确；,则图象的对称轴为直线,所以②错误；图象的对称轴为直线,当时,函数值随的增大而增大,所以③错误；当时,,解得,,1x =2x <y x 20ax bx c ++=()(1,3)--(0,1)(1,3)2y ax bx c =++313a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩131a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩231y x x =-++10a =-<∴2231331()24y x x x =-++=--+32x =32x =∴32x <y x 0y =2313()024x --+=1x =2x =, ,所以方程有一个根小于4,所以④错误．综上所述：其中正确的结论有①． 故选：．3．（2020•碑林区校级二模）如图,抛物线与轴交于点,其对称轴为直线,结合图象分析下列结论：①；②当时,随的增大而增大；③；④若,为方程的两个根,则且,其中正确的结论有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：抛物线开口向下,,对称轴为,即,因此,与的交点在正半轴,,所以,因此①正确；,对称轴为,当时,随的增大而增大,因此②不正确；3134<<732∴<20ax bx c ++=A 2(0)y ax bx c a =++≠x (3,0)-12x =-0abc >0x <y x 30a c +>m ()n m n <(3)(2)30a x x +-+=3m <-2n >()0a <122b x a =-=-a b =0b <y 0c >0abc >0a <12x =-∴12x <-y x由对称性可知,抛物线与轴的两个交点为,,,,又,, ,,因此③正确；抛物线与轴的两个交点为,,,,为方程的两个根,实际上就是当时,函数相应的自变量的值为、；,根据图象可知,且,因此④正确； 综上所述,正确的结论有：①③④, 故选：．4．（2020•滨海新区一模）二次函数的图象如图所示,对称轴为直线,有下列结论：①； ②；③．其中,正确结论的个数是A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：抛物线开口向下,因此,对称轴在轴的左侧,、同号,故,与轴的交点在轴的正半轴,因此, 故,因此①正确,x (3-0)(20)420a b c ∴++=a b =60a c ∴+=0a <30a c ∴+>x (3-0)(20)m ∴()n m n <(3)(2)30a x x +-+=3y =-(3)(2)y a x x =+-x m n 3m <-2n >B 2(0)y ax bx c a =++≠13x =-0abc >20b c +>520a b c ++<()0a <y a b 0b <y y 0c >0abc >对称轴为,即,即,也就是,由图象可知,当时,,即,因此有,所以②正确,当时,,（1） 当时,,（2） （1）（2）得,, 又,则,,因此③正确, 故选：．5．（2020•泉州二模）已知点,,都在二次函数的图象上,若,则、,的大小关系是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：抛物线开口向上,对称轴为, 点、的情况：,故点比点离对称轴远,故； 点、的情况：,故点比点离对称轴远,故；点、的情况：,故点比点离对称轴远,故；故,故选：．6．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知二次函数的图象与轴有交点,对称轴位于轴左侧,则当关于,的代数式有最小值时,该二次函数的顶点坐标为A ．B ．C ．D ．【解答】解：二次函数的图象与轴有交点,13x =-123b a -=-23a b =32a b =1x =-0y a b c =-+>32b b c -+>20b c +>2x =-420y a b c =-+<1x =0y a b c =++<+520a b c -+<23a b =46a b =5242520a b c a a b c a b c ∴-+=+-+=++<A 1(,)A a m y -2(,)B a n y -3(,)C a b y +221y x ax =-+0m b n <<<1y 2y 3y ()123y y y <<132y y y <<312y y y <<231y y y <<x a =A B n m >B A 21y y >A C m b <C A 31y y >B C b n <B C 23y y >132y y y <<B 23y x bx a =-+-x y a b 22(6)a b -+()(1,0)(1,2)(1,0)-(1,2)-23y x bx a =-+-x△,对称轴位于轴左侧,；,当时,等号成立；,代数式取得最小值时,,此时,解得：（舍去正值）, 故,, 故抛物线的表达式为：,故抛物线的顶点为, 故选：．7．（2018春•江阴市期中）如图,直线、为常数）分别与轴、轴交于点、,抛物线与轴交于点,点在抛物线的对称轴上移动,点在直线上移动,的最小值是A ．1.4B ．2.5C ．2.8D ．3【解答】解：如图,设点关于抛物线对称轴的对称点为,由对称的性质可得,∴24(3)0b a =--y 0b ∴<222(6)(6)4(3)a b a a -+-+-24(3)b a =-22(6)4(3)(4)88a a a -+-=-+4a =24(41)4b =-=2b =±4a =2b =-2221(1)y x x x =++=+(1,0)-C (y kx b k =+b x y (4,0)A -(0,3)B 221y x x =-++y C E 221y x x =-++F AB CE EF +()C C 'CE C E =',当、、三点一线且与垂直时最小,由题意可得,解得,直线解析式为；, ,直线的解析式为, 由,解得, ,,即的最小值为．故选：． 二．填空题CE EF C E EF ∴+='+∴F E C 'C F 'AB CE EF +403k b b -+=⎧⎨=⎩343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴334y x =+(0,1)C (2,1)C ∴'∴C F '41133y x =-+41133334y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩8258125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8(25F ∴81)25145C F ∴'==CE EF +145C8．（2020•铁西区二模）二次函数的部分图象如图,图象过点,对称轴为直线,下列结论：①；②；③,；④当时,的值随值的增大而增大；⑤为任意实数）．其中正确的结论有 ①③⑤ ．（填序号）【解答】解：抛物线过点,对称轴为直线,因此可得,抛物线与轴的另一个交点为,,,即,因此①正确； 当时,,即,因此②不正确；当时,,又,所以,而,因此有,故③正确； 在对称轴的左侧,即当时,随的增大而增大,因此④不正确；当时,,当时,,因此有,故⑤正确；综上所述,正确的结论有：①③⑤, 故答案为：①③⑤．9．（2020•镇江模拟）已知二次函数与轴交于、两点,点在点左侧）为二次函数上一点且横坐标为1,已知的面积为,则的值为 或 ．【解答】解：,当时,,,二次函数与轴交于、两点点在点左侧）,当时,点,、点；当时,点,点,；为二次函数上一点且横坐标为1,点的纵坐标为,2(0)y ax bx c a =++≠(1,0)-2x =40a b +=93a c b +>30a c +>1x >-y x 242(a b am bm m +-(1,0)-2x =x (5,0)0a b c -+=22bx a=-=40a b +=3x =-930y a b c =-+<93a c b +<5x =2550y a b c =++=4b a =-50a c +=0a <30a c +>2x <y x 2x =42y a b c =++最大x m =2y am bm c =++242a b am bm ++2(21)1y ax a x a =++++x A B (A B C ABC ∆72a 23211-2(21)1(1)(1)y ax a x a ax a x =++++=+++∴0y =11a x a +=-21x =-2(21)1y ax a x a =++++x A B (A B ∴0a >1(a A a +-0)(1,0)B -0a <(1,0)A -1(a B a +-0)C ∴C 21142y a a a a =++++=+的面积为,当时,,得,当时,,得（舍去）,,由上可得,的值是或, 故答案为：或．10．（2020•肥东县二模）如图,在平面直角坐标系中,正比例函数的图象与二次函数的图象交于点在第二象限）,经过点与轴垂直的直线与一次函数的图象交于点,当时,则的值为 或 ．【解答】解：设,则, 由题意：, 解得或,或,点在直线上,或,ABC ∆72∴0a >1(1)()7(42)22a a a +---⨯+=23a =0a <1()(1)7|42|22a a a +---⨯+=123a =2211a =-a 23211-23211-y kx =2142y x x =--+P (P P x l 4y x =+Q 32PQ =k 92-56-21(,4)2P m m m --+(,4)Q m m +2134422m m m --+--=1m =-3-9(1,)2P ∴-5(3,)2-P y kx =92k ∴=-56-故答案为或．11．（2019秋•惠城区期末）二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论：①；②；③一元二次方程的解是,；④当时,,其中正确的结论有 ①②④ ．【解答】解：二次函数开口向下,,对称轴为直线,即,,,与轴交在正半轴,,,因此①正确；,即,因此②正确；图象过点,对称轴为直线,因此与轴另一个交点,因此一元二次方程的解是,；故③不正确；由图象可得,图象位于轴上方时,即时,相应的自变量的取值范围为,因此④正确； 综上所述,正确的结论有：①②④, 故答案为：①②④．12．（2019秋•娄星区期末）二次函数的图象如图所示,对称轴为,给出下列结论：92-56-2(0)y ax bx c a =++≠(4,0)-1x =-0abc >20a b -=20ax bx c ++=14x =-21x =0y >42x -<<2(0)y ax bx c a =++≠0a <1x =-12ba -=-2b a =0b <y 0c >0abc ∴>2b a =20a b -=(4,0)-1x =-x (2,0)20ax bx c ++=14x =-22x =x 0y >42x -<<2(0)y ax bx c a =++≠1x =①； ②当时,；③；④,其中正确的结论有 ①③④ ．【解答】解：①对称轴在轴右侧,则、异号,,故,正确； ②在函数与轴右侧交点的左侧,故,,错误；③函数对称轴为：,则,时,,即,正确；④,,则,正确； 故答案为：①③④．13．（2019秋•南关区校级月考）抛物线的图象上有三个点、、,则、、的大小关系是 （用“”连接）．【解答】解：把、、分别代入抛物线得,,,；因此有． 故答案为：．14．（2014秋•金牛区期末）已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数）,其中正确结论的序号有 ①③④ ．【解答】解：①由图象可知：,,0abc >2x >0y >30a c +>30a b +>y a b 0c <0abc >2x =x 2x >0y <12b x a =-=2b a =-1x =-0y a b c =-+>30a c +>2b a =-0a >30a b +>22y x x =++(3,)a -(2,)b -(3,)c a b c b a c <<<(3,)a -(2,)b -(3,)c 22y x x =++9328a =-+=4224b =-+=93214c =++=b a c <<b a c <<2(0)y ax bx c a =++≠0abc <0a b c -+>420a b c ++>23c b <()(1a b m am b m +<+≠0a <0c >,,,故此选项正确；②当时,,故,错误；③由对称知,当时,函数值大于0,即,故此选项正确；④当时函数值小于0,,且,即,代入得,得,故此选项正确；⑤当时,的值最大．此时,,而当时,,所以,故,即,故此选项错误．故①③④正确． 故答案为：①③④．15．（2008秋•富阳市校级月考）抛物线过点、、,顶点为点．在抛物线上是找一点使,则点的坐标 , ．【解答】解：抛物线过点、、,所以,解得：,所以抛物线的解析式为：,顶点坐标是,因此直线的解析式为,由于直线与直线垂直,因此直线的解析式为,02b a ->0b ∴>0abc ∴<1x =-0y a b c =-+<0a b c -+>2x =420y a b c =++>3x =930y a b c =++<12bx a =-=2b a =-9()302bb c -++<23c b <1x =y y a b c =++x m =2y am bm c =++2a b c am bm c ++>++2a b am bm +>+()a b m am b +>+2(0)y ax bx c a =++≠(1,3)A -(3,3)B -(1,5)C -MP 90POM ∠=︒P 9(29)42(0)y ax bx c a =++≠(1,3)A -(3,3)B -(1,5)C -39335a b c a b c a b c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩140a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩224(2)4y x x x =-=--M (2,4)-OM 2y x =-PO OM PO 12y x =联立抛物线的解析式有：,解得,, 因此点坐标为,．三．解答题16．（2020春•南岸区校级月考）如图,抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）,交轴于点,抛物线的顶点为点． （1）求的长度和点的坐标； （2）求直线的函数表达式；（3）点是第四象限抛物线上一点,当时,求点的坐标．【解答】解：（1）令,得,解得,或1, ,, ,,；（2）令,得, ,设直线的解析式为,得 ,2124y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩00x y =⎧⎨=⎩9294x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P 9(29)4223y x x =+-x A B A B y C D AB D AC P 2PAC PAB S S ∆∆=P 0y =2230y x x =+-=3x =-(3,0)A ∴-(1,0)B 1(3)4AB ∴=--=2223(1)4y x x x =+-=+-(1,4)D ∴--0x =2233y x x =+-=-(0,3)C ∴-AC (0)y kx b k =+≠303k b b -+=⎧⎨=-⎩解得,,直线的解析式为：；（3）设,,过作轴于点,如下图,则,,,,即,解得,（舍,, ．17．（2020•十堰）某企业接到生产一批设备的订单,要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元台,该企业第一天生产22台设备,第二天开始,每天比前一天多生产2台．若干天后,每台设备的生产成本将会增加,设第天为整数）的生产成本为（元台）,与的关系如图所示．（1）若第天可以生产这种设备台,则与的函数关系式为 ,的取值范围为 ；（2）第几天时,该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．13k b =-⎧⎨=-⎩∴AC 3y x =--(P m 223)(01)m m m +-<<P PQ x ⊥Q 223PQ m m =--+OQ m =3AQ m =+2PAC PAB S S ∆∆=()2AOC APQ PAB OQPC S S S S ∆∆∆∴+-=梯形22211112[33(323)(3)(23)]4(23)2222m m m m mm m m ⨯⨯+--+-+--+=⨯--+3m =-)25m =∴251(,)525P -/x (x m /m x x y y x 220y x =+x【解答】解：（1）根据题意,得与的解析式为：,故答案为：,；（2）设当天的销售利润为元,则当时,,,随的增大而增大,当时,．当时,设,将和代入得：, 解得：,与的关系式为：,．此时图象开口向下,在对称轴右侧,随的增大而减小,天数为整数,当时,有最大值,为11900元,y x 222(1)220(112)y x x x =+-=+220y x =+112x w 16x (1200800)(220)8008000w x x =-+=+8000>w ∴x ∴6x =8006800012800w =⨯+=最大值612x <m kx b =+(6,800)(10,1000)8006100010k b k b=+⎧⎨=+⎩50500k b =⎧⎨=⎩m ∴x 50500m x =+[1200(50500)](220)w x x ∴=-+⨯+210040014000x x =-++2100(2)14400x =--+w x x ∴7x =w,当时,最大,且元,答：该厂第6天获得的利润最大,最大利润是12800元．（3）由（2）可得,时,,解得：则第天当天利润低于10800元,当时,,解得（舍去）,或,第天当天利润低于10800元,故当天销售利润低于10800元的天数有7天．18．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第天为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为,销售量（千克）与之间的关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式,并写出的取值范围；（2）当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少？（销售额销售量销售价格）【解答】解：（1）当时,设与的函数关系式为,,1280011900>∴6x =w 12800w =最大值16x 800800010800x +<3.5x <13-612x <2100(2)1440010800x --+<4x <-8x >∴912-x (x p /x 24(020)5112(2030)5x x p x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩y x y x x =⨯020x <y x y ax b =+802040b a b =⎧⎨+=⎩解得,,即当时,与的函数关系式为,当时,设与的函数关系式为,,解得,,即当时,与的函数关系式为,由上可得,与的函数关系式为； （2）设当月第天的销售额为元,当时,,当时,取得最大值,此时,当时,,当时,取得最大值,此时,由上可得,当时,取得最大值,此时,答：当月第15天,该农产品的销售额最大,最大销售额是500元．19．（2020•沭阳县模拟）如图1,在平面直角坐标系中,已知点的坐标是,并且,动点在过,,三点的抛物线上,（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点,使得是以为底的等腰三角形？若存在,求出所有符合条件的点的坐标；若不存在,说明理由；（3）过动点作垂直于轴于点,交直线于点,过点作轴的垂线,垂足为,连接,以线段的中点为圆心,以为直径作,求最小面积．280a b =-⎧⎨=⎩020x <y x 280y x =-+2030x <y x y mx n =+20403080m n m n +=⎧⎨+=⎩440m n =⎧⎨=-⎩2030x <y x 440y x =-y x 280(020)440(2030)x x y x x -+<⎧=⎨-<⎩x w 020x <224(4)(280)(15)50055w x x x =+⨯-+=--+∴15x =w 500w =2030x <214(12)(440)(35)50055w x x x =-+⨯-=--+∴30x =w 480w =15x =w 500w =A (3,0)3OA OC OB ==P A B C P ACP ∆AC P P PE y E AC D D x F EF EF G EF G G【解答】解：（1）点的坐标是,,,,,点,点,设抛物线的解析式为：,,,抛物线解析式为：；（2）是以为底的等腰三角形,,又,是的垂直平分线,,,是的垂直平分线,平分,直线解析式为,联立方程组可得：,A (3,0)3OA ∴=3OA OC OB ==3OC ∴=1OB =∴(0,3)C (1,0)B -(1)(3)y a x x =+-33a ∴=-1a ∴=-∴2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++ACP ∆AC AP CP ∴=OA OC =OP ∴AC OA OC =90AOC ∠=︒OP AC OP ∴AOC ∠∴OP y x =223y x y x x =⎧⎨=-++⎩或,点坐标为,或,；（3）如图,点的坐标是,点坐标为,直线解析式为：,设点坐标为,,,,的面积, 当时,最小面积为．20．（2020•眉山）如图1,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,已知点坐标为,点坐标为．∴x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴PA (3,0)C (0,3)∴AC 3y x =-+D (,3)m m -+||DE m ∴=|3|DF m =-+22222(3)EF DE DF m m ∴=+=+-+G 222239[(3)][2()]44422EF m m m πππ=⨯=⨯+-+=⨯-+∴32m =G 98π2y x bx c =-++x A B y C B (3,0)C(0,3)（1）求抛物线的表达式；（2）点为直线上方抛物线上的一个动点,当的面积最大时,求点的坐标；（3）如图2,点为该抛物线的顶点,直线轴于点,在直线上是否存在点,使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．【解答】解：（1）点,点在抛物线图象上,,解得：,抛物线解析式为：；（2）点,点,直线解析式为：,如图,过点作轴于,交于点,设点,则点,, ,当时,有最大值, 点,；P BC PBC ∆P M MD x ⊥D MD N N MC N A N (3,0)B (0,3)C 2y x bx c =-++∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++(3,0)B (0,3)C ∴BC 3y x =-+P PH x ⊥H BCG 2(,23)P m m m -++(,3)G m m -+22(23)(3)3PG m m m m m∴=-++--+=-+221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+∴32m =PBC S ∆∴3(2P 15)4（3）存在满足条件,理由如下：抛物线与轴交于、两点,点, ,顶点为, 点为,点,直线的解析式为：,如图,设直线与轴交于点,过点作于,点,,,,,,,设点,点到直线的距离等于点到点的距离, N 223y x x =-++x A B ∴(1,0)A -2223(1)4y x x x =-++=--+∴M(1,4)M (1,4)(0,3)C ∴MC 3y x =-+MC x E N NQ MC ⊥Q ∴(3,0)E -4DE MD ∴==45NMQ ∴∠=︒NQ MC ⊥45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒MQ NQ ∴=MQ NQ ∴==(1,)Nn N MC N A,,,, ,,存在点满足要求,点坐标为或． NQ AN ∴=22NQ AN ∴=22)AN ∴=22(|4|)42n n ∴-=+2880n n ∴+-=4n ∴=-±∴NN (1,4-+(1,4--。
人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元测试卷(含答案)
人教版九年级上册第22章二次函数单元测试卷一、选择题（共8题；共24分）1.二次函数y=x 2-2x+3顶点坐标是（ ）A. （-1，-2）B. （1，2）C. （-1，2）D. （0，2） 2.已知抛物线y=13(x−4)2-3与y 轴交点的坐标是（ ）A. （0，3）B. （0，-3）C. （0，73）D. （0， -73） 3.二次函数y= -2x 2+4x +1的图象如何移动就得到y =-2x 2的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 4.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y=2x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）A. y=2(x-1)2-3B. y=2(x-1)2+3C. y=2(x+1)2-3D. y=2(x+1)2+35.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如下图所示，则四个代数式abc ，b 2−4ac ，2a +b ，a −b +c 中，值为正数的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c ）2＜b 2；③当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣2．其中正确的是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④ 7.已知一次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（ ）A. b 2＞4acB. ax 2+bx+c≥-6C. 若点（-2，m ），（-5，n ）在抛物线上，则m ＞nD. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=-4的两根为-5和-1二、填空题（共10题；共30分）9.若抛物线y =(a −2)x 2的开口向上，则a 的取值范围是________．10.抛物线y =2x 2−1的顶点坐标是________．11.若A （−134，y 1），B （−54，y 2），C （1，y 3）为二次函数y= x 2 +4x ﹣5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．12.抛物线与x 轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：________．13.把二次函数y=﹣2x 2+4x+3化成y=a （x ﹣m ）2+k 的形式是________．14.如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．15.将二次函数y ＝x 2－2x 化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为________16.二次函数y=x 2+（2m+1）x+（m 2﹣1）有最小值﹣2，则m=________．17.若二次函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是________．18.抛物线y=ax 2+bx+c 满足下列条件：（1）4a ﹣b=0；（2）a ﹣b+c ＞0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③ac=b 2；④ ＜a ＜．则其中正确结论的序号是________． 三、解答题（共9题；共66分）19.如图，一块矩形草地的长为100m ，宽为80m ，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路，这时草坪的面积为y （m 2）．求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围．20.已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，21.直线l：y=﹣34（C在B的左边），如果BC=5，求抛物线m的解析式，并根据函数图像指出当m的函数值大于0的函数值时x的取值范围．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标，（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．23.某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24.已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线y=a x2+bx+4对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 √2DQ，求点F的坐标．26.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．27.已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM 绕点M逆时针旋转90°得△A1PM（1）画出△A1PM（2）设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．参考答案一、单选题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.C8.C二、填空题9.a＞2 10.（0，-1）11.y2＜y1＜y312.y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）17.1 18.①13.y=﹣2（x﹣1）2+5 14.直线x=2 15.y=(x−1)2−116.34三、解答题19.解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）20.解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．21.解：∵y=﹣x+6交y轴于点A，与x轴交于点B，∴x=0时，y=6，∴A（0，6），y=0时，x=8，∴B（8，0），∵过A、B两点的抛物线m与x轴的另一个交点为C，（C在B的左边），BC=5，∴C（3，0）．设抛物线m的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8），将A（0，6）代入，得24a=6，解得a= ，∴抛物线m的解析式为y= （x﹣3）（x﹣8），即y= x2﹣x+6；函数图像如下：当抛物线m的函数值大于0时，x的取值范围是x＜3或x＞8．22.解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+4，∵与x 轴交于点A （3，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3，令y=0，可得﹣x 2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3∴B 点坐标为（﹣1，0），D 点坐标为（0，3）；（2）∵A （3，0），D （0，3），C （1，4），∴AD=√32+32=3√2，CD=√(1−0)2+(4−3)2=√2，AC=√(1−3)2+(4−0)2=2√5，∴AD 2+CD 2=（3√2）2+（√2）2=20=（2√5）2=AC 2，∴△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形，∴S △ACD =12AD•CD=12×3√2×√2=3．23.解：（1）当30＜x≤40时，设此段的函数解析式为：y=kx+b ，{30k +b =6640k +b =36解得，k=﹣3，b=156∴当30＜x≤40时，函数的解析式为：y=﹣3x+156；当40＜x≤80时，设此段函数的解析式为：y=mx+n ，{40m +n =3680m +n =16解得，m=−12，n=56，∴当40＜x≤80时，函数的解析式为：y=−12x +56；当80＜x≤83时，y=16；由上可得，y 与x 之间的函数关系式是：y={−3x +15630<x ≤40−12x +5640<x ≤801680<x ≤83；（2）当30＜x≤40时，w=（x ﹣28）y=（x ﹣28）（﹣3x+156）=﹣3x 2+240x ﹣4368=﹣3（x ﹣40）2+432∴当x=40时取得最大值，最大值为w=432元；当40＜x≤80时，w=（x ﹣28）y=（x ﹣28）（−12x +56）=−12x 2+70−1586=−12(x −70)2+882，∴当x=70时，取得最大值，最大值为w=882元；当80＜x≤83时，w=（x ﹣28）×16∴当x=83时，取得最大值，最大值为w=880元；由上可得，当x=70时，每日点的销售利润最大，最大为882元，即要使每日的销售利润w 最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元． 24.（1）由A （-3，0）和B （2，0），得：y =a (x +3)(x −2)即y =ax 2+ax −6a = ax²+bx+4∴ −6a =−4∴ a =−23∴ y =−23x 2−23ax −4 .（2）易得C （0,4），则BC= √42+22=2√5 .由y =−23x 2−23ax −4可对称轴为x= −−232×(−23)=−12 , 则可设点G 的坐标为（−12，y)，∵点D 是BC 的中点∴点D 的坐标为（1，2)，DB =12CB =√5由旋转可得，DG =DB∴ (1+12)2+(y −2)2=(√5)2 ……………∴ y =2±√112 ……… ∴点G 的坐标为（−12，2+√112)或（−12，2−√112) （3）①当BE 为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D 即为对称轴与AC 的交点或对称轴对BC 的交点，F 为点D 关于x 轴的对称点，设y AC =kx +b ，∵C （0，4)，A （−3，0)，∴ {b =4−3k +b =0， ∴ {b =4k =43，∴ y AC =43x +4，∴当x =−12时，y =103，∴D （−12，103)，∴F（−12，−103)；易得y BC=−2x+4∴当x=−12时，y=5，∴D（−12，5)，∴F（−12，−5)；②当BE为菱形的边时，有DF∥BEI)当点D在直线BC上时y BC=−2x+4设D（a，−2a+4)，则点F（−12，−2a+4)∵四边形BDFE是菱形∴FD=DB根据勾股定理得，（a+12)2=(a−2)2+(−2a+4)2整理得：4a2−21a+794=0，解得：a1=21+5√58，a2=21−5√58∴F（−12，−5−5√54)或（−12，−5+5√54)II）当点D在直线AC上时设D（a，43a+4)，则点F（−12，43a+4)∵四边形BFDE是菱形，∴FD=FB ，根据勾股定理得，(a+12)2=(2+12)2+(43a+4)2整理得：7a2+87a+198=0，解得：a1=−3(舍去)，a2=−667∴F（−12，−607)，综上所述，点F的坐标分别为：（−12，−103)，（−12，−5)，（−12，−5−5√54)，（−12，−5+5√54)，（−12，−607).25.（1）解：当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3）；（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1，设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），∵点P 与点Q 关于直线=﹣1对称，∴点Q （﹣2﹣x ，﹣x 2﹣2x+3），∴PQ=﹣2﹣x ﹣x=﹣2﹣2x ，∴矩形PMNQ 的周长=2（﹣2﹣2x ﹣x 2﹣2x+3）=﹣2x 2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10， 当x=﹣2时，矩形PMNQ 的周长最大，此时M （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，把A （﹣3，0），C （0，3）代入得{−3k +b =0b =3，解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y=3x+3，当x=﹣2时，y=x+3=1，∴E （﹣2，1），∴△AEM 的面积= 12 ×（﹣2+3）×1= 12；（3）解：当x=﹣2时，Q （0，3），即点C 与点Q 重合，当x=﹣1时，y=﹣x 2﹣2x+3=4，则D （﹣1，4），∴DQ= √12+(3−4)2 = √2，∴FG=2 √2 DQ=2 √2 × √2 =4，设F （t ，﹣t 2﹣2t+3），则G （t ，t+3），∴GF=t+3﹣（﹣t 2﹣2t+3）=t 2+3t ，∴t 2+3t=4，解得t 1=﹣4，t 2=1，∴F 点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．26.解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax 2+bx+1（a≠0），则据题意得：{−b 2a =41.5=36a +6b +1， 解得：{a =−124b =13， ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣124 x 2+ 13 x+1， ∵y=﹣124（x ﹣4）2+ 53， ∴飞行的最高高度为53米 27.（1）解：如图所示：△A 1PM ，即为所求；（2）解：过点M 作MD ⊥AB 于点D ， ∵AB=BC=4，∠ABC=90°，M 是AC 的中点， ∴MD=2，设AN=x ，则BN=4﹣x ，故四边形NMCP 的面积为： y= 12 ×4×4﹣12 x×2﹣12 x×（4﹣x ） = 12 x 2﹣3x+8= 12（x ﹣3）2+ 72，故y 的最小值为：72。
第22章 二次函数 初中数学人教版九年级上册单元检测(含答案)
检测内容：第二十二章二次函数得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1 x2C．y＝50＋x2D．y＝(x＋2)(2x－3)－2x22．将二次函数y＝x2－2x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( B )A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－33．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D )A．－3 B．－1 C．2 D．34．将抛物线y＝2x2－1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )A．y＝2x2＋8x＋9 B．y＝2x2－8x＋9C．y＝2x2＋8x＋8 D．y＝2x2－8x＋85．对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( B )A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小6．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C( 2 ，y3)，则有( C )A．y3>y2>y1B．y1>y2>y3C．y3>y1>y2D．y1>y3>y27．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是( C )A B C D8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m，点C距水平地面的距离为2.5 m，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2 m，灯柱AB＝1.5 m，则灯罩D到水平地面的距离为( A )A．1.5 m B．1 m C．1.2 m D．1.4 m第8题图第9题图第10题图9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是( A )A ．33B ．30C ．35D ． 610．(遂宁中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③2c ＜3b ；④a ＋b ＞m(am ＋b)(m ≠1)；⑤若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果抛物线y ＝(a －3)x 2－2有最低点，则a 的取值范围为____a ＞3____．12．(兰州中考)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y ＝－(x ＋2)2＋h 的图象上，则k ＝__3__．13．已知二次函数y ＝－14(x －2)2＋5，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围__x ≥2__． 14．如图，过点(0，1)且平行于x 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax 2＋bx ＋c －1＞0的解集为__x ＜1或x ＞3__．第14题图 第15题图 第16题图15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长度为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝__150__m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．(黔东南州中考)如图，抛物线L 1：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴只有一个公共点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为__2__．三、解答题(共72分)17．(6分)用配方法把二次函数y ＝12x 2－4x ＋5化为y ＝a(x ＋m)2＋k 的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y ＝12 x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)18．(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q(m ，n)在该二次函数的图象上，则：①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)(2)①当m ＝2时，n ＝11；②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m ＜2，∴2≤n ＜1119．(9分)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋2m －1.(1)求证：二次函数的图象与x 轴总有交点；(2)若二次函数的图象与x 轴的一个交点为原点，求方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解． 解：(1)证明：∵Δ＝4m 2－4(2m －1)＝4m 2－8m ＋4＝4(m －1)2≥0，∴二次函数的图象与x 轴总有交点(2)把(0，0)代入y ＝x 2－2mx ＋2m －1得2m －1＝0，解得m ＝12，方程化为x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，即方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解为x 1＝0，x 2＝120．(10分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0， 3 )，以点C 为顶点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1) 求A ，B ，C 三点的坐标；(2) 求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D ，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．解：(1)A ，B ，C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2， 3 )(2)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋ 3 ，代入点A 的坐标(1，0)，得a ＝－ 3 ，∴抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋ 3(3)设平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋k ，代入点D 的坐标(0， 3 )，得k ＝5 3 ，∴平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋5 3 ，∴平移了5 3 － 3 ＝4 3 个单位长度21．(12分)(营口中考)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：(1)由题意，得y ＝80＋20×20－x 0.5，∴y ＝－40x ＋880(x ＞16) (2)设每天的销售利润为w 元，则w ＝(－40x ＋880)(x －16)＝－40(x －19)2＋360，∵a ＝－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x ＝19时，w 有最大值，最大值为360元．答：当销售单价为19元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为360元22．(12分)(衢州中考)如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24 m ，在距离点D6 m 的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O 离水面的距离；(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1＝a1x2.将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2有－1.5＝36a1，解得a1＝－124，∴y1＝－124x2，当x＝12时，y1＝－124×122＝－6，∴桥拱顶部O离水面高度为6 m(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为y2＝112(x－6)2＋1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y3＝112(x＋6)2＋1；②设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－(－124x2)＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m23．(15分)(眉山中考)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x2＋2x＋3(2)∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC解析式为y＝－x＋3，如图，过点P作PH⊥x 轴于点H，交BC于点G,设点P(m ，－m 2＋2m ＋3)，则点G(m ，－m ＋3)，∴PG ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∵S △PBC ＝12 ×OB ×PG ＝12 ×3×(－m 2＋3m)＝－32 (m －32 )2＋278.∵0<m<3，∴当m ＝32 时，S △PBC 有最大值，此时点P(32 ，154) (3)存在N 满足条件，理由如下：∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，∴点A(－1，0).∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M 为(1，4).∵点M 为(1，4)，点C(0，3)，∴直线MC 的解析式为y ＝x ＋3.如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ ⊥MC 于点Q, ∴点E(－3，0)，∴DE ＝4＝MD ，∴∠NMQ ＝45°.∵NQ ⊥MC ，∴∠NMQ ＝∠MNQ ＝45°，∴MQ ＝NQ ＝22MN.设点N(1，n)，∵点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，∴NQ ＝AN ，∴NQ 2＝AN 2，∴(22 MN)2＝AN 2，∴(22|4－n|)2＝4＋n 2，∴n 2＋8n －8＝0，∴n ＝－4±2 6 ，∴存在点N 满足要求，点N 的坐标为(1，－4＋2 6 )或(1，－4－2 6 )。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >3．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-4．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（ ） A ．32B ．32或2 C ．32或6 D ．32或2或6 5．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<6．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n7．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米 B ．12米 C ．25米 D ．35米 8．要在抛物线()4y x x =-上找点(),P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下（ ）甲：若5b =，则点P 的个数为0 乙：若4b =，则点P 的个数为1 丙：若3b =，则点P 的个数为1 A ．甲乙错，丙对 B ．甲丙对，乙错C ．甲乙对，丙错D ．乙丙对，甲错9．表格对应值：x1 2 3 4 2ax bx c ++ 0.5-512.522判断关于x 的方程2ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）A ．01x <<B ．12x <<C ．23x <<D ．34x <<10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>12．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<二、填空题13．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a-，则A ∠=______︒． 14．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．15．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．16．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为_____．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕着点A （2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为_____．19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=x 2的图象经过点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，若﹣4＜x 1＜﹣2，0＜x 2＜2，则y 1 ______y 2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）三、解答题21．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．阅读下列材料：我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，而y kx b =+经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式0Ax By C ++=（A 、B 、C 是常数，且A 、B 不同时为0）.如图1，点()P m n ,到直线l ：0Ax By C ++=的距离（d ）计算公式是：22A mB n Cd A B⨯+⨯+=+．例：求点()1,2P 到直线51126y x =-的距离d 时，先将51126y x =-化为51220x y --=，再由上述距离公式求得()()()225112222113512d ⨯+-⨯+-==+-． 解答下列问题：如图2，已知直线443y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线245y x x =-+上的一点()3,2M ．（1）请将直线443y x =--化为“0Ax By C ++=”的形式； （2）求点M 到直线AB 的距离；（3）抛物线上是否存在点P ，使得PAB △的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及PAB △面积的最小值；若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫ ⎪⎝⎭和动点P 都是该抛物线上点．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．25．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示． （1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式； （2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？26．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C .（1）如图，已知AD CD于D，以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为________；（2）小明此次投掷的成绩是多少米？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先根据二次函数y＝ax2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可．【详解】解：∵函数y＝ax2在第一象限内y随x的减小而减小，∴a＞0，∴y＝ax2的图象经过原点且开口方向向上，y＝ax＋a经过第一三象限，且与y轴的正半轴相交．A．二次函数开口向上，一次函数与y轴的负半轴相交，不符合题意B．二次函数开口向上，一次函数与y轴的正半轴相交，符合题意C．二次函数开口向下，一次函数与y轴的负半轴相交，不符合题意D．二次函数开口向下，一次函数与y轴的正半轴相交，不符合题意故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出a 是正数是解题的关键．2．D解析：D【分析】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y1＝y2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．3．D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意； 故答案为：D ． 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．C解析：C 【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得． 【详解】∵()2=+3y x h -中a=1＞0，∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大； ①若1≤h≤3，则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ， 解得：h=32； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ， 即()2132h h -+=， 解得：h=2＞1（舍去）；③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ， 即()2332h h -+=， 解得：h=2（舍）或h=6， 综上，h 的值为32或6， 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小即可得出结论． 【详解】解：二次函数2(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称， ∴13y y =，∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题． 【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =--- ∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根 ∴当x m =或xn =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间． 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．7．C解析：C 【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值． 【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则2ba-＝0，即b ＝0．∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ．∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．8．C解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x （4-x ）=-x 2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．9．B解析：B【分析】利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围．【详解】解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0；x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．10．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴． 则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．11．C解析：C【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-，∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．C解析：C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．二、填空题13．75【分析】根据二次函数的性质当时y 有最小值为由此得到=整理得a=b 从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题【详解】∵ab 是的边∴a+b ＞0；∴有最小值且当x=时取得最小值y=根据题意得=整理得a=b解析：75【分析】 根据二次函数的性质，当1x 2=-时，y 有最小值为534a b -+，由此得到534a b -+=2a -，整理得a=b ，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】∵a ，b 是ABC 的边，∴a+b ＞0；∴2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，且当x=()12()2a b a b +-=-+时，取得最小值， y=534a b -+，根据题意，得534a b -+=2a -， 整理，得a=b ， ∴ABC 是等腰三角形，∵30C ∠=︒， ∴180180307522C A -∠-∠===︒， ∴∠A 的度数为75︒，故填75.【点睛】本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.14．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线解析：2013【分析】分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1=32a ，BB 2=32b ，CB 3=32c ，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则22101032AB A B AA a =-=，232BB b =，332CB c =， 1111312233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2231233BA BB b b ==⨯=，则23,2b B b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 33312233CA c c ===，则33,2c B a b ⎫++⎪⎪⎝⎭， 在正011A B A △中，13,2a B ⎫⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =， 在正122A B A △中，23,12b B ⎫+⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =， 在正233A B A △中，33,32c B c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得2233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得3c =，即233A A =， …，依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=．故答案为：2013.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．15．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：3【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长．【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3，故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣13x 2， 解得：x ＝3故当水位上涨2m时，水面宽CD为．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D点横坐标是解题关键．16．y＝（x﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点进而可得新抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式【详解】∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为解析：y＝（x﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点，进而可得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式．【详解】∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故答案为y＝（x﹣2）2+2．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函数的平移，看顶点的坐标平移即可，用顶点式较简便．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x2+3.25，得y=-18×22+3.25=2.75，∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．y＝﹣2(x﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点为（13）设绕解析：y＝﹣2(x﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标，进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可．【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点为（1，3），设绕着点A（2，0）旋转180°得到（x，y），∴12x+＝2，32y+＝0，解得x＝3，y＝﹣3，∴绕着点A（2，0）旋转180°得到（3，﹣3），故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣3）2﹣3．故答案为：y＝﹣2(x﹣3)2﹣3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点式为y＝a（x＋1）2−2，∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M和N两点关于x＝−1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），如图所示：∵当x＝0时，y＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x＝1时，y＝4a−2＞0，即：120 420aa--≤-⎧⎨⎩＜＞，解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．20．＞【分析】根据二次函数的性质即可求解【详解】解：由y=x2可知∵a=1＞0∴抛物线的开口向上∵抛物线的对称轴为y轴∴当x＞0时y随x的增大而增大∵-4＜x1＜-20＜x2＜2∴2＜-x1＜4∴y1＞解析：＞【分析】根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；三、解答题21．（1）10010y x =+，1≤x ≤24，且x 为整数；（2）超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x 元，多卖10x ，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y ＝100+10x ，由60﹣x ≥36得x ≤24，∴1≤x ≤24，且x 为整数；（2）设所获利润为W ，则W ＝（60﹣x ﹣36）（10x +100）＝﹣10x 2+140x +2400＝﹣10（x ﹣7）2+2890，∵此二次函数的二次项系数小于0，∴函数开口向下，有最大值，∴当x ＝7时，W 取得最大值，最大值为2890，此时售价为60-7=53（元），答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【点睛】本题主要考查二次函数应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．22．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）【分析】（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，∴MC +MA 最小，∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当x ＝1时，132y =-=-，∴点M （1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．23．（1）43120x y ++=；（2）点M 到直线AB 的距离为6；（3）存在，413,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△PAB 面积最小值为656． 【分析】（1）根据题意可直接进行化简；（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；（3）设点()2,45P a a a -+，根据题意可得点P 到直线AB 的距离，然后根据三角形面积计算公式可得2327422PAB Sa a =-+，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）由443y x =--可得：43120x y ++=； （2）由公式22A m B n Cd A B ⨯+⨯+=+()3,2M 可得：点M 到直线AB的距离为：3065d ===； （3）存在点P ，使△PAB 的面积最小，理由如下：设点()2,45P a a a -+，则有：点P 到直线AB的距离为：238275a a d -+==，由图像可得当y>0时，x 的值为全体实数，∴238270a a -+>，∵直线443y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3， ∴()()3,0,0,4A B --，∴5AB =， ∴22132734654222236PAB S AB d a a a ⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当43a =时，△PAB 的面积最小，即为656PAB S =， ∴此时点P 的坐标为413,39⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及点到直线的距离公式，关键是根据题中所给点到直线的距离公式进行分析和求解问题即可．24．（1）218y x =；（2）m=2 【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．【详解】解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴，∴c=0，b=0∴该抛物线的解析式为2y ax =，把点（1，18）代入得，18a = ∴该抛物线的解析式为218y x =； （2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y)且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上，∴C （x ，-m ），P （x ，21x 8） ∴PC=218x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+∴221()8PA x x m =+- ∵PA=PC ∴22PA PC =即2222211()()88x m x x m +=+-整理得，2202m x x -= ∴2(1)02m x -= ∵0x ≠∴102m -= 解得，m=2．【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．25．（1）1802y x =-+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．【分析】（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可；（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802y x =-+； （2）由（1）及题意得：()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++； （3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-++=--+， ∴102a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．26．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米 【分析】（1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =-2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍） 答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…） A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．3x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩ 3．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax xx x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．204．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >5．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n 与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）．有下列结论：①24ac b <；②30a b +>；③420a b c ++>；④当0y >时，x 的取值范围为13x；⑤当0x >时，y 随着x的增大而减小；⑥若抛物线经过点()12,y -、23,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()33,y ，则312y y y <<．其中正确的有（ ）A ．②③⑤B ．①③④C ．①③⑥D ．②③⑥6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：x﹣1234y 5 0 ﹣4 ﹣3 0A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x ＝2C ．当0≤x ≤4时，y ≥0D ．若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1<x 27．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<8．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12D ．14或129．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤10．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．顶点坐标为()1,2- C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-11．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a bx a+=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．小明研究抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数）性质时得到如下结论： ①这条抛物线的顶点始终在直线y =x +1上；②当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围为a ≥2；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2a ，则y 1＞y 2； ④只存在一个a 的值，使得抛物线与x 轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形；其中正确结论的序号是____．14．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为_____．15．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．16．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____．19．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______． 20．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．三、解答题21．新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%． (1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？22．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？ （3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？23．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x +5，完成下列各题： （1）求出该函数的顶点坐标． （2）求出它的图象与x 轴的交点坐标． （3）直接写出：当x 为何值时，y ＞0．24．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示． （1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式； （2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？25．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4） （1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是 ．26．若二次函数y ＝x 2-x-2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P(m ，-2)为二次函数y ＝x 2-x-2图象上一点，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．A解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．3．B解析：B 【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥解分式方程12322ax xx x-+=--解得：62xa=-由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a=3，x=6，a=4，x=3，a=8，x=1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和=3+4+8=15，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．D解析：D【分析】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，∴m＝4，∴y1＝（x﹣2）（x﹣4），抛物线的对称轴为：x＝3，如下图：设点A、B的横坐标分别为1，5，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B处，即x＝5时，y1＞y2，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．5．B【分析】根据二次函数图像可知1x =为抛物线的对称轴，可以求出与x 轴正半轴交点坐标，可解④⑤，开口朝下，与y 轴交于正半轴，可知：0a ＜，23c ≤≤，根据对称轴公式可得：0b ＞，可解①②③，根据图像可解⑥． 【详解】∵抛物线开口朝下， ∴0a ＜，∵与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）， ∴23c ≤≤， ∴4ac ＜0， ∴24ac b ＜， ∴①正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴12ba-=， ∴0b ＞，12a b =-， ∴313202a b b b b +=-+=-＜，∴②不正确；∵1x =-时，0a b c -+=， ∴32c b =， ∴1424202a b c b b c c ⎛⎫++=⨯-++= ⎪⎝⎭＞ ∴③正确；∵1x =为抛物线的对称轴，(1,0)A -， ∴B 点坐标为（3,0），∴当0y >时，x 的取值范围为13x∴④正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴1x ＞时，y 随着x 的增大而减小， ∴⑤不正确；由图像可知：213000y y y =＜，＞，， ∴132y y y ＜＜， ∴⑥不正确； 故选：B ．本题主要考查的是二次函数图像的性质以及二次函数对称轴，数量掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．6．B解析：B 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x ＝042＝2，故选项B 正确； 当x ＜2 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故选项A 错误；当0≤x ≤4时，y ≤0，故选项C 错误；由二次函数图象具有对称性可知，若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2或x 2＜x 1，故选项D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．D解析：D 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2． 【详解】解∵抛物线22236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点，∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=-22a-=a ，抛物线开口向上， 而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8．A解析：A 【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可． 【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<， ∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =；若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =；若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =；故选A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．9．C解析：C 【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确． 【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2ba-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点 故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．B解析：B【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该抛物线的开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为()1,2-，故选项B 正确；当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x 轴没有交点，故选项C 错误； 对称轴是直线x=1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．C解析：C【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：12b a -< 由抛物线的图象可知：a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故①正确；②当x=1时，y=a+b+c=0，当y=ax 2+bx+c=0，∴x=1或x=m ，∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；③由图象可知：x=-1，y=2，即a-b+c=2，∵a+b+c=0，∴b=-1，∴c=1-a∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；④由于a+b=-c=a-1，∵c ＜0，∴a-1＞0，∴a ＞1，∴0＜11a< ∵x 0=111,a a a--=-+ ∴-1＜-1+1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．二、填空题13．②③④【分析】由题意易得顶点坐标为（a ﹣a+1）所以这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上抛物线开口向下对称轴为直线x=a 由此可判定②由可判定③假设存在一个a 的值使得函数图象的顶点与x 轴的两个交解析：②③④【分析】由题意易得顶点坐标为（a ，﹣a +1），所以这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，由此可判定②，由122x x a +>可判定③，假设存在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，进而可求解．【详解】解：抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数），①∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），∴这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，故结论①错误；②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴a 的取值范围为a ≥2，故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2a ， ∴122x x a +>， ∵抛物线对称轴为直线x =a ，∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离，∴y 1＞y 2，故结论③正确；④假设存在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，解得：x 1=a ，x 2=a ．∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，∴|﹣a +1|=|a ﹣（a ）|，解得：a =0或1，当a =1时，二次函数y =﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在a =0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，故结论④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14．y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点进而可得新抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为解析：y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点，进而可得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式．【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y ＝（x ﹣2）2+2．故答案为y ＝（x ﹣2）2+2．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函数的平移，看顶点的坐标平移即可，用顶点式较简便．15．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案． 【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点． 故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．16．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时函数有最小值为-5故答案为-5【点睛】本题主要考查了二次函数的最值掌握根据二次函数的顶点式求最解析：-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值．【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时，函数有最小值为-5．故答案为-5．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握根据二次函数的顶点式求最值的方法是解答本题的关键．20．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．三、解答题21．（1）()104002024y x x =-+≤≤；（2）当销售单价定为24元时，利润最大，为1280元．【分析】（1）根据题意易得每天减少的销量为()1020x -本，然后问题可求解；（2）设每天的利润为w 元，根据题意可得()()21610400105606400w x x x x =--+=-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：()200102010400y x x =--=-+，∵书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%，∴1625161650x ⨯≤-≤⨯％％，解得：2024x ≤≤，∴每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式为()104002024y x x =-+≤≤；（2）设每天的利润为w 元，根据题意得：()()()22161040010560640010281440w x x x x x =--+=-+-=--+， ∵100a =-<，开口向下，对称轴为直线28x =，∴当2024x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当x=24时，利润最大，最大值为：()221028144010414401280w x =--+=-⨯+=（元）；答：当销售单价定为24元时，每天的利润最大，最大利润是1280元．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键． 22．（1）甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）每听罐头的价钱应为25元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，列出分式方程进行求解；（2）先根据（1）中的结果算出水果成本，然后设降价m 元，表示出销量和单个利润，列出总利润的表达式，最后求出最值；（3）令（2）中的利润为6万元，列式求出m 的值，取范围内的值求出罐头价钱．【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，根据题意得，180********x x =+， 解得：6x =，经检验，6x =是方程的根，28x ∴+=，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：60.580.57⨯+⨯=元， 每听罐头的总成本为：5773157+⨯+=元， 设降价m 元，则利润()()22815300010001000W m m m =--+=-+()210000390001000564000m m +=--+，10000-<，∴当5m =时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，()2100056400060000W m =--+=，解得：7m =或3m =，但是降价的幅度不超过定价的15%，3m ∴=， ∴售价为28325-=（元），答：每听罐头的价钱应为25元．【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程或者函数表达式进行求解．23．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【分析】（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，∴()-5(1=0x x ++） 解得x ＝5或﹣1，故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；（3）∵a ＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【点睛】【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．24．（1）1802y x =-+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．【分析】（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可； （2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802y x =-+； （2）由（1）及题意得：()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++； （3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-++=--+， ∴102a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．25．（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得：314c b c =-⎧⎨++=-⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．26．（1）A (-1，0)，B(2，0)；（2）0或1【分析】（1）解方程x 2-x-2=0可得A ，B 两点的坐标；（2）把P （m ，-2）代入y=x 2-x-2得m 2-m-2=-2，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）当y ＝0时，x 2-x-2＝0，解得x 1＝-1，x 2＝2，∴A （-1，0），B （2，0）；（2）把P （m ，-2）代入y ＝x 2-x-2得m 2-m-2＝-2，解得m 1＝0，m 2＝1，∴m 的值为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．。
(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ）A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位2．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x =5．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)6．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m <<7．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >>8．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a bx a+=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =412．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<二、填空题13．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．14．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____． 15．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．16．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ． （1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．22．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 23．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小． （3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．24．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ． （1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．25．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C . （1）如图，已知AD CD ⊥于D ，以D 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B 的坐标为________； （2）小明此次投掷的成绩是多少米？26．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A 'B 'O ．一抛物线经过点A '、B '、B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB 'A 'B 的面积是△A 'B 'O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y 1）到直线x=1的距离小于点（4，y 2）到直线x=1的距离相等， ∴y 1＞y 2，所以②正确； ∵x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，所以④正确． 故选：A ． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．3．C解析：C 【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2ba＞0，c ＜0， 即b ＜0， ∴abc ＞0， ∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点， ∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确； 由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0， 故③正确；由图象可得，当0<x<-2ba时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．解析：D 【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案． 【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．5．A解析：A 【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标． 【详解】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1）， ∵A 1A 2∥OA ， 设直线A 1A 2为y ＝x ＋b 把A 1（−1，1）代入得1=-1+b 解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2， 解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴A 2（2，4）， ∴A 3（−2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6 ∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6， 解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36）∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112）， 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．6．B解析：B 【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ． 【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <； 第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；综上所述得12m <． 故选：B ． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．7．C解析：C 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，可判断y 2>y 1>y 3． 【详解】由二次函数y =a (x +3)2+k 可知对称轴为x =−3，根据二次函数图象的对称性可知，()22,B y -与2(4,)D y -对称，∵点()15,A y -，()36.5,C y -， 2(4,)D y -)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5，∴y 2>y 1>y 3， 故选C. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.8．C解析：C 【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．9．B解析：B 【解析】 解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误． 故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．10．B解析：B 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案． 【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：12ba-< 由抛物线的图象可知：a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故①正确；②当x=1时，y=a+b+c=0，当y=ax 2+bx+c=0，∴x=1或x=m ，∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；③由图象可知：x=-1，y=2，即a-b+c=2，∵a+b+c=0，∴b=-1，∴c=1-a∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；④由于a+b=-c=a-1，∵c ＜0，∴a-1＞0，∴a ＞1，∴0＜11a< ∵x 0=111,a a a--=-+ ∴-1＜-1+1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．11．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 12．C解析：C【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2b x a =-，在x 轴的正半轴上， 故02b x a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确； C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 二、填空题13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小 解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的解析：c =6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．【详解】解：根据题意得：24(6)4c --=±3， 解得：c =6或12．故答案为：c =6或12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．15．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 16．4【分析】根据函数关系式当h=0时0=20t-5t2解方程即可解答【详解】由题意得：20t-5t2=0解之：t1=0（不符合题意）t2=4∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒故答案为：4【点睛】本解析：4【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t-5t 2，解方程即可解答．【详解】由题意得：20t-5t 2=0，解之：t 1=0（不符合题意），t 2=4.∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查 解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（21），或（2，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得12=2+222x x =，P 点坐标为（2，1），或（2，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（21），或（2，1）故答案为：(2，-1)或（2，1），或（2，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤【分析】（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；【详解】（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=+，∴4x =-，∴点A 的坐标是()4,2--， 设(),2Bb -，点A 与点B 关于1x =-对称，则()()141b ---=--， ∴2b =，∴()2,2B -；（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-， 则222b b x a =-==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，∴顶点坐标为(),2m m +，∴抛物线的解析式可化为()22y x m m =--++， 把点()4,2A --代入解析式可得，()2242m m -=---++，13m =-，24m =-，∴43m -≤≤-，把点()2.2B -代入解析式得， ()2222m m ---++=-， 30m =，45m =，∴0＜5m ≤；综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．22．223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．23．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可． 【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =． （2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >， 当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >． ．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2，12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍） 若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤， 当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =， 不符合32m <-， 故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．24．（1）见解析；（2）1；（3）m =或13m <或1m <- 【分析】（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可：【详解】解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+ ∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)- 把点(1,1)-代入抛物线2221y x x m =--+中，解得21m =∴抛物线方程为22(2)y x x x x =-=-∴抛物线与x 轴的交点分别为(0,0)和(2,0)∴2AB = ∴1121122ABC C S AB y =⋅=⨯⨯= （3）当0x =时，2y =-，则N 为(0,2)- 当0y =时，20x -=，即M 为(2,0)∵拋物线的对称轴为1x =∴分两种情况：①由22221y x y x x m =-⎧⎨=--+⎩，得22330x x m --+=∴()22(3)410m ∆=---+=，解得2m =±时， 线段MN 与抛物线有且只有一个公共点；②当2210m --+<，解得13m <或1m <-时，线段MN 与抛物线有且只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围是m =或13m <或1m <-．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的性质，有一定的难度．25．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米 【分析】 （1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =- 2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍）答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键26．（1）22y x x =-++；（2）存在，P （1，2）．【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（−1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B ＝S △B′OA′＋S △PB′O ＋S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可．【详解】解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（−1，0），B′（0，2），∵A′（−1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x＋1）（x−2）将B′（0，2）代入得出：2＝a（0＋1）（0−2），解得：a＝−1，故抛物线的解析式为y＝−（x＋1）（x−2）＝−x2＋x＋2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y＝−x2＋x＋2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B＝S△B′OA′＋S△PB′O＋S△POB，＝12×1×2＋12×2×x＋12×2×y，＝x＋（−x2＋x＋2）＋1，＝−x2＋2x＋3，∵A′O＝1，B′O＝2，∴△A′B′O面积为：12×1×2＝1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4＝−x2＋2x＋3，即x2−2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，此时y＝−12＋1＋2＝2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换−旋转，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．。