数学建模-聚类分析
1.最短距离法(SINgle method)
2.最长距离法(COMplete method)
C
E
最短距离
A
F
最长距离
B
D
3.重心法(CENtroid method)
4.类平均法(AVErage method)
中间距离
5.离差平方和法(WARD)
基本思想来源于方差分析。它认为：如果分类正确，同类间 的类差平方和应较小，类与类之间的离差平方和应较大. 具体做法是，先将n个样本分成一类,然后每次缩小一类,每缩 小一类离差平方和就要增大.
d xit x jt
p t 1
jt
1 q
2
chebychev minkowski
d Max
t
x x
it
d
当q=1,2时，为绝对值、欧式距离； 若趋近无穷时，则为切比雪夫距离
p q xit x jt t 1
Lanberra 兰氏距离
1 | xit x jt | dij ( L) p t 1 ( xit x jt )
p
Mahalanobis 马氏距离
1 dij (M ) ( X (i ) X ( j ) ) S ( X (i ) X ( j ) )
以上都是样本间距离的定义。
⒉相似系数
夹角余弦 相关系数 变量间的距离
利用相似系数来定义距离 利用样本协差阵来定义距离 把变量Xi的n次观测值看成n维空间的点, 在n维空 间中定义m个变量间的距离。
系统聚类法基步骤
1. 选择样本间距离的定义及类间距离的定义； 2. 计算n个样本两两之间的距离，得到距离矩阵 3. 构造个类，每类只含有一个样本； 4. 合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类； 5. 计算新类与当前各类的距离。若类的个数为1，则转 到步骤6，否则回到步骤4; 6.画出聚类图； 7.决定类的个数和类。
X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X
X X X X X X X X X X X X X X X
分层聚类 分 层 聚 类 或 系 统 聚 类 （ hierarchical cluster）。开始时，有多少点就是多少 类。 它第一步先把最近的两类（点）合并成 一类，然后再把剩下的最近的两类合并 成一类； 这样下去，每次都少一类，直到最后只 有一大类为止。越是后来合并的类，距 离就越远。
Fin al Clu ster C enters 1 203.10 1.65 13.05 3.15 Cluster 2 33.71 4.16 10.06 2.69 3 107.34 3.49 8.76 2.94
CALORIE CAFFEINE SODIUM PRICE
Num ber o f Cas es in each Clust er Cluster 1 2 3 2.000 7.000 7.000 16.000 .000
二、距离和相似系数
在进行聚类分析时，样本间的相似系数和距 离有多种不同的定义，通常按特性来划分。变量 特征的测度尺度有三种类型： 间隔尺度（由连续的实值变量表示） 有序尺度（没有明确的数量表示，只有次序 关系，如产品等级） 名义尺度（具有某种特性，如性别）
从一组复杂数据产生一个相当简单的类结构， 必然要求进行“相关性”或“相似性”的度量。 在相似性度量的选择中，常常包含许多主观上 的考虑，但最重要的考虑是指标的性质或观测 的尺度（名义、次序、间隔）以及相关知识。 课堂上主要讨论的指标测量为间隔尺度的情况。
Next Stage 7 3 8 10 15 8 11 12 12 13 13 14 14 15 0
“冰柱图”(icicle)
Vertical Icicle Case
16
15
14
12
11
13
10
7
5
9
6
3
8
4
2
Number of clusters 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
四、系统聚类的参数选择 ㈠聚类类别： ㈡统计 ㈢图：树型谱系图 冰柱谱系图 ㈣聚类方法 1.Between-groups linkage 类间平均法 两类距离为两类元素两两之间平均平方距离 2.Within-groups linkage 类内平均法 两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离 3.Nearest neighbor 最短距离法 4. Furthest neighbor 最长距离法 5.Centroid clustering 重心法 (欧式距离) 6.Median clustering 中间距离法 (欧式距离) 7.Ward Method 离差平方法 (欧式距离)
然后，根据和这三个点的距离远近，把
所有点分成三类。再把这三类的中心(均 值)作为新的基石或种子(原来 “种子” 就没用了)，再重新按照距离分类。 如此叠代下去，直到达到停止叠代的要 求（比如，各类最后变化不大了，或者 叠代次数太多了）。 下面用饮料例的数据来做k-均值聚类。
• 假定要把这16种饮料分成3类。利用SPSS，只叠 代了三次就达到目标了（计算机选的种子还可 以）。这样就可以得到最后的三类的中心以及每 类有多少点
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X X X
聚类分析
分类
物以类聚、人以群分； 但根据什么分类呢？ 如要想把中国的县分类，就有多种方法 可以按照自然条件来分，比如考虑降水、土 地、日照、湿度等， 也可考虑收入、教育水准、医疗条件、基础 设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多 项指标来分类。
研究对样品或指标进行分类的一种多元统 计方法,是依据研究对象的个体的特征进行 分类的方法。 聚类分析把分类对象按一定规则分成若干 类，这些类非事先给定的，而是根据数据 特征确定的。在同一类中这些对象在某种 意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋 向于不相似。
X X X X X X X
① 夹角余弦
两变量的夹角余弦定义为：
② 相关系数
两变量的相关系数定义为：
系统聚类法
把样本看成n维空间的点，而把变量看成n 维空间的坐标轴，m个样本开始时自成一类， 然后规定各类之间的距离，将距离最小的一对 并成一类，然后再计算距离，直到所有单位全 部合并为止。
根据一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之 间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另 外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚 合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位， 关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样 本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出 来，形成一个由小到大的分类系统。最后把整个分类 系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间 的亲疏关系表示出来。这种方法是最常用的、最基本 的一种，称为系统聚类分析。
常见的距离有：
block
distance 绝对值距离：
d
xit x jt t 1
p
euclidean
distance
欧式距离
d
x x
p t 1 it jt
2
squared
euclidean distance 平方欧式距离 distance 切比雪夫距离 distance 明考斯基距离 （明氏距离）
Stage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Coefficients 13.130 25.970 36.485 69.130 102.630 150.330 198.375 319.778 322.540 458.795 1006.863 1435.076 1755.654 6287.175 19406.684
Valid Missing
根据需要，可以输出哪些点分在一起。 结果是：第一类为饮料1、10；第二类为 饮料2、4、8、11、12、13、14；第三类 为剩下的饮料3、5、6、7、9、15、16。
SPSS实现(聚类分析) K-均值聚类 以 数 据 drink.sav 为 例 ， 在 SPSS 中 选 择 Analyze－Classify－K-Menas Cluster， 然 后 把 calorie （ 热 量 ） 、 caffeine （ 咖 啡 因）、 sodium （钠）、 price （价格）选入 Variables, 在Number of Clusters处选择3（想要分的类 数）， 如果想要知道哪种饮料分到哪类，则选 Save ， 再选Cluster Membership等。 注意 k- 均值聚类只能做 Q 型聚类，如要做 R 型 聚类，需要把数据阵进行转置。
离差平方和法(WARD)
⒍系统聚类方法的统一
⒎系统聚类法参数表
类的个数的确定
由适当的阈值确定； 根据数据点的散布直观地确定类的个数； 根据统计量确定分类个数；
类的个数的确定
根据谱系图确定分类个数的准则：
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
聚类分析在数学建模中的应用
聚类分析在数学建模中的应用聚类分析是一种无监督学习方法，主要用于发现数据中的潜在分组或模式。
它在数学建模中起着重要的作用，能够帮助研究人员在未知的数据集中发现隐藏的结构和关联。
本文将介绍聚类分析在数学建模中的应用，并详细讨论其几个典型的应用场景。
1.生物医学研究中的应用：聚类分析在生物医学研究中被广泛应用于基因表达数据、蛋白质相互作用网络、疾病分类等方面。
例如，基因表达数据通常具有高维度和复杂性，聚类分析可以将不同的基因分组，找到相关基因集合，从而帮助研究人员发现与特定疾病相关的生物过程和信号通路。
在药物研发过程中，聚类分析还可以帮助研究人员识别潜在药物靶点和候选靶向药物。
2.社交网络分析中的应用：聚类分析在社交网络分析中发挥着重要作用。
通过对社交网络数据进行聚类分析，可以将社交网络中的用户划分为不同的群体或社区，并发现隐藏的社交群体结构。
这可以帮助研究人员了解社交网络用户的行为、兴趣和关系，并为灵活的社交网络设计和推荐系统提供支持。
3.图像分析中的应用：聚类分析在图像分析中也有广泛的应用。
通过对图像数据进行聚类分析，可以将图像分组为具有相似特征的集合，从而实现图像分类、图像和图像压缩等任务。
例如，对于大规模的图像库，聚类分析可以帮助研究人员将图像分组为具有相似主题或特征的集合，从而提高图像的效率和精度。
4.金融风险管理中的应用：聚类分析在金融风险管理中也有着重要的应用。
通过对风险因素进行聚类分析，可以帮助金融机构识别风险因素的潜在结构和关联，并评估不同风险因素之间的相互作用。
这对于制定有效的风险管理策略和规避潜在风险非常重要。
例如，聚类分析可以帮助银行发现具有相似信用风险的客户群体，并采取相应的措施来降低风险。
5.消费者行为分析中的应用：聚类分析在消费者行为分析中也有重要的应用。
通过对消费者数据进行聚类分析，可以将消费者划分为不同的行为类型或偏好群体，并发现不同群体之间的行为模式和趋势。
这可以帮助企业了解消费者的需求和喜好，并制定相应的市场营销策略。
数学建模-主成分分析聚类分析
随机抽取管理学院10名学生，对其4门课程的考试成绩进行统计，如下表所示，这4门课程分别为多元统计分析1X ，运筹学2X ，经济学3X ，管理学4X . 使用主成分分析方法对学生成绩进行分析.>> x1=[77 63 75 55 31 67 70 66 70 57]; >> x2=[82 78 73 72 55 81 81 81 68 73]; >> x3=[67 80 71 63 60 82 78 73 72 55]; >> x4=[81 81 81 68 73 67 80 71 63 60];>> data=[x1;x2;x3;x4]'; %输入观测值数据矩阵 >> [n,m]=size(data);>> for i=1:m %将数据矩阵中心标准化sddata(:,i)=(data(:,i)-mean(data(:,i)))./std(data(:,i),1); end>> [P,score,egenvalue,t2]=princomp(sddata) %做主成分分析 P =-0.5511 0.3268 -0.3624 0.6769 -0.5588 0.3358 -0.2089 -0.7289 -0.5110 -0.1193 0.8460 0.0944 -0.3505 -0.8753 -0.3307 -0.0398score =-1.3489 -0.2567 -1.2840 -0.0315 -1.2458 -0.9740 0.5341 -0.2698 -0.8704 -0.7467 -0.5863 0.7336 1.1642 0.3096 -0.2225 -0.2707 3.3634 -1.5690 0.3950 -0.0572 -1.1054 0.8480 1.1534 -0.2345 -1.5954 -0.5212 0.0958 -0.1867 -0.6992 0.4872 0.1005 -0.4105 0.4738 0.9799 0.5768 1.03061.8637 1.4430 -0.7628 -0.3031egenvalue = 2.7502 0.9334 0.5275 0.2334 t2 =3.8620 2.4333 3.8297 1.0034 7.0609 3.9724 1.3834 1.1732 6.29124.9906>> for k=1:mgxl(k)=sum(egenvalue(1:k))/sum(egenvalue); end>> gxl %输出累计贡献率 gxl =0.6188 0.8288 0.9475 1.0000>> plot(score(:,1),score(:,2),'r+') %画出第一第二主成分的散点图 >> gname第一主成分43211X X X X Y 0.3505-0.5110-0.5588--0.5511=，所有科目考试成绩的系数均为负，且差异不大，故1Y 可解释为学生的综合学习成绩，该主成分得分越小（散点图中的位置越靠左），综合成绩越好.第二主成分43212X X X X Y 0.8753-0.1193-0.33580.3268+=，数学科目考试成绩的系数均为正，专业科目考试成绩的系数均为负，故2Y 可解释为学生的数学科目与专业科目学习成绩的差异，该主成分得分绝对值越大则差异越大，由散点图可以看出，10号学生的数学科目明显优于其专业科目成绩，而5号学生的数学科目明显差于其专业科目成绩.>> Y1=score(:,1);ZF=(sum(data'))'; %提取第一主成分得分，求每个学生的总分 >>for k=1:norder(k,1)=find(Y1==min(Y1));Y1(order(k,1))=inf; %按第一主成分得分由高到低排序order(k,2)=find(ZF==max(ZF));ZF(order(k,2))=-inf; %按总分由高到低排序 end >> orderorder =7 7 1 1 2 2 6 3 3 6 8 8 9 9 4 4 10 10 5 5两种排序方式下3号学生和6号学生的排序结果相反，原因在于43211X X X X Y 0.3505-0.5110-0.5588--0.5511可见，这四个科目成绩的重要性是依次递减的，3号学生的总分虽略高于6号学生，但他的最高分出现在重要性最低的第4科.>> R=sddata'*sddata./n %求标准化数据的样本相关矩阵R =1.0000 0.7867 0.5322 0.28900.7867 1.0000 0.5749 0.27680.5322 0.5749 1.0000 0.39750.2890 0.2768 0.3975 1.0000建模2011A主成分分析-聚类分析：data1=[7.84 153.80 44.31 20.56 266.00 18.20 35.38 72.35 5.93 146.20 45.05 22.51 86.00 17.20 36.18 94.594.90 439.20 29.07 64.56 109.00 10.60 74.32 218.376.56 223.90 40.08 25.17 950.00 15.40 32.28 117.356.35 525.20 59.35 117.53 800.00 20.20 169.96 726.02 14.08 1092.90 67.96 308.61 1040.00 28.20 434.80 966.738.94 269.80 95.83 44.81 121.00 17.80 62.91 166.739.62 1066.20 285.58 2528.48 13500.00 41.70 381.64 1417.867.41 1123.90 88.17 151.64 16000.00 25.80 172.36 926.848.72 267.10 65.56 29.65 63.00 21.70 36.94 100.415.93 201.40 45.19 24.90 259.00 14.60 35.88 102.659.17 287.00 43.94 45.77 168.00 19.70 62.74 223.165.72 193.70 80.35 26.57 111.00 19.80 57.64 89.084.49 359.50 258.15 123.27 77.00 12.90 106.47 853.985.51 516.40 91.97 89.04 189.00 19.80 121.72 494.80 11.45 1044.50 94.78 136.97 202.00 22.30 472.48 602.046.14 445.40 82.69 167.39 144.00 18.40 111.24 389.807.84 347.90 57.65 97.14 213.00 19.60 70.82 307.247.41 345.70 159.45 71.03 85.00 18.10 89.34 380.928.50 614.00 744.46 130.55 156.00 32.80 228.64 1013.475.51 257.20 54.64 29.01 104.00 13.20 87.68 223.279.84 1213.50 920.84 1364.85 115.00 142.50 181.48 1818.479.39 325.80 172.29 104.89 82.00 31.50 90.90 429.293.30 212.10 50.13 38.62 139.00 10.60 66.98 186.224.09 90.50 35.02 11.82 16.00 10.40 29.09 46.846.14 583.40 95.25 233.70 155.00 21.10 97.47 311.025.31 366.40 42.34 64.65 188.00 17.40 67.11 182.653.69 323.90 35.14 34.66 50.00 13.90 65.48 253.16 21.87 424.50 73.40 59.72 1520.00 27.80 83.70 175.71 18.38 630.00 96.68 114.81 645.00 34.80 130.36 1626.02 10.53 635.30 64.03 101.35 190.00 28.30 162.64 615.103.50 463.40 112.19 72.93 118.00 14.10 60.60 193.376.35 532.00 57.51 83.76 191.00 19.50 73.46 297.14 5.51 778.70 74.66 92.48 330.00 19.70 110.20 351.63 4.49 754.80 99.88 97.92 243.00 24.90 100.79 323.37 3.50 396.30 138.37 58.97 170.00 24.20 91.76 2893.47 5.51 687.80 85.52 72.85 201.00 19.00 103.20 403.27 4.29 526.00 55.31 81.43 93.00 19.90 100.65 369.80 4.29 449.10 67.22 51.64 315.00 15.70 106.97 294.69 6.56 852.70 72.59 158.67 311.00 21.20 124.24 377.14 16.58 459.00 94.79 47.17 1900.00 19.90 71.32 215.10 7.41 337.30 77.27 248.85 90.00 20.10 99.58 210.00 5.93 568.10 75.14 118.16 135.00 23.80 111.54 572.96 4.69 599.00 69.05 122.18 121.00 19.80 102.72 427.044.90 635.50 68.42 227.76 176.00 19.50 96.33 538.985.31 600.70 44.65 45.10 51.00 15.50 65.87 186.334.29 567.60 60.25 48.67 46.00 16.10 63.74 208.065.51 228.50 49.27 30.85 62.00 22.90 45.93 102.04 4.69 568.60 306.02 70.41 900.00 16.80 79.67 196.737.20 214.70 50.33 40.16 156.00 20.80 47.76 403.98 5.31 151.90 47.24 24.44 140.00 17.30 37.49 92.55 4.90 343.30 42.01 58.81 80.00 13.80 79.07 275.82 4.90 293.90 60.29 51.03 53.00 12.60 75.93 278.37 3.89 312.90 33.79 277.82 55.00 14.00 68.24 295.61 3.69 315.90 45.43 34.05 55.00 12.60 62.84 196.33 3.11 416.30 57.88 47.64 167.00 11.90 116.19 242.04 3.89 374.00 45.17 50.19 35.00 15.00 58.11 157.35 3.89 344.30 35.29 47.87 100.00 15.10 133.72 141.022.91 252.90 45.98 71.54 32.14 14.40 42.99 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14.50 41.02 121.206.26 132.90 42.59 16.58 27.00 16.20 35.52 63.316.47 197.00 38.18 21.09 64.00 18.60 40.18 168.056.47 100.70 36.19 13.31 42.00 11.50 34.34 56.234.79 119.10 35.76 19.71 44.00 9.90 39.66 67.067.56 63.50 33.65 21.90 60.00 12.50 41.29 60.509.35 156.00 57.36 31.06 59.00 25.80 51.03 95.90]; %8种重金属元素的浓度原始数据>> bjz=[3.61303113.23512.33169]'; %8种重金属元素的背景值的均值>>[n,m]=size(data1);>> for i=1:m %求污染程度数据矩阵data2(:,i)=data1(:,i)./bjz(:,i);end>>data3=zscore(data2); %将污染程度数据矩阵中心化标准化>> R3=data3'*data3./n %求污染程度矩阵的相关系数矩阵R3 =0.9969 0.2539 0.1884 0.1592 0.0642 0.3156 0.2890 0.24610.2539 0.9969 0.3513 0.3955 0.2639 0.3283 0.6583 0.42980.1884 0.3513 0.9969 0.5299 0.1029 0.7135 0.3816 0.42300.1592 0.3955 0.5299 0.9969 0.4154 0.4930 0.5184 0.38610.0642 0.2639 0.1029 0.4154 0.9969 0.1026 0.2972 0.19520.3156 0.3283 0.7135 0.4930 0.1026 0.9969 0.3058 0.43500.2890 0.6583 0.3816 0.5184 0.2972 0.3058 0.9969 0.49210.2461 0.4298 0.4230 0.3861 0.1952 0.4350 0.4921 0.9969 >> [P,score,egenvalue,t2]=princomp(data3) %对标准化污染程度数据做主成分分析P =-0.2256 0.1861 -0.6932 0.6286 -0.0346 0.0990 -0.0130 0.1659 -0.3767 -0.2624 -0.2875 -0.3676 -0.3346 -0.4944 0.4024 0.2305 -0.3895 0.4140 0.3089 -0.0527 -0.1442 -0.1494 -0.5203 0.5146 -0.4009 -0.1162 0.3718 0.1569 -0.2034 0.6210 0.4560 0.1674 -0.2165 -0.6279 0.3028 0.5121 0.2027 -0.3585 -0.1862 -0.0236 -0.3831 0.4798 0.1932 0.1561 -0.0183 -0.3038 0.2180 -0.6490 -0.4049 -0.2930 -0.2415 -0.2828 -0.2074 0.3297 -0.5166 -0.4396 -0.3704 0.0349 -0.1254 -0.2750 0.8604 0.0909 0.1005 0.1079score =0.5456 0.4760 -0.2385 0.9238 0.0347 0.0562 -0.0448 -0.00680.7236 0.3890 0.1517 0.4457 0.0965 0.0977 -0.0533 -0.04400.1029 -0.6786 -0.3148 -0.6068 -0.1762 0.0955 0.2073 0.26030.5289 -0.0888 0.0282 0.7029 0.1653 -0.1864 0.0361 0.1829-2.2377 -0.8590 -0.8366 -1.0018 0.5103 0.4119 -0.4269 -0.6101 -7.0283 -2.3626 -4.0263 -1.6355 -1.1503 1.6389 -1.4879 -2.1198 -0.3681 0.5809 -0.5586 0.6635 -0.1787 0.0705 -0.4055 0.3925 -15.5620 -6.6945 5.7248 3.5181 -1.3891 6.1650 2.6337 1.0367 -6.0371 -6.9258 1.2082 2.9402 1.8860 -4.2464 -1.0592 -0.2348 -0.0015 0.7581 -0.4581 0.8739 -0.1659 -0.2192 0.1137 0.09280.6954 0.1341 0.0674 0.3664 0.0591 0.0268 -0.0202 0.1885-0.2674 0.3478 -0.8345 0.7230 0.0449 0.1003 0.0674 -0.06300.1822 0.5162 0.2579 0.2336 -0.1541 -0.0185 -0.3874 -0.1035-2.1906 0.7026 0.6746 -1.3487 0.8725 0.3109 -1.5612 1.6705 -1.5324 -0.2124 -0.3571 -0.9523 0.0396 -0.0076 -0.2709 -0.0697 -6.0460 -2.4069 -3.9522 -2.5619 -2.0637 1.4629 -2.7735 -2.3424 -1.3424 -0.2013 -0.2190 -0.5147 -0.1666 0.4430 -0.0608 0.0551 -0.6321 0.1785 -0.4933 0.2850 0.0627 0.1584 0.1581 0.0416 -1.2540 0.6515 -0.1718 -0.1308 -0.0092 0.0480 -0.8613 0.6978 -7.5796 3.7551 1.3460 -1.7726 -0.6913 -0.9056 -5.5039 3.41100.0944 -0.2025 -0.2070 -0.2764 0.0309 0.3363 -0.4892 -0.0266 -17.4212 8.9703 5.9221 -0.0944 -1.4722 -1.2894 0.8421 0.1725 -2.1046 1.4921 -0.2319 0.4977 0.0202 -0.1274 -0.6136 0.04220.6397 -0.3411 0.4288 -0.5322 0.1214 0.3348 -0.3583 0.12191.4171 0.0243 0.4828 0.1015 0.1464 0.3042 -0.1825 0.2053 -1.7146 -0.1366 -0.0385 -0.4983 -0.6268 0.1689 0.4550 0.2763 -0.0550 -0.1538 -0.0622 -0.2113 -0.1635 -0.0413 0.1809 -0.0872 0.3403 -0.3241 0.1514 -0.6483 0.1454 0.0456 0.0582 -0.0361 -2.2528 0.8758 -3.4344 3.6015 -0.4367 -0.2157 -0.1284 0.2580 -4.7160 1.0707 -3.4565 0.9714 2.5440 0.0534 0.4370 0.1119 -2.7709 -0.0334 -1.8314 -0.2652 -0.0324 0.0437 -0.0380 -0.7412 -0.3140 -0.0641 0.5062 -0.8364 -0.3898 -0.3550 -0.1278 0.7118 -0.7990 -0.1320 -0.4332 -0.3535 -0.2162 -0.3231 0.4275 0.1141 -1.6491 -0.6296 -0.6280 -1.1407 -0.6168 -0.6762 0.3947 0.1354 -1.7686 -0.1825 -0.0992 -1.1970 -0.6814 -0.8994 0.3968 -0.0186 -3.9091 0.7415 -0.2673 -2.9500 6.3803 0.2921 0.2126 0.7461 -1.4647 -0.3831 -0.5316 -1.0731 -0.3343 -0.5569 0.1834 0.2274 -0.9190 -0.3578 -0.1369 -1.0095 -0.1176 -0.1736 0.1963 -0.2639 -0.6199 -0.5094 -0.0971 -0.8925 -0.1719 -0.0425 -0.3181 -0.0942 -2.1994 -0.7106 -0.8728 -1.0604 -0.8158 -0.4901 0.6209 0.1088 -1.6930 0.1943 -2.2379 2.4508 -0.2430 -0.4713 -0.3154 0.7789 -1.1941 0.0654 -0.0643 0.2298 -0.5284 0.8791 0.1192 -0.0071 -1.7783 -0.0857 -0.4393 -0.8688 0.1825 -0.1170 0.2485 -0.2336 -1.3269 -0.3879 -0.1961 -1.0676 -0.1696 -0.1690 0.3273 -0.0182 -1.7262 -0.4834 -0.0588 -1.0235 -0.0390 0.1464 0.7781 0.2450 -0.3146 -0.4307 -0.4538 -0.6836 -0.4914 -0.5546 0.5160 0.2878 -0.3077 -0.3195 -0.0877 -0.8476 -0.4049 -0.5604 0.3973 0.3028 0.2697 0.5142 0.2370 0.2496 -0.0752 -0.1768 0.1170 -0.3981 -2.0172 0.7524 1.0532 -0.7316 -0.9341 -1.0987 -1.6186 1.9530 -0.1381 0.5167 -0.2506 0.3730 0.6859 0.0785 0.1171 -0.0865 0.7240 0.3319 0.3071 0.3205 0.0841 0.0607 -0.0694 -0.0735 -0.0150 -0.3424 -0.1356 -0.4977 0.0635 0.2120 -0.0350 0.0194 0.0576 -0.2000 -0.0237 -0.4499 0.1273 0.2745 -0.2710 0.2023 -0.3202 -0.4893 0.6425 -0.4004 -0.0446 1.0314 0.7140 0.1861 0.4307 -0.3085 0.2150 -0.6014 0.0067 0.0449 -0.0530 0.1206 -0.2662 -0.7819 0.0386 -1.1966 -0.2686 0.1909 -0.4906 -0.1128 0.2713 -0.2298 0.2108 -0.5493 -0.1878 -0.1247 0.1894 0.0785 -0.2246 -0.7164 -0.1448 -0.8876 -0.4672 0.4291 -0.5872 -0.7035 0.6481 -0.0998 0.7073 -0.4511 0.0103 0.1054 0.1706 0.0970 0.5783 -0.7979 -0.0027 -0.9507 -0.4412 -0.2953 0.2737 0.6414 -4.9523 1.3451 -0.8451 -2.9211 8.8247 0.5078 1.3004 -0.6180 1.0347 -0.1646 0.3122 -0.1042 0.0719 0.4338 -0.2773 -0.1365 0.8726 -0.4966 0.3722 -0.6675 -0.0569 0.2092 -0.1495 0.1663 0.8251 -0.4207 0.4898 -0.6795 -0.0298 0.0953 -0.0850 0.2530-0.1942 -0.9026 -0.1482 -1.4141 -0.7682 -0.8284 0.6967 0.7609 0.0322 -0.8372 -0.0282 -1.1085 -0.2348 0.4498 -0.5239 -0.0294 0.3535 -0.5388 0.1385 -0.8978 -0.4007 -0.3706 0.2416 0.4858 0.5465 0.2398 0.0786 0.3970 -0.1003 0.1225 0.2374 0.14640.5999 -0.4428 0.0847 -0.6828 0.0925 -0.0251 0.0617 0.33341.0220 0.1884 0.4185 0.1384 0.1096 0.1586 -0.0265 -0.0356 0.7568 -0.6009 0.1811 -0.7472 -0.1007 0.0866 -0.0003 0.1035 0.5791 0.7669 -0.1772 1.0316 0.0466 0.0941 -0.0653 -0.0231 0.5777 -0.2940 0.3178 -0.4222 -0.1304 0.2144 0.0321 -0.0681 0.9969 0.0506 0.5431 -0.1119 0.0623 0.1465 -0.0594 -0.04600.4834 -0.2277 0.2977 -0.5526 -0.0828 -0.0171 0.0098 -0.09351.8398 -0.2509 0.7183 -0.1471 0.2235 0.3812 -0.1144 0.26030.2548 0.4254 -0.5970 0.7625 -0.1701 -0.0364 0.0853 0.10581.8317 -0.4542 0.8235 -0.4658 0.1887 0.3240 -0.0319 0.2644 0.3311 -0.6401 0.2281 -1.0978 -0.2421 -0.2917 0.2434 0.15270.5054 0.7159 0.8483 0.0558 0.0455 -0.2427 -0.0024 -0.58781.0213 0.3558 0.1137 0.5801 0.1244 0.2419 -0.0707 0.06690.1123 0.9352 -0.7452 1.6501 -0.0884 0.4054 -0.0489 0.06351.1602 0.2701 0.0336 0.6235 0.1197 0.3106 -0.1185 0.2258 -2.5152 1.0417 -6.3439 4.2111 -1.0196 -0.1554 0.5575 1.6064 0.5339 -0.4580 0.0262 -0.6347 -0.3144 -0.2299 0.1989 0.28090.8768 -0.5859 0.3732 -0.7010 -0.2629 -0.0286 0.2501 0.53371.4739 -0.5605 0.6379 -0.6457 0.1290 0.2485 -0.0275 0.2146 1.1412 0.4411 -0.0234 0.8324 0.1481 0.3742 -0.2152 0.1941 1.1723 -0.3646 0.4770 -0.4669 0.0490 0.2327 -0.1095 0.1148 -1.2112 -0.6208 -1.0304 -1.0941 -1.0874 -1.2110 0.8126 -0.0459 0.7708 0.4939 0.1799 0.4678 0.1187 0.0905 -0.0748 -0.0563 0.7194 0.5240 -0.1438 0.8025 0.0400 0.2259 -0.1583 0.0648 0.7944 -0.9189 0.5332 0.3728 0.2052 -0.1612 -0.0980 0.2948 0.9803 0.2176 0.3573 0.1695 0.1169 0.1536 -0.0615 -0.0981 -1.5418 -1.3814 -1.7142 -2.0008 -2.1581 -3.1459 2.5861 1.58680.2234 0.2447 -0.2142 0.3473 -0.1840 0.0135 0.1959 -0.03351.0684 -0.0200 0.2915 0.0147 0.0063 0.1445 -0.0589 0.1836 0.5102 -0.4695 0.2141 -0.8049 -0.1532 -0.1505 0.1388 0.11860.1351 -0.3252 0.6881 -0.6096 -0.2194 0.2954 0.4798 0.03551.4382 -0.0785 0.3928 0.1568 0.2213 0.3376 -0.0624 0.1678 0.9228 0.5060 -0.1865 0.9060 0.0832 0.2852 -0.1856 0.2015 0.7335 0.1135 -0.0839 0.2394 -0.0191 0.1308 -0.0519 0.03200.9324 -0.6877 0.3173 -0.9078 -0.2174 -0.0534 0.0507 0.14601.1803 -0.4970 0.4240 -0.5047 0.0370 0.1793 -0.0235 0.23220.8836 0.0599 0.0175 0.2708 -0.0123 0.2535 -0.0508 0.11051.7497 -0.2216 0.8038 -0.2423 0.2205 0.2957 -0.0487 0.1209 0.4705 0.0381 -0.1928 0.3225 -0.0839 0.2425 0.1211 0.1778 0.9697 0.1825 0.3466 0.1776 0.0190 0.0359 0.0621 -0.08941.0486 0.0656 0.0792 0.6619 0.1062 0.4412 0.0459 0.28020.3823 1.2290 0.8225 0.5786 0.0397 -0.3092 -0.0381 -0.57351.4829 -0.1092 0.2502 0.1891 0.1353 0.3403 -0.0917 0.3202 1.4459 -0.0130 0.6431 0.0268 0.2163 0.3198 -0.0399 0.08020.8508 0.1939 0.3332 0.1067 0.0396 0.0881 -0.0200 -0.08441.1861 0.0885 0.4469 0.1916 0.0722 0.2072 0.0544 0.1862 1.3512 -0.0505 0.6217 -0.1298 0.1299 0.1695 -0.1094 0.1650 1.3321 0.4301 1.0120 0.0658 0.3255 0.1041 -0.0609 -0.2046 1.4784 -0.2019 0.3393 -0.0076 0.1701 0.3084 -0.1081 0.3645 1.0978 0.1706 0.1035 0.3954 0.0722 0.1516 -0.0253 0.2451 1.4059 -0.1147 0.1648 0.1935 0.1880 0.3788 -0.1325 0.25140.3092 1.1165 0.7832 0.4217 0.0644 -0.3575 -0.0249 -0.48011.1689 0.0514 0.4286 0.0063 0.1077 0.0795 0.0210 0.11380.7967 0.7055 0.3276 0.6135 0.1147 0.0563 -0.0939 -0.17531.3591 -0.6709 0.3044 -0.5580 0.0136 0.3660 -0.1928 0.2431 1.6505 -0.2852 0.6425 -0.2593 0.1926 0.2667 -0.0500 0.21670.9654 0.1082 0.8399 -0.4113 0.0687 -0.2751 0.2406 -0.19281.6196 -0.2004 0.7395 -0.2598 0.1962 0.1714 0.0319 0.1721 0.9338 0.4434 0.7083 0.1116 0.1093 -0.0636 -0.0446 -0.1938 -0.0224 1.8951 1.8098 0.3005 0.1527 -0.8642 0.4199 -1.80240.4598 -0.3654 0.4884 -0.8496 -0.2460 -0.0137 -0.3065 -0.42171.1199 -0.7696 0.4580 -0.9040 0.0627 0.3781 -0.1954 0.0908 1.6095 -0.1915 0.6996 -0.2041 0.2183 0.2580 0.0036 0.0999 1.7576 -0.1751 0.6513 -0.0680 0.2704 0.3653 -0.1255 0.2795 1.3236 -0.0558 0.5546 -0.1005 0.0772 0.1055 -0.0197 0.1749 1.5568 -0.2528 0.6675 -0.2453 0.1433 0.3254 -0.0999 0.0547 -2.28193.4783 2.5596 0.0509 -0.0632 -1.9845 0.2218 -3.1007 1.5508 0.0924 0.6973 0.0827 0.1982 0.2972 -0.2033 0.1161 1.8592 -0.1918 0.7847 -0.1554 0.3280 0.4086 -0.1762 0.1513 0.0733 1.5738 -0.0808 1.5086 0.0907 -0.2093 0.1524 -0.6012 0.0548 -0.6737 -0.9257 -0.0157 -0.2853 0.9373 -0.9108 -0.2132 0.8116 0.1771 0.1455 0.3367 0.0141 0.1669 -0.1403 0.2165 0.4910 0.1651 -0.4949 0.7257 0.0634 0.2553 -0.1077 0.2680 0.1334 0.0532 -0.0667 -0.0370 -0.1238 -0.0554 -0.0499 0.0735 -4.3058 -1.2052 -2.7072 -2.4707 1.1227 -0.0943 -0.1468 -0.1098 -0.4295 -0.6749 -0.9341 -0.4303 -0.6773 0.0528 -0.2342 -0.1111-0.1933 -1.0926 -0.4721 0.2073 -0.2135 0.6730 -1.1701 -0.5717 1.0010 0.4069 -0.0233 0.7211 0.0926 0.2576 -0.0931 0.1129 0.1729 -0.0758 -0.4896 0.2159 -0.2704 0.4691 -0.5391 -0.3240 0.9282 0.1422 0.0027 0.4359 0.0325 0.2666 -0.1663 0.2209 0.9517 0.2118 -0.1487 0.5521 0.0370 0.1945 -0.0411 0.2519 -0.7175 0.5932 -0.4110 0.4186 -0.0085 -0.2246 -0.0397 -0.1848 -0.7932 0.0804 -0.3808 -0.2108 -0.3324 -0.0177 -0.3394 -0.0270 -1.2166 -0.4314 -1.2681 -0.3538 -0.9096 -0.6028 0.7595 0.1899。
数学建模优秀讲座之聚类分析及其应用
• 解释性-可用性 用户希望聚类结果是可解释的，可理解的，和可用的。 也就是说，聚类可能需要和特定的语义解释和应用相 联系。应用目标如何影响聚类方法的选择也是一个重 要的研究课题。 记住这些约束，我们对聚类分析的学习将按如下的步 骤进行。首先，学习不同类型的数据，以及它们对聚 类方法的影响。接着，给出了一个聚类方法的一般分 类。然后我们详细地讨论了各种聚类方法，包括划分 方法，层次方法，基于密度的方法，基于网格的方法， 以及基于模型的方法。最后我们探讨在高维空间中的 聚类和孤立点分析（outlier analysis）。
cophenet相关系数。 • cluster 函数 • 调用格式：T=cluster(Z,…) • 说明：根据linkage函数的输出Z 创建分类
利用spass进行聚类分析
两步聚类法
• 基本思想： 一种探索性的聚类方法，是随着人 工智能的发展起来的智能聚类方法中的一种。用 于解决海量数据或具有复杂类别结构的聚类分析 问题。
对象之间的距离 X：一个m×n的矩阵，它是由m个对象组成的数据 集，每个对象的大小为n。 • linkage函数 • 调用格式：Z=linkage(Y,’method’)
• 说 明：用‘method’参数指定的算法计算系统聚类 树。
• Y：pdist函数返回的距离向量
• cophenet函数 • 调用格式：c=cophenetic(Z,Y) • 说明：利用pdist函数生成的Y和linkage函数生成的Z计算
小于允许值，输出聚类结果。
Kmeans函数
• 使用方法：
Idx=Kmeans(X,K) [Idx,C]=Kmeans(X,K) [Idc,C,sumD]=Kmeans( X,K) [Idx,C,sumD,D]=Kmean s(X,K)
数学建模-聚类分析
满足输出；不满足循环；
（7）重复；
初始聚类中心的选择
初始聚类中心的选取决定着计算的迭代 次数，甚至决定着最终的解是否为全局最优， 所以选择一个好的初始聚类中心是很有必要 的。
（1）方法一：选取前k个样品作为初始凝聚点。
(2)方法二： 选择第一个样本点作为第一个聚类 中心。然后选取距离第一个点最远的点作为第二个 聚 类中心。……
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现抽取日 本、巴林和泰国的值作为三个类的种子，即初始化三 个类的中心为 A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰 国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类的 中心点。
A类的新中心点为：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21,
数据变换
（5）极差正规化变换:
x*ij
=
xij
min 1t n
xij
Rj
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
（6）对数变换x*:ij = log xij
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
k
样品间的距离
（1）绝对值距离：
m
dij
xit x jt
t 1
聚类分析(数学建模)
分类
俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多 种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础 设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项 指标来分类。
应用范围有限，要求用户制定分类数目(要告知)，只能对 观测量（样本）聚类，而不能对变量聚类，且所使用的聚类变 量必须都是连续性变量。
数据标准化处理：
存储中间过程数据
数据标准 化处理， 并存储。
指定5类
收敛标准值
存储最终结果输出情况，在数据文件中（QCL-1、QCL-2）
初始聚心选项，输出方差分析表
得到矩阵
G 7 G 8 D3 G 7 0 G8 12 .80 0
最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离的 系统聚类方法。最长距离法类似！
最长距离（Furthest Neighbor ）
• x11• •
x21•
d12
• • •
•
20
组间平均连接（Between-group Linkage)
系统聚类法
Hierarchical Cluster
系统聚类法优点： 既可以对观测量（样品）也可对变量进行 聚类，既可以连续变量也可以是分类变量，提 供的距离计算方法和结果显示方法也很丰富。
聚类分析
1、系统聚类法------（分层聚类）系统聚类法是应 用最广泛的一种（Hierarchical Cluster过程） 1）、 聚类原则：都是相近的聚为一类，即距 离最近或最相似的聚为 一类。 2）、 分层聚类的方法可以用于样本聚类（Q） 型，也可以用于变量聚类（R型）。
数学建模聚类分析
用的类与类之间距离的定义。
1 、最短距离（Nearest Neighbor)
x11• x12•
x21• x22•
Dpq D(Gp ,Gq ) min dij i Gp , j Gq
即定义 G p 与 Gq 之间的距离为 G p 与 Gq 中最近的两个样品的距
x1, y1
x2, y2
•
•
设聚类到某一步，类p与 q分别有样品 n p 、nq 个，
将p和q合并为k，则k类的样品个数为 nk n p nq
它的重心是
1
xk nk np xp nq xq
某一类 r 的重心是 xr ，它与新类k的距离是
min D(G p , Gk ), D(Gq , Gk )
最短距离法进行聚类分析的步骤如下：
开始各样本自成一类
1、根据样品的特征，规定样品之间的距离 ，共 有 个。将所有列表，记为D（0）表，该表是一张 对称表。所有的样本点各自为一类。
2、选择D（0）表中最小的非零数，不妨假设 ，
于是将 和 合并为一类，记为
nine
ni
ten
ti
ni
negen neun
neuf nueve
nove dziewiec kilenc yhdeksan
ni
tien zehn
dix
diez dieci dziesiec tiz kymmenen
选择适用的距离
在聚类分析中通常要结合实际问题来选择适用的 距离, 有时应根据实际问题定义新的距离,
的距离来衡量各样品点之间的接近程度。
样品 xi 和 x j之间的距离 d (xi , x j ), 一般应满足如下条件:
国赛数模冲刺必看聚类分析及MATLAB应用
聚类分析人类认识世界往往首先将被认识的对象进行分类，聚类分析是研 究分类问题的多元数据分析方法，是数值分类学中的一支。
多元数据形成数据矩阵，见下表 1。
在数据矩阵中，共有 n 个样 品 x ，x ，…，x （列向），p 个指标（行向）。
聚类分析有两种类 1 2 n 型：按样品聚类或按变量（指标）聚类。
表 1 数据矩阵样品 指标x , x , ... , x , ... , x12jnx 1 x 11 x 21 ... x x 12 x 22 (x)x 1px2 p... x ... x np... x n 1... x n 2 j 1 x 2x pj 2 jp 聚类分析的基本思想是在样品之间定义距离，在变量之间定义相 似系数，距离或相似系数代表样品或变量之间的相似程度。
按相似程 度的大小，将样品（或变量）逐一归类，关系密切的类聚到一个小的 分类单位，然后逐步扩大，使得关系疏远的聚合到一个大的分类单位， 直到所有的样品（或变量）都聚集完毕，形成一个表示亲疏关系的谱 系图，依次按照某些要求对样品（或变量）进行分类。
一、分类统计量----距离与相似系数1．样品间的相似性度量----距离用样品点之间的距离来衡量各样品之间的相似性程度（或靠近程度）。
设d (x , x ) 是样品 x , x 之间的距离，一般要求它满足下列条件：i j i j 1) d (x , x ) 0 , 且 d (x , x ) 0 x x ; i j i j i j2) d (x , x ) d (x , x ) ;i j j i 3) d (x , x ) d (x , x ) d (x , x ) .i j i k k j 在聚类分析中，有些距离不满足 3），我们在广义的角度上仍称 它为距离。
1.1 欧氏距离12pd (x , x ) (x x ) 2 i j ik jkk 1 1.2 绝对距离pd (x , x )| xx |i j ikjk k 11.3 Minkowski 距离1pmd (x , x ) (x x ) m i j ik jkk 1 1.4 Chebyshev 距离d (x , x ) max | x x | i j ik jk1k p1.5 方差加权距离122p(x ik x ) jk d (x , x ) i j s 2k 1 k1 n 1 n 1 n 其中 x x , s ik2 k (x x ) . 2n ik k i 1 i 1 1.6 马氏距离1 2d (x , x ) (x i x ) T1(x i x ) Sjijj其中 S 是由样品 x , x , ... , x , ... , x 算得的协方差矩阵：1 2 j n1 n 1 n 1 nx x , S i(xx )(x x )Tn ii i 1 i 1样品聚类通常称为 Q 型聚类，其出发点是距离矩阵。
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类一、概述研究生数学建模竞赛一直是我国研究生数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学建模能力和创新思维起到了至关重要的作用。
2023年研究生数学建模竞赛的e题涉及到k-means聚类问题，k-means聚类作为一种经典的数据聚类方法，具有广泛的应用价值和理论研究意义。
本文将对2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类进行深入分析和讨论。
二、k-means聚类的原理和算法1. k-means聚类的原理k-means聚类是一种基于样本的无监督学习方法，其原理是将n个样本分成k个簇，使得每个样本点都属于离它最近的均值所对应的簇。
具体而言，k-means聚类的目标是最小化簇内点与簇中心的距离的平方和，即最小化目标函数：\[J = \sum_{i=1}^{k}\sum_{x∈C_i}||x-μ_i||^2\]其中，μ_i是第i个簇的均值向量，C_i是第i个簇的样本集合。
2. k-means聚类的算法k-means聚类的算法主要包括以下几个步骤：1）初始化簇中心：随机选择k个样本点作为初始的簇中心。
2）分配样本点：对每个样本点，计算其与各个簇中心的距离，并将其分配到离它最近的簇中心所对应的簇。
3）更新簇中心：对每个簇，重新计算其均值向量作为新的簇中心。
4）重复步骤2和步骤3，直至簇中心不再发生变化或达到最大迭代次数。
三、k-means聚类的应用领域k-means聚类作为一种简单而有效的聚类方法，在各个领域中都有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：1. 图像分割：将图像中相似的像素点聚类到同一簇，从而实现图像的分割和分析。
2. 文本聚类：将文本数据按照其语义和主题进行聚类分析，用于信息检索和文本分类。
3. 生物信息学：基因序列、蛋白质结构等生物学数据的聚类分析。
4. 社交网络分析：对社交网络中的用户行为、关系等进行聚类研究，挖掘其中的规律和特征。
数学建模聚类分析
聚类模型聚类，或称分集，即所谓“物以类聚”，它是按某种相似规则对给定样本集、指标簇进行某种性质的划分，使之成为不同的类．将数据抽象化为样本矩阵()ij n m X X ⨯=，ij X 表示第i 个样本的第j 个变量的值．聚类目的，就是从数据出发，将样本或变量分成类．其方法大致有如下几个．（1） 聚类法．即谱系聚类法．将n 个样本看成n 类，将性质最接近的两类并为一新类，得1-n 类；再从1-n 类中找出最接近的两类加以合并，得2-n 类；继之，最后所有样本都成一类，得一聚类谱系，从谱系中可确定划分多少类，每类含有哪些样本．（2） 分解法．它是系统聚类的逆过程，将所有样本视为一类，按某种最优准则将它分成两类，继之，每一类都分到只含一个样本为止．（3） 动态聚类．即快速聚类法．将n 个样本粗糙地分成若干类，然后用某中最优准则进行调整，直至不能调整为止．（4） 有序样本聚类．按时间顺序，聚在一类的样本必须是次序相邻的样本．（5） 模糊聚类．它是将模糊数学用于样本聚类．（6） 运筹学聚类．它是将聚类问题化为线性规划、动态规划、整数规划模型的聚类．（7） 神经网络聚类．它是将样本按自组织特征映射的方法进行，也是我们要加以叙述的一个重点．（8） 预测中聚类．它是聚类在预测中的应用，以弥补非稳定信号回归的预测与分析．这里主要介绍谱系聚类法和快速聚类法． 一、距离定义样本矩阵()ij n m X x ⨯=，是m 维空间中n 个点，以距离量度样本之间的贴近度，就是距离聚类方法．最常用的第i 个与第j 个样本的明考斯基距离为p mk p jk ik ij x x d /11)||(∑=-=式中p 为一正整数．当2=p , ij d 就是欧几里德距离；当1=p ，ij d 就是绝对距离，或称“城市街道”距离．而切比雪夫距离为||max 1jk ik mk ij x x d -=≤≤设m m C ⨯是变量的协方差矩阵，i x ,j x 为第i 行与第j 行m 个变量构成的向量，则马哈兰罗比斯距离定义为1()()T ij i j i j d x x C x x -=-- 根据距离的定义，就获得距离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n d d d d d d d d d d 212222111211 由距离性质可知，d 为实对称矩阵，ij d 越小，两样本就越相似，其中01211====nn d d d ，根据)(j i d ij ≠的n 个点分类，依聚类准则分为不同的类．对d 常用的系统聚类准则有： （1） 最短距离； （2） 最长距离； （3） 质心距离； （4） 平均距离；（5） 平方距离．根据我们讲述的多弹头导弹要求，这里以最短距离为例加以简要分析．其它几种距离的分析可见参考文献错误！未找到引用源。