数学5必修第一章解三角形基础训练A组及答案
高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算课后作业(含解析)新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算课后作业（含解析）新人教A版必修51.已知△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于()A.B.C.D.解析:∵A=180°-(60°+45°)=75°,∴B最小.故边b最短.由正弦定理得b=·sin B=.故选A.答案:A2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△ABC=,则边BC的长为( )A. B.3 C. D.7解析:∵S△ABC=AB·AC sin A=,∴AC=1.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=4+1-2×2×1×cos60°=3,即BC=.答案:A3.在△ABC中,a=,b=1,B=30°,则△ABC的面积S为( )A. B. C. D.解析:由正弦定理,得sin A=,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,S=;当A=120°时,C=30°,S=ab sin C=×1×sin30°=.答案:D4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( )A.1+B.C.D.2+解析:由ac sin30°=,得ac=6,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案:A5.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )A. B. C. D.解析:在△ABC中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=-1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=AB·sin B=3sin60°=.答案:B6.已知a,b,c是△ABC的三边,其面积为(a2+b2-c2),则C=.解析:由三角形的面积公式得ab sin C=(a2+b2-c2),所以sin C==cos C.所以tan C=1,所以C=.答案:7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C=.解析:由三角形的面积公式S=AB·BC sin,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BC sin C=,即可得出sin C=.答案:8.在△ABC中,AB=4,AC=7,BC边上的中线AD=,则BC=. 解析:设BC=2x,则BD=DC=x,由余弦定理得,解得x2=,∴x=.∴BC=2x=9.答案:99.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=a sin C-c cos A.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.解:(1)由c=a sin C-c cos A及正弦定理得sin A sin C-cos A sin C-s in C=0.由于sin C≠0,所以sin.又0<A<π,故A=.(2)△ABC的面积S=bc sin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bc cos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.10.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin A sin B+b cos2A= a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求B.解:(1)由正弦定理,得sin2A sin B+sin B cos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.故sin B=sin A,所以. (2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cos B=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.可得cos2B=.又cos B>0,故cos B=,所以B=45°.。
解三角形经典练习题集锦(附答案)
解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
【试题】2019年新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案
【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
高中数学 第一章 解三角形课时训练 苏教版必修5
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°答案 C 解析 由a sin A ＝bsin B得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1³sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22³2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2³222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围． 解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12³63³12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝sin B ＋C －sin C cos B sin A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12³2³107³45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋432－1322³7³43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2³2³4³cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22²AB ²AC ＝92＋82－722³9³8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2²AC 2²AB cos A ＝42＋92－2³4³9³23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010²潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22³BC ³AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ²sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²a 2＋c 2－b 22ac ＋c ²c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722³3³5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3³2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ²AC ²sin A＝12AB ²AC ²sin 60°＝23， ∴AB ²AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝AB 2＋AC 2－AB ²AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ²AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ²AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2³1³4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ²cos B －sin Bsin C²cos A＝a c ²a 2＋c 2－b 22ac －b c ²b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且²＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵ ²＝－21，∴ ²=21. ∴² = ||²||²cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴ sinB = 54. ∴S △ABC = 21acsinB = 21³35³54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542³45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设² =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ² =23得ca ²cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ²cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ²cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ²sin∠ACBsin ∠ABC ＝50³2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )²6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°²sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ²sin 75°＝6－223²6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126³2232＝24(n mile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ²AC ²cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC ²cos 45°＝34＋616－2³32³64³22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km. 能力提升 13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2³20t ³40²cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1²t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302³2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1²A 1B 2²cos 45°＝202＋(102)2－2³20³102³22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220³60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，2033 m解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△PAB 中，由正弦定理可得60sin 45°－30°＝PBsin 30°，PB ＝60³12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600²sin 2θ＝2003²sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003²sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ²AC ²sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A＝82＋52－2³8³5³12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622³12³12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )²r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2³10³9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin 90°－α＝BCsin α－β，∴AC ＝BC cos αsin α－β＝h cos αsin α－β. 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin α－β. 即山高CD 为h cos αsin βsin α－β.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ²AD ²sin A ＋12BC ²CD ²sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ²AD ＋BC ²CD )²sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2³2³4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2³4³6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ²EF＝1302＋1502－102³2982³130³150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45° ∵AB ＝30， ∴BC ＝30，BD ＝30tan 30°＝30 3. 在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ²BD ²cos 30°＝900， ∴CD ＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章 解三角形 复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ²sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2k ＋1>2mk 3mk >m k ＋1，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin α－β B.a sin αsin βcos α－β C.a sin αcos βsin α－β D.a cos αcos βcos α－β 答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin α－β＝ADsin β.∴a sin α－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin α－β. 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ²AB ²sin 60°＝12³16³AB ³32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos 60°＝552＋162－2³16³55³12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010²天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b ＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ²23b＝6b243b2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12³3³5³45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A ＝____________.答案2393 解析 由S ＝12bc sin A ＝12³1³c ³32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2³1³4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________． 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2。
高中数学 第一章 解三角形章末检测(A)新人教A版必修5(1)
【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形章末检测（A ）新人教A 版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.56 答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32.化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5.4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2 答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928. 6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c ， 又cos A ＝b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝a sin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152 B.15 C.8155 D ．6 3 答案 A解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0.∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152.9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a＝cos Bb，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·t an B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3D ．6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C＝2R ，由合分比定理知BC sin A ＝AB ＋BC ＋ACsin A ＋sin B ＋sin C，即332＝x 32＋sin B ＋sin C .∴23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋sin B ＋A ＋B ＝x ， 即x ＝3＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3＋23⎝⎛⎭⎪⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫32 sin B ＋12cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________. 答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋a ＋2a 2＋a ＋2－a ＋2<0a 2＋a ＋2－a ＋22a a＋≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2 B ＋C 2＋cos 2A ＝1－B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE －＝2＋，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B .∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°， 则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝sin B ＋32cos B －12sin B＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°) ＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。
高中数学第一章解三角形训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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解三角形(一）注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在ABC△中，若90C=︒，6a=,30B=︒，则c b-等于（ ) A．1 B．1-C．D．-2．在ABC△中，3AB=，2AC=，BC则BA·AC等于（）A．32-B．23-C．23D．323．在△ABC中,已知a，b=A＝30°，则c等于（）A．BC．D．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°,有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )2 / 1323 / 133A．2B．4C．8D．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边),则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c ==且A ＝75°，则b 等于（ ） A ．2 BC．4-D．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ，7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ )ABCD．9．在△ABC 中,AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4,则BC 等于( ） ABCD10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若()222tan ac b B +-=，则角B 的值为（ )A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ）A．33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B．36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4 / 134C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ，C 所对的边．若a ＝1,3b =，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（10分）如图所示,我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间．5 / 13518．(12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值； (2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分）如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°,BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值; （2）求AE ．6 /13620．（12分）已知△ABC 的内角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，且a ＝2，3cos 5B ．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ，c 的值．21．（12分）在△ABC中，a，b,c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝（2b＋c）sin B＋(2c＋b）sin C．（1）求A的大小；（2）若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．7 / 1378 / 13822．(12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(),a b m =，()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ,边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．2018-2019学年必修五第一章训练卷解三角形(一)答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒,tan30b a =︒=，2c b ==c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ,∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c =故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B=︒，即只有一解； B 中,20sin 60sin 18C ︒==，且c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ==即有解,故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=∴32sinR θ===,R =故选C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c bA c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=, ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ．7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c ）(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ,在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即22217424cos 42a a AMB =+-⨯⨯⋅∠ ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即22216424cos 42a a AMB =++⨯⨯⋅∠ ② ①＋②得：22222176442a +=++,∴a B ． 10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b =,∴a cos B ＝b sin A , ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A ，2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ,∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=,即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ．12．【答案】D【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA AB C++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】014．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=,∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知,sin 1sin 2a B Ab ==．又a 〈b ．∴6A π=,2C π=．∴sin 1C =．16．【答案】332a ≤<【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩,解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：（14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】(1）5950；(2）a = 【解析】(1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =,∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=,∴a = 19．【答案】(1;（2）AE=【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒=（2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠, 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒ 20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B 〈π，∴4sin 5B =．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△,∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =． 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝（2b ＋c )b ＋(2c ＋b ）c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°,则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ）11sin sin sin 22B B B B B =+-=＝sin （B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形． 22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】(1）证明 ∵m ∥n ,∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b （a －2）＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab ，即(ab ）2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1）,∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
新课标A版高中数学必修5：第一章解三角形单元同步测试(含解析)
第|一章测试(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．在△ABC 中 ,AB ＝5 ,BC ＝6 ,AC ＝8 ,那么△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析 最||大边AC 所对角为B ,那么cos B ＝52＋62－822×5×6＝－320<0 ,∴B 为钝角．答案 C2．在△ABC 中 ,a ＝1 ,b ＝ 3 ,A ＝30° ,B 为锐角 ,那么A ,B ,C 的大小关系为( )A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ,∴sin B ＝b sin A a ＝32. ∵B 为锐角 ,∴B ＝60° ,那么C ＝90° ,故C >B >A . 答案 C3．在△ABC 中 ,a ＝8 ,B ＝60° ,C ＝75° ,那么b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D.323解析 由A ＋B ＋C ＝180° ,可求得A ＝45° ,由正弦定理 ,得b ＝a sin B sin A ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.答案 C4．在△ABC 中 ,AB ＝5 ,BC ＝7 ,AC ＝8 ,那么BA →·BC →的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15D ．－15解析 在△ABC 中 ,由余弦定理得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cos B ＝5×7×17＝5. 答案 A5．假设三角形三边长之比是1：3：2 ,那么其所对角之比是( ) A ．1：2：3 B ．1：3：2 C ．1：2： 3D.2：3：2解析 设三边长分别为a ,3a,2a ,设最||大角为A ,那么cos A ＝a 2＋(3a )2－(2a )22·a ·3a＝0 ,∴A ＝90°.设最||小角为B ,那么cos B ＝(2a )2＋(3a )2－a 22·2a ·3a ＝32 ,∴B ＝30° ,∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中 ,假设a ＝6 ,b ＝9 ,A ＝45° ,那么此三角形有( ) A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定解析 由b sin B ＝a sin A ,得sin B ＝b sin A a ＝9×226＝3 24>1. ∴此三角形无解． 答案 A7．△ABC 的外接圆半径为R ,且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ,b 分别为A ,B 的对边) ,那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 根据正弦定理 ,原式可化为 2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b 2R , ∴a 2－c 2＝(2a －b )b ,∴a 2＋b 2－c 2＝2ab , ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22 ,∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中 ,sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ,且满足ab ＝4 ,那么该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析 由a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R , 又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C , 可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12 ,∴C ＝60° ,sin C ＝32.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中 ,A ＝120° ,AB ＝5 ,BC ＝7 ,那么sin Bsin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53D.35解析 由余弦定理 ,得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ,解得AC ＝3. 由正弦定理sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中 ,AB ＝5 ,AC ＝3 ,BC ＝7 ,那么∠BAC 的大小为( )A .2π3B .5π6C .3π4D .π3 解析 由余弦定理 ,得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12 ,∴∠BAC ＝2π3.答案 A11．有一长为1 km 的斜坡 ,它的倾斜角为20° ,现要将倾斜角改为10° ,那么坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 kmD .32 km解析 如图 ,AC ＝AB·sin 20°＝sin 20° ,BC ＝AB·cos 20°＝cos 20° ,DC ＝AC tan 10°＝2cos 210° , ∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos 20°＝1.答案 B12．△ABC 中 ,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.假设a ＝c ＝6＋ 2 ,且A ＝75° ,那么b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D .6－ 2解析 在△ABC 中 ,由余弦定理 ,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,∵a ＝c ,∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2－2b(6＋2)cos 75° ,而cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＝14(6－2) ,∴b 2－2b(6＋2)cos 75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0 ,解得b ＝2 ,或b ＝0(舍去)．应选A .答案 A二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中 ,A ＝60° ,C ＝45° ,b ＝4 ,那么此三角形的最||小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180° ,得B ＝75° ,∴c 为最||小边 ,由正弦定理 ,知c ＝b sin C sin B ＝4sin 45°sin 75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中 ,假设b ＝2a ,B ＝A ＋60° ,那么A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60° ,得sin B ＝sin (A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A. 又由b ＝2a ,知sin B ＝2sin A. ∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A. 即32sin A ＝32cos A. ∵cos A ≠0 ,∴tan A ＝33. ∵0°<A<180° ,∴A ＝30°. 答案 30°15．在△ABC 中 ,A ＋C ＝2B ,BC ＝5 ,且△ABC 的面积为10 3 ,那么B ＝________ ,AB ＝________.解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180° ,得B ＝60°. 又S ＝12AB·BC·sin B ,∴10 3＝12AB ×5×sin 60° ,∴AB ＝8. 答案 60° 816．在△ABC 中 ,(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10 ,那么sin A ：sin B ：sin C ＝________.解析 设⎩⎨⎧b ＋c ＝8kc ＋a ＝9ka ＋b ＝10k可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sin A ：sin B ：sin C ＝11：9：7.答案 11：9：7三、解答题(本大题共6个小题 ,共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在非等腰△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)假设a ＝3b ,试判断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中 ,∵a 2＝b·(b ＋c)＝b 2＋bc ,由余弦定理 ,得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sin A 2sin B ,∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin 2B. 那么A ＝2B 或A ＋2B ＝π.假设A ＋2B ＝π ,又A ＋B ＋C ＝π ,∴B ＝C.这与相矛盾 ,故A ＝2B.(2)∵a ＝3b ,由a 2＝b(b ＋c) ,得3b 2＝b 2＋bc ,∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2. 故△ABC 为直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中 ,边a ,b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根 ,角A ,B 满足2sin (A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解(1)由2sin(A＋B)－3＝0 ,得sin(A＋B)＝3 2.∵△ABC为锐角三角形,∴A＋B＝120° ,∴∠C＝60°.(2)∵a ,b是方程x2－23x＋2＝0的两个根,∴a＋b＝2 3 ,ab＝2.∴c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.∴c＝ 6.S△ABC＝12ab sin C＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75° ,距离为12 6 nmile ,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30° ,距离为8 3 nmile ,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120° ,求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中,∠ADB＝60° ,B＝45° ,AB＝12 6 ,由正弦定理,得AD＝AB sin Bsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC 中 ,由余弦定理 ,得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 30°. 解得CD ＝83(nmile )．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ,灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile .20．(12分)△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m ＝(a ,b ) ,n ＝(sin B ,sin A ) ,p ＝(b －2 ,a －2)．(1)假设m ∥n ,求证：△ABC 为等腰三角形； (2)假设m ⊥p ,边长c ＝2 ,角C ＝π3 ,求△ABC 的面积． 解 (1)证明：∵m ∥n ,∴a sin A ＝b sin B .由正弦定得知 ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ,代入上式 ,得a ·a 2R ＝b ·b2R ,∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ,∴m ·p ＝0 ,∴a (b －2)＋b (a －2)＝0 ,∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得 4＝(a ＋b )2－3ab ,即(ab )2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4 ,ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.21．(12分)在△ABC 中 ,内角A ＝π3 ,边BC ＝2 3 ,设内角B ＝x ,周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最||大值．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π ,由A ＝π3 ,B >0 ,C >0 ,得0<B <2π3.应用正弦定理 ,得AC ＝BC sin A ·sin B ＝23sin π3·sin x ＝4sin x .AB ＝BCsin A sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ,∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <2π3.(2)y ＝4(sin x ＋32cos x ＋12sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋2 3. ∵π6<x ＋π6<5π6 ,∴当x ＋π6＝π2 ,即x ＝π3时 ,y 取得最||大值6 3.22．(12分)△ABC 中 ,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B,sin(B －A )＝cos C .(1)求A ,C ；(2)假设S △ABC ＝3＋ 3 ,求a ,c . 解 (1)因为tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ,即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B,所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ,即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ,得sin(C －A )＝sin(B －C )．公众号：惟微小筑所以C －A ＝B －C ,或C －A ＝π－(B －C )(不成立) ,即2C ＝A ＋B ,得C ＝π3 ,所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12 ,那么B －A ＝π6 ,或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4 ,B ＝5π12.所以A ＝π4 ,C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋ 3 ,又a sin A ＝c sin C ,即a 22＝c 32. 得a ＝2 2 ,c ＝2 3.。
高中数学 第一章 解三角形训练卷(二)新人教A版必修5
解三角形（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1 C．2 D．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ）A ．cos A >cosB B ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A．B．CD4．在△ABC 中，∠A＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -=，sin C B =，则A ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABCsin aA 为（ ）ABCD．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭ C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭ 9．在△ABC 中，已知B＝45°，c =b A 的值是（ ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ） A ．1<a <3 B．1a <<Ca <D ．不确定 11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b c c +=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等边三角形 12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0 二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且sin C =，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c．已知()cos cos cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小； （2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值； （2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知cos2A－3cos(B ＋C)＝1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=b＝5，求sin B sin C的值．20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且222a b c++=．（1）求C；（2）设cos cosA B=，()()2cos coscosA Bααα++，求tanα的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =．（1）求sin A 的值；（2）设AC ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．2018-2019学年必修五第一章训练卷解三角形（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，12::sin :sin :sin 222a b c A B C ===，故选C ．2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +，∴22sin sin sin cos A B B A A +，sin B A =，∴b =，∴ba ．故选D ．4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒==，即a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ．5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-==0°<B <180°，所以B ＝45°．故选A ．6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -==， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos 2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ．7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C 【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ． 9．【答案】D 【解析】∵sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b =． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C 【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0， 即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5a < 故选C ． 11．【答案】A 【解析】由21cos cos 222A Abc c ++==，整理得cos b A c =．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C 【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin ACBCB A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224ACBC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴sin A =，∴外接圆半径2sin BCr A ==．14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又sin C =，∴23C π∠=．15．【解析】∵a ＝3，b =B ＝2∠A，由正弦定理3sin A ，∴2sin cos sin A A A =，∴cos A =16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x，BO ，在△BCO 中，由余弦定理得)()22100210cos 8040x x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-， 解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin cos 0A B A B =． 因为sin A≠0，所以sin 0B B =． 又cos B≠0，所以tan B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin A A =， 所以cos A≠0，tan A ．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c ++=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=．（2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--=因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++ 因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin Bsin sin A B -=，解得sin sin A B ==．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4．21．【答案】（1）sin A =（2）ABC S =△【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<．∴cos2A ＝sin B ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A =sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC A BC B === ∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CP θ=︒，∴CP θ=． 又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ︒-． 故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)．。
高中数学 第一章 解三角形单元测试A必修5 试题(共3页)
高二数学(sh ùxu é)必修5解三角形单元检测一、 选择题〔每一小题5分〕 1．在△ABC 中,,,那么 〔 〕 A ．B ．C ．D ．1 2. 的内角的对边分别是,假设,,,那么〔 〕A ．B ．2C ．D ．13．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设, 那么△ABC 的形状为〔 〕A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 4．设的内角所对边的长分别为,假设,那么角c =〔 〕A ．B ．C ．D ．5．锐角ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ,,,,那么〔 〕 A ．B ．C ．D ．6、在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC( ) A 、有 一个解 B 、 有两个解 C 、 无解 D 、不能确定7、在中，，，，那么等于 〔 〕A、 B、 C、30或者(huòzhě) D、60或者8. 在△ABC中，假设，，那么等于〔〕A、2B、C、D、二、填空题〔每一小题5分〕9.ABC∆的内角、、所对的边分别是,,.假设,那么角C的大小是________10. 在ABCA=，，那么∆中，60= ．11、在△ABC中，假如，那么等于。
a=，，那么最大边c的取值范围是。
12. 在钝角△ABC中，1三、解答题13．〔此题12分〕在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3 b .(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ) 假设a=6,b+c=8,求△ABC的面积.14．〔此题14分〕在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假设(jiǎshè),,求向量在方向上的投影.15．〔此题14分〕在△中,角,,对应的边分别是,,..(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)假设△的面积,,求的值.内容总结（1）12. 在钝角△ABC 中，，，那么最大边的取值范围是。
(人教版)高中数学必修5检测第1章 解三角形1.1.1 Word版含答案
第一章一、选择题(每小题分，共分)．在△中，＝，＝，则∶的值是( )．．．．解析：∵＝，∴＝＝.答案：．在△中，若∠＝°，∠＝°，＝，则＝( )．．．．解析：由正弦定理得＝，∴＝＝＝.答案：．在△中，，，分别是，，的对边，若＝＝，则△是( )．等边三角形．锐角三角形．等腰直角三角形．任意三角形解析：把已知条件中式子＝＝与正弦定理的关系式＝＝对比，可得＝，＝，所以＝＝°，＝°－(＋)＝°.故△是等腰直角三角形．答案：．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是( )．＝，＝，＝°，有一解．＝，＝，＝°，有两解．＝，＝，＝°，有一解．＝，＝，＝°，无解解析：对于，<<，故有两解；对于，<，故有一解；对于，＝°且>，故无解；对于，<，故无解．答案：二、填空题(每小题分，共分)．在△中，由“>”推出“ > ”；由“ > ”推出“>”．(填“可以”或“不可以”)解析：在△中，必有>，由正弦定理得＝，于是，若>，则>，则>.由>，可得>；反之，若>，由>，可得>，则>，>.答案：可以可以．已知，，分别是△的三个内角所对的边，若＝，＝，＋＝，则＝.解析：∵＋＝，＋＋＝π，∴＝，∴由正弦定理，＝，＝(π)).∴＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．在△中，已知＝°，＝，＝，求.解析：在△中，由正弦定理可得＝，解得＝.∵>，∴>.∴＝°或°.．在△中，已知＝，＝°，＝°，试求及△的外接圆半径.解析：∵＋＋＝°，∴＝°－°－°＝°.由正弦定理，得＝＝，∴＝＝＝，∴＝＝＝，∴＝.☆☆☆.(分)在△中，若＝，试判断△的形状．解析：由正弦定理，设＝＝，则＝，＝，∴由＝得＝，即＝.∵∈(π)，∴＝或＝π－或－π＝π－.即＝或＋＝，∴△为等腰三角形或直角三角形．。
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（数学5必修）第一章 解三角形
知识点回顾
1. 正弦定理
2. 余弦定理
[基础训练A组]
一、选择题
1 在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc等于（ ）
A 1 B 1 C 32 D 32
2 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A Asin B Acos
C Atan D Atan1
3 在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA
则△ABC的形状是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形
C 钝角三角形 D 等腰三角形
4 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，
则底边长为（ ）
A 2 B 23 C 3 D 32
5 在△ABC中，若Babsin2，则A等于（ ）
A 006030或 B 006045或
C 0060120或 D 0015030或
6 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A 090 B 0120
C 0135 D 0150
二、填空题
1 在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________
2 在△ABC中，若Acbcba则,222_________
3 在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________
4 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________
5 在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________
三、解答题
1． 在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？
2 在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba
3 在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin
4 在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值
（数学5必修）第一章 解三角形 [基础训练A组]
参考答案
一、选择题
1 C 00tan30,tan3023,244,23bbacbcba
2 A 0,sin0AA
3 C cossin()sin,,22AABAB都是锐角，则,,222ABABC
4 D 作出图形
5 D 012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150
6 B 设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求
二、填空题
1 12 11sinsinsincossin222ABAAA
2 0120 22201cos,12022bcaAAbc
3 26 00sin6215,,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB
4 0120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，
令7,8,13akbkck 22201cos,12022abcCCab
5 4 ,,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC
2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABAB
max
4cos4,()42ABACBC
三、解答题
1. 解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC
sin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCC
cos()cos(),2coscos0ABABAB
cos0A或cos0B
，得2A或2B
所以△ABC是直角三角形
2. 证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边
得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab
22
abababba
左边，
∴)coscos(aAbBcabba
3 证明：∵△ABC是锐角三角形，∴,2AB即022AB
∴sinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCA
∴CBACBAcoscoscossinsinsin
4 解：∵2,acb∴sinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，
∴13sincos2224BAC，而0,22B∴13cos24B，
∴313sin2sincos22244BBB839