2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第十章 第一节 随机事件的概率 Word版含答案
2019-2020年新人教A版高考数学一轮复习第10章概率课件文
[导学心语] 1．全面系统复习，深刻理解知识本质 (1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念， 复习时可以通过选择一些易错易混的小题进行强化． (2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式 的理解和应用，注意公式适用的条件． 2．熟练掌握解决以下问题的方法与规律 (1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法． (2)古典概型概率与几何概型概率的计算．利用强化训练，总结规律方法， 提升认识．
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
第十章 概 率
[五年考情]
Байду номын сангаас
考点
2016 年 2015 年 2014 年
2013 年 2012 年
随机事件
全国卷
全国卷Ⅱ·T18
的概率
Ⅱ·T18
全国 全国卷Ⅱ·T19
卷·T18
全国卷Ⅰ·T3 全国卷 全国卷Ⅰ·T13 全国卷Ⅰ·T3 古典概型
全国卷Ⅲ·T5 Ⅰ·T4 全国卷Ⅱ·T13 全国卷Ⅱ·T13
几何概型 全国卷Ⅱ·T8
[重点关注] 综合近 5 年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律： 1．从考查题型看：一般有 1 个客观题或 1 个解答题；从考查分值看，占 5～ 17 分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意 识、转化与化归思想及运算求解能力． 2．从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型． 3．从命题思路上看： (1)随机事件的概率与统计知识相结合考查． (2)概率的计算主要考查古典概型的应用．
高考数学一轮复习 10-4随机事件的概率课件 新人教A版
解析
由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包
含：(正、正)、(正、反)、(反、正)． 1 3 故P(M)＝ ，P(N)＝ . 2 4
答案
D
4．2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决 赛．中国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27，那么中国选 手不输的概率为________．
基 础 自 评 1．从6个男生、两个女生中任选3人，则下列事件中必然事 件是( ) B．至少有1个男生 D．至少有1个女生
A．3个都是男生 C．3个都是女生
解析
因为只有两个女生，任选3人，则至少有1人是男生．
答案 B
2．某入伍新兵在打靶练习中，连续射击两次，则事件“至 少有1次中靶”的对立事件是( A．至多有1次中靶 C．两次都不中靶 )
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事 件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，故P(N)＝1
－P(A∪B)＝1－1
1 1 989 000＋100＝1 000.
989 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000.
名 师 微 博 ●一个关系 两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件 对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．
解
1 10 1 50 1 (1)P(A)＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(C)＝ ＝ . 1 000 1 000 100 1 000 20
1 1 1 故事件A，B，C的概率分别为 ， ， . 1 000 100 20 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖 券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A、B、C两两互斥， 1＋10＋50 ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ ＝ 1 000 61 61 1 000，故1张奖券的中奖概率为1 000.
概率_随机事件的概率.板块一.事件及样本空间.学生版 普通高中数学复习讲义Word版
版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ；2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．知识内容板块一.事件及样本空间事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-．<教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵ 互斥事件有一个发生的概率；⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率；⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 事件及样本空间典例分析【例1】 (2010安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．① ()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功；②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数；其中属于随机事件的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”；⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”；⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化；⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数；⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件；⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间；⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．⑴写出这个试验的基本事件空间；⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是 事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．。
2022版高考数学一轮复习第十章概率文第一讲随机事件的概率文第四讲随机事件的概率学案理含解析新人教版
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件． (4)在条件 S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简 称随机事件．
知识点二 概率与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率
(1)概率与频率的概念：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的__频数__，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nA为
ABD，ACD，BCD 十种，
其中共线为 A，O，C 和 B，O，D 两种，
故取到的 3 点共线的概率为 P＝ 2 ＝1， 10 5
故选 A．
考点突破·互动探究
考点一 随机事件的关系——自主练透
例 1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个
球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
__B⊇A__ __(或 A⊆B)__
相等关系
若 B⊇A，且__A⊇B__，则称事件 A 与事件 B 相等
__A＝B__
并事件 (和事件)
交事件
若某事件发生__当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生__，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事 件(或和事件) 若某事件发生__当且仅当事件 A 发生且事件 B
A．“至少有 1 个白球”和“都是红球”
B．“至少有 2 个白球”和“至多有 1 个红球”
C．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”
D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
(2)(2021·中山模拟)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习课件：第十章 第1讲 随机事件的概率
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}， 事件 C＝{抽到三等品}，且 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一 等品”的概率为__________． 解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且 P(A)＝0.65， 所以“抽到的不是一等品”的概率为 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35. 答案：0.35
二、易错纠偏 常见误区(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误； (2)频率与概率的关系理解不清致错．
1．李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课 3 年来的考试
成绩分布：
成绩
人数
90 分以上
4280～89 分来自17270～79 分240
60～69 分
86
50～59 分
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)
1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4.则他 乘火车或乘飞机去的概率为__________． 解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件 A，B，C，D 表示，则事件 A，B，C，D 是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞 机去的概率为 0.7. 答案：0.7
(1)完成频率分布表；
近 20 年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110 140 160 200
220
频率
1
1
1
20
5
10
(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概
2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十章 统计与统计案例10.3 Word版含答案.docx
§10.3 变量间的相关关系、统计案例1．两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表构造一个随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × )(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得线性回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( √ )题组二 教材改编2．[P97A 组T2]为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( )A ．回归分析B ．均值与方差C ．独立性检验D ．概率答案 C解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 3．[P97练习]下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( )A ．94,72B ．52,50C ．52,74D ．74,52 答案 C解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52.又a ＋22＝b ，∴b ＝74.4．[P81例1]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________． 答案 68解析 由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.题组三 易错自纠5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和K 2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K 2＝4.453，经查阅临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 答案 C解析 由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为y ^＝0.36x ＋a ^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数) 答案 73解析 x ＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y ＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a ^，a ^＝40.8，即线性回归方程为y ^＝0.36x ＋40.8.当x ＝90时，y ^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.题型一 相关关系的判断1．观察下列各图形，其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．②③答案 C解析 由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．2．(2018·广州质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D解析 从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. 3．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系； ②在该相关关系中，若用21ec xy c ＝拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^ x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程． 答案 ①②解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用21ec xy c ＝拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21>R 22，故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误． 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．(3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．题型二 线性回归分析典例 (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尽寸：经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212, ∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，0.008≈0.09.解 (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116(x i －x －)2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.784×0.212×18.439≈－0.18，由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x －＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查． ②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 115(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09. 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b ^，a ^.②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．跟踪训练 以下是某地收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解 (1)数据对应的散点图如图所示：(2)x ＝15∑5i ＝1x i ＝109，∑5i ＝1(x i－x )2＝1 570， y ＝23.2，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝308. 设所求线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )∑5i ＝1 (x i －x )2＝3081 570≈0.196 2， a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2.故所求线性回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)根据(2)，当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．题型三 独立性检验典例 (2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：K 2的观测值k ＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (2)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表．②根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断．跟踪训练 (2017·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有23是青年人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：(2)根据2×2列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 其中青年人有120×23＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：(2)将列联表中数据代入公式可得： K 2＝180×(80×5－55×40)2120×60×135×45≈13.333，由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．求线性回归方程的方法技巧典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量．思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． 规范解答解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，[4分]b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5， a ^＝y －b ^x ＝3.2.[6分]由上述计算结果，知所求线性回归方程为y ^－257＝6.5(x －2010)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2010)＋260.2.[8分](2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为6.5×(2018－2010)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨)．[12分]1．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案 A解析 相关指数R 2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．2．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K 2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( ) A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 答案 D解析 只有K 2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使K 2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故只有D 正确．3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^ ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎫34，38，则38＝13×34＋a ^ ，解得a ^＝18. 4．(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A ．160B ．163C ．166D ．170 答案 C解析 ∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5.∵∑10i ＝1y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160.又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70.∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166.故选C.5．(2018·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^ ＝∑6i ＝1x i y i －6x ·y ∑i ＝16x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^ ＝y－b ^x ＝136－57×72＝－13， 所以b ^<b ′，a ^>a ′.6．(2018·河南开封模拟)下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好 答案 B解析 回归直线必过样本点的中心，A 正确；由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C 正确；在回归分析中，R 2越接近于1，模拟效果越好，D正确；线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )，但不一定经过样本的数据点，所以B 错误，故选B.7．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有________相关关系．(填“正”或“负”) 答案 13 正解析 中位数是13.由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系． 8．以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的统计量K 2来说，K 2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，统计量K 2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小． 9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．答案 95%解析 由题意，K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为5.024>4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．10．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 答案 68解析 根据题意知x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a ^＝40－(－2)×10＝60，所以当x ＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．11．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的线性回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2018年的年份代号t ＝10代入(1)中的线性回归方程，得y ^＝0.5×10＋2.3＝7.3， 故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．12．(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：K 2＝50×(3×11－7×29)210×40×18×32≈6.272<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．13．(2017·赣州模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i ＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，则实数b 的值为________． 答案 57解析 令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t ＝∑6i ＝1x 2i 6＝72，y＝∑6i ＝1y i 6＝136，代入y ＝bt －13，得136＝b×72－13，解得b ＝57.14．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，所以该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%＝14%.(2)K 2＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．15．(2018·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有________人.答案 12解析 设男生人数为x ，由题意可得列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关， 则k >3.841，即k ＝3x 2⎝⎛⎭⎫x 6·x 6－5x 6·x 32x ·x 2·x 2·x ＝3x 8>3.841，解得x >10.243.因为x 6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．16．(2017·包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y ＝54，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝21，14≈3.74， ∑7i ＝1(y i －y ^i)2＝94. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑n i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －b ^t . 反映回归效果的公式为：R 2＝1－∑n i ＝1 (y i －y ^i )2∑ni ＝1(y i －y )2，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．解 (1)由折线图中的数据得，t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1(y i －y )2＝18， 所以r ＝2128×18≈0.935. 因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)因为y ＝54，b ^＝∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2128＝34， 所以a ^＝y －b ^t ＝54－34×4＝51， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^ t ＋a ^ ＝34t ＋51. 将2017年对应的t ＝8代入得y ^ ＝34×8＋51＝57， 所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨．(3)因为R 2＝1－∑7i ＝1 (y i －y ^i )2∑7i ＝1 (y i －y )2＝1－94×118 ＝1－18＝78＝0.875， 所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．。
2020高三数学一轮复习 第十章 第1课时 随机抽样课件
知识点
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随机 抽样
1.理解随机抽样的必要性和重要 性． 2.会利用简单随机抽样方法从总体 中抽取样本，了解分层抽样和系统 抽样的方法．
1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会
画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理
用 样 本 估 计 总 体
解它们各自的特点．
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标 准差．
【注意】 抽签法适于总体中个体数较少的 情况，随机数法适用于总体中个体数较多的 情况．
利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容 量为 10 的样本．若第二次抽取时，余下的每个
个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽到的概率为( )
1
5
A.3
B.14
1
10
C.4
D.27
解析： 由题意知n－9 1＝13，∴n＝28. ∴P＝1208＝154. 答案： B
B．2,6,10,14
C．2,4,6,8
D．5,8,11,14
解析： 将 20 分成 4 个组，每组 5 个号，间
隔等距离为 5.
答案： A
3．某大型超市销售的乳类商品有4类：鲜奶、
酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且鲜奶、酸奶
、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有45种、10种、
25种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量
【变式训练】 1.今用简单随机抽样从含有6个 个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问： (1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到 的概率是多少？
(2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被 抽到的概率是多少？
(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是 多少？
高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第十篇 概率 第1节 随机事件的概率(含答案)
第十篇概率(必修3)第1节随机事件的概率课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( C ) (A)对立事件 (B)不可能事件(C)互斥但不对立事件(D)以上答案都不对解析:由于甲和乙有可能一人得到红牌,一人得不到红牌,也有可能甲、乙两人都得不到红牌,故两事件为互斥但不对立事件.故选C.2.从1,2,…,9中任取2个数,其中①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数;②至少有1个是奇数和2个都是奇数;③至少有1个是奇数和2个都是偶数;④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( C )(A)① (B)②④(C)③ (D)①③解析:①为相等事件,②两事件为包含关系,③至少有1个是奇数和2个都是偶数不可能同时发生,且必有一个发生,属于对立事件,④两事件可能同时发生,不是对立事件,故选C.3.从存放号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如表:则取到号码为奇数的卡片的频率是( A )(A)0.53 (B)0.5 (C)0.47 (D)0.37解析:取到号码为奇数的卡片的次数为13+5+6+18+11=53,则所求频率为=0.53.故选A.4.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( C )(A)(B)(C)(D)解析:从5个球中任取两球有10种取法,其中取到两球是黑色球有3种取法,取到两球是红色球有1种取法,所以取到两个黑色球的概率为,取到两个红色球的概率为,所以恰好取到两个同色球的概率为+=.选C.5.掷一个骰子的试验,事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率 为( C )(A) (B) (C) (D)解析:由于事件总数为6,故P(A)==,P(B)==,从而P()=1-P(B)=1-=,且A 与互斥,故P(A+)=P(A)+P()=+=.故选C. 6.某城市某年的空气质量状况如表所示:其中污染指数T ≤50时,空气质量为优;50<T ≤100时,空气质量为良;100<T ≤150时,空气质量为轻微污染.该城市这年空气质量达到良或优的概率为( D ) (A) (B) (C) (D)解析:空气质量达到良或优,即T ≤100,故所求概率P=+++=.故选D.二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,如果甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为.解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.答案:8.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为和.解析:不超过两次的概率P1=0.8+0.12+0.05=0.97,超过两次的概率P2=1-P1=1-0.97=0.03.答案:0.97 0.039.如图是容量为200的样本的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为,数据落在[2,10)内的概率约为.解析:由题图可知:样本数据落在[6,10)内的频数为0.08×4×200=64,样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率可估计数据落在[2,10)内的概率为0.4.答案:64 0.410.抛掷一个骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数点,事件B为出现2点,已知P(A)=,P(B)=,则出现奇数点或2点的概率为.解析:由题意知“出现奇数点”的概率是事件A的概率,“出现2点”的概率是事件B的概率,事件A与B互斥,则“出现奇数点或2点”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.答案:三、解答题11.上午7:00～7:50,某大桥通过100辆汽车,各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如表:已知这100辆汽车,7:30以前通过的车辆占44%.(1)确定x,y的值,并计算这100辆汽车过桥的平均速度;(2)估计一辆汽车在7:00～7:50过桥时车速至少为50千米/小时的概率(将频率视为概率).解:(1)由题意有x+15+20=44,30+y=56,解得x=9,y=26.所求平均速度为==51(千米/小时).(2)车速至少为50千米/小时的概率P==0.7.12.(2013年高考四川卷)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i=1,2,3);(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.解:(1)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能.当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=;当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=;当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=. 所以,输出y 的值为1的概率为,输出y 的值为2的概率为,输出y 的值为3的概率为.(2)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如表:比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.B组13.在一次投掷骰子的试验中,记事件A1={出现4点},A2={出现大于3点},A3={出现小于6点},A4={出现6点},下列等式中正确的是( D )(A)P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)(B)P(A1+A3)=P(A1)+P(A3)(C)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(D)P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)解析:在给出的四个事件中,A1,A2为包含关系;A1,A3为包含关系;A2,A3有可能同时发生,只有A1与A4是互斥事件,其概率满足互斥事件的概率加法公式.故选D.14.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是,互为对立事件的是 .解析:设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B= ,A∩C=∅,B∩C=∅,B∩D=∅.故A与B,A与C,B与C,B与D为彼此互斥事件,而B∩D=∅,B∪D=I,故B与D互为对立事件.答案:A与B、A与C、B与C、B与D B与D15.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于参加了至少2个小组的概率是,他属于参加了不超过2个小组的概率是.解析:从题图中可以看出,三个兴趣小组共有成员60人,只参加一个小组的有24人,只参加两个小组的有28人,同时参加三个小组的有8人,所以至少参加两个小组的概率为P1==,属于不超过两个小组的概率P2=1-==.答案:。
2024届新高考一轮总复习人教版 第十章事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课件(33张)
3．全概率公式 一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，
n
i＝1，2，…，n，则对任意事件 B⊆Ω，有 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，我们称这个公式为全概
i＝1
率公式．
[必记结论] 1．必然事件 Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
答案：C
4．(选择性必修第三册 P50 例 5 改编)两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概 率分别为 0.03 和 0.02，加工出的零件放在一起．设第一台机床加工的零件比第二台的多 一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________.
解析：第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，那么第一台机床加工的零件所占 的比例是23，第二台机床加工的零件占13，则任取一件为不合格品的概率为23×0.03＋13 ×0.02＝725，故为合格品的概率为 1－725＝7735.
2．事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B).
3．当 P(A)>0 时，事件 A 与 B 相互独立⇔P(B|A)＝P(B).
4．贝叶斯公式：设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且 P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件 B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝P(APi)P(B(B) |Ai)＝
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[课标解读] 1.了解两个事件相互独立的含义． 2.理解随机事件的独立性和条件概 率的关系，会利用全概率公式计算概率．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．条件概率
(1)条件概率的定义
P(AB)
2020高考艺考数学总复习课件：第十章 第1节 随机事件的概率
事件间关系的判断方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时 发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体 应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果， 从而断定所给事件的关系．
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错 误的打“×”． (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( ) (3) 对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件 ， 互 斥 事 件 不 一 定 是 对 立 事 件．( ) (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖 的概率小于乙中奖的概率．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
解：(1)P(A)＝1 0100， P(B)＝1 10000＝1100， P(C)＝1 50000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为1 0100，1100，210.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券 中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A，B，C 两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝1＋11000＋0 50＝1 60100， 故 1 张奖券的中奖概率约为1 60100.
答案：78
考点一 事件关系的判断 (师生共研)
[典例] (1)某小组有 5 名男生和 4 名女生，从中任选 4 名同学
参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是(
)
A．恰有 2 名男生与恰有 4 名男生
B．至少有 3 名男生与全是男生
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2020版高考数学（文）总复习 第一节 随机事件的概率 2019考纲考题考情
1．事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。 (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。 (3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。 2．概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次试验中事件A发生的次数nA为事件A发生的频数，
称事件A发生的比例fn(A)＝nAn为事件A发生的频率。 (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。 3．事件的关系与运算 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P≤1。 (2)必然事件的概率P(E)＝1。 (3)不可能事件的概率P(F)＝0。 (4)概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。 (5)对立事件的概率： 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
1．频率与概率 频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小。 2．互斥与对立 对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。 3．概率加法公式的注意点 (1)要确定A，B互斥方可运用公式。 (2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立。
一、走进教材 1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选D。 答案 D 2．(必修3P123A组T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布： 成绩 人数 90分以上 42
80～89分 172
70～79分 240
60～69分 86
50～59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率： (1)90分以上的概率：________。 (2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________。
解析 (1)42600＝0.07。(2)52＋8600＝0.1。 答案 (1)0.07 (2)0.1
二、走近高考 3．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________。 解析 记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3
种情况，故所求概率为310。
答案 310 4．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4。故选B。 答案 B 三、走出误区 微提醒：①求基本事件时出错；②确定对立事件时出错；③互斥事件判定出错。 5．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________。 解析 设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C。容易得到如图。
平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝39＝13。甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝39＝13。 答案 13 13 6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________。 解析 因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35。 答案 0.35 7．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率。先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，因为射击4次，所以以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________。 解析 该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少，
含有2个或2个以上的有5组数据，故所求概率为1520＝0.75。 答案 0.75
考点一 随机事件关系的判断 【例1】 (1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( ) A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件 C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件 (2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”
的概率为310，则概率是710的事件是( ) A．恰有一个红球 B．两个小球都是白球 C．至多有一个红球 D．至少有一个红球 解析 (1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误。故选C。
(2)因为710＝1－310，所以概率是710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”。 答案 (1)C (2)C
互斥、对立事件的判别方法 1．在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件。 2．两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件。 提醒：对立事件一定是互斥事件。 【变式训练】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件。又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件。 答案 C 考点二 随机事件的频率与概率 【例2】 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。 (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50。
故所求概率为502 000＝0.025。 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。
故所求概率估计为1－3722 000＝0.814。 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值。 【变式训练】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20，25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为
200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六