第一章 第一节 随机事件和样本空间

B A
等价的说法是如果B 不发生则A也不会发 生. 对于任何事件A有 A
（2）事件的相等
如果事件A包含事件B, 事件B也包含事件A, 称事件A与B相等. 即A与B中的样本点完全相 同. 记作A=B. 例 掷一骰子,若A={出现2点}, B={出现偶数点}, C={出现2或4或6点}, 则 A B, B C .
A1 A2 A3
F C
D
6.前两期中奖，第3期未中奖 G A1 A2 A3
（4）事件的交(或积):
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A又属于B的所有 公共样本点构成的集合. 记作AB或A∩B.

A
B
易知 A∩ = A A∩ =
AB ={A,B同时发生}，
可以类似的推广到 n个事件的交
（5）事件的互斥（互不相容） • 如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 称事件A与 B互不相容(或称互斥). 互不相容事件A与B没有公 共的样本点. 显然, 基本事件间是互不相容的.
随机试验
（1）试验的所有可能结果是已知的或者是可以确定的 ; （2）每次试验究竟将发生什么结果是事先无法预知的。 例1.掷一枚均匀的骰子，观察朝上面的点子数。 例2.在一批量很大的产品中,混有比例为p的次品,从 中依次不放回抽取n次,观察抽到n件产品中的次品数。 例3.对上海证券交易所每个交易日的综合收盘指数进 行观察，记录其收盘指数。
例： (1)掷骰子，观察出现的点数。
wi ={出现i点},i = 1,2,…,6. 样本点简记为：
则样本空间可记为 Ω={w1，w2，… ,w6}
(2)观察一根灯管的寿命。 用x表示一根灯管的寿命,
则样本空间可记为 Ω={x | x≥0}.
(3)打靶直到击中靶心为止，记录其射击次数。
样本点简记为： wi ={直到第i次才击中目标},i = 1,2,… . 则样本空间可记为 Ω={w1，w2，…}. (4)一枚硬币掷两次，观察正、反面出现的情况。
A
A
例：A={收盘指数在1500以下}，B={收盘指数在1500或 以上}，则B=A.
注：对立事件一定互不相容, 但互不相容事件未必对立.
（7）事件的差: • 事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事 件A与B的差. 它是由属于A但不属于B的那些样 本点构成的集合. 记作AB

A
易知
B
A B AB

a2 , b2 , a2 , b3 , b1 , b2 , b1 , b3 , b2 , b3 }
3.随机事件
在随机试验中，对某些现象或情况的陈述称为随 机事件，简称事件.
事件就是由样本点组成的某个集合(样本空间的子 集), 以A,B,C,…等表示. 事件A发生当且仅当属于集合A的某一个样本点在 试验中出现
Ω .
. .A .
.
.
ω
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
“掷出1点”,A={1} “掷出奇数点”,B={1,3,5}
基本事件：实验中不可再分解的事件。
事 件
复合事件：多个基本事件并在一起，就构 成一个复合事件。 “掷出1点”
"掷出奇数点"
特 殊 事 件
必然事件：试验中必定发生的事件,记为Ω;
第一章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
随机事件与概率
随机事件和样本空间 概率 条件概率 事件的独立性 伯努利概型
第一节
随机事件和样本空间
一、随机试验、样本空间
1.随机现象
2.随机试验和样本空间
3.随机事件
二、随机事件的关系和运算
一、随机试验、样本空间 1.随机现象 在客观世界中存在着两类不同的现象： 确定性现象与随机现象。
A A
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
事件的运算法则:
(1)交换律 (2)结合律
A BB A ; A BB A
A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
w正 ={出现正面}, w反 ={出现反面}， 则样本空间可记为： Ω={(w正,w正), (w正,w反) ,(w反,w正) , (w反,w反) } .
(5)试给出下述随机试验的样本空间:
E1:在某个交通路口的某个时段,观察机动车的流量; E2:向一个直径为50cm的靶子射击,观察弹着点的位置;
E3:从含有两件次品a1,a2和三件正品b1,b2,b3产品中, 任取两件,观察出现的情况. 解:E1
这三个随机试验的特点：
试 验
1、可重复性：在相同的条件下试验可以重复进 行; 2、可确定性:每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; 3、不确定性：在每次试验之前不能准确地预言 该次试验将出现哪一种结果。
的
特
点
样本空间与样本点 随机试验的每个基本结果称为样本点，记为ω。 全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω。
1.在一定条件下某种结果必定发生或不发生的 现象称为确定性现象;
2.在一定条件下, 具有多种可能发生的结果的 现象称为随机现象.
随机现象具有两重性表面上的偶然性与内部蕴含着的 必然规律性.随机现象的偶然性又称为它的随机性.
2、随机试验与样本空间
研究某些现象时进行的实验或观察,称为试 验，记为E或E1,E2。 概率统计关注随机试验.
不可能事件:试验中不可能发生的事件,记为φ.
“点数小于7”
“点数为8”
二、随机事件关系和运算
事件的图示：
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
（1）事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生, 即属于A的 每一个样本点都属于B, 则称事件B包含事件A或 称事件A含于事件B, 记作BA或AB
(3)分配律
(4)对偶原则
A B A B;A B A B
例.某人连续买了3期彩票，设Ai表示事件“第i期中 奖”(i=1,2,3)，则下列事件怎么表示：
1.3期中至少有1期中奖 2.3期都中奖
A A1 A2 B A1 A2 A3
D A1 A2 A3
A3
A1 A2 A3
3.3期中恰好有1期中奖 C A1 A2 A3 4.3期都不中奖 5.3期中最多有1期中奖

A B
两个事件互斥，当且仅当 它们不含公共的样本点.
例.事件A、B、C两两互不相容， 则有 ABC 反之 不成立
24
（6）对立事件（补ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件）
事件“非A”称为A的对立事件(或逆事件). 它是由 样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合. 记作 A.

显然
AA , A A , A A
• 概率论是一门研究随机现象统计规 律性的数学分支，最早起源于十七 世纪中叶，当时在误差、人口统计 、人寿保险等范畴中，需要整理和 研究大量的随机数据的资料，这就 孕育出一种研究大量随机现象的规 律性的数学，但是刺激数学家首先 思考概率论的问题，却是来自赌博 者的问题。
概率论是研究随机现象的数学 ,它研究随机现象 的数量规律. 概率论的起源与赌博有关: 有两种赌博规则(1) 掷一枚骰子4次,出现一个6,庄家赢；(2)掷两枚骰子 24次,出现双6,庄家赢;这两个规则哪一个对庄家有利 ? 法国数学家帕斯卡、费马经研究给出了回答。荷 兰数学家惠更斯总结并完善了这些方法，写出了专著 “论赌博中的计算”，奠定了概率论的开篇之作。 统计学是基于概率论发展起来的,研究收集数 据、分析数据，并基于数据作出推断的学科。
1 0,1, 2, 3,
2 2

2
E 3 3 { a1 , a2 , a1 , b1 , a1 , b2 , a1 , b3 , a2 , b1 ,
2 x , y | x y 25
E 2 设弹着点坐标为 x , y , 则E 2的样本空间为