第四节量子力学算符090913

d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
即
若
Ô + = Ô , Û+ = Û
则
(Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。
因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û
px
x
dx
2
pxc( px )dpx
1
2
i
( x)e px x pxc( px )dxdpx
1
2
(
x
)(
i
d dx
)e
i
px
x
c(
px
)dxdpx
dx( x)(i d )[ 1
dx 2
e
i
p
x
x
c(
px
)dpx
]
( x)(i d )( x)dx dx
( x) pˆ x( x)dx
pˆ x
• 简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数 描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符 形式（称为第一次量子化）。
第四章 量子力学中的力学量
一维情况：
px px
px | c( px ) |2 dpx
c ( px ) pxc( px )dpx
1
(
x
)e
i
仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。
第四章 量子力学中的力学量
§2 动量算符
（1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化
第四章 量子力学中的力学量
（1）动量算符的厄密性 证：
使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。
* pˆ xdx
*
(i
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
ypˆ z
pˆ z
y
0
zpˆ
y
pˆ yz
0
pˆ y pˆ z pˆ z pˆ y 0 pˆ z pˆ x pˆ x pˆ z 0
第四章 量子力学中的力学量
2、常见力学量算符
（1）动量算符
既然ψ(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函 数为c(px) 一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状 态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示 出来。但是ψ(x)不含px变量，为了能由ψ(x)来确定动 量这平种均形值式，称动 为量 动量px必px的须算改造 符成 形只 式含 ，自 记变 为量 x 的形式，
（一）算符引进
1. 力学量平均值
在统计物理中知道： 当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的 各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个 物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函 数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考 虑一维情况，然后再推广至三维。
n0
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
例如:
i Hˆ t
e
（9）复共轭算符 n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
F(Uˆ )
Uˆ F (n) (0) n n!
n0
1 n!
[
i
Hˆ t]n
例如: 坐标表象中
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中
的所有量换成复共轭.
i[i
j
k
]
i
x
y
z
第四章 量子力学中的力学量
由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时，必须 把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分， 即
一维情况：
x x ( x) x( x)dx
px px
(
x
)
pˆ
x
(
x
)dx
F 是任一 力学量算符
F F ( x)Fˆ( x)dx
转置算符 的定义
厄密共轭 算符亦可 写成：
[ d *(Oˆ )]*
dOˆ * *
~
d *Oˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
第四章 量子力学中的力学量 (12) 厄密算符
1. 定义:
满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
x
x
x
|
(
r)
|2
d
（2）动量平均值
一维情况：令ψ(x)是归一化波函 数，相应动量表象波函数为
1
c( px ) (2)1/ 2 ( x) exp( ipx x / )dx
| c( px ) |2 粒 子 动 量 为px的 几 率 密 度 ， 则
px px
px | c( px ) |2 dpx
关系
第四章 量子力学中的力学量
同理可证其它坐标算符
与共轭动量满足
写成通式:
ypˆ y pˆ y y i
zpˆ z
pˆ z z
i
但是坐标算符与其非共轭动量
对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
第四章 量子力学中的力学量
（1）坐标平均值
为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）
设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，
则
x x x | ( x) |2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现
在 r 点的几率密度，则x的平均值为
第四章 量子力学中的力学量
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
表示力学量的算符 动量算符 厄密算符的本征值与本征函数 算符与力学量的关系 共同本征函数 测不准关系 守恒量
第四章 量子力学中的力学量 §1 表示力学量的算符
（一）算符引进 1、力学量平均值
2、常见力学量算符
第四章 量子力学中的力学量
动量算符 pˆ i 例如： 单位算符 Iˆ
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
若两个算符 Ô、Û对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ôψ= Ûψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
第四章 量子力学中的力学量
(r)Tˆ(
r )dr
Tˆ pˆ 2 2m
（3）角动量算符
Lrp
Lˆ
r
pˆ
三个分量：
L
(r )
Lˆ
(r )dr
Lˆ x
ypˆ z
zpˆ y
i( y z
z ) y
Lˆ y
zpˆ x
xpˆ z
i( z
x
x
) z
Lˆ z
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
) x
第四章 量子力学中的力学量
*
(
~ x
x
)
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
(
~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
第四章 量子力学中的力学量 (11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
（4）Hamilton 算符
在势场中V (rr )的粒子
H T V Hˆ Tˆ V (rr ) h2 2 V (rr ) 2m
第四章 量子力学中的力学量
（二）算符的概念和性能
1、算符的概念
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
Ôu=v 表示 Ô 把函数
u 变成 v， Ô 就是这种变
换的算符。
pˆ* (i)* i pˆ
第四章 量子力学中的力学量
（10）转置算符
算符Uˆ的转置算符U~ˆ定义为：
d *U~ˆ dUˆ *
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~ x
式中 和 是两个任意函数。
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û
反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
( I ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与x对 易 ， 但 是pˆ x 与x不 对 易 ； ( II ) pˆ x 与pˆ y对 易 ，pˆ y与z对 易 ， 而pˆ x 与z对 易 。
d dx
)dx
(
i
d dx
)
*
dx
i * |
(ix )*dx
由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。
（3）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ