耐克函数的应用
高中数学函数、数列、三角应用题(学生)
例1、某人定制了一批地砖．每块地砖 （如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH ．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？例2、学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用为S 元，用电炉烧开水每吨开水费用为P 元。
y P y x S -+=++=76202.10,52.05，其中x 为每吨煤的价格，y 为每百度电的价格。
如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水。
（1） 如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数； （2） 如果每百度电价不低于60元，则用煤烧时每吨煤的最高价是多少？图1图2例3、通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生注意力越集中），经过试验分析得：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=402038074201024010010024)(2t t t t t t f（1） 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?（2） 讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟，何时学生的注意力更集中？（3） 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？例4、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)3、 函数性质例5、某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放 射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气 象有关的参数，且1[0,]2a ∈．（1）令21xt x =+, []0,24x ∈，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明； （2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ；（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？4、 耐克函数型例6、研究人员发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：122x x y m -=+（0x ≥，并且m ＞0）．（１）．如果2m =，求经过多少时间，该温度为５摄氏度； （２）．若该物质的温度总不低于２摄氏度，求m 的取值范围．例7、某隧道长6000米，最高限速为0v （米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v （米/秒）的平方成正比，比例系数为k （0k >），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t （秒）. （1）求函数()t f v =的解析式，并写出定义域；（2）求车队通过隧道时间t 的最小值，并求出此时车速v 的大小.5、 指对函数型例8、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=r p +［g (0)- rp］·e t v r(p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g (0)<rp时，湖泊的污染程度将越来越严重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？【练习】1、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数)(x f . （1）试规定)0(f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数)(x f 应该满足的条件和具有的性质； （3）设211)(xx f +=，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由.2、燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log 52Ov =，单位是s m /，其中O 表示燕子的耗氧量。
数学3.3函数的运算教案2沪教版高中一级第一学期
3.3函数的运算一、 教学内容分析函数的运算在课时安排上只有1课时，内容也较为简单，关键在于求和函数的定义域，但其重要性却不容忽视，首先，函数的运算体现了高中数学的一大基本思想方法----转化思想，把陌生化为熟悉，把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。
其次，由函数的运算引出()00b y ax a b x=+>>，的图像，利用此类函数的单调性可以解决许多最值问题。
为了引入函数运算，我从实例出发构造了利用基本不等式所不能解决的一个求最值的问题，这样通过创设问题情景，突出了函数运算的必要性，增强学生解决问题的内驱力。
最后运用函数运算，画出耐克函数，解决实例所提出的最值问题。
二、教学目标设计1．理解函数运算的概念及简单的应用。
2．通过对例题的讲解，让学生体会到数形结合，转化思想的重要性。
三、教学重点及难点函数运算的概念和应用。
如何把复杂的函数看做简单的函数的和（积）。
四、教学流程设计五、教学过程设计问题：甲，乙两实验室地相距1000千米，开汽车从甲匀速到乙实验室，速度为()85100v v ≤≤千米/小时。
已知小车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为1，固定部分为35元1）把全程运输成本表示为速度的函数。
2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。
一、 情景引入引入函数运算怎样求最小成本？能否用基本不等式求最小成本？那只能从函数本身性质，图像等入手，但这个函数是陌生的。
遇见陌生转化为熟悉，这函数与我们所熟悉的那些函数有关？有何关系？所以我们今天研究函数的运算，首先研究和运算。
二、学习新知1．定义函数的运算函数有三要素。
其中定义域和对应法则起核心作用思考： 和函数的定义域怎么取，对应法则呢？怎样定义()f x 和()g x 的和？()()f x g x +是否一定是函数呢？怎样定义函数的积？是否有必要定义函数的差，商？于是给出两个函数和及积的概念。
高中特殊函数 (取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)
专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数（因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。
）双刀函数对勾函数：一般式：(0)by ax xx=+≠(a、0b>)。
性质：①定义域：,0x R x∈≠②奇偶性：奇函数；③单调区间：单调递增区间：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-ab,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,ab，单调递减区间：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0，ab，⎪⎪⎭⎫⎝⎛ab，④值域：(),22,ab ab⎤⎡-∞-+∞⎦⎣，当且仅当baxx=，即bxa=±时取到最大、最小值。
双刀函数：一般式：(0)by ax xx=+≠(a、b异号)，性质：①定义域：,0x R x∈≠；②奇偶性：奇函数；③单调区间：当0>a、0<b时，在()()∞+∞-，，，00单调递增；当0<a、0>b时，在()()∞+∞-，，，00单调递减；1.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )【解析】等价于分段函数：11(10)1(1)x x y xx ⎧+->>⎪=⎨⎪≥⎩，选D 2.已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是 【解析】)()(b f a f = ，b a =∴(舍去)或1=ab ，aa b a 1+=+∴2> 4.函数()f x =1xx +的最大值为 【解析】1()1f x x x=，分母最小值为2，则最大值为21 5.已知5,2x ≥则245()24x x f x x -+=-【解析】11()(2)22f x x x =-+-，由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是1 9.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 。
方法一：设P ⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 4,，则4242≥+=x x d 。
方法二： 1412'-=-=xy ，得切点()23,2，则4min =d10.(2020年新课标全国卷II10)设函数()331xx x f -=，则()x f ( ) A .是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】选A专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函数题型1 取整函数与小数函数。
第八讲 函数的应用自主招生讲义
第八讲 函数的应用【知识引入】一．基本初等函数的单调性：1．反比例函数的单调性：)0(≠=k x ky ，由k 的符号确定； 2．分式函数的单调性：dcx bax y ++=；3．一次函数：)0(≠+=k b kx y ；4．二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y ；确定单调性要素⎪⎩⎪⎨⎧-的大小②、对称轴的符号①、a ba 2 5．耐克函数：)0(＞c x c x y +=；双增函数：)0(-＞c x c x y =；双减函数：)0(-＞c x xcy =； 6．幂函数)21-31212-1-321(⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=、、、、、、、a x y a7．指数函数)1,0(≠=a a a y x且＞；8．对数函数)1,0(log ≠=a a y xa 且＞；9．三角函数：x y sin =、x y cos =、x y tan =；10．其他函数：a x y -=、 b x a x y -+-=、 b x a x y --=-等。
二．复合函数的单调性：同增异减。
【知识拓展】一．函数的迭代：一个函数的自复合，叫做迭代。
我们用()kg x 表示()g x 的k 次迭代函数，即01(),()(())k kg x x g x g g x +⎧=⎪⎨=⎪⎩。
如果()(())()(1,2,,1)p k g x x g x x g x x k p ⎧=⎪⎨≠=-⎪⎩对一切使有定义的，则称()g x 有迭代周期p 。
迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。
一般说来，若()y g x =的图像关于直线y x =对称，则一定有(())g g x x =。
它的迭代周期是2.下面是几个常见函数的迭代周期。
27()1x g x x -=+，迭代周期是3；1()1x g x x -=+，迭代周期是4；1()2xg x x+=-，迭代周期是6.二．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上：下凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，特别地，12λ=时，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[]a b ，上的下凸函数．如图(１)定理一．若()f x 是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点12n x x x 、、、，恒有：1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭上凸函数定义：设连续函数()f x 的定义域是[]a b ，（开区间()a b ，或(－∞，＋∞)上均可），如果对于区间[]a b ，内的任意两点1x 、2x 和实数(0,1)λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，特别地，12λ=时，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称()f x 为[]a b ，上的上凸函数．如图(2)定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点12...n x x x 、、、恒有：)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
nimax函数介绍
nimax函数介绍在计算机编程中，函数是一种重要的工具，用于封装一段可重复使用的代码。
而nimax函数则是一种特殊的函数，它在编程语言Nim中被广泛使用。
本文将介绍nimax函数的特点和用法。
首先，nimax函数是Nim语言中的一个内置函数，用于返回一组数据中的最大值。
它的语法非常简单，只需要在函数名后面加上一对括号，并在括号中传入待比较的数据。
例如，nimax(1, 2, 3)将返回3，因为3是这组数据中的最大值。
除了整数之外，nimax函数还可以用于比较其他类型的数据，如浮点数、字符串等。
它能够根据不同的数据类型进行比较，并返回相应类型的最大值。
这使得nimax函数在处理不同类型的数据时非常灵活和方便。
另外，nimax函数还支持比较多组数据中的最大值。
它可以接受任意数量的参数，并返回这些参数中的最大值。
例如，nimax(1, 2, 3, 4, 5)将返回5，因为5是这组数据中的最大值。
这种特性使得nimax函数在处理大量数据时非常高效和便捷。
除了返回最大值之外，nimax函数还可以返回最大值所在的位置。
它可以通过传入一个闭包来实现这一功能。
闭包是一种特殊的函数，它可以在函数内部定义并返回。
通过使用闭包，nimax函数可以在比较数据的同时记录最大值所在的位置，并将其返回。
这使得nimax函数在需要获取最大值位置的场景中非常有用。
总结一下，nimax函数是Nim语言中的一个内置函数，用于返回一组数据中的最大值。
它具有简单的语法和灵活的数据类型支持，可以处理不同类型和多组数据。
此外，nimax函数还支持返回最大值所在的位置，通过使用闭包实现。
这些特点使得nimax函数在编程中非常实用和方便。
在实际应用中，nimax函数可以用于各种场景，如查找数组中的最大值、比较多个数的大小、获取最大值所在的位置等。
它可以帮助开发者简化代码，提高效率，并使程序更加可读和可维护。
总之，nimax函数是Nim语言中一个非常有用的函数，它可以快速、灵活地获取一组数据中的最大值。
nike函数
y
y =x +
a
x
y=x
上是减函数； 在 0 , a 上是减函数； a , +∞ 上是增函数 a 时， y min = 2 a
2 a
( 在[
]
)
当x =
O
a
x
求下列函数的最小值 求下列函数的最小值
2 x ∈ (0,1] （2 ） y = x + x 2 y y x+
=
x
y=x 2 2
2 ( 2) ∵ y = x + x 在(0,1]上是减函数 ∴ 当x = 1时, ymin = 3
+2
y
y= x
x
x ∈ [1,+∞ ) ，
在 [1,+∞ ) 上是增函数， 上是增函数，
其图象如图所示， 其图象如图所示 ，
3 当 x = 1 时， gmin ( x ) = 2 7 f min ( x ) = 2
O 2 1 2
x
2 例 2. 判断 y = 2 x + x 并指出它的单调区间
1 的单调性， x ∈ [ ,3]的单调性， 2
2 x ∈ (0,1] （2 ） y = x + x
2 ( 2) ∵ x > 0, > 0 x 2 ∴x+ ≥ 2 2 x 2 x = ⇔ x = ± 2 ∉ (0,1] x ∴ ymin ≠ 2 2
a y = x + 的图象 x
2 研究 y = x + 的图象 x
y
l
y =x+
2 x
1.定义域是( −∞ ,0) ∪ (0,+∞ )
C( x , x + B ( x, x )
高中数学对钩函数的有关知识
高中数学对钩函数的有关知识对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x （a>0,b>0）的函数。
由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
因函数图像相似耐克商标，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线。
在第一区间时，其转折点为最值：当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性：双勾函数是奇函数。
单调性：令k=那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
注：对勾函数的图像是双曲线。
实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道：展开，得：即：两边同时加上2ab，整理得：两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b，代入上式，得：这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
高中数学知识复习与总结(函数)
函数知识复习与总结1．函数的概念 在某个变化过程中有两个变量y x ,，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一的实数值与它对应，那么y 就叫做x 的函数，记作D x x f y ∈=),(。
x 叫做自变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域；和x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
其中函数三要素：定义域、对应法则、值域。
函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
即函数的图像特征：对于任意与x 轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点。
由于构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
2. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠。
}{(,)|x y x ，则函数的值域中共有 ]，则b ＝__________（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。
3.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
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耐克函数的应用
在高中数学中，我们常常会碰到形如(0)ayxax的函数，
我们称这样的函数为“耐克函数”。它是重要的函数之一，它的性质
及图像有十分鲜明的特征和规律，在实际问题中有着广泛的应用。
教学目标
1、掌握耐克函数的图像与性质；
2、会用耐克函数处理函数最值等问题；
3、会根据函数的性质画出函数的图像.
教学思路
1、通过对具体函数1yxx的研究,体验运用从特殊到一般的数学
思想进行数学问题研究的过程;
2、运用数形结合，从直观到抽象的方法,对函数(0)ayxax的
性质加以研究,并能够应用函数模型解题。
课前练习
14444.yxxxx、作函数的图像
2,lg(1)lg(3)lg().axxax、设为常数试讨论方程的实根的个数
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例题解析
1
1(1)(0,); 11(2)[,2];2 1(3)[2,4].yxxyxxyxx、求函数在上的最值
求函数在上的最值
求函数在上的最值
9
2(1)[1,5]; 9(2)(0,]6,; 9(3)(0,],.yxxyxaaxyxaax、求函数在上的最小值
求函数在上的最小值为求的取值范围
若函数在上是减函数求的取值范围
2
2
2
2
31(1)(0)5(2)()426(3)(1)1xxyxxxyxRxxxyxx、求下列函数的最小值
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2
2
4:0, (0,],[,).2(1)(0)[6,),;(2)(0),.bayxaxaayxxbxcyxcx、已知函数有如下性质如果常数那么该函数在
上是减函数在上是增函数
如果函数的值域为求的值
研究函数常数在定义域内的单调性并说明理由
135.9xxy
、求函数的单调区间及最值