《数理统计B》单元自测题(五)

《数理统计B 》单元自测题（五）

一、填空题

1）设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的

随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当

n 充分大时,近似有X ～

或

～ 。特别是，当同为

正态分布时，对于任意的n ，都精确有

X

～

或

～ .

2）设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机

变量序列,且i EX μ=，2

i DX σ=(1,2,)i =???

那么2

1

1n i i X n =∑依概率收敛于 .

3）设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,2)

N 的样本，令22

1234()(),Y X X X X =++-

则当C = 时CY ～2(2)χ。

4）设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 5）设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2

(,)N μσX :的一个简单随机样本，则样本均值1

1n

i

i n

=X =X

∑服从

二、选择题

1）设X ～2

(,)N μσ其中μ已知，2

σ未知，123

,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量 的是

A ）123X X X ++

B ）123

max{,,}X X X C ）2

3

2

1

i i X

σ=∑

D ）1

X μ-

2）设X ～(1,)p β 1

2

,,,,,n

X X X ???是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是

A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -?? ???

B ）{}(1),k k n k

n

P X k C p p -==-0,1,2,,k n

=???

C ）{}(1)

,k k

n k

n

k P X C p p n

-==-0,1,2,,k n =???

D ）{}(1),1k k

n k

i

n

P X k C p p i n -==-≤≤

3）若X ～()t n 那么2

χ～

A ）(1,)F n

B ）(,1)F n

C ）2

()n χ D ）()t n 4）设n

X X X Λ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记2

1

2

1

)(1

1X X n S n

i i

--=∑=，2

1

22

)(1X X n S n

i i -=∑=，

21

23

)(11μ--=∑=n

i i X n S ，

22

4

1

1()n

i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随

机变量是

A) 1

/1

--=n S X t μ

B) 1

/2--=

n S X t μ C)

n

S X t /

3μ-=

D) n

S X t /

4μ-=

5）设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统

计量21

21n

i i n m

i

i n m V n =+=+X =

X

∑∑服从的分布是

A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n --

三、解答题

1）设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与

否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

2）一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于0.95？

3）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

4）设总体X 服从正态分布，又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差，又设2

1

(,)n X N μσ+:，且

1n X +与12,,,n

X X X ???相互独立，求统计量 的分布。

5) 在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2

(,0.2)N α，若以n

X 表示n 次称量结果的算术平均值，为使()0.10.95n

P X a -<≥成立，求n 的最小值应不小于的自然数？ 四、证明题

设 12,,,n

X X X ???是来自总体X 的简单样本，()(1,2,3,4)i i E X a i ==存在2

4

2

(0)a a ->，证明当n 充分大时，21

i

X n

∑近似服从正态分布。