概率论基础(第二版)复旦大学李贤平高教社_khdaw
高等教育：概率论基础ch1.5
三、概率的公理化定义
在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即
对应于事件域F中的每一个元素A有一个实数P(A)与
之对应。
集合函数：从集合到实数的映射。 概率是定义在事件域F 上的集合函数。
在公理化结构中，只规定概率应满足的性质， 而不具体给出它的计算公式或计算方法。
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数科院
Ch1.5-11
=
lim P(
n
i =1
Ai )
n
记Sn = Ai ,则Sn F , n = 1, 2, ,且Sn Sn＋1，即Sn是F i=1
中一个单调不减的集序列，这时上式可一写成
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)
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数科院
Ch1.5-27
下连续的定义
对于F 上的集合函数P，若它对F 中任何一个单
调不减的集序集{Sn}都有
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)成
立，则称集函数P是下连续的.
因此我们有：
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有限可加性 下连续性
数科院
可列可加性
？
Ch1.5-28
定理 若P 是F上满足P()=1的非负集合函数，
则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的
•样本点：随机试验的可能结果，用表示； 可以看成是抽象的点
•样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即
样本点的全体，记作 •事件： 样本空间的一个子集，常用大写字母A、
B、C 等表示；事件A发生当且仅当A所包含
概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案(供参考)
概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为（2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤=当01x ≤<时，{}{}22()035F x P X x P X =≤===当12x ≤<时，{}{}{}34()0135F x P X x P X P X =≤==+==当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为分布函数3次射击中至少击中2次的概率为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为{}!kP x k ak λ==，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为{}aP x k N==， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b(1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+(2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑道，根据题意有 即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松定理近似计算查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】设B 表示指示灯发出信号（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则~(5,0.3)X B 。
指数分布与其它分布的关系
指数分布与其它分布的关系作者：刘国祥来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第12期刘国祥（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 024000）摘要：从指数分布的特征出发，通过了讨论讨论指数分布与其它分布的关系，从而体现了指数分布在概率统计中的作用.关键词：概率统计；指数分布；正态分布；均匀分布；几何分布中图分类号：O221.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）12-0012-03正态分布、均匀分布、指数分布是最常用的三个连续型分布.由于正态分布和均匀分布具有明显的集合直观，常见并且易于理解的现实模型，因此在教材[1，2]和文献中对于它们的讨论都比较详细.而关于指数分布的讨论相对就比较少[3，4]，没有引起人们的足够认识.下面从指数分布的特征出发，分几个方面通过了讨论讨论指数分布与其它分布的关系，从而体现了指数分布在概率统计中的作用.1 指数分布及其特征连续型随机变量X的分布密度函数它的数学期望与指数分布具有相同的参数的倒数形式.为什么几何分布与指数分布有如此多的相同形式呢？服从指数分布的随机变量表示的是某些“易碎品”的“寿命”，如电子元件、玻璃制品等.虽然它们的“寿命”与多种因素有关，但是有一种因素是决定性的，也就是“致命”的.它正好与“服从正态分布是与多种相互独立的因素有关，但是没有一种因素是起决定作用”相反.而几何分布是一种“直到……为止”型的概率分布，也是一种“寿命”.电子元件的“寿命”服从指数分布，如果电子元件是否损坏的决定因素是电压，在连续使用过程中，虽然有多种因素，但是“直到”电压达到元件不可承受范围内，它的“寿命”就“为止”.相互独立的射击，直到击中为止，射击次数服从几何分布.被枪手离散地射击，直到击中，它的“寿命”就“为止”了.从而我们看到，几何分布与指数分布具有相同的原理，只是其一为离散型，另一个为连续型.所以具有许多相同（或相似）的性质.3 指数分布与泊松分布的关系泊松分布是重要的离散型分布，他与社会生活密切相关，如电话交换台中来到的呼叫次数、公共汽车站来到的乘客数、放射性分裂落到某区域的质点数，甚至母鸡下蛋的个数、鸡蛋孵化成小鸡的个数.指数分布与泊松分布有如下的关系：单位时间内母鸡下蛋的个数服从泊松分布，而两次下蛋的时间间隔服从指数分布.4 指数分布与均匀分布的关系指数分布和均匀分布同为连续型分布，它们之间有如下关系：定理2 随机变量X服从参数为?姿的指数分布的充分必要条件是随机变量5 指数分布与正态分布的关系指数分布和正态分布同为连续型分布，正态分布可以说是最重要的一种概率分布.它和指数分布之间有如下关系.定理3 随机变量X,Y相互独立，都服从正态分布N(0,?姿2),则Z=X2+Y2服从指数分布.证明显然Z=X2+Y2≥0，由于随机变量X,Y相互独立，则(X,Y)的联合分布密度函数为6 指数分布的推广形式经典教材[1,2]都只介绍了二元均匀分布和二元正态分布而没有涉及二元指数分布.文献[3]给出了指数分布的一种推广形式，并在文献[4]把它应用到药物在机体内分布中.文献[5]介绍了多元Marshll-Olkin型指数分布.埃尔兰分布的密度函数为当r=1时，就是指数分布.则埃尔兰分布就是指数分布的一种推广形式.它是埃尔兰分布的推广，当然也是指数分布的一种推广形式.此外，关于分布的可加性：同泊松分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从泊松分布，同正态分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从正态分布，同两点分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从二项分布，同正态分布且相互独立的n个随机变量的线性组合仍服从正态分布.参考文献：〔1〕李贤平.概率论基础（第二版）[M].高等教育出版社，1979. 4，116，128.〔2〕魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，1983.10.〔3〕刘国祥.广义指数分布[J].赤峰学院学报，2007，（3）：1-8.〔4〕刘国祥.药物在机体内分布的数学模型[J].赤峰学院学报，2008，（3）：15-16.〔5〕李国安.多元Marshll-Olkin型指数分布的特征及其参数估计[J].工程数学学报，2005,22（6）：1055-1062.。
陈希孺概率论答案
陈希孺概率论答案【篇一：概率统计参考书推荐】>概率论、数理统计、随机过程、随机分析等“随机数学”，近来在经济管理及金融领域应用火爆，有志在这些领域深造的同学，必须要把这随机数学学得炉火纯青。
以下书籍难度基本由低至高。
各类别中列举数种，也不必全看，重点阅读一两本即可。
关键是要有毅力，随便一本书，坚持读到底，做完上边的全部习题，功夫即可小成。
最忌讳贪多求新，得陇望蜀，一本没完，另开一本，读书变成了赏书，结果一本都不可得。
记住：一本书读三遍，胜过三本书读一遍。
各书均可在卓越、当当等处购买，凡市面上难见者，以图书馆藏书为限。
大致印象：国人编书，篇幅短小重点突出，但过于中规中矩，缺乏自由发挥，好在价格便宜。
老外作书，篇幅浩瀚，无拘无束自由挥洒，表面上絮絮叨叨，可是思想火花恰在此絮叨中显现，价格一般偏贵。
一般认为，国人教材适合入门，老外教材适合巩固和进阶之用。
（一）概率论：1。
陈希孺《概率论与数理统计》，中国科技大学出版社作者为院士。
这本是适合工科学生的初级教程。
优点在于基本概念基本思想交代得细致平淡自然，不搞那些故弄玄虚的花架子。
习题稍难，后附简答。
2。
李贤平《概率论基础》配套辅导概率论基础学习指导书（第三版）高等教育出版社2010-4经典教材，数学专业初学适用。
只涉及概率论，不讲数理统计。
叙述清晰，深度适当，例题丰富多彩。
极限定理一章比较难，需要有高度的毅力和决心。
课后题极多，书后只给计算题的结果。
3。
王梓坤《概率论基础及其应用》（第三版）北京师范大学出版社2007-3 作者是资深院士，曾留学苏联，北师大原校长。
此书绝版多年，终于再版。
只涉及概率论，书较厚，观点比较高。
课后答案极其详细，适合自学。
著名的入门教程，作者是应用概率论的专家。
其书内容结构要比本土教程扩展很多，例题、习题极富新意。
5。
[美]a.帕普里斯等《概率、随机变量与随机过程》第四版，保铮等译。
西安交通大学出版社，2004年。
经典名著。
数学专业书籍推荐
1.课程号：课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学考试方式：考试基本面向：数学数院各专业教材：《Linear Algebra》彭国华、李德琅，高等教育出版社，2006参考书：1。
《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社 2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。
Jacob W.H.Freeman and Company 1990 课程简介：高等代数以研究线性方程组为出发点来讨论求解和解的结构和分类等问题，进而研究矩阵，行列式，线性空间，线性映射以及二次型的基本理论。
本课程分两个学期讲授。
高等代数-1的主要内容包括线性空间和线性映射，线性变换，欧氏空间，线性和双线性型。
2.课程号：课程名：高等代数-2课程英文名：Advanced Algebra-2学时：102 学分：5先修课程：高等代数-1考试方式：考试基本面向：数学学院各专业教材：《Linear Algebra》彭国华、李德琅，高等教育出版社，2006参考书：1．《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社 2. L.W. Johnson, R.D. Riess and J.T. Arnold, Introduction to Linear Algebra (5th Edition), Prentice-Hall Inc. and China Machine Press, 2002 3. D.C. Lay, Linear Algebra and Its Applications (3rd Edition), Pearson Addison Wesley Asia Limited and Publishing House of Electronics Industry, 2003课程简介：一元与多元多项式、行列式、线性方程组，矩阵代数，二次型，线性空间，线性变换，矩阵法式，欧氏空间3.课程号：课程名：近世代数课程英文名：Abstract Algebra学时：68 学分：4先修课程：高等代数、数学分析考试方式：考试基本面向：数学学院教材：《近世代数基础》刘绍学编高等教育出版社第一版参考书：1．《近世代数引论》冯克勤、李尚志、查建国中国科学技术大学出版社 19882．《代数学引论》聂灵沼、丁石孙高等教育出版社 19883．《Basic Algebra(I)》N.Jacobso W.H.Freeman and Company 1985 课程简介：代数学是因解多项式方程而发展起来的,而方程解的结构往往是人们感兴趣的的问题，近世代数是研究具有良好代数结构的群，环域，模为主要内容的一门课程。
泊松分布与复合泊松分布的性质
泊松分布与复合泊松分布的性质作者：***来源：《神州·上旬刊》2019年第01期摘要：本文主要讲述了泊松分布和复合泊松分布的各种性质。
本文在第一部分主要讲述了泊松分布和二项分布的关系以及泊松分布的数学期望和方差的计算;在第二部分推导了复合泊松分布的概率分布及其数字特征，并阐述了复合泊松分布在非寿险精算中的应用。
关键词：二项分布;泊松分布;复合泊松分布;全概率公式一、泊松分布（一）二项分布的极限情形为泊松分布设随机变量序列，并且随机变量，即若假设，则有下面给出证明。
记對于固定的k有，因此，若随机变量X的可能取值为所有非负整数，并且则我们称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.随机变量所有可能取值之和必定为1，关于泊松分布的所有可能取值之和我们有，（二）泊松分布的含义泊松分布是计数分布的一种，通常用来描述单位时间内事件发生的次数，比如可以用来描述某银行柜台某时间段内来办业务的顾客数。
（三）泊松分布的数学期望和方差泊松分布的数学期望和方差都是λ，下面给出证明，为计算泊松分布的方差，首先给出一般随机变量的方差计算公式，利用上述方差计算公式，我们可以给出泊松分布的方差，二、复合泊松分布（一）复合泊松分布的定义称随机变量为参数为λ复合泊松分布，若满足，（1）X1，X2，…，N独立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.复合泊松分布在保险中是常用的概率分布，随机变量N可看成 N 个保险保单组合，Xi（i=1，2，…）是第i个保单可能的索赔额，则S是这N个保单组合的总索赔额。
因此探讨S 的概率分布及数学期望和方差对保险公司来说有着重要的意义。
（二）复合泊松分布概率分布的算法复合泊松分布的概率分布的计算需要用到全概率公式，下面叙述该公式。
设事件A1， A2，…， An，…是样本空间Ω的一个分割，亦称为完备事件组，即Ai（i=1， 2，…， n，…）两两互不相交，而且假设样本空间中有另外一个事件B，这样一来这样我们可以得到全概率公式，由全概率公式，复合泊松分布的概率分布可以写成，的计算需要用到卷积公式，这里可以举个例子说明这个公式的计算。
何书元概率引论答案
何书元概率引论答案何书元概率引论答案【篇一：课程名称：概率论计划学时45】=txt>上课时间：周二3-4节；周四(单周) 1-2节地点：文史201 任课教师：任艳霞（教授）办公室：理科1号楼1381email:基本目的：1、对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。
2、联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。
教材: 何书元，《概率论》, 北京大学出版社2006年参考书1、汪仁官，《概率论引论》，北京大学出版社19942、李贤平，《概率论基础》（第二版），高等教育出版社，19973、钱敏平、叶俊，《随机数学》，高等教育出版社，20044、sheldon ross, a first course in probability (7thedition)教学安排：第一章古典概型与概率空间(10学时)1) 随机事件及古典概型（1.1-1.2节）(2学时)2) 几何概型、概率空间与概率的性质（1.3-1.5节）(2学时)3) 条件概率和乘法公式（1.6节）(2学时)4) 独立性、全概率公式、bayes公式（1.7-1.8节）(3学时)5) 概率模型举例与概率空间续（1.8-1.9节）(1学时)第二章随机变量与概率分布(9学时)1) 一维随机变量定义、离散型随机变量（2.1-2.2节）(2学时)2) 连续型随机变量（2..3节）(2学时)3) 概率分布函数（2.4节）(2学时)4) 随机变量函数的分布（2.5节）(2学时)5) p分位点（2.5节）(1学时)第三章随机向量及其分布(8学时)1) 随机向量及其分布、离散型随机向量及其分布（3.1-3.2节）(2学时)2) 连续型随机向量及其联合密度（3.3节）(2学时)3) 随机向量函数的分布（3.4、3.6节）(2学时)4) 条件分布和条件密度（3.5节）(2学时)第四章数学期望与方差(8学时)1) 数学期望(4.1-4..2节) (3学时)2) 方差（4.3节）(1学时)3) 协方差与相关系数（4.4节）（2学时）4）条件数学期望（2学时）第五章概率极限理论(10学时)1) 概率母函数与特征函数（5.1-5.2节）(2学时)2) 多元正态分布（5.3节）(2学时)3) 大数律(5.4节) (2学时)4）中心极限定理(5.5节)（2学时）5）随机变量收敛性介绍（2学时）【篇二：2011f_master】目）招生简章北京大学数学科学学院金融数学系成立于1997年，目前已形成从本科到硕士和博士的应用数学专业金融数学与精算学方向的较为系统和有品质的培养体系。
概率论与数理统计习题答案-第二版-修订版-复旦大学
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=,P(A B)=，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[]=5.设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值（2）在什么条件下P（AB）取到最小值【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=3423.设P （A ）=,P (B )=,P (A B )=，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是,,，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为；若有两人击中，则飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=××+××+××+ ××+××+××+×× =. 习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .（2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a .【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+(2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理） 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=k k k p p --22)1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=mm m p p --44)1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=.而 2(1)(0)(1)P X P X p <===- 故得 24(1),9p -= 即 1.3p = 从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e|x |, ∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =.(2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22xx x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222xx x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0当0≤x ≤a 时001()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰ 当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5xP X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥，允许σ最大不超过多少 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e|x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22x xx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时00()()d e d e d 22x xx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ (2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰ 得 b =1 即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0当0<x <1时00()()d ()d ()d x xF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时012011()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x-∞-∞==++⎰⎰⎰⎰ 312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=，求z α; （2）α=，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=28.设随机变量X 的分布律为2 1 0 1 3求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(12)k , k =1,2,…,令1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2e ,02πy y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求： （1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x xx x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
假设检验
第七章假设检验本章重点1、假设检验的基本原理；2、假设检验的形式与种类；3、第一类错误与第二类错误；4、区间估计与假设检验的方法。
本章难点1、假设检验的基本原理；2、第一类错误与第二类错误。
参考文献：（1）格涅坚科《概率论教程》丁寿田译北京：高等教育出版社，1956年（2）威廉·菲勒《概率论及其应用（上册）》吴迪鹤、林向清译北京：科学出版社1964年（3）李贤平《概率论基础（第2版）》北京：高等教育出版社，1997年（4）茆诗松《概率论与数理统计（第2版）》北京：中国统计出版社，2000年（5）陈希孺《概率论与数理统计》北京：科学出版社，2002年（6）李贤平《概率论与数理统计》上海：复旦大学出版社，2003年（7）杨振明《概率论》北京：科学出版社，1999年（8）茆诗松《贝叶斯统计》北京：中国统计出版社，1999年（9）茆诗松、王静龙《数理统计》上海：华东师范大学出版社，1990年7.1 现实中的统计案例一：时下不少大学生在一边学习的同时也不断寻找一些机会打些零工以赚点钱弥补学习和生活之需，这已经是学生们之间人所共知的事情。
这没有丝毫的让人好奇之处，让人好奇的是这些打工的学生究竟一个月平均能赚多少钱？假设有人说：这个数据是500元，你觉得信不信它呢？当然，你首先需要收集证据，没有证据是肯定说明不了任何问题的。
又假设有人通过组织调查取得过如下数据（调查到一共30人，单位：元）：350 500 900 100 100 200 240 300 100 320450 260 650 380 290 400 800 400 250 400290 870 540 320 140 160 300 400 500 340这时你该做何结论？就算是你得到以上数据的平均数等于423元，你是否就可以作出“是”或“不是”的回答？7.2 基本思想所谓“统计假设”指的是关于随机变量分布（或随机事件概率）的各种论断。
intro1数学课程简介
课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。
Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。
课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。
2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。
课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。
《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。