九年级 第一章 直角三角形的边角关系
北师大版九年级数学下册：第一章 直角三角形的边角关系——回顾和思考 学案
直角三角形的边角关系回顾与思考【学习目标】1．经历对本章知识的回顾与总结，建立本章的知识框架图。
2．引导学生利用科学计算器寻找任意角的正弦、余弦、正切的关系。
3．通过实际问题求解，进一步体会直角三角形的边角关系在现实生活中的广泛应用。
【学习重难点】重点：归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题。
难点：利用解直角三角形的有关知识解决实际问题。
【学习过程】问题1：结合图回答：什么是∠A的正弦、余弦、正切？问题2：什么是解直角三角形？问题3：在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？(1)三边关系：(2)锐角之间关系：(3)边角之间关系：今天我们来复习直角三角形的边角关系的有关内容问题4：(1)tan30°+cos45°+tan60°-cos30°；(2)tan30°•cos30°+sin230°；问题5：根据下列条件，解直角三角形．①a=10,∠B=450;②a= ,c=6 。
问题6：在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB。
知识发展点：问题7：如图在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，求AD的长。
问题8：如图，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1: ，斜坡CD的坡度i′=1:1，求斜坡AB的长及坡角α和坝底宽AD（精确到0.1m）易漏点：问题9：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且 , AB = 4, 则AD的长为（）（A）3 （B）（C）（D）问题10：九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A处测得南岸的一尊石雕C在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B处，又测得石雕C在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？【学习小结】。
北师大版九年级数学下册 (三角函数的计算)直角三角形的边角关系教育教学课件
当堂练习
6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测 得塔顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
当堂练习
解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即 可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
所以，塔高DE大约是81米．
讲授新课
方法总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已 知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角 三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
当堂练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；
∠A≈38°51′57″ ∠B≈38°8′2″
情境引入
直角三角形的边角关系
三边的关系： a_2_+_b_2_=_c_2_.
两锐角的关系： _∠__A_+_∠__B_=__9.0
A
°
边与角的关系：锐角三角函数
B c
a
C b
sin A cos B a c
cos A sin B b c
tan A a b
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin16°.
sin α
cos α
tan α
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
导入新课
问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时， 它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角 为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？ （结果精确到0.01m） 在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系《锐角三角函数》教案
《锐角三角函数》教案 ──正弦 目标分析 (一)教学目标 知识与技能: １、理解锐角正弦的意义,并能运用ｓiｎA表示直角三角形中两边的比。 2、能依照正弦概念正确进行计算、 过程与方法: 1、 经历探究直角三角形中的边与角的关系,培养学生由特别到一般的演绎推理能力、 2、 通过学生自我发现培养学生的自我反思能力,通过提出困惑提升学生发现问题的能力。 情感态度价值观: 1、在主动参与探究概念的过程中,发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识、 2、培养学生独立考虑的习惯以及使学生获得成功的体验,建立自信心、 (二)教学重点、难点: 重点:理解认识正弦(siｎA)概念,能用正弦概念进行简单的计算。 难点:1、引导学生比较、分析并得出:对任意给定锐角,它的对边与斜边的比值是固定值。 2、正弦概念的理解、 突出重点、突破难点的策略 从生活实际入手,结合多媒体直观演示,并通过系列探究活动引导学生合作交流,作图、猜想论证,配合由浅入深的练习,使学生不但明白对任意给定锐角,它的对边与斜边的比值是固定值,而且加以论证并会运用。 教学方法 1。教法学法: 本节采纳“探究-—推理-—发现"模式、 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导、 学生的学法突出探究、推理与发现、 2。课前准备: 教具:多媒体、课件、三角板。 学具:三角板等作图工具。 教学设计 环节(一):创设情境、引入新知 教师活动1:结合当地实际情况以及书本引例引入本课 2:电脑展示教材引例、 问题 为了绿化荒山,市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35ｍ,那么需要准备多长的水管? 提出问题:您能将实际问题归结为数学问题不? 学生活动:熟悉背景,从中发现数学问题、同时考虑、探求解决问题的途径和方法。 设计意图: 结合当地实际情况为背景创设情境,引发学生兴趣、 培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力; 环节(二):探求新知,发现规律 1。解决问题 隐去引例中的背景材料后,直观显示出图中的Ｒt△ABC (1) 想一想:您能用数学语言来表述这个实际问题不？ 与同伴交流、 教师活动:多媒体课件出示问题;了解学生语言 组织情况并适时引导; 学生活动:组织语言与同伴交流、 设计意图:培养学生用数学语言表达的意识,提高数学语言表达能力、 (2)出示学生总结并完善后的数学问题: 在Rt△ＡBC中,∠Ｃ＝9０°,∠A=30°,ＢC＝35m,求AＢ、 (3)议一议:在上面的问题中,假如使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管? 教师活动1:出示问题、 ２:观察学生解决问题的表现,适时引导。 学生活动:应用旧知解决问题、 设计意图:让学生初步意识到“比值”以及“固定值”的表达,为得出结论奠定基础、 (4)归纳:在一个直角三角形中,假如一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于。 教师活动:引导学生用准确的语言组织、 学生活动:独立考虑,得出结论、 设计意图: 让学生从这一情景中得知我们研究的重点不再是“直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半”,把注意力转移到“直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值是"、 让“比值"的研究首先进入学生的视野,建立了数学模型,为下一环节顺利进行奠定基础、 2、类比考虑 议一议:如图,任意画一个Rｔ△ABC,使∠Ｃ=90°,∠Ａ＝45°,计算∠A的对边与斜边的比 ,您能得出什么结论？ 教师活动:出示问题;观察基础薄弱的学生的反应或与 他们共同讨论、 学生活动:考虑、解决问题、 设计意图:由特别到一般的过渡,强化了学生对“比值” 的关注,点击重点、 3、归纳猜想 (1)归纳:在一个直角三角形中,假如一个锐角等于３０°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于。 在一个直角三角形中,假如一个锐角等于4５°,那么不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于、 (２)猜想:在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,它的对边与斜边的比也是一个固定值、 教师活动:引导学生用准确的语言归纳猜想。 学生活动:考虑、交流、语言表达。 设计意图: 让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一、 为学生提供了自主探究的空间,提高学生的说理能力,增强语言表达能力。 环节(三):证明猜想,形成概念 1、 在“几何画板”课件制作平台中演示、验证猜想、 教师活动:多媒体演示、 学生活动:体验成功的快乐。 设计意图:运用现代教育手段,让学生感受到自己猜想的正确性的快乐、 2、证明猜想 教师活动:出示猜想,观察学生的考虑方向,引导学生找到证明猜想的方法、 任意画Rt△ABＣ和Rt△A'B＇C',使得∠C＝∠C’＝90、∠Ａ=∠A＇＝α,那么与有什么关系。您能解释一下不？ 学生活动:考虑、寻找方法并验证。 设计意图: 培养学生的论证意识,提高学生自己设计探究活动的能力。 通过证明认识到“在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值"的结论,从而引出“正弦”的概念,突出重点。 ３。形成概念 正弦的概念及表示 如图,在Ｒt△ABC中,∠C＝90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦(sｉne),记作siｎＡ,即 注意:正弦的三种表示:ｓinA(省去角的符号)、ｓin３9°、sin∠DEF。 教师活动:课件给出概念,解释并强调正弦的符号、符号所表示的意义、正弦的表示方法、 学生活动:理解正弦的概念以及正弦的表示、 设计意图:概念的引入已是水到渠成,让学生在一系列的问题解决中,经历一个数学概念形成的一般研究过程。 环节(四):理解概念、应用提升 1、 概念辨析 教师活动: 提问:如图:∠B的正弦如何表示? 出示判断是非: (1)sｉnA表示“sｉn"乘以“A” 、 ( ) (2)如图,ｓinＡ= (m) ( ) (3)在Rt△ＡBＣ中,锐角Ａ的对边和斜边同时扩大100倍,sinA的值也扩大１00倍 ( ) (4)如图,∠Ａ=3０°,则sinA= 。 ( ) 学生活动:考虑,理解概念。 设计意图: 通过判断是非加深学生对正弦概念的理解,随着问题的解决更加深了学生对角度与比值的对应关系的关注,进一步的渗透了函数思想。 通过是非判断引导学生注意: ①sｉｎA不是 sin与A的乘积,而是一个整体、 ②ｓinA 是线段之间的一个比值, 没有单位、 ③一个角的正弦值与边的大小无关,只与角的大小有关,锐角一旦确定,正弦值随之确定。 2、例题讲解 例1 如图,在Rｔ△ABＣ中,∠C=90°,求sinA和siｎＢ的值、 教师活动:课件出示例1,引导学生相互口述解题方法后,派代表详细叙述,同时出示详细解题过程(板书)。 学生活动:分析、考虑解题的方法,小组交流讨论,互相评议,组织语言叙述解题的过程。 设计意图: 为学生提供自主探究的空间,学生既能独立考虑,又能相互合作,在交流中学生解决问题的能力得到了提升、 巩固正弦的概念,形成能力。 规范学生的解题格式,为学生完全独立的解决问题尽估计的排除了障碍、 3、巩固新知 (１)在Rt△ＡＢC中,∠C＝9０°,ＢＣ＝2,siｎA=,则AＣ的长是( ) A、 B、3 Ｃ、 Ｄ。 (３)(依据认知水平) 在Rt△ABC中,∠C＝9０°,AC＝2,sinA＝、,求ＡB、BC的长、 教师活动:课件出示练习 学生活动:分析、独立考虑, 设计意图: 为学生提供自主探究的空间,学生既能独立考虑,又能相互合作,在交流中学生解决问题的能力得到了提升、 巩固正弦的概念,使学生对知识的理解与应用螺旋上升,形成能力,达到了较高要求、 体现了“实际——理论——实际”的过程,帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题,得出结论,再用来解决实际问题的学习数学的思路,符合新课程标准要求的“实际问题——建立模型-—解释、应用与拓展"的思路。 环节(五):自我评价、总结反思 问题1:本节课您有哪些收获? 教师活动:引导学生考虑回答、 学生活动:回顾、考虑、组织语言回答、 设计意图: 引导学生回顾自己的学习过程,畅所欲言,加强反思,提炼以及将知识纳入自己的知识结构、 帮助学生提炼本节课的重要知识点和必须要掌握的技能—－—-(1)在直角三角形中,当锐角Ａ的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值、(２)在Rt△ABC中,∠Ｃ＝90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作ｓinＡ、 问题２:本节课您认为自己解决的最好的问题是什么? 教师活动:一边口述、一边课件出示问题。 学生活动:回顾、考虑、与同伴交流、组织语言回答、 设计意图: 有目的的引导学生发现自己在合作学习、解决问题的过程中能否提出有价值的解决方案,能否与他人沟通合作等等、 培养学生自我认同,自我发现、自我反思的意识。 这一环节与同学交流能够让学生感受到来自同学的信任,感受到被同学肯定的快乐、 问题３ :您还有什么困惑不? 教师活动:出示问题、 学生活动:考虑、组织语言说感受、困惑、 设计意图: 引发学生进一步的考虑。 ●布置作业 P6:习题１。2:1-—５题。
第一章：直角三角形的边角关系
第一章：直角三角形的边角关系
课题：§1.1从梯子的倾斜程度谈起（1）课型：新授授课时间：2010年9月20日执笔：袁红军杨静审核：朱青审批：
（小组内讨论后完成后面新知提炼1，注意：共有四种比值的描述方式）
问题二：当一个角一定的情况下，他们的三角函数值是否会变化？
A 斜边
∠
问题三：在问题一中的两幅图中可知，四种比值与梯子的陡峭程度有什么关系？（可小组内多举几组值进行比较，完成新知提炼2） 新知提炼：
1、三角函数的定义： 如图：在ABC Rt ∆中，如果锐角A 确定，
第一章：直角三角形的边角关系
课题：§1.1从梯子的倾斜程度谈起（2）课型：新授授课时间：2010年9月日执笔：袁红军杨静审核：朱青审批：
第一章：直角三角形的边角关系
课题：§1.2 60,45,30角的三角函数值 课型：新授 授课时间：2010年 月 日
第一章：直角三角形的边角关系
课题：§1.3船有触礁的危险吗课型：新授授课时间：2010年月日执笔：袁红军杨静审核：朱青审批：
第一章：直角三角形的边角关系
课题：§1.4测量物体的高度课型：新授授课时间：2010年月日执笔：袁红军杨静审核：朱青审批：。
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 本章考点整合训练一
解：根据题意可知EF＝AB＝15 m，延长EF交DC于点H，则CH＝BF＝AE＝
1.5 m．设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝(15＋x) m，在Rt△DFH中，DH＝FH·tan
∠DFH＝tan
45°x＝x(m).又∵在Rt△DHE中，tan
∠DEH＝
DH EH
，∴ x＋x15
＝tan
34°≈0.67，∴x≈30.5，∴DC＝DH＋CH＝x＋1.5≈30.5＋1.5＝32(m)，∴拂云阁DC的
解：原式＝3×
3 3
－11
＋
2
＝2 3 －1
8
×
2 2
＋
（1－ 3）2 ＝
3 －2＋2＋
3 －1
考点三 解直角三角形
9．(2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与
AC的夹角为α，则高BC是( A )
A.12sin α m
B．12cos α m
C．si1n2α m
解：(1)∵在Rt△ DEA中，AD＝
DE sin A
＝
2 2
＝3，∴AB＝BD＋AD＝12，∴在
3
Rt△ ABC中，BC＝AB·sin A＝12×23 ＝8
(2)∵AC＝ AB2－BC2 ＝ 122－82 ＝4 5 ，AE＝ AD2－DE2 ＝ 32－22 ＝
5 ，∴CE＝AC－AE＝4 5 － 5 ＝3 5 ，∴CD＝ CE2＋DE2 ＝ （3 5）2＋22
解：过点E分别作EF⊥CD交CD的延长线于点F，EG⊥AC于点G，过点A′作
A′H⊥EG交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH为矩形，EF∶DF
＝i＝1∶0.75，∴DF＝34 EF，∴DE＝ DF2＋EF2 ＝ （34EF）2＋EF2 ＝54 EF＝
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的计算
5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数．(结果精确到 0.01°)
(1)cos A＝0.7651; (2)sin A＝0.9343； 解：(1)∠A≈40.08° (2)∠A≈69.12°
(3)tan A＝35.26; (4)tan A＝0.707.
(3)∠A≈88.38° (4)∠A≈35.26°
解：(1)∵四边形 BCEF
是矩形，∴CE＝BF＝3，又∵CD＝6，∴sin
D＝CCDE
＝1 2
，
∴∠D＝30°
(2)在 Rt△ABF 中，sin ∠BAF＝BAFB
＝2 3
，设 BF＝2k，则 AB＝3k，由勾股定
理得 AF＝
5
k.∵BF
＝3，即
2k
＝3，∴k
＝3 2
，∴AF
＝3
5 2
，又∵F E ＝B C＝ 1，
解：在Rt△BCD中，∵∠DBC＝90°，∠BCD＝55°，CD＝6米， ∴BD＝CD·sin ∠BCD＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米)， ∴AD＝AB－BD＝6.5－4.92＝1.58≈1.6(米). 答：梯子的顶端与墙顶的距离AD约为1.6米
9．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计
13．(2022·郑州月考)图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其 示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝ 48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1 cm， 参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)
∴AE＝AF＋FE＝(3 5 ＋1)米 2
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习教学设计
7.教学策略：
a.采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律。
b.结合多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示直角三角形的性质和判定方法。
c.设计具有挑战性的问题，激发学生的求知欲，培养他们解决问题的能力。
1.学生对基础知识的掌握程度，查漏补缺，巩固直角三角形的基本概念和性质。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，注异化教学，提高学生的整体水平。
4.激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的自主学习能力。
在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感中掌握知识，提高能力。同时，注重培养学生的合作意识和团队精神，提高学生在集体中的沟通与协作能力。
d.定期组织课堂小结，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将通过一个简单的实际问题来激发学生的兴趣和好奇心。我会向学生展示一张学校升旗仪式的照片，并提问：“同学们，你们知道我们学校的旗杆有多高吗？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够吸引他们的注意力。接下来，我会引导学生思考如何用数学方法来解决这个问题，自然引出直角三角形的边角关系。
在学生完成练习后，我会挑选部分习题进行讲解，分析解题思路和方法，帮助学生发现并纠正错误。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课的主要内容，包括直角三角形的定义、性质、判定方法以及三角函数的应用。我会让学生分享自己在小组讨论和课堂练习中的收获和困惑。
此外，我还会强调数学知识在实际生活中的应用价值，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识用于解决实际问题。通过这样的总结归纳，学生能够对直角三角形的边角关系有一个更加全面和深入的理解。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的应用
离为 20 39 m
解：安全，理由如下：过点 C 作 CD 垂直 AB，交 AB 的延长线于点 D，由题意
可得，∠CA D＝90°－60°＝30°，∠CB D＝90°－45°＝45°，A B ＝30×1＝30(k m )，在
Rt△CBD 中，设 CD＝BD＝x km，则 AD＝(x＋30)km，在 Rt△ACD 中，tan 30°＝CADD ，
即x x＋30
＝
3 3
，解得 x＝15
3 ＋15≈40.98，∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方
向航行是安全的
知识点2：仰角、俯角在三角函数中的应用 3．(宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量 人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米， 且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 _1_2_0_0_(__3__－__1_)__ 米．(结果 保留根号)
BD ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与 A 港 tan 45° 口的距离约为 141 海里
9．(泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为 30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号 表示，不取近似值).
4．(2022·天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条 直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔 BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.
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九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
则α= 2、锐角A 满足2sin(A ﹣150)=3,则=∠A 三、随堂练习：（见课本P 12 1） 四、知识延伸：某一时刻，一架飞机在海面上空C 点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。
从C 点处测得A 的俯角为45o；同一时刻，从A 点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。
已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。
A C OBD┌().45cos 260sin 330tan 630002--五、拓展提高： 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
.六； 中考连接：1、如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为( )． (A)82米 (B)163米 (C)52米 (D)30米2、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?B H C§1.4 船有触礁的危险吗一、知识要点1.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题.2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.3.解释最后的结果.二、典型例题与分析例1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.跟踪练习：1小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)例2某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)跟踪练习如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)三、基础练习1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基高出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为[ ]2．如图：一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(精确到1米/分)A.1461B.1462C.1463D.14643. 如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,则塔高CD(精确到0.1m)是[ ]mA.25.3B.26.3C.27.3D.28.34. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°,那么塔高是[ ]米四、拓展提高如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，3≈1.7)五、中考连接：1、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（精确到0.11.732）2、如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）（以下数据可以选用：sin400.6428≈，c o s400.7660≈，tan400.8391≈，1.732．)．东北MBAP北测量物体的高度(1)一 知识要点1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形．2．解直角三角形的类型：已知一边，一锐角；已知两边．3．解直角三角形的公式：（1）三边关系：a 2+b 2=c 2，（2）角关系：∠A+∠B=_____，（3）边角关系：sinA= ，sinB= ，cosA= ，cosB= ， tanA= ，tanB= ， 4．仰角、俯角5．象限角：OA ：北偏东60°，OB ：东南方向，OC ：正东方向，OD ：西偏南70°． 6．坡度：AB 的坡度i AB =A CB C，∠α叫坡角，tan α=i=A CB C．CB二 典型例题例1（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）•，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增 加了0.6米（如图所示）求： （1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．例2（07济南）如图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面24米，从A 到B ，从B 到C 是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB 的长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米） （1）求山坡路AB 的高度BE ．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）三 基础练习1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）2．计算：cos 245°＋tan60°•cos30°等于（ ）． A ．1 B ．2 D3．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_________。