电路原理(邱关源)习题答案第八章相量法

第八章相量法求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算.所谓相量法,就是电压、电流用相量表示, RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握：(1)正弦信号的相量表示；(2) KCL,KVL的相量表示；(3) RLC元件伏安关系式的相量形式；(4) 复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.8-1将以下复数化为极坐标形式：(1) Fi=-5-j5；⑵ F2 =-4+ j3；⑶ F3 =20+j40；(4) F4=j10; (5) F5=-3; (6) F6=2.78 +j9.20o解：(1) F1 =-5-j5 = a Z0a = (-5)2 (-5)2 =5.2-5 v1-arctan ——=-135 -5 (因F1在第三象限)故F1的极坐标形式为F1=5%'2/ -135-(2) F2 =—4 + j3=C(Y)2+32/arctan⑶—4)=52143.13：(F2在第二象限)(3)F3 =20+ j40 = J202 +402N arctan(40/20) =44.72/63.43二(4) F4 =10j =10/90 二⑸ F5=-3 = 3/180 二(6)F6 =2.78 + j 9.20 = 32.782+9.202/arctan(9.20/2.78) = 9.61,73.19 ：注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即F=a1+ j a2 =a/e =ae ja它们相互转换的关系为：2 2 1-arctan—a〞0 a2 a i和a1 = acosi a2= asin?需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到日的取值及实部a i和虚部a2的正负.8-2将以下复数化为代数形式：〔1〕F i=10/—73；〔2〕F2 =15/112.6：；〔3〕F3 =1.2/152；〔4〕F4=10/-90 :〔5〕F i =5Z-180=;〔6〕 F i =10/ -1351解：〔1〕 F i =10/— 73°=10xcos〔—73二〕十j10xsin〔—73〕= 2.92 —j9.56⑵ F2=15/112.6〞 = 15cos112.6、15sin112.6' = -5.76+j13.85〔3〕 F3 =1.2/152 口=1.2cos152' + 1.2sin152 0 = —1.O6 + jO.56〔4〕F4 =10=-90*=-jIO〔5〕F1 =5/-180口= -5〔6〕 F i =10/-135,0cos〔-135：〕+10sin〔-135二〕=-7.07-j7.078 —3假设IO./.“十A260 °= 175/中.求A和中.解：原式=100+ Acos600+ ja sin600=175c o s9 + j175s in中根据复数相等的定义,应有实部和实部相等,即Acos60 100 =175cos虚部和虚部相等Asin60 =175sin「把以上两式相加,得等式A2 100 A -20625 -0-100主,1002+4乂20625 1 102.07A = ---------------------------------- 二+解得 2 「202.069.3102.07 ——Asin602sin =-------------- = --------------- — 175 175=30.348-4求8—1题中的F ,F6和F 2/F6.解：F 2 F6=(—4 j3) (2.78 j9.20) =5 143.13 9.61 73.19= 48.05. 216.32 =48.05. -143.684 j3 5. 143.13F 2 F6 = ------------ --- = ----------------- = 0.52 69.942.78 j9.20 9.61 73.198 — 5求8 —2题中的F 1 +巳和E/F 5 o解：F 1 F 5 - 10. - 73 5. - 180= 10cos(-73 ) j10sin(-73 ) -5 =-2.08 - j9.56 =9.78 -102.2710. -73F 1 F 5= ---------------------------- = 2 -73180 =2 1075/-1808 —6 假设.i 1 = -5cos(314t +60)Ai 2 = 10sin(314t + 60)A,i 3 =4cos(314t 60 )A(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图； (2)1与心和i1与)的相位差；(3)绘出3的波形图；(4)假设将3表达式中的负号去掉将意味着什么？ (5)求的周期T 和频率f .解：(1) i 1 二 一5cos(314t+601 =5cos(314t+60 = —180=) =5cos(314t —120bi 2 =10sin(314t 60 ) = 10cos(314t - 30 )=0.505 所以故i 1 , i 2和i 3的相量表达式为(4)假设将i i (t)中的负号去掉,意味着i i 的初相位超前了 180二.即i i 的 参考方向反向.(5) i i (t)的周期和频率分别为2 二 2 二T =——= ------ =0.02s = 20ms314 .1■ ■1f =一 =——= ---- =50 HzT 2 二 0.02注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在 比拟相位差时,两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数,即都是正 弦或都是余弦；(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.8-7 假设两个同频正弦电压的相量分别为U i =50/30 V ,5 =T00/-150 V ,其频率 f=100Hz .求：5I i ： 一 120 A,1210 4:——30 A,13 ：——60 A2 2(3) i i (t)的波形图见题解图(b)所示.13 =1 - 3 - -120 -60 - -180其相量图如题解图(a)所示.(1)写出u i,出的时域形式；(2) 3与弘的相位差.(1)u1(t) = 50.. 2 cos(2 ft 30 ) = 50 .. 2 cos(628t 30 )Vu2(t) =-100.2cos(2二ft-150 ) =100..2cos(628t-150 =180 )V 二100,2cos(628t 30 )V(2)由于U1=50. 30 V ,U2=-100/-150 V =100. 30 V故相位差为中=30<30' = 0：即u1与u2同相位.8-8 ：3(t) =22072cos(314t—120 1Vu2(t) =220,2 cos(314t 30 )V(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率f和周期T;(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；(3)如果把电压电的参考方向反向,重新答复(1), (2).解：(1)波形如题解8—8图(a)所示.有效值为u1 =u2 = 220V u2314f1 = f2 =——= ---------------------- =50Hz频率2二2二1 1T1 = T2 0.02 s周期 f 50(2) 5和弘的相量形式为U1 =220 -120 V U2=220 30 V故相位差为 =i - ：2 =-120 -30 <-150 相量图见题解图(b)所示.(3)U2的参考方向反向,u2 (t)变为一u2 (t),有效值、频率和周期均 不变,—U 2(t )的相量为 U'2 =220/30—180口=200/—150V故U1和U2的相位差为*=91-中2=-120 -(-150)=30 波形图和向量图见题解图(a)和(b).8 — 9一段电路的电压、电流为：3,u =10sin(10 t - 20 )V i =2cos(103t -50 )A(1)画出它们的波形图和向量图；(2)求出它们的相量差.33解：(1) u =10s lM10 t—20 )=10cos10 t —110 )V ,故 u 和 i 的相量分别为U a =22072cos 侬t +10)V , U b =22045cosgt -110 =)V , U c = 220 2 cos( t 130 )V求：(1) 3个电压的和；(2) U ab ,U bc ； (3)画出它们的相量图--------- ------------- 0 .2 I =-50 A210U =-110 V60 o8-10图示三个电压源的电压分别为:u(a) +1 -------处+e ; c ~ +题解8—10图解：“,u b, U c的相量为U a = 220 10 VU b=220. -110VU c =220. 130 V(1)应用相量法有U a U b U c=220 10 220/ -110 220 130a c=0即三个电压的和u a⑴u b(t) u c⑴=0⑵ U ab =U a -U b =220/10 220/-110 ：= 220 3 40 VU bc =U b -U c =220 -110 -220 130= 220.3 -80 V(3)相量图如题解8—10图所示u c(a)中电压表读数为V 1：30V ； V 2:60V ；图(b)中的V 1 :15V ； 100V .(电压表的读数为正弦电压的有效值.)求图中电压U s .题8—11图解法一：(a)图：设回路中电流「=1/0：根据元件的电压、电流相量关系,可得题8-11图U R = RI = RI 0 =3.0 V U L = jX L l = X L I 90 =6.90 V那么总电压 U S =U R -U L =30 • j60V所以U s 的有效值为US =痴2 +602 = 67.08V(b)图：设回路中电流相量I =1/0二A,由于U R = RI = RI 0 =15 0 VU L —X L I =X L I 90 =80 90 V8-11 图 V 2 :80V . V 3 :题解8—10图元件相量关系后效值关系相位关系相量图电阻R UR = RI R U R =RI R仇=%U C=-jX C I =X C I -90 =100 -90 V所以总电压U S =U R U L U C =15 j80 -100j =15-j 20V故U s的有效值为U S=J132+202=25V解法二：利用相量图求解.设电流「=1/0 '为参考相量,电阻电压U R与「同相位,电感电压U L超前I'90 :电容电压U c要滞后「90［总电压U s与各元件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图〔a〕和〔b〕为对应原图〔a〕和〔b〕的相量图.由题解图〔a〕可得U S = . U R U L = 302 602 = 67.08V由题解图〔b〕可得U S = ,U R 〔U C-U L〕2 = 152〔100 -80〕2 = 258V题解8—11图注：这一题的求解说明,R, L, C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系〔如下表所示〕是我们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.电感LU L = jX L I LU L = jX L 「 仇=仇+90二电容CU C = - jX C I C U C = X C I C仇=d -90二1 -----------------------------8—12图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为 A ：5A ； A 2：2°A；A 3 :25A o 求：〔1〕图中电流表A 的读数；〔2〕如果维持A 的读数不变,而把电 源的频率提升一倍,再求电流表 A 的读数.解法一:〔1〕 R, L, C 并联,设元件的电压为U R 二二U L 二U C 二U 二U 0根据元件电压、电流的相量关系,可得U U I R5/0 AR RU UI L =——=——-90 A - - j20A jXL X L应用KLC 的相量形式,总电流相量为I = I R I L I C =5-j20 j25 = 5 j5 =5' 2 45 A故总电流表的读数.・' =I =5、.2 =7.07A(2)设U R ==U L =U C =U -U — 0U U,,…—『一 ,、一 , I R =- =— =5,0 A. 当电流的频率提图一倍后,由于 R R不变,所以UR -U不I CU- jX C90 = 25 90 = j 25A题8—12图U UIc == = 2 25. 90 =50. 90 A一jX C _j ； 2 cI =I R I L 1c =5-j10 j50 =5 j40即,电流表的读数解法二： 利用相量图求解.设U =U /00=U R =U L =Uc 为参考向量,根据元件电压、电流的相位关系知,I R 和U 同相位,1c 超前90： I L 滞后U 901 ■ ■ ■ 相量图如题解8—12图所示,总电流「与I R, I c 和I L 组成一个直角三角形.故 电流表的读数为... =\IR(I c -I L )2A即 (1)@ =,52 +(25 -20)2 =7.07A⑵ @ =,52 +(25 -10)2 =40.31A注：从8—11题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是 首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电变,而X L =2^L 增大一倍,26C 减小一倍,因此,有U 1 ——=—20.jX L j2 L 2所以A - -52 402 -40.31A题解8—12图压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成 相量图中的几何关系.最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对 串联电路,选电流作参考方向较方便,如 8-11题.对并联电路,那么选电压作参 考相量较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.8-13 对RL 串联电路作如下两次测量：(1)端口加90V 直流电压=0)时, 输入电流为3A; (2)端口加f =50H z 的正弦电压90V 时,输入电流为1.8A .求R 和L 的值.题解8—13图解：由题意画电路如题解8—13图所示.(1)当u s 为90V 直流电压时,电感L 看作短路,那么电阻RU-(2)当u s 为90V 交流电压时,设电流「=1/0口=1.8/0二A,根据相量法,U S = RI jX L I =30 1.8 jX L 1.8 U S =90 = 1.8 , 302 X i 2X L= (90)2 -302 =40 】1.8, X L X L 40L = ----- = ------- = -------- 解得 • 2开 100二8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述 4种情况时,它可能是U0.127H 庆什么元件?'u =10cos(10t 十 45 1V (D i =2sin(10t +135)AU = 10. 45 V2即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个 5建的电阻元件.(1)把电压变为余弦形式有u=cos(100t - j 90 )V102 U 45 I =0 A(2) u 和i 的相量为J 2V 2U5一二5 45 (1 j); R jX L 那么I.. 255R : ---- ：. iX L ：--- :. i即这是一个 「2 的电阻和v 2 的电感的串联组合.3,、.,8—15电路由电压源u s n 00 cos(10 t)V 及R 和L= 0.025H 串联组成.电感端电 压的有效值为25V .求R 值和电流的表达式.解：由题意画电路的相量模型如题解 8—15图(a)所示,相量图如题解图 (b)所示.由于100U.2 0X L = L=103 0.025= 25」u =10sin(100t)V(2) i =2cos(100t)AU = -10costV (3) 、i=-sintA；u = 10cos(314t+451V (4)、 i =2cos(314t)A解：(1)把电流变为余弦形式有= 2cos(10t +135、901=2cos(10t + 45°)A,u和i 的相量为题解8—15图由图〔b〕知电阻电压的有效值为U R 66.144R = —R = -------- =66.144' 1所以电阻为I 1「滞后U S的角度(由于是感性电路)为.U L . 25Z= arcsin——=arcsin -------- -- - 20.70U S100 2因此电流的瞬时表达式为i(t) = 2cos(103t -20.70 )A100■ _________I U S— = ------------------------ 2—— =1 -20.70 A也可根据R jX L 66.144 j25得i(t) = 2cos(103t -20.70 )A8-16图示电路I1 =I2 =10A.求I和U S.■ ■ ■ ■ ■解：设U S为参考相量.I1与U S同相位,I2超前U S901相量图如题解8-题解8—16图题解8—16图I = J l2-12 = J102・ 102 =10、,2 A12Z= arctan = arctanl = 4511由电路图知U S = RI1 =10 10 = 100V故U s和「分别为U S -100. 0 VI = I. :Z =10,2 45 A8-17图示电路中1s=2/0 A.求电压u o■■' u u1s = I R ' I L =二 '解：R jX Lu - I S -2 0= 2 45V1 .2 —451即j题8—17图。