苏教版高中数学必修2第1章 立体几何初步点、线、面之间的位置关系课件6
第八章
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-3-
1.直线与平面平行的判定与性质
判定 定义 图 形 条 a∩α=⌀ 件 结 a ∥α 论
定理
性质
a⊂α,b⊄ α,a∥b b∥α
a∥α a∩α=⌀
a∥α,a⊂β, α∩β=b a∥b
第八章
8.4
直线、平面平行的判定与性质
第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-21-
知识方法
易错易混
思考:证明线面平行的关键是什么? 解题心得:证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法: (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线; (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质, 或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行; (3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.
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如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心 ������������ ������������ 1 性质可知 ,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 ,由 = = ,得 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC,且 MN∥平面 ABD.
������������ ������������ 2
它们平行于平面ABP.
DC,D1C1,A1B1 解析 答案
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8.4
直线、平面平行的判定与性质
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考纲要求
-9-
4.(教材习题改编P62T3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面 △ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
8.4
直线、平面平行的判定 与性质
第八章
8.4
直线、平面平行的判定与性质
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考纲要求 考纲要求
-2-
考纲要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和 已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
答案:①②④
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8.4
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考纲要求
-7-
解析:连接AD1,BC1, 因为AB������ C1D1, 所以四边形AD1C1B为平行四边形, 故AD1∥BC1,从而①正确; 易证BD∥B1D1,AB1∥DC1, 又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D, 故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确; 由图易知AD1与DC1异面,故③错误; 因为AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面 BDC1,故④正确.
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平面 ABC、平面 ABD
解析 答案
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8.4
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考纲要求
-10-
5.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其 内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面 B1BDD1.
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8.4
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考纲要求
-8-
3.(教材习题改编P55T1)已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上 任意一点(不与端点重合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行 的直线是 .
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DC,D1C1,A1B1均平行于直线AB,依据直线与平面平行判定定理,均可证明
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-5-
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于 这个平面. ( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的 任一条直线. ( × ) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( × ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行. ( × ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面. ( √ )
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考纲要求
-6-
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是 (只填序号). ①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.
8.4
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-14-
知识方法
易错易混
思考:如何借助几何模型来找平行关系? 解题心得:线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现, 处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.
第八章
考点1 考点2 考点3
8.4
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-4-
2.面面平行的判定与性质
判定 定义 图 形 条 α∩β= ⌀ 件 结 α∥β 论
定理
性质
a⊂β,b⊂β, a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
α∥β,α∩ γ=a,β∩ γ=b a∥b
α∥β,a⊂β a∥α
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8.4
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
∴MQ∥AD.又 AD∥BC, ∴MQ∥BC.∴ MQ∥平面 BCE.
又 PM∩MQ=M, ∴平面 PMQ∥平面 BCE. 又 PQ⊂平面 PMQ,∴PQ∥平面 BCE.
满足直线a⊥b,且直线a∥平面α的情况,故选D.
D 解析 答案
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易错易混
(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题: ①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β; ②若α∥β,m⊂β,n⊂β,m∥α,n∥α,则m∥n; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0
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①中,当α与β相交时,也能存在符合题意的l,m;②中,m与n可相交、可平行;
③中,l∥γ,l⊂β,β∩γ=m⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.
C 解析 答案
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知识方法
������������
������������ ������������
.∴PM������QN,即四边形 PMNQ 为平行四边形 .
∴PQ∥MN.
又 MN⊂平面 BCE,PQ⊄平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.
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考点1 考点2 考点3
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知识方法
易错易混
对点训练1 (1)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的 位置关系是( ) A.b⊂α B.b∥α C.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α
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可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与α相交或b⊂α或b∥α时,均
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考纲要求
-20-
知识方法
易错易混
(方法三 :性质定理法 )如图 ,在平面 ABEF 内 ,过点 P 作 PM∥BE, 交 AB 于点 M,连接 QM. ������������ ������������ ∴PM∥平面 BCE,且 = , 又 AE=BD,AP=DQ,PE=BQ, ������������ ������������ ������������ ������������ ∴ = .∴ = .
考纲要求
-19-
知识方法
易错易混
(方法二:判定定理法)如图 ,连接 AQ 并延长交 BC 的延长线于 点 K,连接 EK, ∵AE=��� ∴ = .
������������ ������������ ������������ ������������
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A中,m与n可相交、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若
α∥β,仍然可满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误;故D正确.
D 解析 答案
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-13-
知识方法
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苏教版高中数学必修二秋第1章1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．给出下列命题:①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;③a∥α，b、cα，a∥b，b⊥c，则有a⊥c;④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.其中正确的是.2.a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出四个命题：①∥c，∥c⇒∥；②∥，∥⇒∥；③∥c，∥c⇒∥；④∥，∥⇒∥.其中正确的命题是 .3．设直线a，b分别是长方体相邻两个平面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是．4．如图，是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱，的中点，P是上底面的棱AD上一点，AP= ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .5. 已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ;②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β;③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是.6. 已知平面α∥β，△ABC，△分别在平面α，β内，线段，，共点于O，O在α，β之间，若AB=2，AC=1，BC= ，△的面积是，则= .7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有P A=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的位置关系是.8.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”正确的是____________（填序号）.①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.9.若三个平面两两垂直，则它们的交线.10.下面三个结论:①三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直;②分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直;③分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直.其中正确结论的序号是.二、解答题（共50分）11.(12分)如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证:SA∥平面MDB12．（12分）如图，在长方体中，试作出过AC且与直线平行的截面，并说明理由.13.（13分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱上，点F在侧棱上，且AE = 22，BF =2.(1)求证：CF⊥；(2)求二面角的大小.14.（13分）如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.（1）画出l的位置；（2）设l∩=P，求的长．第14题图一、填空题1．①③2．②解析：②正确，①错在与可能相交，③④错在可能在内.3．可能相交，也可能是异面直线解析：如图所示，a与b相交；a与b′异面．第3题答图4．a解析：如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP= ，∴ = = = ，∴PQ= AC= a.5. ②③解析：可通过公理、定理判定命题正确，通过特例、反例说明命题错误.①如图，在正方体-ABCD中，平面D∩平面=CD，平面∩平面，且CD∥，但平面D与平面不平行，①错误.②因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据∥，∥，可得∥，同理可得∥，因此∥，②正确.③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确.④当直线a∥b，垂直于平面内的两条不相交直线时，得不出l⊥，④错误.6. 解析：因为平面∥，平面∩平面=AB，平面∩平面，所以AB∥.同理AC∥，BC∥，可得两三角形相似.因为AB=2，AC=1，BC=5，所以，所以= ×2×1=1.所以== ，所以= .7.垂直解析：因为PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，所以PO⊥平面ABCD.8.②③解析：因为垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都可以，所以①错误.根据线面垂直的性质②③正确.垂直于同一个平面的两个平面可能相交、平行和垂直，所以④错误，故正确的有②③.9.互相垂直解析：如图，设∩=AB，∩=AC，在内取点P，过P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.∵⊥，∴PM⊥.又∵∩=，∴PM⊥.同理可得PN⊥，∴⊥，∴⊥AB，⊥AC.同理可证AB与AC垂直.10.①②解析：分别经过两条互相垂直的直线的平面有无数个，但不一定互相垂直，所以③错误.二.解答题11. 证明：如图，连接AC交BD于N，连接MN.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点N是AC的中点.又因为点M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN⊂平面MDB，SA平面MDB，所以SA∥平面MDB.12. 解：如图，连接DB交AC于点O，取的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面.因为MO为△的中位线，所以∥MO.因为⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以∥平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线平行的截面.13.(1)证明：由已知可得，，== 6， = 6，于是有，所以⊥EF，⊥CE.又EF∩CE=E，所以⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥.(2)解：在△CEF中，由(1)可得EF=CF=6，CE=23，于是有，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥，且EF∩=E，所以CF⊥平面.又⊂平面，故CF⊥.于是∠即为二面角的平面角.由(1)知△是等腰直角三角形，所以∠=45°，即所求二面角的大小为45°.14.解：（1）如图，QN即为所求作的直线l.第14题答图（2）设QN∩=P，∵△≌△MAD，∴，∴是的中点．又∥，∴===．∴=a－=。
2019-2020学年苏教版必修2第1章 1.2 1.2.4 第1课时 两平面平行课件(43张)
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且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1， 平面A1D1B∩平面ABC＝l1， ∴A1D1∥l1. 同理可证AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2， ∴l1∥l2.
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面面平行关系的综合应用
[探究问题] 1．过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？ [提示] 当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当 直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
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[解] 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交 于AB，A′B′.
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交 于BC，B′C′，从而BC∥B′C′. 同理易证AC∥A′C′.
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∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′. ∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O， ∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′. ∴AA′BB′＝OOAA′＝23.
1.思考辨析
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．
() (2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平
行．
()
(3)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线
平行于α，则α与β平行．
()
(4)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行． ( )
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1 [∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点， ∴平面EFGH∥平面ABCD， ∵PA⊥平面AC， ∴PA⊥平面EG， ∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段， AE＝12PA＝1.]
高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质课件2苏教版必修2
B
桌面α
A
公理1.如果一条(yī tiáo)直线上两点在一个平面内，那
么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面
内）。
l
α
A
B
第八页，共27页。
文字(wénzì)语公言理：1.如果一条直线(zhíxiàn)上 两点在一个平面内，那么这条直
线(zhíxiàn)上的所有的点都在这
个平面内（即直线(zhíxiàn)在平
第二页，共27页。
三.平面的表示(biǎoshì)方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面 、平面
、平面AC
(pí符n号g表m示i：通(p常í用ng希m腊字ià母n),A ,B 等来表示， à如n：)平α面 也可 C用表D示平行四边形的两个相对
顶点的字母来表示，如：平面AC．
第三页，共27页。
第一页，共27页。
一.平面(píngmiàn)的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们(wǒ men)很 熟悉.象这些桌面(zhuōmiàn)、平静的湖面、镜面、
黑板面等平都面给我们以____的印象
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
第二十四页，共27页。
５填空 点(tAi在á直nk线òng)
(zhíxiàn)l上
点A在直线 (zhíxiàn)l外
点A在平面 内
点A在平面 外
直线l在平面 内
直线l在平面 外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
l
l
l
第二十五页，共27页。
桌面α
A
公理1.如果一条(yī tiáo)直线上两点在一个平面内，那
么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面
内）。
l
α
A
B
第八页，共27页。
文字(wénzì)语公言理：1.如果一条直线(zhíxiàn)上 两点在一个平面内，那么这条直
线(zhíxiàn)上的所有的点都在这
个平面内（即直线(zhíxiàn)在平
第二页，共27页。
三.平面的表示(biǎoshì)方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
A
B
平面 、平面
、平面AC
(pí符n号g表m示i：通(p常í用ng希m腊字ià母n),A ,B 等来表示， à如n：)平α面 也可 C用表D示平行四边形的两个相对
顶点的字母来表示，如：平面AC．
第三页，共27页。
第一页，共27页。
一.平面(píngmiàn)的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们(wǒ men)很 熟悉.象这些桌面(zhuōmiàn)、平静的湖面、镜面、
黑板面等平都面给我们以____的印象
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
第二十四页，共27页。
５填空 点(tAi在á直nk线òng)
(zhíxiàn)l上
点A在直线 (zhíxiàn)l外
点A在平面 内
点A在平面 外
直线l在平面 内
直线l在平面 外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
l
l
l
第二十五页，共27页。
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关
方法归纳 直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要 方法．线面在垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面 垂直，关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直．
1．若在本例中增加“AE⊥PB，垂足为 E”这个条件，其余条 件不变．求证：PB⊥平面 PA⊥BM
符号 a⊥m，a⊥n，__m__∩__n_＝__A_____，_m__⊂_α_，__n__⊂_α____， 表述 则a⊥α
(2)直线与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直 线_____平__行_______
符号语言
a⊥α b⊥α⇒
_____a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
3.距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点 和____垂__足_____间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直 线上___任__意__一__点_____到这个平面的距离，叫做这条直线和这 个平面的距离．
[证明] 如图，连结 AB1、B1C、BD、B1D1， ∵DD1⊥平面 ABCD，AC⊂ 平面 ABCD， ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C. 又 B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面 AB1C. 又 EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又 EF⊥AC，AC∩B1C＝C. ∴EF⊥平面 AB1C.∴EF∥BD1.
点M为圆周上一点，AB为 ⇒ BM⊥平面PAM⇒ 直径⇒ BM⊥AM PA∩AM＝A
BM⊥AN AN⊥PM
⇒ AN⊥平面 PBM⇒
第1章立体几何初步章末归纳提升课件苏教版必修2课件
且 A1B∩BC1＝B 所以 B1C⊥平面 A1BC1，又 B1C⊂平面 AB1C， 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)设 BC1 交 B1C 于点 E，连结 DE， 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线， 因为 A1B∥平面 B1CD，所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点． 即 A1D∶DC1＝1.
在正方形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴AC⊥平面 B1D1DB.
(2)连结 AC、DB 交点为 O，连结 B1O，由(1)知 AC⊥平 面 B1D1DB.
∴B1O 就是 AB1 在平面 B1D1DB 上的射影． ∴∠AB1O 就是所求的角． ∵AB1＝ 2，B1O＝ 22，∠AOB1＝90°，∴∠AB1O＝30°. (3)V 三棱锥 B－ACB1＝V 三棱锥 C－ABB1＝13CB·S△ABB1 ＝16.
(2)通过添加辅助线或辅助面而将立体几何问题转化为平 面几何问题；
(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直 线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹 角，通过三角形求解，即立体问题平面化．
(2013·常州检测)如图 1－6，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1，
空间几何体的体积及表面积 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过 程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积与体积，能 够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形(正 多边形、三角形、梯形等)以求得其表面积与体积．同样要注 意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质 的灵活运用．
3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问 题．
在正方形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴AC⊥平面 B1D1DB.
(2)连结 AC、DB 交点为 O，连结 B1O，由(1)知 AC⊥平 面 B1D1DB.
∴B1O 就是 AB1 在平面 B1D1DB 上的射影． ∴∠AB1O 就是所求的角． ∵AB1＝ 2，B1O＝ 22，∠AOB1＝90°，∴∠AB1O＝30°. (3)V 三棱锥 B－ACB1＝V 三棱锥 C－ABB1＝13CB·S△ABB1 ＝16.
(2)通过添加辅助线或辅助面而将立体几何问题转化为平 面几何问题；
(3)空间角的求解．通常将空间的角(异面直线的夹角、直 线与平面所成的角、二面角)转化为平面内两条相交直线的夹 角，通过三角形求解，即立体问题平面化．
(2013·常州检测)如图 1－6，正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱长为 1，
空间几何体的体积及表面积 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过 程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积与体积，能 够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形(正 多边形、三角形、梯形等)以求得其表面积与体积．同样要注 意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质 的灵活运用．
3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问 题．
高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.3直线与平面的位置关系课件苏教版必修2
题型 1 直线与平面的位置关系
[典例 1] 下列命题中正确的命题的个数为_______． ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平 面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平 面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行； ④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这 条直线平行于这个平面． 解析：对于①，直线与平面平行，只是
第1章 立体几何初步
1．直线与平面的位置关系： (1)直线 a 在平面 α 内：直线 a 和平面 α 有无数个公 共点，记作 a⊂α；
(2)直线 a 与平面 α 相交：直线 a 和平面 α 有且只有 一个公共点，记作 a∩α＝A；
(3)直线 a 与平面 α 平行：直线 a 和平面 α 有 0 个公 共点，记作 a∥α．
题型 6 直线与平面所成角 [典例 6] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 分析：本题只需要找出(或作出)A1B 在平面 A1B1CD 上的射影即可，但图形中没有现成的，所以可以连接 BC1 与 B1C 即可作出．
解：如图所示，连接 BC1 与 B1C，相交于点 M， 连接 A1M，则 BC1⊥B1C. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1， BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 A1B1⊥BC1. 因为 A1B1∩B1C＝B1，
线进行过渡．
证明：连接 AN 交 α 于点 Q，连接 OQ，PQ，如图所 示．
因为 b∥α，平面 ABN∩α＝OQ， 所以 b∥OQ.同理 PQ∥a. 在△ABN 中，O 是 AB 的中点， OQ∥BN，
[变式训练] 3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是 平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点， 在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面 交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH. 证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
苏教版必修二课件：第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
跟踪训练2 已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心， 如图所示，求证：PQ∥平面ACD.
证明
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC， A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
证明
反思与感悟
证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理， 遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法.
证明
当堂训练
1.下列命题中正确命题的个数是_0___. ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个 平面平行. 解析 ①中，当l∩α＝A时，除A点以外所有的点均不在α内； ②中，当l∥α时，α中有无数条直线与l异面； ③中，另一条直线可能在平面内.
跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1； 证明 ∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1， ∴BC1∥平面AB1D1.
证明
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1. 证明 ∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点. 又∵点E为D1C的中点， ∴EF∥AD1， ∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， ∴EF∥平面ADD1A1.
答案 三种位置关系：(1)直线在平面内； (2)直线与平面相交； (3)直线与平面平行.
答案
梳理 直线与平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示
直线a在 平面α内 无数个
a⊂α
直线a在平面α外
数学苏教版必修2 第1章 立体几何初步 章末专题整合 课件(31张)
栏目 导引
空间中的平行问题
1．空间平行关系的判定方法 (1)判定线线平行的方法： ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)； ②利用平行公理4； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 则a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对 应成比例等．
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点． 求证：(1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点．
[证明] (1)如图，分别连结 EF、A1B、D1C. ∵E，F 分别为 AB，AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B.
空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点， 解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积 和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，除等积变换法 与割补法外还有： (1)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图 形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决 简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的 距离问题． (2)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可 以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称 性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
(1)三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3， 一条侧棱与相邻两边所成的角都是 60°，求棱柱的侧面积． (2)已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝1，BC＝BD＝AC＝AD ＝2.求三棱锥 A－BCD 的体积．
[解] (1)如图，侧棱 AA1 与底边 AB、AC 所成的角为 60°， 过 A1 作 A1O⊥底面 ABC，连结 AO， 过 A1 作 A1D⊥AB 于 D，连结 OD， ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°， ∴AO 为∠BAC 的平分线， 又∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC， 又∵A1O⊥BC，∴BC⊥平面 AA1O，∴BC⊥AA1， ∴BC⊥BB1，∴四边形 BCC1B1 为矩形， 得：S 三棱柱侧＝S▱ABB1A1＋S▱ACC1A1＋S 矩形 BCC1B1 ＝3×4×sin 60°＋3×4×sin 60°＋3×4＝12( 3＋1)．
空间中的平行问题
1．空间平行关系的判定方法 (1)判定线线平行的方法： ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)； ②利用平行公理4； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)； ⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 则a∥b)； ⑥利用平行四边形的性质、三角形、梯形中位线、线段对 应成比例等．
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点． 求证：(1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点．
[证明] (1)如图，分别连结 EF、A1B、D1C. ∵E，F 分别为 AB，AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B.
空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点， 解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积 和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，除等积变换法 与割补法外还有： (1)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图 形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决 简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的 距离问题． (2)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可 以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称 性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．
(1)三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3， 一条侧棱与相邻两边所成的角都是 60°，求棱柱的侧面积． (2)已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝1，BC＝BD＝AC＝AD ＝2.求三棱锥 A－BCD 的体积．
[解] (1)如图，侧棱 AA1 与底边 AB、AC 所成的角为 60°， 过 A1 作 A1O⊥底面 ABC，连结 AO， 过 A1 作 A1D⊥AB 于 D，连结 OD， ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°， ∴AO 为∠BAC 的平分线， 又∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC， 又∵A1O⊥BC，∴BC⊥平面 AA1O，∴BC⊥AA1， ∴BC⊥BB1，∴四边形 BCC1B1 为矩形， 得：S 三棱柱侧＝S▱ABB1A1＋S▱ACC1A1＋S 矩形 BCC1B1 ＝3×4×sin 60°＋3×4×sin 60°＋3×4＝12( 3＋1)．
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1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
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1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；
R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
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第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．