2016年浙江省杭州二中高一下学期数学期中考试试卷
浙江省杭州二中2012-学高一下学期期中数学试题
杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分满分100 分 考试时间 100分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷．．相应空格中） 1．在ABC ∆中，三个内角分别是C B A ,,，若B A C sin cos 2sin ⋅=，则此ABC ∆一定是 A ．直角三角形 B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．等差数列{}n a 中，3,158,44===d S a n n , 则n 为 A ．4 B ．7C ．6D ．53.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且C A 22sin sin -＝()B B A sin sin sin -，则角C 等于A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π4．设b a ,是正实数，以下不等式： (1)2>+a bb a ；(2)()b a b a +≥+222；(3)ba ab ab +≥2；(4)b b a a +-< 其中恒成立的有A ．()()21B ．()()32C ．()()43D ．()()425．等比数列}{n a 中，若，则等比数列}{n a 的前100项的和为A C D 6．若正实数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是ks5uA B C ．5 D ．67. 等差数列{}n a 中，11a =，1,n n a a +是方程则数列{}n b 前n 项和n S =B.8．数列{}n a 满足11a =，且，且)n ∈*N ，则{}n a 的通项公式为C.2n +D.(2)3nn +9．设实数满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-000232044y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的最大值为1，则⎪⎭⎫⎝⎛+b a 21log 2的最小值为 A.2 B.4 C.21 D. 310．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则CB B CA A tan cos sin tan cos sin ⋅+⋅+的取值范围是 A. (0,)+∞B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上） 11．等比数列{}n a 中，11211=⋅a a ，161615=⋅a a ，则1413a a ⋅等于 12．数列{}n a 的前n __ ______ 13．设0a ＞b ＞，则的最小值是 14．已知ABC ∆中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是中项，则ABC ∆的面积等于15. 已知点P 的坐标（x ，y ）满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，及A （2，0），则|OP |·cos ∠AOP （O 为坐标原点）的最大值是 16．若数列{}n a 满足k a a a a nn n n =++++112（k 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，k 称为x,y公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11=a ，22=a ，则=2013a 17．若实数c b a ,,满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，则c 的最大值是杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.. 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. (本小题满分9（1）求,m n 的值；（2）解关于x 的不等式： (21)()0a x x m --+>,其中a 是实数．19. （本小题满分9分）已知{}n a 是一个公差大于的等差数列,且满足5563=⋅a a ，1672=+a a ．数列1b ，12b b -，23b b -，…，1--n n b b 是首项为1，公比为（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20.（本小题满分9分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，角A 为锐角，已知向量，且q p // （1）若mbc b c a -=-222，求实数m 的值；（2ABC 面积的最大值．21. （本小题满分15分）设n S 为数列{}n a 的前项和，且对任意*N n ∈都有()12-=n n a S ，记()nn nS n f 23=（1）求n a ；（2）试比较()1+n f 与()n f 43的大小； （3）证明：①()()()n f k n f k f 22≥-+，其中*N k n k ∈≤且； ②()()()()()3122112<-+++≤-n f f f n f n ． ks5u杭州二中2012学年第二学期高一年级期中考试数学卷答案11． 413. 414．15. 5 16. 10062 17． 3log 22-18．解：(1) ks5u(2)原不等式为(21)(1)0a x x --->即[(21)](1)0x a x ---< （1）当211a -<即1a <时，原不等式的解为211a x -<<； （2）当211a -=即1a =时，原不等式的解为φ；（3）当211a ->即1a >时，原不等式的解为121x a <<-．19．解： (1) 解:设等差数列的公差为, 则依题知 ， 由且 得；(2) 由（1）得： 21n a n =-（n N *∈）．b 1=1，当n ≥2(n b b ++-13⎛⎫++ ⎪⎝⎭3121)3n n -++① ② ①-②得：20.解:（Ⅰ） 由p ∥q 得又A 为锐角∴ 而222a c b mbc -=-可以变形为，所以1m =（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以22222bc b c a bc a =+-≥-即2bc a ≤{}n a d 0d >273616a a a a +=+=3655a a ⋅=365,11,2a a d ===3(3)221n a a n n ∴=+-⨯=-时，ABC ∆面积的最大值是21．解答:(1)当 1=n 时，211==a S ， 当1>n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a12-=∴n n a a n n a 2=∴（2）()22212121-=--=+n nn S ()()()()022112123222343222343111211211<⎪⎭⎫⎝⎛---=---=-+∴++++++++n n n n n n n n n n n f n f ()()n f n f 431<+∴ （3）()()()()()()2222123222232223212112221--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥-+-=-++-++---+k n k nk n k n k n k k k k n f k f 而()()()()212222222222121222224222422222-=⋅-+≤+-+=--++-+++-+++-+n k n k n k n k n k n k ()()()()()n f k n f k f n nk n k n22212322222123221121=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛≥--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥-+∴++-+()()()()()()()()()n f f n f n f n f f n f n f f 2112,,2222,2121≥+-≥-+≥-+∴相加得()()()()()n f n n f f f 121221-≥-+++ ，当1=n 时取等号，由()()())1(431434312f n f n f n f n⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+ 和43)1(=f所以()()()<-+++1221n f f f ()()())1(431431431222f f f f n -⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛++343134314431212<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=--n n 原不等式成立ks5u。
浙江省杭州二中20152016学年高一上学期期中考试数学试卷
杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1、设会合 M0,1,2 ，N x | x23x 2 0，则MN（）（A） 1（B） 2（C） 0,1（D） 1,22、已知 a log 2 0.3，b20.1， c0.21.3，则 a、 b、 c 的大小关系为（）（ A）a<b<c（B） c<a<b（ C）a<c<b（D） b<c<a1log 2 x ，在以下区间中，函数 f ( x) 有零点的是（）3、已知函数 f (x)x（A） 0,1（B） 1,2（C） 2,4（D） 4,4、函数f ( x)log 1 ( x24) 的单一递加区间为（）2（A） 0,（B）,0（C） 2,（D）,25、已知定义在R 上的奇函数 f (x) 和偶函数g( x)知足 f ( x) g(x) a x a x2（ a>0，且 a1），若g(2) a ，则f 2 等于（）（A）2（B）15（C）17（D）a2 446、若函数 f ( x)2x , x 4,）f (x3), x则 f (log 2 3) 等于（4,（A）3（B）4（C）16（D）247、已知两个函数f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是会合1,2,3，其定义以下表：x123x123f ( x)231g (x)321则方程 g( f (x)) x 的解集是（）（A） 3（B）2（C）1（D）8、函数f x ln x 1的图像是（）9、函数 f (x)x | x | 1 在 m, n上的最小值为1，最大值为 2，则 n m 的最大4值为（）（A）5（B）5+2（C）3（D）2 222210、关于函数 f x，若关于随意的 x1, x2 , x3R ， f x1, f x2 , f x3为某一三角形的三边长，则称 f x为“可组成三角形的函数”．已知函数 f x e x t 是e x1“可组成三角形的函数”，则实数 t 的取值范围是（）（A）1,2（B） 0,1（ C） 1,2（D） 0, 2二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分。
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考试卷
杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考试物理试卷命题校对审核：高一备课组本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共40分)一．单项选择题：（每小题3分，共24分）1．下列关于质点的说法中，正确的是（）A．体积很小的物体都可看成质点B．当研究一列火车全部通过桥所需的时间时，因为火车上各点的运动状态相同，所以可以将火车视为质点C．不论物体的质量多大，只要物体的尺寸对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计，就可以看成质点D．只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看成质点2．以下关于重心及重力的说法中，正确的是（）A．一个物体放于水中称量时弹簧测力计的示数小于物体在空气中称量时弹簧测力计的示数，因此，物体在水中的重力小于在空气中的重力B．据G=mg可知，两个物体相比较，质量较大的物体的重力一定较大C．当物体放于水平面上时，重力方向垂直于水平面向下，当物体置于斜面上时，其重力方向垂直于斜面向下D．物体的形状改变后，其重心位置可能会改变3．如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置—时间(x t)图线。
由图可知（）A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先增加后减小D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大4．科技馆里有一个展品，该展品放在暗处，顶部有一个不断均匀向下喷射水滴的装置，在频闪光源的照射下，可以看到水滴好像静止在空中固定的位置不动，如图所示。
某同学为计算该装置喷射水滴的时间间隔，用最小刻度为毫米的刻度尺测量了空中几滴水间的距离，由此可计算出该装置喷射水滴的时间间隔为(g取10 m/s2) （）A.0.01 sB.0.02 sC.0.1 sD.0.2 s5．如图所示，物体B叠放在物体A上，A、B的质量均为m，且上、下表面均与斜面平行，它们以共同速度沿倾角为θ的固定斜面C匀速下滑，则（）A．A、B间没有静摩擦力B．A受到B的静摩擦力方向沿斜面向上C．A受到斜面的滑动摩擦力大小为2mgsin θD．A与B间的动摩擦因数μ=tan θ6．如图所示，以8m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2s将熄灭，此时汽车距离停车线18m．该车加速时最大加速度大小为2m/s2，减速时最大加速度大小为5m/s2．此路段允许行驶的最大速度为12.5m/s，下列说法中正确的有（）A．如果距停车线5m处减速，汽车能停在停车线处B．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线C ．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速D ．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车不可能通过停车线7．如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向75°角，且小球始终处于平衡状态，为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是( ) A ．0° B ．15° C ．30° D ．45°8．已知弓的顶部跨度为l ，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l ，发射时弦和箭可等效为如图所示的情景，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹住类似动滑轮的附加装置，将箭发射出去。
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杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学试卷命题:卞勇 校对:陆华兵 审核：孙惠华一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1 (B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1- 2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于(A) 1 (B)31 (C) 91 (D) 1813.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则(A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 4．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ） (A) ,24ππωϕ==(B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ== (D) 5,44ππωϕ==5.四边形ABCD 中,3,2,90===∠=∠︒AD AB ADC ABC(A) 5 (B) 5- (C) 1 (D) 1- 6．已知函数x a x y cos sin +=的图象关于直线x =35π对称,则函数x x a y cos sin +=的图象关于直线 （A ） x =3π对称 （B ）x =32π对称 （C ）x =611π对称 （D ）x =π对称7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的范围是 (A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9.已知:),3(),2,1(m OB OA =-=,若OB OA ⊥，则=m ;若OB OA //,则=m 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________11若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为12.)310(tan 40sin -︒︒=__________13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________14.已知:αππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______15.已知:c b a ,,都为单位．．向量,其中b a ,的夹角为32π,+__________ 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域. 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(Ⅱ)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (Ⅲ)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学答卷一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．9． __________ 10． 11．12． 13． 14． 15 ． 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+;(Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (III)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.2014学年第二学期杭州二中高一数学期中答案二、 选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．10． 23___6-__ 10． 2- 11． 212． 1- 1314． 6533-15 ． ]2,26[ 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝)62sin(π+x ...................3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．...............6分(II)由)3,4(ππ-∈x ,得)65,3(62πππ-∈+x , 故)(x f =)62sin(π+x 的值域为]1,23(-.........................10分 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．解:(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=，cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ． 整理得：tan C．所以sin C ＝630．................................5分 (Ⅱ)由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1) 对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b(舍去)．∴∆ABC 的面积为：S．......................................10分 18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.解:(Ⅰ)由:αβααβαβsin )cos(3])sin[(sin +=-+=展开 得到:αβααβαsin )cos(4cos )sin(+=+所以:αβαtan 4)tan(=+................................................4分(Ⅱ)由:αβαβαβαtan 4tan tan 1tan tan )tan(=-+=+ 化简得:43tan 1tan 431tan 4tan 3tan 2≤+=+=ααααβ 所以:βtan 的最大值为43,当且仅当21tan =α时取到.............................................8分19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (III)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.解:(Ⅰ)因为:32)3045tan(75tan +=+=︒︒︒所以:bc a c b ︒=-+75tan )(22展开后得:bc c b a 3222-+=故A cos =23,即6π=A .............................4分 (II)由6,2π==A a ,得ABC ∆外接圆直径42=R ,且点A 在优弧上任意运动.由图:BC AD ⊥于点D ,设有向线段BD 长为x ,则BC BA ⋅=x 2 由图可知:]3,1[-∈x ,故]6,2[-∈⋅....................................................8分(III)设线段AC 中点为D,由图可知),21[+∞∈BD 由极化恒等式:BC BA ⋅=]4[41])()[(412222-=--+=12-BD 所以:),43[+∞-∈⋅.........................................12分。
2016年浙江省杭州市高一下学期人教A版数学期末测试试卷
2016年浙江省杭州市高一下学期人教A版数学期末测试试卷一、选择题（共15小题；共75分）1. 设集合M=0,1,2，则 A. 1∈MB. 2∉MC. 3∈MD. 0∈M2. 若关于x的不等式mx−2>0的解集是x x>2，则实数m等于 A. −1B. −2C. 1D. 23. cos150∘的值等于 A. 32B. 12C. −12D. −324. 函数f x=ln2的定义域是 A. −1,1B. −1,1C. −1,1D. −1,15. 若3x=2，则x= A. lg3−lg2B. lg2−lg3C. lg3lg2D. lg2lg36. 已知向量a=1,−2，b=1,1，m=a−b，n=a+λb，如果m⊥n，那么实数λ= A. 4B. 3C. 2D. 17. 设x0为方程2x+x=8的解．若x0∈n,n+1n∈N∗，则n的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 为了得到y=sin2x−π6的图象，只需要将y=sin2x+π3A. 向左平移π2个单位 B. 向右平移π2个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位9. 向量a，b满足a=1，b=2， a+b⊥2a−b，则向量a，b的夹角为 A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘10. 当−π2≤x≤π2时，函数f x=sin x+3cos x的 A. 最大值是1，最小值是−1B. 最大值是1，最小值是−12C. 最大值是2，最小值是−2D. 最大值是2，最小值是−111. 若a>0且a≠1，则函数y=a x与y=log a−x的图象可能是 A. B.C. D.12. 设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若aGA+bGB+cGC=0，则△ABC的形状是 A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形13. 若不等式sin2x−a sin x+2≥0对任意的x∈0,π2恒成立，则实数a的最大值是 A. 22B. 2C. 2D. 314. 函数f x=1+x+1−x+21−x2+1的值域是 A. 2+8B. 2++∞C. 2,+∞D. 2+415. 若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若OM=22，则MA+MB+MC的最大值是 A. +1B. +2C. 322+1 D. 322+2二、填空题（共8小题；共40分）16. 若集合A=x x2−x≥0，则A=；∁R A=．17. 若10x=2，10y=3，则103x−y=．18. 若扇形的半径为π，圆心角为120∘，则该扇形的弧长等于；面积等于．19. 函数f x=cos2x−sin2x+2sin x cos x x∈R的最小正周期为，单调递减区间为．20. 设α,β∈0,π，sinα+β=513，tanα2=12，则tanα=，tanβ=．21. 在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则PA⋅PB−PA⋅BC的最小值为．22. 不等式lg x2+100≥2a+sin y对一切实数x，y均成立，则实数a的取值范围为．23. 函数f x=x2−ax+2a ln x+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为．三、解答题（共2小题；共26分）24. 在△ABC中，AB=c，AC=b．（1）若b=3，c=5，sin A=45，求BC；（2）若BC=2，AB与AC的夹角为π3，求△ABC外接圆的面积．25. 函数f x=log a3−ax a>0,a≠1．（1）当a=3时，求函数f x的定义域；（2）若g x=f x−log a3+ax，请判定g x的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f x在2,3递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A2. C3. D4. A5. D6. C7. B8. D 【解析】因为函数y=sin2x+π3=sin2 x+π6，函数y=sin2x−π6=sin2 x−π12，故把函数y=sin2x+π3的图象向右平移−π12−π6=π4个单位，可得y=sin2 x−π4+π3=sin2x−π6的图象．9. C 【解析】由题意，得 a+b⋅2a−b=0，所以2a2+a⋅b− b2=0．由a=1及b=2，得a⋅b=0，所以a，b的夹角为90∘．10. D【解析】由已知f x=2sin x+π3，因为−π6≤x+π3≤5π6，故−1≤f x≤2．11. B 12. B【解析】因为G是△ABC的重心，所以GA=−23×12AB+AC，GB=−13BA+BC，GC=−13CA+CB，又aGA+bGB+cGC=0，所以a−b AB+a−c AC+b−c BC=0，所以a−b=a−c=b−c，所以a=b=c．所以△ABC的形状是等边三角形．13. D 【解析】设t=sin x，因为x∈0,π2，所以t∈0,1，则不等式即为t2−at+2≥0在t∈0,1上恒成立，即a≤t2+2t =t+2t在t∈0,1恒成立，所以a≤3．14. A 【解析】f x的定义域为−1,1．设1+x+1−x=t，则2+22=t2．因为−1≤x≤1，所以0≤1−x2≤1，0≤1−x2≤1，所以2≤t2≤4，所以2≤t≤2，且1−x2+1=12t2，设y=f x，所以y=12t2t+2=12t3+t2，所以yʹ=32t2+2t，令yʹ=0得t=−43或0，所以y=12t3+t2在2上单调递增，所以t=2时，y取最小值2+2，t=2时，y取最大值8．所以2+2≤y≤8，所以原函数的值域为2+2,8．15. C【解析】设直角三角形的斜边为AC，因为直角△ABC内接于单位圆O，所以O是AC的中点，所以MA+MB+MC=2MO+MB=3MO+OB，所以当MO和OB同向时，3MO+OB取得最大值3MO+OB=322+1．第二部分16. −∞,0∪1,+∞，0,117. 8318. 2π23，13π319. π， kπ+π8,kπ+5π8k∈Z20. 43，−631621. 122. −∞,0【解析】不等式lg x2+100≥2a+sin y对一切实数x，y均成立，所以2a≤lg x2+100−sin y，令z=lg x2+100−sin y，则z≥lg100−1=1，所以2a≤1，解得a≤0，则实数a的取值范围为−∞,0．23. −13,0【解析】函数的定义域为−1,+∞，设g x=x2−ax+2a，若−1<x<0，ln x+1<0，此时要求g x在−1<x<0经过二、三象限，即此时g0=2a<0,g−1=1+a+2a>0,即a<0,a>−13,此时−13<a<0，当x=0时，f0=0，此时函数图象过原点，当x>0时，ln x+1>0，此时要求g x经过一、四象限，即x>0时，x2−ax+2a<0有解，即a x−2<x2有解，当x=2时，不等式等价为0<4，显然成立，当0<x<2时，a>x 2x−2．因为此时x 2x−2<0，所以此时a<0，当x>2时，不等式等价为a<x 2x−2，因为x2=x−22+4x−2+4=x−2+4+4≥4+2x−2⋅4=4+2×2=4+4=8,所以若a<x 2x−2有解，则a>8，即当x>0时，a<0或a>8，综上，a−13<a<0∩ a a<0或a>8= a−1<a<0= −1,0.第三部分24. （1）在△ABC中，因为sin A=45,所以cos A=±35．由余弦定理得BC2=a2=b2+c2−2bc cos A=9+25±18．所以a2=16或52．所以BC=4或213．（2）由题意可知A=π3，a=2．由正弦定理得asin A=2R，所以R=233．所以△ABC的外接圆的面积S=π×2332=4π3．25. （1）由题意：f x=log33−3x，所以3−3x>0，即x<1，所以函数f x的定义域为−∞,1．（2）易知g x=log a3−ax−log a3+ax，因为3−ax>0，且3+ax>0，所以−3a <x<3ag x的定义域关于原点对称，又因为g x=log a3−ax−log a3+ax=log a3−ax3+ax，所以g−x=log a3+ax3−ax =−log a3−ax3+ax=−g x，所以g x为奇函数．（3）令u=3−ax，因为a>0，a≠1，所以u=3−ax在2,3上单调递减，又因为函数f x在2,3递增，所以0<a<1，又因为函数f x在2,3的最大值为1，所以f3=1，即f3=log a3−3a=1，所以a=34．。
(超值)杭州二中年高一下期中考试数学试卷及答案
杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学试卷命题:卞勇 校对:陆华兵 审核：孙惠华一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1 (B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1- 2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于(A) 1 (B)31 (C) 91 (D) 1813.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则(A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 4．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ）(A) ,24ππωϕ== (B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ== (D) 5,44ππωϕ==5.四边形ABCD 中,,2,90==∠=∠︒AD AB ADC ABC (A) 5 (B) 5- (C) 1 (D) 1- 6．已知函数x a x y cos sin +=的图象关于直线x =35π对称,则函数x x a y cos sin +=的图象关于直线 （A ） x =3π对称 （B ）x =32π对称 （C ）x =611π对称 （D ）x =π对称 7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的范围是(A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9.已知:),3(),2,1(m =-=,若⊥，则=m ;若//,则=m 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________11若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为 12.)310(tan 40sin -︒︒=__________13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________14.已知:αππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______15.已知:,,都为单位向量,其中,的夹角为2π,+__________三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域. 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22 (Ⅰ)求A cos 的值；(Ⅱ)若2=a ,求⋅的取值范围; (Ⅲ)若2=b ,求BC BA ⋅的取值范围.杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学答卷一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 9．__________ 10． 11．12． 13． 14． 15 ． 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+;(Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围.二、 选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 2310．___6-10． 2- 11． 212． 1- 13． 6533- 15 ． ]2,26[ 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝)62sin(π+x ...................3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．...............6分(II)由)3,4(ππ-∈x ,得)65,3(62πππ-∈+x , 故)(x f =)62sin(π+x 的值域为]1,23(-.........................10分 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos == (Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．解:(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A =，C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A cos C ＋23sin C ． 整理得：tan C ．所以sin C ＝630．................................5分 (Ⅱ)由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1) 对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b (舍去)．∴∆ABC 的面积为：S．......................................10分 18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.解:(Ⅰ)由:αβααβαβsin )cos(3])sin[(sin +=-+=展开 得到:αβααβαsin )cos(4cos )sin(+=+所以:αβαtan 4)tan(=+................................................4分(Ⅱ)由:αβαβαβαtan 4tan tan 1tan tan )tan(=-+=+ 化简得:43tan 1tan 431tan 4tan 3tan 2≤+=+=ααααβ 所以:βtan 的最大值为43,当且仅当21tan =α时取到.............................................8分19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22 (Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围.解:(Ⅰ)因为:32)3045tan(75tan +=+=︒︒︒所以:bc a c b ︒=-+75tan )(22展开后得:bc c b a 3222-+=故A cos =23,即6π=A .............................4分 (II)由6,2π==A a ,得ABC ∆外接圆直径42=R ,且点A 在优弧上任意运动.由图:BC AD ⊥于点D ,设有向线段BD 长为x ,则⋅=x 2 由图可知:]3,1[-∈x ,故]6,2[-∈⋅BC BA....................................................8分 (III)设线段AC 中点为D,由图可知),21[+∞∈BD由极化恒等式:⋅=]4[41])()[(412222-=--+=12-BD所以:),43[+∞-∈⋅BC BA.........................................12分。
浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷
浙江省杭州二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷杭州二中2015学年第一学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（ ） （A ）{}1 （B ）{}2 （C ）{}0,1 （D ）{}1,22、已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） （A ）a<b<c （B ）c<a<b （C ）a<c<b （D ）b<c<a3、已知函数x x x f 2log 1)(-=，在下列区间中，函数()f x 有零点的是（ ）（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞ 4、函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为（ ）（A ）()0,+∞ （B ）(),0-∞ （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞- 5、已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+ （a>0，且a ≠ 1），若(2)g a = ，则()2f 等于（ ） （A ）2 （B ）154 （C ）174（D ）2a 6、若函数2,4,()(3),4,x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f 等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）16 （D ）247、已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3 ，其定义如下表：则方程(())g f x x =的解集是（ ）（A ）{}3 （B ）{}2 （C ）{}1 （D ）∅8、函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像是（）三、解答题:本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016年浙江省杭州二中高二下学期数学期中考试试卷
2016年浙江省杭州二中高二下学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 空间中，与向量a=3,0,4同向共线的单位向量e为 A. e=1,0,1B. e=1,0,1或e=−1,0,−1C. e=35,0,45D. e=35,0,45或e= −35,0,−452. 函数y=2x+cos x，则yʹ等于 A. 2+cos xB. 2−sin xC. 2+sin xD. 2x+sin x3. “函数y=x3+3ax在x=1处的切线的斜率为6”是“直线x+y=0和直线x−ay=0互相垂直”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器−−三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A0,0,0，B0,4,0，C4,4,0，D0,0,2，则此三节棍体外接球的表面积是 A. 36πB. 24πC. 18πD. 12π5. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确保点M与点A，B，C共面的是 A. OM=OA+OB+OCB. OM=2OA−OB−OCC. OM=OA+12OB+13OC D. OM=16OA+13OB+12OC6. 已知空间四面体D−ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则FE⋅DC等于A. 14B. −14C. 34D. −347. 若点P是函数f x=x2−ln x上任意一点，则点P到直线x−y−2=0的最小距离为 A. 2B. 22C. 12D. 38. 在下列三个说法中：①已知A，B，C，D是空间的任意四点，则AB+BC+CD+DA=0；②若 a,b,c为空间的一组基底，则 a+b,b+c,c+a也构成空间的一组基底；③ a⋅b⋅c=a⋅b⋅c．其中正确说法的个数是 A. 3B. 2C. 1D. 09. 路灯距地平面为8 m，一个身高为1.6 m的人以2 m/s的速率在地平面上，从路灯在地平面上射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为 A. 720 m/s B. 724m/s C. 722m/s D. 12m/s10. 已知函数f x=a sin x+b cos x⋅e−x在x=π6处有极值，则函数y=a sin x+b cos x的图象可能是 A. B.C. D.二、填空题（共7小题；共35分）11. 设A3,4,1，B1,0,5，C0,1,0，则AB中点M到点C距离为．12. 已知函数f x=ax3+x2a∈R在x=−43处取得极值，则a的值为．13. 若a=1,λ,2，b=2,−1,1，a与b的夹角为60∘，则λ的值为．14. 如图，函数y=f x的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则f5+f′5=．15. 已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而c=13，c⋅a=3，c⋅b=4，则对于任意实数t1，t2，则c−t1a−t2b的最小值是．16. 若不等式x3−2x log a x≤0在x∈0,22恒成立，则实数a的最小值为．17. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为1，2．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为x0,y0,z0，若x0=1，则y0=，z0=，且顶点D到平面α的距离是．三、解答题（共4小题；共52分）．18. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=12（1）求证：B1D⊥平面D1AC；（2）求异面直线D1O与A1D所成角的余弦值；（3）求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．19. 已知函数f x=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，（1）若y=f x在原点处的切线的斜率为−3，求f x的解析式和极值；使得f m+f n<（2）若f x在x=1处取得的是极小值，问是否存在实数m,n,t∈1,32f t成立，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．20. 如图，在三棱锥P−ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90∘，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点．（1）证明：直线QK∥平面PAC；（2）若PA=AB=BC，求二面角Q−AN−M的平面角的余弦值．21. 已知函数f x=a ln x−12x2+12a∈R且a≠0．（1）求f x的单调区间；（2）是否存在实数a，使得对任意的x∈1,+∞，都有f x≤0?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. B3. C4. A 【解析】由题意，可补成长方体，同一顶点的三条棱长分别为2，4，4，其对角线长为4+16+16=6，所以三节棍体外接球的半径为3，所以三节棍体外接球的表面积是4π×32=36π．5. D【解析】因为A，B，C三点不共线，所以由共面向量定理可得：对平面ABC外的任一点O，存在唯一一对实数λ，μ，使得AM=λAB+μAC，化为OM=1−λ−μOA+λOB+μOC，所以1−λ−μ+λ+μ=1．据此可判定，只有 D 满足条件．6. A 【解析】由已知条件得：EF∥BD，且EF=12BD，所以FE=12DB；所以FE⋅DC=12DB⋅DC=14．7. A 【解析】点P是曲线f x=x2−ln x上任意一点，当过点P的切线和直线x−y−2=0平行时，点P到直线x−y−2=0的距离最小．直线x−y−2=0的斜率等于1，由f x=x2−ln x，得fʹx=2x−1x=1，解得：x=1或x=−12（舍去），故曲线f x=x2−ln x上和直线x−y−2=0平行的切线经过的切点坐标1,1，点1,1到直线x−y−2=0的距离等于2，故点P到直线x−y−2=0的最小距离为2．8. B 【解析】对于①，已知A，B，C，D是空间的任意四点，则AB+BC+CD+DA=AC+CD+ DA=AD+DA=0，故①正确；对于②，若 a,b,c为空间的一组基底，则a，b，c不共面，所以a+b，b+c，c+a不共面，则a+b,b+c,c+a也构成空间的一组基底，故②正确；对于③， a⋅b⋅c是向量，而a⋅b⋅c是数，所以 a⋅b⋅c≠a⋅b⋅c，故③错误．所以正确说法的个数是2个．9. D 【解析】如图：设人的高度CD，则CD=1.6，人的影子长DE=ℎ，由直角三角形相似得1.68=ℎℎ+2t，解得ℎ=12t，所以ℎʹ=12m/s．10. A【解析】因为fʹx=a cos x−b sin x⋅e−x−a sin x+b cos x⋅e−x=e−x a−b cos x−a+b sin x,又因为f x=a sin x+b cos x⋅e−x在x=π6处有极值，所以fʹπ6=e−π6a−b cosπ6−a+b sinπ6=0，整理得a=33−1，代入y=a sin x+b cos x后得y=b 2+sin x+cos x , ⋯⋯①所以yʹ=b 2+3cos x−sin x , ⋯⋯②，对于A项，因为f0<0，所以b<0，此时将x=π6分别代入①②，经计算fπ6<0，fʹπ6<0，与图象相符，所以A选项符合题意；对于B项，因为f0>0，所以b>0，此时将x=π6分别代入①②，经计算fʹπ6>0，与图象在x=π6处是减函数不符，所以B选项不符合题意；对于C项，因为f0<0，所以b<0，此时将x=π6分别代入①②，经计算fʹπ6<0，与图象在x=π6处是增函数不符，所以C选项不符合题意；对于D项，因为f0<0，所以b<0，此时将x=π6代入①，经计算fπ6<0，与图象不符，所以D选项不符合题意．第二部分11. 1412. 1213. 1或−1714. 2【解析】根据图象，切点为P5,3，切线的斜率为k=−1，所以f5=3，fʹ5=−1．15. 12【解析】因为a，b是两个相互垂直的单位向量，而c=13，c⋅a=3，c⋅b=4，所以c−t1a−t2b2=c2+t12a2+t22b2−2t1a⋅c−2t2c⋅b+2t1t2a⋅b=169+t12+t22−6t1−8t2=t1−32+t2−42+144.所以当t1=3，t2=4时取最小值144，所以c−t1a−t2b的最小值为12．16. 14【解析】x3−2x log a x≤0，即x x2−2log a x≤0，由题意得x2≤2log a x在x∈0,22恒成立，即当x∈0,22时，函数y=x2的图象不在y=2log a x图象的上方，由两函数的图象（图略）知0<a<1且2log a22≥12，解得14≤a<1．17. 2，6，6【解析】如图所示，连接BC，CD，BD，则四面体A−BCD为直角四面体；作平面α的法线AH，交平面BCD于点H，作BB1⊥平面α于B1，CC1⊥平面α于C1，DD1⊥平面α于D1；连接AB1，AC1，AD1，令AH=ℎ，AB=a，AC=b，AD=c，由等体积可得1ℎ=1a+1b+1c，所以ℎ2a2+ℎ2b2+ℎ2c2=1，令∠BAB1=α，∠CAC1=γ，∠DAD1=β，可得sin2α+sin2β+sin2γ=1，设DD1=m，因为BB1=1，CC1=2，所以132+232+m32=1，解得m=6；即所求点D到平面α的距离为6 . 又α的法向量为n=x0,y0,z0= ℎcos π−α ,ℎcosπ−γ ,ℎcosπ−β=ℎsinα,ℎsinγ,ℎsinβ,由ℎsinα=1，得ℎsinγ=，ℎsinβ=；所以n=1,2,6．第三部分18. （1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz．则D0,0,0，C0,2,0，A2,0,0，B12,2,2，D10,0,2，所以AD1=−2,0,2，AC=−2,2,0，B1D=−2,−2,−2，因为AD1⋅B1D=4+0−4=0，AC⋅B1D=4−4+0=0，又AC与AD1交于A点，AD1⊥B1D，AC⊥B1D，AC⊂平面D1AC，AD1⊂平面D1AC，所以B1D⊥平面D1AC．（2）设A1D与D1O所成的角为θ．D10,0,2，O1,1,0，A12,0,2．所以A1D=−2,0,−2，D1O=1,1,−2．所以cosθ= A1D⋅D1OA1D ⋅ D1O =22×6=36．所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为36．（3）设平面AEC与直线D1O所成的角为φ．设平面AEC的法向量为n=x,y,z．E2,2,32，C0,2,0，A2,0,0，AE=0,2,32，EC= −2,0,−32．n⋅AE=0, n⋅EC=0解得x=−34z,y=−34z,令z=1，则x=−34，y=−34．所以n= −34,−34,1．所以sinφ=cos⟨n,D1O⟩= n ⋅D1On ⋅ D1O =75151．所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为75151．19. （1）fʹx=3x2+2ax+b，由题可得f0=0,fʹ1=0,fʹ0=−3即c=0,3+2a+b=0,b=−3,解得a=0，b=−3，c=0，所以f x=x3−3x且f x的极大值为f−1=2，极小值为f1=−2．（2）由题得c=0,3+2a+b=0得b=−2a−3，所以f x=x3+ax2−2a+3x，fʹx=3x2+2ax−2a+3=x−13x+2a+3，因为f x在x=1处取得的是极小值，则可得−2a+33<1，解得a>−3，且f x在1,32上单调递增，要想存在实数m,n,t∈1,32使得f m+f n<f t成立，则只需2f1<f32，2−2−a<−34a−98解得a>−2310，所以a>−2310．20. （1）连接QM，因为点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，所以QM∥PA，MN∥AC，QM∥平面PAC，MN∥平面PAC．因为MN∩QM=M，所以平面QMN∥平面PAC，又QK⊂平面QMN，所以QK∥平面PAC．（2）以B为原点，以BC，BA所在的直线为x轴y轴建空间直角坐标系，设PA=AB=BC=2，则A0,2,0，M0,1,0，N1,0,0，P0,2,2，Q0,1,1，AQ=0,−1,1，AN=1,−2,0，记n=x,y,z为平面AQN的一个法向量，则n⋅AQ=0,n⋅AN=0即y=z,x−2y=0.取y=z=1，则x=2，n=2,1,1，又平面ANM的一个法向量m=0,0,1，所以cosθ=m ⋅nm ⋅ n =2=66．21. （1）f x的定义域为0,+∞，求导函数可得fʹx=ax −x=−x2+ax，当a<0时，在区间0,+∞上，fʹx<0．所以f x的单调递减区间是0,+∞．当a>0时，令fʹx=0得x=a或x=−a（舍）．函数f x，fʹx随x的变化如下：x0,a a a,+∞fʹx+0−f x↗极大值↘所以f x的单调递增区间是0,a ，单调递减区间是a,+∞ ．综上所述，当a<0时，f x的单调递减区间是0,+∞；当a>0时，f x的单调递增区间是0,a ，单调递减区间是a,+∞ ．（2）由（Ⅰ）可知：当a<0时，f x在1,+∞上单调递减，所以f x在1,+∞上的最大值为f1=0，即对任意的x∈1,+∞，都有f x≤0．当a>0时，①当a≤1，即0<a≤1时，f x在1,+∞上单调递减，所以f x在1,+∞上的最大值为f1=0，即对任意的x∈1,+∞，都有f x≤0．②当a>1，即a>1时，f x在1,a 上单调递增，所以f a >f1．又f1=0，所以f a >0，与对于任意的x∈1,+∞，都有f x≤0矛盾．综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是−∞,0∪0,1．。
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．角α的始边在x 轴正半轴、终边过点)P y ，且21cos =α，则y 的值为（ ） A. 3± B. 1 C. 3 D.1±【答案】A 【解析】试题分析：设点P 到原点的距离为r ，则r =22131cos 93234x y y r y α===⇒=⇒=⇒=±+，故选A. 考点：任意角的三角函数.2．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-则2a 等于（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A 【解析】试题分析：法一：依条件可知，当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n =时，2222S a =-即12222a a a +=-，也就是2124a a =+=，故选A ；法二：当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-即122n n n a a -=-，也就是12n n a a -=，而首项12a =，所以该数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可得*2()n n a n N =∈,所以24a =，故选A.考点：1.数列的前n 项和与数列的通项公式的关系；2.等比数列的通项公式.3．已知tan 2,x =则212sin x +=（ ）A ．53 B ．73 C ．94 D ．135【答案】D 【解析】试题分析：法一：由sin tan 2cos xx x==可得sin 2cos x x =，又因为22sin cos 1x x +=，从而224cos cos 1x x +=即21cos 5x =，所以224sin 4cos 5x x ==，所以241312s i n 1255x +=+⨯=，故选D ；法二：22222222sin tan 21312sin 121212sin cos tan 1215x x x x x x +=+⨯=+⨯=+⨯=+++，故选D.考点：同角三角函数的基本关系式.4．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =（ ）A ．4-B ．4±C ．22-D ．± 【答案】C 【解析】试题分析：记该数列为{}n a ，并设该等比数列的公比为q ，则有151,2a a =-=-，所以444251212a a q q q q =⇒-=-⨯⇒=⇒=所以232332341111()(xyz a a a a q a q a q a q ==⨯⨯===- C. 考点：等比数列的通项公式. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A 【解析】试题分析：法一：设该等差数列的公差为d ，则有1(1)11(1)n a a n d n d =+-=-+-，所以由564a a +=-可得114115d d d -+-+=-⇒=，所以1(1)213n a a n d n =+-=-，所以该等差数列为单调递增数列且6712131,14131a a =-=-=-=，从而可确定当6n =时，n S 取得最小值，故选A ；法二：同方法一求出1(1)213n a a n d n =+-=-，进而可得21()(11213)1222n n n a a n n S n n +-+-===- 2(6)36n =--，所以当6n =时n S 取得最小值，故选A.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.6．若D ABC 的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则D ABC （ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理，由条件6s i n 4s i n 3s i n A B C ==可得643a b c ==，设64312(0)a b c k k ===>，则2,3,a k bk c k ===，由余弦定理可得222222249161cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，而(0,)C π∈,所以C 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形，故选C.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.7．在D ABC 中，(cos18,cos72)AB =︒︒，(2cos63,2cos27)BC =︒︒，则D ABC 面积为（ ） A ．42 B ．22 C ．23 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：依题意可得||cos 1AB ===，||4cos 2BC ===2cos18cos632cos72cos 27cos 12||||||||BA BC AB BC B BA BC AB BC ⋅⋅︒︒+︒︒==-=-⨯⋅⋅(cos18sin 27sin18cos 27)cos 45=-︒︒+︒︒=-︒=因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，sin 2B ===所以11||||sin 122222ABC S AB BC B ∆==⨯⨯⨯=，故选B. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的数量积；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.8．在ABC ∆中，已知30=== a b A ，则在ABC ∆中，c 等于（ ）A.52B. 5C. 552或D. 以上都不对【答案】C 【解析】试题分析：法一：根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即2515cos30c =+-⨯︒也就是2100c -+=，所以(0c c -=，所以c =c =C ；法二：由正弦定理可得sin sin a b A B =sin B =⇒=，因为(0,)B π∈且b a >即B A >，所以60B =︒或120B =︒，当60B =︒时，180306090C =︒-︒-︒=︒，此时22220c a b c =+=⇒=120B =︒时，1803012030C =︒-︒-︒=︒，此时ABC ∆以AC 为底边的等腰三角形，此时c a == C.由上述法一与法二两种方法比较，当知道三角形的两边及其中一边的对角时，若求第三条边，选择余弦定理较好，若要求角，则选择正弦定理较好. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.9．在D ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列 【答案】D 【解析】试题分析：因为()B A C π=-+，所以cos cos[()]cos()B A C A C π=-+=-+，且由二倍角公式可得21cos 22sin B B -=，所以c o s 2c o s c o s (B B A C ++-=可化为cos()cos()1cos 2A C A C B--+=-即2cos cos sin sin (cos cos sin sin )2sin A C A C A C A C B+--=也就是2s in s i n s i n A C B =，根据正弦定理可得2a bac b b c=⇒=，所以,,a b c 成等比数列，选D. 考点：1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.10．将偶数按如图所示的规律排列下去，且用mn a 表示位于从上到下第m 行，从左到右n 列的数，比如22436,18a a ==，若2014mn a =，则有（ ）A.44,16m n ==B.44,29m n ==C.45,16m n ==D.45,29m n ==【答案】D 【解析】 试题分析：从图中可以观察到，第一行有一个偶数，第二行有2个偶数，第三行有3个偶数， ，第m 行有m 个偶数，所以前m 行共有(1)2m m+个偶数；又因为2014是从2开始的第1007个偶数，又因为444545469901007103522⨯⨯=<<=（这里并没有使用求解不等式1007m S ≥成立的最小正整数m 进行确定m ，而是采用了简单二分法估算，如100722014⨯=，2240201450<<，进而22402014202545<<= ，从而确定224419362014202545=<<=，所以得到上面的不等式，或者根据选项中的数据直接确定上面的不等式也是一个明智的选择），所以可以确定2014在第45行，到44行时，总共才990个偶数，需要在第45行再找17个偶数，在第45行中是从中往左摆放偶数的，故2014处在从中往左算第17个偶数，从左往右算是第4517129-+=个数，所以45,29m n ==，故选D.考点：1.等差数列的前n 项和；2.估算法.二、填空题11．在等差数列}{n a 中，13,2521=+=a a a ，则=++765a a a . 【答案】33 【解析】试题分析：设该等差数列的公差为d，则依题意有25111425451359a a a d a d a d d d +=+++=+=+=⇒=，所以5671111(4)(5)(6)315323933a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯+⨯=.考点：等差数列的通项公式.12．tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒= . 【答案】1 【解析】试题分析：根据两角和的正切公式可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，所以tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒tan3tan 27tan 27)tan3tan 27(1tan3tan 27)=︒︒+︒=︒︒-︒︒ tan 3tan 271tan 3tan 271=︒︒+-︒︒=.考点：两角和的正切公式.13．设当x θ=时，函数x x x f cos 2sin )(+=取得最大值，则cos θ= .【答案】552 【解析】 试题分析：因为()sin 2cos ))f x x x x x x x =+==，设sin 55ϕϕ==02πϕ<<，则())f x x ϕ+，当()f x取得最大值sin()1x ϕ+=，依题中条件得到sin()1θϕ+=，所以2,2k k Z πθϕπ+=+∈，从而可得2,2k k Z πθπϕ=+-∈，所以cos cos(2)sin 25k πθπϕϕ=+-==. 考点：1.三角函数的辅助角公式；2.诱导公式. 14．对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“蕙兰”值，现知数列{}n a 的“蕙兰”值为1n H n=，则数列{}n a 的通项公式为n a = . 【答案】1=2n a n- 【解析】试题分析：依题中条件可得123123n n a a a na n=+++⋯+即212323n a a a na n +++⋯+=①所以当2n ≥时，2123123(1)(1)n a a a n a n -+++⋯+-=- ②将①-②可得221(1)212(2)n n na n n n a n n=--=-⇒=-≥，当当1n =时，11a =，也满足此通项，所以*12()n a n N n=-∈. 考点：1.新定义；2.数列的通项公式. 15．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为 .【答案】50【解析】试题分析：因为(0,)2πα∈，所以2(,)663πππα+∈，所以s i n ()06πα+>，由4c o s ()65πα+=可得3s i n ()1655πα+===，从而可得24sin 2()2sin()cos()66625πππααα+=++=，2327cos 2()2cos ()11662525ππαα+=+-=-=，所以sin(2)sin[2()]1264πππαα+=+-247sin 2()cos cos 2()sin 646425225250ππππαα=+-+=⨯-⨯=考点：1.二倍角公式；2.两角和差公式. 16．若数列{}n a 满足),4,3,2(,11,211 =-==-n a a a n n ，且有一个形如()12n a n ωϕ=++的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .【答案】23π；0 【解析】试题分析：根据递推关系式1112,,(2,3,4,)1n n a a n a -===-可得234112311111,,21121a a a a a a a ==-=====---，所以该数列{}n a 是周期数列，周期为3T =，又因为()1s i n2n a n ωϕ=++是该数列的一个通项公式，所以2233T ππωω==⇒=，又因为当1n =时，1212sin()2sin()3232aππϕϕ=++=⇒+=，因为27||222636ππππππϕϕϕ<⇒-<<⇒<+<，所以由2sin()3πϕ+=可得2233ππϕ+=或233ππϕ+=，进而可得0ϕ=或3πϕ=-；当3πϕ=-时，21332na nππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，此时当2n=时，2211sin(2)13322aππ=⨯-+=≠-，不符合题意，舍去；当0ϕ=时，2132na nπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，此时1,2,3n=时，分别得到12312,1,2a a a==-=，满足题意，综上可知23πω=，0ϕ=.考点：1.数列的周期性；2.三角函数的图像与性质.17．各项均为正数的等比数列{}na中，811=a，12...8(2,)mma a a m m N+⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的1-m项之积为1m-，则被抽掉的是第项.【答案】13【解析】试题分析：设该等比数列的公比为q，则依题意可得(1)01231212311()88m mm m m mma a a a a q q-+++++-===4(1)21288m mm mq q--⇒=⇒=，假设从中抽掉的是第k项，则有555(1)11123666818888m mmmm kmkk ka a a aa qa a++---===⇒=⇒⋅⇒11168mkq+-=，所以4(1)111164(1)11(1)(11)8811624k mk mk m m mq km-+---+-+==⇒=⇒-=-，因为*1,3,k m k m N≥≥∈、首先k m≤，进而得到(1)(11)1111241324m mk m m m-+-=≤-⇒+≤⇒≤，故用穷举法13,12,,4,3m =进行检验，最后可确定13,13m k==使得等式成立，其余均不成立，所以13,13m k==.考点：等比数列的通项公式.三、解答题18．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S 且171,84395-=-=+S a a . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)求数列}{12+m a 的前m 项和m T ，并求m T 的最小值.【答案】（1）633-=n a n ；（2）当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-. 【解析】试题分析：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，进而根据条件列出方程组112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，从中求解得到1a 与d ，进而可以写出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）中结论可得21660m a m +=-，法一：进而根据等差数列的通项公式求出该数列的前m 项和m T ，再由二次函数的图像与性质即可求得m T 的最小值；法二：也可以由216600m a m +=- 得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常，所有这些非正数相加，当然是达到m T 的最小值.（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，由已知可得5932843171a a S a ìï+=-ïíï==-ïî即112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得⎩⎨⎧=-=3601d a ，所以633-=n a n（2）法一：由（1）可得21660m a m +=-，则由等差数列的前n 项和公式可得222219193573193324m T m m m m m ()()=-=-=--因为m 为整数，根据二次函数的图像与性质可知：当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-法二：由（1）可得21660m a m +=-，所以该数列是单调递增数列，令216600m a m +=- ，解得10m £所以当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.二次函数的图像与性质.19．已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2222()cos cos-=-Bb c A a a .(1)求角A 的值； (2)若3=a ，则求cb +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）b c +∈.【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将等式2222Bb c A a a ()cos cos-=-中的边换成角，进而根据余弦的二倍角公式、两角和与差公式进行化简得到2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，进而得到1cos 2A =，结合A 角的范围即可得到A 的值；（2）根据正弦定理，将边转化成角即2(sin sin )b c B C +=+，进而根据三角形的内角和将其中的一个角换掉得到)6b c B π+=+，然后根据题中条件确定B 的取值范围：62B ππ<<，然后得到2363B πππ<+<，进而根据三角函数的性质得到b c +的取值范围.（1）根据正弦定理，可将2222Bb c A a a ()cos cos-=-转化为2(sin 2sin )cos sin (12cos )2BB C A A -=-，又由余弦的二倍角公式转化为 (sin 2sin )cos sin cos B C A A B -=- 2分2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C ⇒=+=+= 4分1cos 2A ⇒=，因为在锐角ABC ∆中，所以3A π= 5分 （2）由（1）与正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A === 所以2(sin sin )b c B C +=+ 6分2322326(sin sin())(sin cos ))B B B B B p p =+-=+=+8分因为022262363032B B B B ππππππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒<+<⎨⎪<-<⎪⎩所以sin()(62B b c π+∈⇒+∈ 10分. 考点：1.正弦定理；2.两角和差公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质.20．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得PN PM =，MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【答案】（1）三角形铁皮FMN 的面积为68+；（2）PMN 的面积的最大值为34+.【解析】试题分析：（1）先根据题中条件得出112OM AD ==，32MN OM MOD CD sin =?=，12BN OA OM MODcos =+?+，最后根据三角形的面积计算公式12FMNS M N B N D = 即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设,MODx ?，进而根据（1）中思路求出111111222FMN S MN BN x x x x x x (sin )(cos )(sin cos sin cos )D ==++=+++g ，到此用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令4sin cos )t x x x p=+=+，先确定t 的取值范围，进而得到212sin cos t x x -=，从而222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+，根据求出的t 的取值范围，结合二次函数的图像与性质即可确定FMN S D 的最大值. （1）由题意知11121222OM AD BC ===?313012sin sin sin MN OM MOD CD OM MOD AB \=?=?=窗+=11301cos cos BN OA OM MOD=+?+窗=+1131222FMN S MN BN (D \=?创+=，即三角形铁皮FMN 的面积为（2）设,M O D x ?则0,sin sin 1x MN OM x CD x π<<=+=+，1BN OM x OA x cos cos =+=+，111111222(sin )(cos )(sin cos sin cos )FMN S MN BN x x x x x x D \==++=+++g令4sin cos )t x x x p=+=+，由于302444x x ,p p pp <?+，则有14sin(),x p? 所以1t ＃且2212(sin cos )sin cos t x x x x =+=+，所以212sin cos t x x -=故222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+而函数2114()y t =+在区间1[,上单调递增故当t =时，y .考点：1.三角函数的实际应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.三角函数的图像与性质；4.二次函数的图像与性质.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有5个元素，求实数λ的取值范围.【答案】（1）12nn a n ()=；（2）335432λ<≤. 【解析】试题分析：（1）先将递推式变形为1112n na a n n+=+，进而判断数列{}n a n 为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出12nn a n ()=；（2）由（1）中12nn a n ()=，该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公式相乘，于是可用错位相减法求出n S ，进而得到22n nn n b ()+=，然后判断数列{}n b 的单调性，进而根据集合M 恰有5个元素，确定λ的取值范围即可. (1)由已知得1112n na a n n+=+，其中*n N Î 所以数列{}n a n是公比为12的等比数列，首项112a =12n na n ()\=，所以12n n a n ()=由（1）知231232222n n nS =++++L 所以2341112322222n n nS +=+++L 所以231111*********n n n S +=++++-L112122n n n S ++\=- 222n nn S +\=-因此22n nn n b ()+=，21111323222n n n n n n n n n n b b ()()()++++++-+-=-= 所以，当2110n b b ,=->即21b b >，120n n n b b ,+?<即1n n b b +<12345631533532282324b b b b b b ,,,,,======要使得集合M 有5个元素，实数λ的取值范围为335432λ<≤. 考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和；3.数列的单调性.。
杭州二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2015—2016学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2｝，N={x｜x2﹣3x+2≤0｝，则M∩N=( ）A．｛1｝B．{2} C．{0，1｝D．{1，2}2．已知a=log20.3，b=20。
1，c=0.21。
3,则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a3．已知函数f(x）=﹣log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A．（0,1） B．（1，2) C．（2,4）D．（4，+∞）4．函数的单调递增区间为（)A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．(2,+∞）D．(﹣∞，﹣2）5．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x)+g(x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1)，若g（2）=a，则f（2）=（) A．2 B．C．D．｛x∈R|﹣2＜x＜2}6．若函数f（x）=,则f（log23）=（）A．3 B．4 C．16 D．247．已知两个函数f(x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则方程g（f（x)）=x的解集为（）x123f（x)231x123g（x)321A．｛1} B．{2} C．{3｝D．∅8．函数的图象是（）A．B．C．D．9．函数f（x)=x（|x|﹣1）在［m，n］上的最小值为，最大值为2,则n﹣m的最大值为（）A．B．C． D．210．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长,则称f(x）为“可构造三角形函数”．已知函数f （x）=是“可构造三角形函数"，则实数t的取值范围是( ）A．［，2] B．[0,1] C．［1,2］D．[0，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．计算= ．12．函数y=的定义域为．13．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（)= ．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1﹣x)=f（1+x），且f（x)在［1，+∞)为递增函数,若不等式f（1﹣m)＜f（m）成立，则m的取值范围是．15．数f（x）为奇函数，= ．16．已知函数f(x）=，若函数y=2［f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点,则实数m的取值范围是．三。
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2016年浙江省杭州二中高一下学期数学期中考试试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在中，，，，则的面积是
A. B. C. 或 D. 或
2. 已知是边长为的正三角形的边上的动点，则
A. 最大值为
B. 是定值
C. 最小值为
D. 是定值
3. 数列满足，，则
A. B. C. D.
4. 平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点
，则
A. B. C. D.
5. 若，，，，则
A. B. C. D.
6. 在中，若，则的形状是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
7. 已知函数（，为常数，）在处取得最小值，则函数
的图象关于中心对称．
A. B. C. D.
8. 若，是锐角三角形的两个内角，则以下选项中正确的是
A. B. C. D.
9. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的
正整数的个数是
A. B. C. D.
10. 扇形中，，，其中是的中点，是上的动点（含端点），若
实数，满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
11. ．
12. 已知数列是等差数列，，，则．
13. 已知，且，，则．
14. 在中，为的外心，满足，则．
15. 已知中，两直角边分别为，，斜边和斜边上的高分别为，，则的取值范围
是．
16. 若正实数，，满足，，，则
．
三、解答题（共4小题；共52分）
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的值；
（2）若，边上中线，求的面积．
18. 己知等差数列，设其前项和为，满足，．
（1）求与；
（2）设，是数列的前项和，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19. 如图，某房产开发商计划在一正方形土地内建造一个三角形住宅区，在其余土地种植绿
化，住宅区形状为三角形，其中位于边上，位于边上．已知，，设，记绿化率面积
，若越大，则住宅区绿化越好．
正方形面积
（1）求关于的函数解析式；
（2）问当取何值时，有最大值?并求出的最大值．
20. 已知向量，，且．
（1）若，求的取值范围；
（2）函数，若对任意，恒有，求的取值范围．
答案
第一部分
1. D 【解析】由正弦定理知，
所以，
所以，，，或，，．
2. B
3. D
4. B 【解析】由于角的终边经过点，即，所以
，．所以．
5. C
【解析】因为，，
所以，，
所以，
，
所以
6. D 【解析】由正弦定理化简已知的等式得：，
所以，
所以，又和都为三角形的内角，
所以或，即或，故为等腰或直角三角形．
7. A 8. C 9. B 【解析】
当时，为正整数，即使得为整数的正整数的值只有个．
10. D
【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立直角坐标系，
，，，，，设，在圆上，
，
所以，
所以，，
设，，，
所以，，
，，
当时，的最大值为，
当在点时，，时取最小值为．
第二部分
11.
12. 或
13.
【解析】因为，且，
所以，
因为，
所以，
所以为钝角，
所以，
则
14.
【解析】设外接圆的半径为，为的外心，
且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
根据圆心角与同弧所对的圆周角的关系，如图所示：
所以中内角的值为．
15.
【解析】如图所示，
设，，，．
所以
因为，
所以，
所以，．
所以的取值范围是．
16.
【解析】由已知设，，，
则由，，，
得到，，，，
所以，，
所以，
所以．
第三部分
17. （1）由已知，由正弦定理得
，
即，
所以，可得．
（2），．令，则，
由余弦定理得，解得．
所以．
18. （1）因为，，
所以即得
则，．
（2）设，要使若对任意，恒成立，则只要若对任意，恒成立．
则，，，，，，，，
则，，，，．
则当时，，则当时，前四项和最大，此时，则由得，即实数的取值范围是．
19. （1）设正方形的边长为，在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
可得
面积
正方形面积
（2）由（）可得，，由，即时，取得最大值，且为．
则当取时，有最大值．
20. （1）因为，
，
所以，
所以，
即．
因为，
所以．
（2）
因为，
所以，，
又因为，
所以．。