湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2.设 x R ，则 “0 x 2 ”是 “x2 2x 3 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式 x2 2x 3 0
7
A.
25
7 B.
25
24
C.
25
【答案】 C
24
D.
25
【解析】 【分析】
首先根据向量夹角公式求出 cos 的值，然后求出 sin ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果 .
【详解】 cos
ab ab
∵0
，
3
3
，
15 5
三湘名校教育联盟 2019 年下学期高二期中考试试题
数学
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1.已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ， A 2,3,4,5 ，B 2,3,6,7 ，则 B CU A
A. 1,6
B. 1,7
C. 6,7
D. 1,6,7
【答案】 C
【解析】 【分析】先求Βιβλιοθήκη eU A ，再求 B eU A ．
【详解】由已知得 CU A 1,6,7 ，所以 B CU A {6,7} ，故选 C．
1 x 3 ，然后根据充分不必要条件即可判断 .
【详解】由 x2 2x 3 0 ，则 - 1 < x < 3 ， 可知 “0 x 2 ”是 “x2 2x 3 0 ”的充分不必要条件，
故选 A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题
.
3. 在等差数列 an 中 , a1 2, a3 a5 10 ，则 a7 （ ）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 14
【答案】 B
【解析】
试题分析：设等差数列
an 的公差为 d ，由题设知， 2a1 6d 10 ，所以， d 10 2a1 1 6
所以， a7 a1 6d 2 6 8
故选 B.
考点：等差数列通项公式 . 【此处有视频，请去附件查看】
4.已知向量 a ＝ (1， 0)， b ＝ (-3， 4)的夹角为 ，则 sin2 等于 ( )
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试文科数学试题
【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．函数()()πf x sin ωx φ(ω0,φ)2=+><的部分图象如图所示，则φ(= )A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3-6．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题7．已知命题1:p x R ∃∈，220x x --=；2:p x R ∀∈，222x x -+>，则在命题112:q p p ∧，212:()()q p p ⌝∨⌝，312:()q p p ⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ） A ．13,q qB ．24,q qC ．14,q qD ．23,q q8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( ) A ．f(x)=sin|2x| B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．在△ABC 中，D 是AB 的中点，H 是CD 的中点，若AH =λAB +μBC （x ，μ∈R），则λ+μ=（ ） A ．34B ．54C ．32D ．7410．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位11．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭12．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，3asinA bsinB csinC -=，则sinA 的最大值为( )A ．13B ．23C D二、填空题13．已知向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6S 3=4，则a 92a7a 8=______．15．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．16．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，1a 1=，2n n 2S a n -=，则101S 的值为______．三、解答题17．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a nan +1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)证明a12+a 23+⋯+a n n+1<1．18．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，角θ满足θ3sin25=-，θ4cos 25=，()OA 0,1=-． ()1求2019πtan θ2⎛⎫-⎪⎝⎭的值；()2若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，B 是其终边上一动点，求OA OB -的最小值．21．已知数列{b n }的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n }满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n+1}的前n 项和T n ． 22．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．A 【分析】先根据图象求周期，再求ω，代入π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭可求得πφ6=【详解】 解：由图可得T π512ω66==+， ωπ∴=，()()f x sin πx φ=+，πsin φ06⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，πφk π6-=，πφ6∴=．故选A ． 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 6．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．B 【解析】对于命题1p ，当0x =时，命题成立；1p 为真对于命题2p ，当0x =时，命题不成立.2p 为假. 所以()()212:q p p ⌝∨⌝，()412:q p p ∧⌝为真. 故选B. 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ；∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x=cos 2x−sin 2x cos 2x+sin 2x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．B 【分析】用AB ，AC 表示出AE ，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案． 【详解】∵D 为AB 中点，H 为CD 中点，()1111111+2224242AH AD AC AB AC AB AC AB BC AB （）⎛⎫=+=+=+=+ ⎪⎝⎭31=AB 42BC + 315,..424λμλμ∴==∴+=故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 10．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．C 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理，可求得222b c a cosA 2bc+-=，再利用均值不等式与同角基本关系可求sinA 的范围． 【详解】 解：3asinA bsinB csinC -=，由正弦定理可得，2223a b c -=，由余弦定理可得，()22222222b c b c a 1b c 23cosA 2bc 2bc 3bc 3++-+===⨯≥，则sinA 3=≤即最大值3， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角基本关系的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式． 13．π4 【解析】 【分析】利用向量的数量积，求解向量的夹角即可． 【详解】解：向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ,b ⃗ 的夹角余弦值cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b ⃗ |=√10×√5=√22． ∴θ=π4．故答案为：π4． 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 14．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q 3=1+q 3=4，解得q 3=3， ∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 15．415- 【解析】【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ，得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+． 故答案为415-． 【点睛】 本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．16．5151【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列相邻两项的和的关系，然后求解数列的和即可．【详解】解：数列{}n a 的前n 和为n S ，1a 1=，2n n 2S a n -=，2n 1n 12S a (n 1)---=-，两式相减可得n n 1a a 2n 1-+=-．()()()101123451001015049S a a a a a a a 1550451512⨯∴=+++++⋯++=+⨯+⨯=． 故答案为5151．【点睛】 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力，属于中档题．17．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)由已知递推式，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；(2)求得a n n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【详解】(1)证明：数列{a n }满足a 1=1，a n+1=an a n +1， 可得1a n+1=1a n +1， 即有数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 可得1a n =n ，即a n =1n ； (2)证明：a n n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，则a 12+a 23+⋯+a n n+1=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1 =1−1n+1<1．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18．（1）π3（2）20【解析】【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长．【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ，∵sinB >0，∴解得：cosC =12，∵C ∈(0,π)，∴C =π3， (2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40， ∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤.【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可； ()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20．（1）724-（2）725【解析】【分析】 ()1直接利用三角函数关系式的恒等变变换和诱导公式的运算求出结果；()2利用向量的线性运算和垂直的关系求出结果．【详解】()1角θ满足θ3sin 25=-，θ4cos 25=， 所以：θθ24sin θ2sin cos 2225=⋅=-．22θθ7cos θcos sin 2225=-=． 则：πsin θ2019ππcos θ72tan θtan θπ22sin θ24cos θ2⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-===- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭． ()2由于：OA OB AB -=，所以：当AB OB ⊥时，此时7AB OA sin AOB cos θ25∠===． 即：最小值为725． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，向量的相关的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．（1）a n=n+1,b n=2−b n−2+b n−1；（2）T n=3−(n+3)⋅(12)n.【解析】【分析】(1)由数列的递推式：n=1时，b1=S1，n≥2时，b n=S n−S n−1，化简计算可得b n；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到a n；(2)由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】(1)S n+b n=2，可得n=1时，b1=S1=2−b1，可得b1=1；n≥2时，b n=S n−S n−1=2−b n−2+b n−1，即有b n=12b n−1，可得b n=(12)n−1；等差数列{a n}的公差设为d，b1a2=3，b1+a5=7，即有a1+d=3，a1+4d=6，解得a1=2，d=1，可得a n=2+n−1=n+1；(2)T n=a1b2+a2b3+⋯+a n b n+1=2⋅12+3⋅(12)2+⋯+(n+1)⋅(12)n，1 2T n=2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(n+1)⋅(12)n+1，相减可得12T n=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n+1)⋅(12)n+1=1+14(1−12n−1)1−12−(n+1)⋅(12)n+1，化简可得T n=3−(n+3)⋅(12)n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．22．（1）单调递减区间为π5πkπ,kπ36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z∈，对称轴方程为()kππx k Z23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】 ()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果； ()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx 22=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈． ()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦ 结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】 函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质(1) max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_12
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P （0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1.若直线(1)10x a y +-+=与直线220ax y ++=垂直，则实数a 的值为 ▲ .2．方程22153x y k k +=-- 表示双曲线，则k 的范围是 ▲ ． 3．已知圆22(2)1x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ▲ ．4．过点()3,3的直线l 与圆()4222=+-y x 交于A 、B 两点，且32=AB ，则直线l 的方程是 ▲ ．5．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ▲ ． 6．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm ，高为3cm ，则该圆台的母线长为 ▲ cm ． 7．设b a ，为两条直线, βα，为两个平面,给出下列命题:①若,,a b a b αα⊥⊥//则 ②若,,a b a b αα////则// ③若,,a b b a αα⊥⊥则// ④若,,a a αβαβ⊥⊥则// 其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）8. 已知命题： ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂αm ，在“ ”处补上一个条件使其构成真命题（其中ml ,是直线，α是平面），这个条件是 ▲ .9．一个长方体各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 ▲ .10．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ .11．抛物线22(0)y px p =>上的点(4,)M y 到焦点F 的距离为5，O 为坐标原点，则OFM∆的面积为 ▲ ．12．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影为右焦点F ,若1132k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ．14．已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和l ∥m l ∥α11B C 的中点．（1）求证：11A D ∥平面1AB D ； （2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．16．（本题满分14分） 如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰 三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）如图，已知椭圆2212516x y +=的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．l ∥m18．（本题满分16分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？19．（本题满分16分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,5)A ，(8,3)B --，C 、D 在该椭圆上，直线CD 过原点O ，且在线段AB 的右下侧．（1）求椭圆G 的方程；（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．20．（本题满分16分）已知圆M 的圆心在直线260x y --=上，且过点(1,2)、(4,1)-．（第19 题） 11题）（1）求圆M 的方程；（2）设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：221x y +=引切线，切点为Q ．试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说 明理由．高二数学期中试卷答案一、填空题1．32; 2．),5()3,(+∞⋃-∞; 3． 13;4．3=y 或0334=--y x ; 5． 6．10; 7． ④; 8． α⊄l ; 9．;10、2231x y -=; 11． 2; 12．12(,)23;13、4 ; 14．8；二、解答题：15. （本题满分14分）（1）证明：连结1DD ， 在三棱锥111ABC A B C -中，1,D D 分别是11,BC B C 的中点， 1111//,B D BD B D BD ∴=，∴四边形11BB D D 为平行四边形，1111//,BB DD BB DD ∴= 1111//,AA BB AA BB =1111//,AA DD AA DD ∴=∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//A D AD ∴，11A D ⊄面1AB D ，AD ⊂ 面1AB D ，11//A D ∴面1AB D 。
2019-2020学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则（ ）A ．M N N =IB ．M N M ⋃=C ．M N ∈D ．M N ⊆【答案】D【解析】求出集合M ，进而求出集合,M N 的交集、并集可选出答案. 【详解】由题意，{}{}2|0,1M x x x ===，{}1,0,1N =-，则M N ⊆，M N M ⋂=，M N N ⋃=，即只有选项D 成立.. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的交集与并集，考查集合间的包含关系，属于基础题.2．命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是 （ ） A ．,()()x M f x f x ∃∈-≠ B ．,()()x M f x f x ∀∈-≠C ．,()()x M f x f x ∀∈-=D ．,()()x M f x f x ∃∈-=【答案】A【解析】解：因为命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是,()()x M f x f x ∃∈-≠，选A3．设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真【答案】C【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 【考点】1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D错． 【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5．曲线()ln y f x x x ==在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =-C ．y x =D ．y ex e =-【答案】B【解析】求导，并结合导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程. 【详解】由题意，()1ln10f ==，()ln 1f x x '=+，则()1ln111f '=+=， 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题.6．设非零向量,a b r r满足a b a b +=-r r r r ，则( )A ．a b ⊥r rB ．a b =r rC ．//a b r rD ．a b >r r【答案】A【解析】将a b a b +=-r r r r 平方，化简可得，0a b ⋅=r r ，即可求出a b ⊥r r 。
最新版2019-2020年湖南省四校联考高二上学期期中模拟考试数学(文)试题及答案-精编试题
高二第一学期期中模拟考试数学试卷（文）（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) A 、ba11< B 、22b a > C 、1122+>+c bc a D 、||||c b c a >. 2. “α＝π6”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．234. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关5. 在ABC ∆中，若31108c ()32a b os A B ==+=，且，则ABC ∆的面积是（ ） A. 5 B.41 C.4715 D. 4713 6. 焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x =或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y =Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y =7．在△A B C 中，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则△A B C 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，则n a =（ ）A.16,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ B.123n n a -=⨯ C.1232n n a -=⨯+ D. 16,1232,2n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩[来] 9. 在下列函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e －x －2 10．已知变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－411. 已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，] B．(0，) C ．(，] D ．(，1)12. 已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则22-+y x xy的最小值为( )A ．222-B ．222-C ．222+D ．222--二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13.14. 已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =· ．15. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是______．16. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2（n ∈N *）,b n =na n ，则数列{b n }的前n 项和T n 为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32,a a a a ==求数列{}n a 的通项公式.18．（本小题满分10分）如果不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_8
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则公差d=（）A. 0B. 2C.D.若b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3=S15，则Sn的最大项为（）A. B. C. D.数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2019=（）A. B. C. D. 2若不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），则不等式bx2+ax+c＜0的解集是（）A. B.C. D.如果关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D.数列{an}满足an=，则数列{}的前n项和为（）A. B. C. D.已知a＞0，b＞0，且满足a+b=1，则的最小值为（）A. 7 B. 9 C. 4 D.已知数列{an}满足{an}=，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3二、填空题（本大题共6小题）等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则a=______．已知p：|x-a|＜4，q：-x2+5x-6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=______，S5=______．等比数列{an}中，如果a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值为______．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．下列命题中：①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；②当a＞0，b＞0时，；③函数的最小值为2；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共2小题）已知{an}为各项均为正数的等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．已知函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则公差d=（）A. 0B. 2C.D.若b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3=S15，则Sn的最大项为（）A. B. C. D.数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2019=（）A. B. C. D. 2若不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），则不等式bx2+ax+c＜0的解集是（）A. B.C. D.如果关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D.数列{an}满足an=，则数列{}的前n项和为（）A. B. C. D.已知a＞0，b＞0，且满足a+b=1，则的最小值为（）A. 7B. 9C. 4D.已知数列{an}满足{an}=，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3二、填空题（本大题共6小题）等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则a=______．已知p：|x-a|＜4，q：-x2+5x-6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=______，S5=______．等比数列{an}中，如果a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值为______．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．下列命题中：①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；②当a＞0，b＞0时，；③函数的最小值为2；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共2小题）已知{an}为各项均为正数的等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．已知函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．。
2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
2019-2020年度高二上期期中考试数学试题一. 选择题（共12小题，60分）1．在空间直角坐标系中，已知M （﹣1，0，2），N （3，2，﹣4），则MN 的中点P 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．2C ．2D ．32．已知集合A={（x ，y ）|y=5x }，B={（x ，y ）|x 2+y 2=5}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．a ⊂α，b⊂β，α∥β，则a ∥bC ．a ⊂α，b ⊂α，b ∥β，则a ∥βD ．α∥β，a⊂α，则a ∥β4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20π B ．24πC ．28πD ．32π5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（ ）A ．21B ．22C ．2D ．226．在下列图形中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且13a ，321a ，22a 成等差数列，则7698a a a a ++等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．f （x ）=﹣x |x | B ．f （x ）=log 0.5x C ．f （x ）=﹣tanxD ．f （x ）=3x9．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=（ ）A ．33B ．1C ．3D ．33-10．已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．f （x ）=InxB ．f （x ）=xxeC ．f （x ）=x InxD ．f （x ）=xe x11．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB ，则二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角的正切值为（ ） A ．6B ．3C ．66 D ．26 12．已知Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM 是BC 边上的高，垂足为M ，点P 在△ABC 内部或边界上运动，则→→∙BP AM 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0] B ．[﹣3，0]C ．[﹣2，0]D ．[﹣1，0]二. 填空题（共4小题，20分）13．已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，那么它的通项公式为a n = ．14．若x ＞0，y ＞0，且log 2x +log 2y=2，则yx 21+的最小值为 ．15．如图，四边形ABCD 中,1===CD AD AB ,2=BD CD BD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A'﹣BCD ，则四面体A'﹣BCD 体积的最大值为 ．16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变； ②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③P 在直线BC 1上运动时，二面角P ﹣AD 1﹣C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线； 其中正确的命题编号是 ．三. 解答题（共6小题，70分）17．（10分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （0，3），B （﹣2，1），C （4，3），M 是BC 边上的中点．（1）求BC 边的中线所在的直线方程； （2）求点C 关于直线AB 对称点C ’的坐标．18．（12分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的正切值．19．（12分）锐角△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)3,sin 2(-=B m ，)12cos 2,2(cos 2-=B B n ，且m ∥n ．（1）求B 的大小；（2）如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．20．（12分）如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB=AC=3，BC=52，AA 1=7，BB 1=72，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； （2）求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；（3）求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．21．（12分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于点M 、N 两点． （1）求k 的取值范围；（2）若12=∙→→ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN |．22．（12分）已知函数y=f （x ），x ∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有f （x +T ）＞m•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．若恒有f （x +T ）=m•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）试判断函数)1(log )(21-=x x f 是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；（2）已知T=1，y=f （x ）是[0，+∞）上m 级类周期函数，且y=f （x ）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求实数m 的取值范围．参考答案1-6 ACDCCB 7-12DACCAB13．2n 14．15．16．①③④17．解：（1）x+y-3=0（2）设点C关于直线AB对称点C′的坐标为（a，b），则AB为线段CC′的垂直平分线，由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，故，解得：a=0，b=7，即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’（0，7）18．解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）1719．解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；（2）当B=，b=2时，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC的最大值为．则S△ABC20．（1）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（2）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于AA，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°21．（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=•k2+k•+1=，由•=x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．22.解：（1）∵（x+1﹣1）﹣（x﹣1）2=﹣（x2﹣3x+1）＜0，即）（x+1﹣1）＜（x﹣1）2，∴＞，即＞2，即f（x+1）＞2f（x）对一切x∈（3，+∞）恒成立，故函数f（x）=是（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x﹣1）=m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x﹣1）=m2f（x﹣2）=…=m n f（x﹣n）=m n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=m n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n﹣n≥m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．。
2019-2020学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题及答案解析版
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面积.
【详解】
设 M m,n ， m,n 0，则 m0,6 ， n 0, 2 5 ，
椭圆 C ： x2 y2 1的 a 6 ， b 2 5 ， c 4 . 36 20
设 F1 ， F2 分别为椭圆 C 的左右焦点，
由于 M 为 C 上一点且在第一象限，可得 MF1 MF2 ，
所以 p q为假命题，故选 C.
【考点】1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.
4．若 a>b，则
A．ln(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】本题也可用直接法，因为 a b ，所以 a b 0，当 a b 1
时， ln(a b) 0 ，知 A 错，因为 y 3x 是增函数，所以 3a 3b ，
B． x M , f (x) f (x)
C． x M , f (x) f (x)
D． x M , f (x) f (x)
【答案】A
【解析】解：因为命题“函数 y f x(xM) 是偶函数”的否
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定是 x M , f (x) f (x) ，选 A
3．设命题
p
:函数
2019-2020 学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期 期中考试数学试题及答案解析版
一、单选题
1．已知集合 M x | x2 x ， N 1,0,1 ，则（ ）
A． M N N B． M N M C． M N
D． M N
【答案】D
【解析】求出集合 M ，进而求出集合 M , N 的交集、并集可
A． y x 1
B． y x 1
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试题(附解析)
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试理科数学一：选择题。
1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A. 10B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6.已知数列满足，，则A. 2nB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.在中，若，则角A的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二：填空题。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题
【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+， 所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2， 可得a n =2n ， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可． 【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--， 故选C ． 【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值． 【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】 【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ， 得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】 【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案． 【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=， 所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-， 又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-． 故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】 如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=， 则cos 6x α=， 由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长． 【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】 【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5， 则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1， 即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。