2020年北京市海淀区实验中学高一数学下学期期末试题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.设集合A={x|x>0}，B={x|x2+2x−15<0,x∈Z}，则A∩B=()A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，3，4，5}2.不等式|3−x|<2的解集是()A. {x|x>5或x<1}B. {x|1<x<5}C. {x|−5<x<−1}D. {x|x>1}3.下列函数中，既为偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A. y=1xB. y=−x12C. y=x−2D. y=x24.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为31，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是()A. x=9B. y=8C. 乙得分的中位数为26D. 乙得分的方差小于甲得分的方差5.已知p：“a>100”，q：“log a10<12”，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)={2x,x≥2,(x−1)3,x<2,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (−1,1)B. (0,1)C. (0,1]D. (−1,0)>1的一个充分不必要条件是()7.xyA. x>yB. x>y>0C. x<yD. y<x<08.世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)()A. 1.5%B. 1.6%C. 1.7%D. 1.8%二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.若指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，则f(−1)的值为______．10.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．11.已知平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，则2a⃗+3b⃗ =______ ．12.已知函数f(x)=2x−3x，则函数f(x)的零点个数________．13.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图(如图).从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是__________米．14.已知f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(−2.5)=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.某校高一年级500名学生中，血型为O的有200人，血型为A的有125人，血型为B的有125人，血型为AB的有50人.为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为AB的抽样过程．16.已知函数f(x)满足f(x+1)=x2−13f(3)．(1)求f(x)解析式；(2)当x∈(−2,−12)时，不等式f(a)+4a<(a+2)f(x2)恒成立，求a的取值范围．17.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0．18.已知函数，g(x)=g(x+2)，且当x∈[−1,1]时，g(x)=|x|，当f(x)有3个零点时，求实数a的取值范围.(需要用作图来说明理由)19.设函数f(x)=31−x−1，函数g(x)=ax2+5x−2a．(1)求f(x)在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|−5<x<3,x∈Z}={−4,−3,−2,−1,0，1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：∵|3−x|<2，∴−2<x−3<2，∴1<x<5，∴不等式|3−x|<2的解集是{x|1<x<5}．故选B．利用绝对值不等式的解法即可求得不等式|3−x|<2的解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数的奇偶性与单调性.属于基础题．逐个判断即可得出答案．为奇函数，故不符合题意;【解答】解：对于A，y=1x对于B，y=−x12是非奇非偶函数，不符合题意;对于C，y=x−2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意;对于D，y=x2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意．故选C．4.答案：B解析：本题给出茎叶图和众数、中位数、平均数．着重考查了茎叶图的认识，以及中位数和极差的定义、求法等知识，属于基础题．解：∵甲得分的极差为31，最小值为8，∴最大值为31+8=39，即x=9，故A正确；∵乙得分的平均值为24，∴12+25+26+m+315=24，解得m=26，即y=6，故B错误；乙得分为：12，25，26，26，31，中位数和众数都为26，故C正确；乙数据分布相对甲数据集中，故乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确．故选B．5.答案：B解析：解：q：“log a10<12”，可得：10<√a，或0<a<1，解得a>100，或0<a<1，∴p是q的充分不必要条件．故选：B．q：“log a10<12”，可得：10<√a或0<a<1，解得a范围．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查方程根的存在性及根的个数判断，数形结合是解决本题的强有力工具，属于中档题．数形结合：要使方程f(x)=k有两个不相等的实根，只需y=f(x)与y=k的图象有两个交点，作出函数f(x)={2x (x≥2)(x−1)3 (x<2)的图象，根据图象即可求得k的范围．解：函数f(x)={2x(x≥2)(x−1)3(x<2)的图象如下图所示：由图可得：当k∈(0,1)时，y=f(x)与y=k的图象有两个交点，即方程f(x)=k有两个不同的实根，故选B．7.答案：B解析：解：∵x>y>0⇒x y>1，xy>1⇒x>y>0或x<y<0，∴xy>1的一个充分不必要条件是x>y>0．故选：B．由x>y>0⇒x y>1，x y>1⇒x>y>0或x<y<0，知x y>1的一个充分不必要条件是x>y>0．本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．8.答案：C解析：解：假设每年人口平均增长率是x，∵世界人口在过去40年内翻了一番∴(1+x)40=2则40lg(1+x)=lg2lg(1+x)=0.301040≈0.0075∴x=1.7%，即每年人口平均增长率是1.7%，故选：C．假设每年人口平均增长率是x%，根据世界人口在过去40年内翻了一番，然后取对数求出所求即可．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用取对数求值等有关问题，属于中档题．9.答案：12解析：本题考查指数函数的性质和函数图象恒过点问题，考查函数解析式，是基础题．先根据指数函数过点(3,8)，求出a的值，再代入计算即可．因为指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(3,8)，∴8=a3，解得a=2，∴f(x)=2x，∴f(−1)=2−1=1，2故答案为1．210.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题．解：因为f(x)=√−1+lnx，所以−1+lnx≥0，即lnx≥1，所以x≥e所以定义域是[e,+∞)，故答案为[e,+∞).11.答案：(−4,−8)解析：解：因为平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，所以1×m−(−2)×2=0，m=−4，所以2a⃗+3b⃗ =2(1,2)+3(−2,−4)=(−4,−8)．故答案为：(−4,−8)．通过向量的平行，求出m，然后直接求解2a⃗+3b⃗ 即可．本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．12.答案：2解析：本题考查函数值的求法及零点个数问题，比较基础．画出函数y=2x与函数y=3x的图象，即可确定出零点的个数．解：由已知函数f(x)=2x−3x，由于函数y=2x与函数y=3x有两个交点，函数f(x)的零点个数为2．故答案为2．13.答案：50解析：由频率分布直方图可得，当水位大于50米的频率为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米．14.答案：6解析：解：∵f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，∴f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2=6．故答案为：6．由已知得f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵40500=225，∴200×225=16，125×225=10，50×225=4．故O型血抽16人，A型血抽10人，B型血抽10人，AB型血抽4人．解析：由题意知从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用每一种血型的人数乘以概率得到每种血型所要抽取的人数，得到结果．16.答案：解：(1)令x=2，得f(3)=4−13f(3)，∴f(3)=3，令x+1=t，则x=t−1，∴f(t)=(t−1)2−1=t2−2t，∴f(x)=x2−2x．(2)由(1)知f(a)=a2−2a，即a2+2a<(a+2)f(x2).当a+2=0时，a2+2a<(a+2)f(x2)，显然不合题意．当a+2>0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a<f(x2)=(x2−1)2−1．∵x∈(−2,−12)，∴x2∈(14,4)，∵f(x2)=(x2−1)2−1，∴当x2=1即x=−1时，f(x2)取得最小值−1．∴a<−1，∵a+2>0，∴−2<a<−1．当a+2<0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a>f(x2).∵当x∈(−2,−12)时，f(x2)<8，∴a ≥8，又a <−2，不合题意．综上，a 的取值范围为(−2,−1)．解析：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出f(3)，通过换元求出函数的解析式即可；(2)通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质确定a 的范围即可．17.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y ．必要性：由1x <1y ，得1x −1y <0，即y−x xy <0． 因为x >y ，所以y −x <0，所以xy >0．所以1x <1y 的充要条件是xy >0．解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．18.答案：解：由，g(x)=g(x +2)知函数g(x)的周期为2．函数有3个零点， 即在(0,+∞)上有三个不等实根， 设，g(x)=|x|， 则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点． 当a >1时，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，如图：所以，只需{ℎ(3)<1g(5)>1，即，解得3<a <5;当0<a <1时，显然不合题意．综上可知，实数a的取值范围为(3,5)．解析：本题考查函数的零点与方程根之间的关系，考查函数图像在解题中的应用，属中档题．函数有3个零点，即在(0,+∞)上有三个不等实根，设，g(x)=|x|，则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点．分a>1，0<a<1两种情况，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，结合计算求出实数a的取值范围．19.答案：解：(1)∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=0，f(x)max=f(0)=2，∴f(x)在[0,1]上的值域[0,2]…..(4分)(2)f(x)在[0,1]上的值域[0,2]，函数g(x)在[0,1]上的值域D，则[0,2]⊆D．①a=0，g(x)=5x，值域[0,5]，符合条件；…(6分)②a>0，对称轴x=−52a<0，∴函数g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)max=g(1)=5−a由5−a≥2，∴a≤3，∴0<a≤3…..(8分)③a<0，对称轴x=−52a>0当0<−52a < 1即a<−52时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意当−52a ≥1即−52≤a<0时，函数g(x)在[0,1]上单调递增，不合题意….(12分)综上，a∈[0,3]…(13分)解析：(1)利用f(x)在[0,1]上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。
北京市海淀区一零一中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
北京市海淀区北京一零一中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.不等式1 xx->0的解集是（）A. （－∞，0）U（1，+∞）B. （－∞，0）C. （1，+∞）D. （0，1）【答案】A【解析】【分析】由题意可得，()1010xx xx->⇔->，求解即可.【详解】()1010xx xx->⇔->，解得1x>或0x<，故解集为（－∞，0）U（1，+∞），故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.2.如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积为1V，E为棱1CC上的点,且113CE CC=，三棱锥E－BCD的体积为2V，则21VV=（）A.13B.16C.19D.118【答案】D【解析】【分析】分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案. 【详解】由题意，11ABCD V S CC =⋅，21111113321318BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭V ，则21118V V =. 故选D.【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是所在棱的中点，则MN 与平面1BB D 的位置关系是（ ）A. MN ⊂平面1BB DB. MN 与平面1BB D 相交C. MN //平面1BB DD. 无法确定MN 与平面1BB D 的位置关系 【答案】C 【解析】 【分析】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，可证明平面//EMN 平面1BB D ，由于MN ⊂平面EMN ，可知//MN 平面1BB D .【详解】取CD 的中点E ，连结,ME EN ，显然11//,////EM BD EN CC BB ， 因为EM ⊄平面1BB D ，EN ⊄平面1BB D ， 所以//EM 平面1BB D ，//EN 平面1BB D ， 又EM EN E =I ，故平面//EMN 平面1BB D ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以//MN 平面1BB D . 故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线面平行、面面平行的证明，属于基础题.4.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A. 11x y x y->- B. cos cos 0x y -<C.110x y-> D. ln x +ln y >0【答案】A 【解析】 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案.【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y x x y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.5.等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A. a 1＝1 B. a 3＝1 C. a 4＝1 D. a 5＝1【答案】B 【解析】分析：由题意知25511T a q （）==，由此可知211a q =，所以一定有31a =． 详解2342551111111T a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅⋅==：（），211a q ∴= ，31a ∴= ．故选：B ．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6.设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. α，β平行于同一条直线 C. α，β垂直于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面【答案】C 【解析】 【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于选项A ，当α，β相交于直线l 时，α内有无数条直线与β平行，即A 错误； 对于选项B ，当α，β相交于直线l 时，存在直线满足：既与l 平行又不在两平面内，该直线平行于α，β，故B 错误；对于选项C ，设直线AB 垂直于α，β平面，垂足分别A,B ，假设α与β不平行，设其中一个交点为C ，则三角形ABC 中，90ABC BAC ︒∠=∠=，显然不可能成立，即假设不成立，故α与β平行，故C 正确；对于选项D ，α，β垂直于同一平面，α与β可能平行也可能相交，故D 错误. 【点睛】本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7.如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中△PAB 的面积的最大值为（ ）A.1sin 2β+sin2β B. sin β+12sin2β C. β+sin β D. β+cos β【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=，12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大，求解即可. 【详解】在ABP △中，由正弦定理可得，22sin ABR APB==∠，则2sin AB β=.12ABC S AB h =⋅V ，当点P 在AB 的中垂线上时，h 取得最大值，此时ABP △的面积最大. 取AB 的中点C ，过点C 作AB 的垂线，交圆于点D ，取圆心为O ，则2221sin cos OC OB BC ββ=-=-=（β为锐角），1cos CD DO OC β=+=+.所以ABP △的面积最大为()()1112sin 1cos sin sin cos sin sin 2222S AB DC βββββββ=⋅=⋅+=+=+. 故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积的计算、正弦定理的应用，考查了三角函数的化简，考查了计算能力，属于基础题.8.已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°.则球O 的体积为（ ） A. 86π B. 43π6πD.3π2【答案】D 【解析】 【分析】计算可知三棱锥P －ABC 的三条侧棱互相垂直，可得球O 是以PA 为棱的正方体的外接球，球的直径23d PA =O 的体积.【详解】在△PAC 中，设PAC θ∠=，2PA PB PC x ===，,0EC y x =>，0y >， 因为点E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以1,2EF PB x AE x ===， 在△PAC 中，22cos 222x θ=⨯⨯，在△EAC 中，22cos 22x θ=⨯⨯整理得221x y -=-，因为△ABC是边长为2的正三角形，所以6 CF=，又因为∠CEF=90°，所以2232x y+=，所以12x=，所以21PA PB PC x====.又因为△ABC是边长为2的正三角形，所以PA,PB,PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则球的直径233d PA==，所以外接球O的体积为33443πππ3322dV r⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题。
2024北京海淀区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京海淀高一（下）期末数 学2024.07学校_____________ 班级______________ 姓名______________一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（A ）2− （B ）2 （C ）i −（D ）i（2）已知向量1(0,1),)2==a b ，则cos ,〈〉=a b （A ）0 （B ）12（C（D（3）函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则其解析式为（A）π())4f x x =+（B）1π()sin()24f x x =+（C ）π())3f x x +（D ）π())4f x x =+（4）若3sin 5α=，且π(,π)2α∈，则πtan()4α−=（A ）34−（B ）17（C ）34（D ）7（5）在ABC ∆中，点D 满足BD BC λ=. 若3144AD AB AC =+, 则λ= （A ）13（B ）14（C ）3（D ）4（6）已知函数1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（A ）0x = （B ）π6x = （C ）π4x =（D ）π2x =（7）在平面直角坐标系xOy 中，点(A −，点(cos ,sin )P θθ，其中π[0,]2θ∈ . 若5OA OP +=, 则θ=（A ）π6（B ）π4 （C ）π3（D ）π2（8）在ABC ∆中，已知π2,3a A ==，则下列说法正确的是（A ）当1b =时，ABC ∆是锐角三角形 （B ）当b =时，ABC ∆是直角三角形 （C ）当73b =时，ABC ∆是钝角三角形 （D ）当53b =时，ABC ∆是等腰三角形 （9）已知,a b 是非零向量， 则“⊥a b ”是“对于任意的λ∈R ，都有λλ+=−a b a b 成立”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b . 点(,)M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中(1)(01)x a b λλλ=+−≤≤，点N 满足向量(1)ON OA OB λλ=+−, 点O 为坐标原点. 若不等式||MN k 恒成立，则称函数()y f x =在[,]a b 上为k 函数. 已知函数2()2f x x x =−+在[0,1]上为k 函数，则实数k 的取值范围是（A ）(0,)+∞ （B ）1[,)4+∞（C ）1(,)2+∞（D ）[1,)+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案
2022年北京海淀高一数学下学期期末试卷及答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为 ()A ．2B ．4C ．6D ．122．向量，，则 (2,0)a =(1,2)b = |2|(a b -= )A ．BC ．4D ．134-3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()sin 2f x x =ϕ()sin(2)3f x x π=-则的最小值是 ϕ()A ． B ．C ．D ．6π3π23π56π4． 5cos (12π=)A B C D 5．已知直线和平面，，则下列四个命题中正确的是 m αβ()A ．若，，则 B ．若，，则 αβ⊥m β⊂m α⊥//m α//m β//αβC ．若，，则D ．若，，则//αβ//m α//m β//αβm α⊥m β⊥6．函数的最小正周期与其图象的对称中心分别是 2sin y x =()A ． B ．12,(,)()42k k Z πππ+∈2,(,0)()4k k Z πππ+∈C ． D ． 1,(,)()242k k Z πππ+∈,(,0)()24k k Z πππ+∈7．已知向量，是两个单位向量，则“，为锐角”是“”的 a b a <b >||a b -<()A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 ()2sin f x x ω=[,]34ππ-2-ω()A ．B ．9(,][6,)2-∞-+∞ 93(,][,)22-∞-+∞ C ．，，D ．(-∞2][6- )+∞3(,2][,)2-∞-+∞9．底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶 角为的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是 36︒cos 216︒()A B ． C ． D 10．在中，，则的形状是 ABC ∆cos cos a A b B =ABC ∆()A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2019_2020学年北京海淀区北京市八一学校高一下学期期末数学试卷-学生用卷
cos
B.
−
1 9
− 2 =（ ）． C. 1
9
D. 5
3
7、设→，→是向量，则“ → = → ”是“ → + → = → − → ”的（ ） ． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直 立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
中，∠
为钝角，
= 2，
=
2，
=
，
6
为
延长线上一点，且
(1) 求∠ 的大小． (2) 求 ， 的长．
18、如图在三棱柱 − 1 1 1中，侧棱垂直于底面， 分别是 1 1， 的中点．
⊥ ， 1=
= 2，
= 1， ，
(1) 求证：平面 ⊥平面 1 1． (2) 求证： 1 //平面 ． (3) 求三棱锥 − 的体积．
A. sin 53°
2sin 47°
B. 2sin 47°
sin 53°
C. tan 26.5°tan 73.5°
tan 47°
D. sin 26.5°sin 73.5°
sin 47°
9、已知向量→ ≠ →， → = 1，满足：对任意 ∈ ，恒有 → − → ⩾ → − → ，则（ ）． A. → ⊥ → B. → ⊥ → − → C. → ⊥ → − → D. → + → ⊥ → − →
15、已知函数 ( ) = sin 2 ，任取 ∈ ，记函数 ( )在区间[ , + 1]上的最大值为 ，最小值 为 ，记ℎ( ) = − ．则关于函数ℎ( )有如下结论：
①函数ℎ(
)为偶函数；②函数ℎ(
2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2019_2020学年北京海淀区清华大学附属中学高一下学期期末数学试卷-学生用卷
过点 作 ⊥ ， 交 于点 ，故 为 中点，
∴可知 =
2 + 2 = 16 + 2，
∴ 最小时， 最小，
∵=
2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
= 5，
∴ 最小时， ， ， 共线，
故 = − = 2 5 − 5 = 5，
∴
= 16 +
2 = 16 +
2
15 =
21．
故选 A．
11 、【答案】 12;
故选 A．
=
1 2
×
4
×
1
×
1 2
=
1，
4 、【答案】 A;
【解析】 若复数 = + i 为纯虚数，
则 = 0， ≠ 0，
则“ = + i 为纯虚数”是“ = 0”的充分条件，
但若 = 0， = 0，
则不能推出 = + i 为纯虚数，
∴“ = + i 是纯虚数”为“ = 0”的充分不必要条件．
故选 A．
17、在△ 中，cos
(1) 求 的大小．
=
1，
7
= 8，
= 7．
(2) 若 是 的中点，求 的长．
18、2020 年居家学习期间，我校开展了“书香月”主题读书活动，现从高一高二各随机抽取 10 名同学，调查其在“书香月”的阅读量（单位：本），得到数据用茎叶图记录如下：
(1) 现已知高一学生共有 600 人，试估计高一学生的总阅读量为多少本．
5 、【答案】 D;
【解析】
由题意可得：
(
)
=
3，
5
(
)
=
2，
北京市海淀区重点名校2019-2020学年高一下学期期末综合测试数学试题含解析
7．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 丈，长 丈；上棱长 丈，无宽，高 丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（）
A． 立方丈B． 立方丈
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．
5．已知数列 的前 项和 ，那么（）
A．此数列一定是等差数列B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列D．以上说法都不正确
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 即可求得： ，当 时， 或 ，
对 赋值2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，…，问题得解.
所以 的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，
解得： .
【点睛】
本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.
4．已知 中， ， ， ，那么角 等于（）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由正弦定理求出 ，进而得出角 ，再根据大角对大边，大边对大角确定角 ．
【详解】
由正弦定理得： ， ，
∴ 或 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选B.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用当 与直线 垂直时， 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出 的最小值，然后利用勾股定理计算出 、 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形 面积的最小值．
【详解】
如下图所示：
由切线的性质可知， ， ，且 ，
2020-2021北京市海淀北部新区实验中学高一数学下期末一模试卷(附答案)
2020-2021北京市海淀北部新区实验中学高一数学下期末一模试卷(附答案)一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．ABC V 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r，b r 满足2a AB =u u u rr，C 2a b A =+u u u rrr，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr6．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．267．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称9．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)210．已知二项式12(*)nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．二、填空题13．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.14．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 15．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 16．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．17．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为18．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.19．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．三、解答题21．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？23．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅，第五组[]17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18.m n ∈⋃求事件“1m n ->”发生的概率.24．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．25．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v，且//a b v v ，a c ⊥v v .（1）求b v 和c v；（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.26．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．B解析：B【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.故选：B .3．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.5．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈.所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.9．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .12．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =u u u v u u u v，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3π【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．14．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情解析：92【解析】 分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.16．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题解析：【解析】【分析】【详解】 试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax -，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为． 考点：解三角形的运用 点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．18．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……解析：112π 【解析】【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果.【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈ 1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r 解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 232πω∴=同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅=u u u u r u u u u u r 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴= 故答案为：112π 【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果. 19．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值解析：-3【解析】【分析】先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.【详解】()()()102f a f f a +=⇒=-当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：10【解析】【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC P ，连接1A E 1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111Rt AC B n 中，111AC =，1111122C E C B == 152A E ∴=, 同理可得162A D =,52DE = 222165530cos 652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 3030【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题． 三、解答题21．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值；（2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；由根与系数的关系，得，解得a ＝1，b ＝2； （2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．22．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤Q ， 2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.23．（1）29人；（2）35． 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数； （2）结合频率分布直方图，计算出[)[]13,1417,18，两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可.【详解】（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人）， 所以该班成绩良好的人数为29人；（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人；成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率 其概率为11232563105C C P C ===. 3(1)5P m n ->=【点睛】 此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．24．（1）53a =（2）a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值．试题解析:解：（1）43cos ,sin 55B B =∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得.53a ∴=. （2）ABC ∆Q 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==， 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=. ∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.25．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r 的坐标； （2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，5m ∴==ur，n ==r设m u r 与n r 的夹角为θ，cos ,2m n m n m n ⋅∴===-⋅u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34πθ=.因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.26．（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B 的值即可；（2）由sin b B =得出a A =，c C =，得到a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可. 【详解】(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=，可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈Q ，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin b B =Q a A =，c C =， Q 23A C π+=，]sin sin()a c A C A A B ∴+==++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦14sin cos 4sin()226A A A π⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， 203A π<<Q ，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。
北京市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末学生学业质量监测及参考答案
北京市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末学生学业质量监测及参考答案创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量(4,1)a =，(,2)b x =，且a 与b 平行，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．8D ．122．4sin3π的值是（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．3-3． 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4．将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )5．某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性）6.要从已编号（ ）160-的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6a=b b=a （A ）c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ） a=cc=bb=a（D ）枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 7． 如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（ ）A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c -D ．12a c +8． 若5a =,=10a b ⋅，且a 与b 的夹角为060，则b =（ ）A ．163B ．16 C．3 D ．49． 右边程序执行后输出的结果是（ ） A.1- B ．0 C ．1 D ．210．直线a x y +=与圆122=+y x 相切，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．1D ．1±11．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是（ ）A ．x y 2sin =B ．x y sin 2=C .2sin x y =D .2sin xy = 12．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．724 B ．724- C ．247- D ．247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13．圆021422=-+-y x x 的半径为．14．二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则3进制数3)102(转换成十进制数是_________．15．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：ACBO19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________.16．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是____________．17．某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为180的样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了60人，则高中部三个年级的学生人数共有人． 18．函数x y 3sin =的最小正周期为是． 19．已知(3,4)a =-．20．函数x y cos =]2,0[(π∈x ）的单调递减区间是__________________．三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21．已知||4a =，||3b =，6=⋅，求（1）b b a ⋅-)(；（2）求||a b +. a a ⋅=）22．已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的最小值为2-，最小正周期为16，且图象经过点)0,6(求这个函数的解析式．23．某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．24．某次游园的一项活动中，设置了一个中奖方案：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖．这个方案中奖率是多少？请说明理由． 25．已知R x x x f ∈+=),4sin()(π，且,,2,31sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππαα求)(αf 的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）n=5s=0WHILE s<15 s = s + n n=n －1 1.(平面向量) 已知平面向量(4,1)a =，(,2)b x =，且a 与b 平行，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．8D ．122.(三角函数)4sin3π的值是（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 3.(概率) 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4.(算法)将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )5.(统计)某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性） 6.(统计)要从已编号（ ）160-的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 7.(平面向量) 如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（ ）A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c -D ．12a c +8.(平面向量) 若5a =,=10a b ⋅，且a 与b 的夹角为060，则b =（ ）A ．163B ．16C ．433D ．49.(算法) 右边程序执行后输出的结果是（ ）AD C Ba=b b=a （A ）c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ） a=cc=bb=a（D ）A.1-B ．0 C ．1 D ．210.(圆一般方程) 直线a x y +=与圆122=+y x 相切，则a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．1D ．1±11.(三角函数)将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是（ ）A ．x y 2sin =B ．x y sin 2=C .2sin x y =D .2sin x y = 12.(三角变换)已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．724 B ．724-C ．247- D ．247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13.(圆的方程)圆021422=-+-y x x 的半径为．514.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则3进制数3)102(转换成十进制数是_________1115.(统计)一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________.0.716.(算法)右图给出的是计算201614121++++的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是____________10?i >17.(统计)某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000的样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了6018.(三角函数)函数x y 3sin =的最小正周期为是32π19.(平面向量)已知(3,4)a =-20.(三角函数) 函数x y cos =]2,0[(π∈x ）的单调递减区间是__________________],0[π 三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21.(平面向量) 已知||4a =，||3b =，6=⋅b a ，求（1）⋅-)(；（2）求||a b +.（提示：⋅=）解：（1）∵||4a =，||3b =，6=⋅，∴b b a ⋅-)(⋅-⋅=……………………………………………（1分）=3366=-=-…………………………………………………………………………………（5分） （2）2()a b a b +=+………………………………………………………………………………（7分）而2222222()2242631a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=……………………………（9分）2()31a b a b ∴+=+=…………………………………………………………………………（10分）22.(三角函数)已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的最小值为2-，最小正周期为16，且图象经过点)0,6(求这个函数的解析式.解：由题意可知：A =2分） 由周期公式可得到：216T πω==，又0ω>，8πω∴=………………………………………（4分）sin()8y x πϕ∴=+…………………………………………………………………………………（6分）又函数图像过点)0,6( ，即0)43sin(=+ϕπ……………………………………………………（8分） 又02πϕ<<4πϕ∴=……………………………………………………………………………………………（9分）所以函数解析式是：sin()84y x ππ=+…………………………………………………………（10分）23.(统计) 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=10.06503⨯⨯=（人）……………………………（2分） （2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数10.32900288⨯⨯=（人）………………………（2分） （3）由图可知众数落在第三组[15,16)，是151615.52+=……………………………………………（5分） 因为数据落在第一、二组的频率10.0610.160.220.5=⨯+⨯=<数据落在第一、二、三组的频率10.0610.1610.380.60.5=⨯+⨯+⨯=>…………………………（6分） 所以中位数一定落在第三组[15,16)中. …………………………………………………………………（7分） 假设中位数是x ，所以10.0610.16(15)0.380.5x ⨯+⨯+-⨯=………………………………………（9分） 解得中位数29915.736815.7419x =≈≈…………………………………………………………………（10分） 24.(概率) 某次游园的一项活动中，设置了一个中奖方案：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖．这个方案中奖率是多少？请说明理由．解：设正方形边长为2，（2分）422==正方形S （５分）ππ2)22==（S 圆 （８分）中奖概率为P=22S S π=正方形圆.…………………（10分） 25．已知R x x x f ∈+=),4sin()(π，且,,2,31sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππαα求)(αf 的值．解:∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα,2,,31sin =α∴,0cos <α322cos -=α……（3分）4sincos 4cossin )4sin()(παπαπαα⋅+⋅=+=f ……（6分）223222231⨯-⨯=……（8分） 642-=……（10分）。