2020年北京市海淀区实验中学高一数学下学期期末试题

数学试卷

一、选择题 1、已知向量

，

，则

A ．（5,7）

B ．（5,9）

C ．（3,7）

D ．（3,9）

2.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( )

A.100

B.150

C.200

D.250

3、某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为

A ．

B ．

C ．

D ．

4、执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 5.若0a b >>,0c d <<,则一定有( )

A. a b d c >

B. a b d c <

C. a b c d >

D. a b c d

<

6.已知,a b r r 均为单位向量,且(2)(2)a b a b +?-=r r r r ,则向量,a b r

r 的夹角为( )

A. 6π

B. 4

π

C.

34π D. 56

π

7、在等差数列

中，

，且前10项和

，则

的最大值是

A ．3

B ．6

C ．9

D ．36

8.下列选项中,使不等式成立的x 的取值范围是( )

A.

B. C. D.

9.设D 、E 、F 分别为ABC ?的三边BC 、CA 、AB 的中点,则EB FC +=u u u r u u u r

( ) A. AD u u u r

B. 12AD u u u

r

C. BC uuu r

D. 12

BC u u u

r

10.定义在()(),00,-∞?+∞上的函数() f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,(){}n f a 仍是

等比数列,则称() f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞?+∞上的如下函数: ①()2

f x x =;

②()2x

f x =;

③()f x x =

④()ln f x x =.

则其中是“保等比数列函数”的() f x 的序号为( )

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④ 二、填空题 11.不等式

1

x x

>的解集是__________. 12、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 若

,

,

,则

______;

______.

13、设 ，向量

， ， 且 ， ∥ ，则

______________．

14、已知 为等差数列， 为其前n 项和。若 ， ，则公差

____________； 的最小值为_____________．

15、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度 （假设车辆以相同速度 行驶，单位：米/秒）、平均车长 （单位：米）的值有关，其公式为 ． 如果 ，则最大车流量为____________辆/小时．

16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n 个三角形数为

()2111

222

n n n n +=+.记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:

三角形数 ()211

,322N n n n =

+, 正方形数 ()2

,4N n n =,

五边形数 ()231,522N n n n =-, 六边形数 ()2

,62N n n n =-,

……

可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()20,15N 的值为__________.

三、解答题

17.如图,在ABC ?中, 90,4,3ABC AB BC ∠=?==,点D 在直线AC 上,且4AD DC =.

1.求BD 的长;

2.求sin CBD ∠的值.

某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图:

18、某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图:

分组(日销售量) 频率(甲种酸奶) [ 0,10] 0.10 (10,20] 0.20 (20,30] 0.30 (30,40] 0.25

(40,50] 0.15

(Ⅰ)写出频率分布直方图中的的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)

(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量.

19、某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件．制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费交贵，其具体收费情况如下表：

求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱．

20.如图所示,在平行四边形ABCD 中, 3

A π

∠=

,边,AB AD 的长分别为2,1.若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足BM

CN

BC

CD

=u u u u r u u u r

u u u r

u u u r ,则AM AN ?u u u u r u u u r 的取值范围.

21、已知数列 的前n 项和为 ，

，且

是

与1的等差中项．

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）若数列 的前n 项和为 ，且对任意 ， 恒成立，求实数 的最小

值．

参考答案

答案： 1、

解析： 根据向量的坐标运算可得： ，故选择A 考点：向量的坐标运算 2.答案：A

解析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值.

分层抽样的抽取比例为701

350050

=

, 总体个数为350015005000+=,

∴样本容量1

500010050

n =?=.

故选:A. 答案： 3、

解析： 随机选择其中的连续两天参加交流会的情况有：

共有6种情况，其中在1日至3日期间连续两天参加交流会的有： 两种情况，所以

其概率为 ，故选择C 考点：古典概率 答案： 4、

解析： 第一次循环为： ；因为不满足

，所以执行第二次循环

为：

；因为不满足 ，所以执行第三次循环为： ；因为不满足 ，所以执行第四次循环为： ；因为满足

，所以执行是此时

，所以输出5，

故选择B

考点：程序框图 5.答案：D 解析：解法一:

令3a =,2b =,3c =-,2d =-,

则

1a c =-,1b

d =-,排除选项C,D; 又32a d =-,23b c =-,所以d b a c

<, 所以选项A 错误,选项B 正确,选B. 解法二:

因为0c d <<,所以0c d ->->,所以110d c

>>--. 又0a b >>,所以a b d c >

--,所以a b

d c

<,故选B. 6.答案：A

解析：

答案： 7、

解析： 由等差数列前n 和公式以及等差数列性质可得：

，因为

，所以

，当且仅当“ ”时，等号成立，故选择C 考点：1．等差数列性质；2．基本不等式 8.答案：A 解析：由得,

由

得,

所以

。故选A

9.答案：A 解析：如图,

()()()()

11112222

EB FC BA BC CB CA BA CA AB AC AD +=-+-+=-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r u u u r .

方法点拨:正确运用平面向量三角形法则是解题关键.

10.答案：C

解析：由题设可知10a ≠,1

1n n a a q -=,分别代入①②③④,可知只有①③满足“保等比数列函数”

的定义.

11.答案：{|1x x <-或01}x << 解析：

答案： 12、 解析： 试题分析:∵

,∴ ,则

,由余弦定理得,

,

答案： 13、

解析： 因为 ， ∥ ，所以有

即 ，

，所以

考点：向量坐标运算 答案： 14、

解析： 因为 ，所以 ，又因为 ，所以可得

，

，即数列通项公式为：

，当

时， ，当

时，

，所以数列前3项和最小为

考点：等差数列性质 答案： 15、

解析： 由题意可得：

，当且仅当

“ ”即 时等号成立 考点：基本不等式求最值 16.答案：2490

解析：已知式子可化为: ()211,322N n n n =+2324322

n n --=+, ()224244,422N n n n n --==+,()231,522N n n n =-25245

22n n --=+,

()226246,6222N n n n n n --=-=+,有归纳推理可得()224,22k k

n k n n --=+,

所以()2152415

20,152020249022

N --=?+?=.

17.答案：1.因为90,4,3ABC AB BC ∠=?==,所以 34

cos ,sin 55

C C ==,5AC =,

又因为4AD DC =,所以4,1AD DC ==. 在BCD ?中,由余弦定理,

得2222cos BD BC CD BC CD C =+-?

22332

3123155

=+-???=,

所以5

BD =

2.在BCD ?中,由正弦定理,得 sin sin CD BD

CBD C

=

∠,

所以154sin 5

CBD

=∠,

所以sin CDB ∠=解析：

答案： 18、 解析： (Ⅰ);

(Ⅱ).

(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为:

(箱).

乙种酸奶未来一个月的销售总量为:(箱).

答案：19、

解析：设甲工厂制造一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，总费用为z元．列式子可得：

目标函数为，转化为线性规划问题求得最值

试题解析：设甲工厂制造一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，总费用为z元．那么

目标函数为

．

作出可行域（图略）

解方程组

解得

所以．

答：组委会定做该工艺品至少需要花费4900元钱．

考点：线性规划的应用

20.答案：如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则() 2,0B ,5313,,,22C D ????

? ?

? ?????

, 设()()

11,32M x x -,23,2N x ?? ? ???

,由条件可得2BM CN =u u u u r u u u r ,代入坐标化简得122142x x +=,即2121

42x x =-,所以

()()

1123,32,2AM AN x x x ???=-? ? ???

u u u u r ()1112134222x x x ??=-+- ???2

114123x x =-+-,52,2x ??∈????,由二次函数的图像可知2

114123y x x =-+-在52,2x ??∈????上增函数,所以AM AN ?u u u u r u u u r 取

值范围是[]2,5

解析：

答案： 21、 解析： （Ⅰ）由 可得

为等比数列且 ，根据

是

与1的等

差中项，可得

即

，求得

，即可得

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： ． 是以1位首项， 为公比的等比数列．求得

，因为

恒成立，所以 即 的最小值2 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以

．

因为 是

与1的等差中项，所以 ，即

．

所以 ．

所以 是以1位首项，2位公比的等比数列．

所以

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： ．

所以 ， ．

所以 是以1位首项， 为公比的等比数列．

所以数列的前n项和．

因为，所以．

若，当时，．

所以若对任意，恒成立，则．

所以实数的最小值为2．

考点：1．求数列通项公式；2．数列求和；3．恒成立问题