2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线平面平行的判定及其性质理
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
直线、平面平行垂直的判定及其性质(讲)-2019年高考数学 ---精校解析Word版
内的无数条直线都垂直”是“直线a
BB1D1D，又OB1⊂平面
，则a与c的位置关系为
在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线
n⊥β，则n与l的位置关系为
l⊂β，又
中，底面ABCD为矩形，侧棱
________．
BC.由底面ABCD为矩形，
PD＝CD，点E是PC
⊥平面ABCD，AB∥DC，
⊥PA⇒AE⊥BC，
，故②正确，③若
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”。
高三理科数学第一轮复习§7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
解析
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.4：直线、平面平行的判定及其性质
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件 文 高三全册数学课件
2021/12/8
第十八页，共五十页。
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD，所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD，因为 CM⊂底 面 ABCD，所以 PM⊥CM.
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
2021/12/8
第三十二页，共五十页。
[证明] (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，所以 GH 是△ A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1.又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面．
∴FA 綊12CD.∴FA 綊 GE.
∴四边形 AFGE 为平行四边形，∴FG∥AE. 又 FG⊄平面 AEC，AE⊂平面 AEC，∴FG∥平面 AEC.
2021/12/8
第二十七页，共五十页。
题型二 平面与平面平行的判定与性质(重点保分题，共同探讨) 例 1 如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
所以 GK＝3.
故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
2021/12/8
第二十三页，共五十页。
方法感悟 1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面 平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知 的直线不在平面内． 2．判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面平行的判定与性质课件文
又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,
故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确; 由图易知AD1与DC1异面,故③错误; 因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正确.
考点突破
考点一 直线与平面平行的判定与性质
命题方向一 线面平行的证明 典例1 (2017课标全国Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方
结论
α∥β
α∥β
a ∥α
与两个平面平行有关的结论 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (4)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. (5)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直
1 1 ∴BC1∥平面AB1D1,∴当 =1时,BC1∥平面AB1D1.
AD D1C1
命题方向二 线面平行性质的应用 典例3 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均
AD D1C1
1 1 解析 当 =1时,BC1∥平面AB1D1.
AD D1C1
理由:如图,取D1为线段A1C1的中点,
1 1 此时 =1,
AD D1C1
连接A1B交AB1于点O,连接OD1,
由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形,
∴O为A1B的中点, 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点, ∴OD1∥BC1,又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 ①②④ (只填序号).
①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.
直线、平面平行的判定及其性质
答案 (1)D (2)D
题型二 【例2】
线面平行的判定与性质
(2013· 新课标全国卷Ⅱ)如下图，直三棱柱
ABC—A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 积． 【思维启迪】 (1)要证明线面平行一般是转化为线线平行来 2 ，求三棱锥C—A1DE的体
2．下列命题中，错误的是(
)
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个 平面相交 B．平行于同一平面的两个不同平面平行 C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直 线 D．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面
解析
C错，若直线l不平行于平面α，直线l也可能在平面α
∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
名 师 微 博 ●一个关系——三种平行间的转化关系
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有 关证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看 清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
(2)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n ⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2 )
解析
(1)m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定
相交，不一定垂直．但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m且l⊥ n，则l平行于α和β的交线．故选D. (2)由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平 面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.
高考数学 第七章 第四节直线、平面平行的判定及其性质
平面平行，那么这两
理 个平面平行(简记为
“_线__面__平__行_⇒
_面__面__平__行_”)．
图形语言
符号语言
∵_a_∥__β__, __b_∥__β__, _a_∩__b_=_P_, _a_⊂_α__,__ _b_⊂_α____, ∴α ∥β .
文字语言
性 如果两个平行平面 质 定 同时和第三个平面 理 _相__交__，那么它们的
(2)已知两平面α 与β 平行，a⊂α ，判断下列命题的正确性
(请在括号中填写“√”或“×”).
①a与β 内所有直线平行
()
②a与β 内的无数条直线平行
()
③a与β 内的任何一条直线都不垂直
()
④a与β 无公共点
()
【解析】①中，a与β内的直线可能平行或异面，故不正确；
过a作平面γ交平面β于直线b，则a∥b，故直线a平行于平面
_交__线__相互平行．
图形语言
符号语言
∵α__∥__β__, _α__∩__γ__=_a_, _β__∩__γ__=_b_, ∴a∥b.
【即时应用】 (1)思考：①能否由线线平行推证面面平行？ ②如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个 平面一定平行吗？ 提示：①可以，只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条相交直线，则两平面平行． ②不一定平行．如果这无数条直线互相平行，则这两个平面就 可能相交，而不一定平行．
MB ND
则直线MN与平面BDC的位置关系是___________.
【解析】由 AM AN 得MN∥BD，
MB ND
又MN 平面BDC，BD⊂平面BDC，所以MN∥平面BDC． 答案：平行
2.平面与平面平行的判定定理及性质定理
高考数学-第七章 §7.3 直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质考试要求从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b3.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.微思考1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，l∥α，则l与m的位置关系如何？提示平行或异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)题组二教材改编2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案平行解析连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.3．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．答案④解析①若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，①错；②若a∥α，b∥α，则a∥b，或异面或相交，②错；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，③错； ④若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α或b ⊂α，④对．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过直线AC 1的平面交直线BB 1于点E ，交直线DD 1于点F ，则四边形AEC 1F 的形状为________． 答案 平行四边形解析 由面面平行的性质定理可得AE ∥C 1F ，AF ∥C 1E . 故四边形AEC 1F 为平行四边形． 题组三 易错自纠5．已知直线a ，b 和平面α，β，若a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α，β的位置关系是____． 答案 平行或相交6．考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a ，b 为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为_________________．①⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥bb ∥α ⇒a ∥α. 答案 a ⊄α解析 根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的条件，可知①缺少的条件是“a 为平面α外的直线”， ②同样缺少平面外直线．故答案为：a ⊄α.题型一 直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE .证明 方法一 如图，设M 为PC 的中点，连接EM ，MF ，∵E 是AB 的中点， ∴AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，又∵MF ∥CD ，且MF ＝12CD ，∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 是平行四边形，∴AF ∥EM ， 又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .方法二 如图，设G 为CD 的中点，连接FG ，AG ，∵F ，G 分别为PD ，CD 的中点， ∴FG ∥PC .同理AG ∥EC ， 又FG ⊄平面PCE ，AG ⊄平面PCE ， PC ⊂平面PCE ，EC ⊂平面PCE ， ∴FG ∥平面PCE ，AG ∥平面PCE ， 又FG ，AG ⊂平面AFG ，FG ∩AG ＝G ，∴平面AFG ∥平面PCE ，又AF ⊂平面AFG ，∴AF ∥平面PCE . 命题点2 直线与平面平行的性质例2 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面交BD 于点H .求证：P A∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥OM，又OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD，又平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1 如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.题型三平行关系的综合应用例4 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，∴AF∥平面DCE，∵四边形ABCD是正方形，AB∥CD，又CD⊂平面DCE，AB⊄平面DCE，∴AB∥平面DCE，∵AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，(2)解 存在点G ，满足题意，理由如下：假设存在一点G ，过G 作MG ∥BF 交EC 于M ，连接BG ，BM ，如图，由V ABCDEF ＝V B －ADEF ＋V B －CDE ＝13×3×(1＋3)×32＋13×3×3×32＝212，设EG ＝t ，则V GFBME ＝V B －EFG ＋V B －EGM ＝212×38＝6316， 设M 到ED 的距离为h ， 则h 3＝EM EC ＝t 3－1，即h ＝32t ， 则S △EGM ＝12×t ×32t ＝34t 2，V GFBME ＝V B －EFG ＋V B －EGM ＝13×3×12×3×t ＋13×3×34t 2＝6316，即4t 2＋8t －21＝0， 解得t ＝32，或t ＝－72(舍)，则存在点G ，满足EG ＝32，即G 为ED 的中点时满足条件．思维升华 解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．跟踪训练3 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为对角线BD ，CD 1上的点，且CQ QD 1＝BP PD ＝23.(1)求证：PQ ∥平面A 1D 1DA ；(2)若R 是AB 上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA ？请给出证明．(1)证明 连接CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，如图，连接MD 1， 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AD ， 故△PBC ∽△PDM ， 所以CP PM ＝BP PD ＝23，又因为CQ QD 1＝BP PD ＝23，所以CQ QD 1＝CP PM ＝23，所以PQ ∥MD 1.又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ， 故PQ ∥平面A 1D 1DA .(2)解 当AR AB 的值为35时，能使平面PQR ∥平面A 1D 1DA .如图，证明：因为AR AB ＝35，即BR RA ＝23，故BR RA ＝BPPD .所以PR ∥DA .又DA ⊂平面A 1D 1DA ，PR ⊄平面A 1D 1DA ，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.课时精练1．(2021·哈尔滨市第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．2．(2021·泸州诊断)已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bC．若a∥α，α∥β，则a∥βD．若a∥α，a∥β，则α∥β答案B解析A选项，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，所以A选项错误；B选项，若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b，所以B选项正确；C选项，若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，所以C选项错误；D选项，若a∥α，a∥β，则α∥β或α∩β＝b，所以D选项错误．3．(2020·金华十校联考)已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为() A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交答案B解析∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；取A1C1的中点P，连接PM，PN，如图，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1答案D解析选项A，由中位线定理可知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是错误的；选项B ，由中位线定理可知EF ∥A 1B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD ，EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C ，由中位线定理可知EF ∥A 1B ，而直线A 1B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D ，由三角形中位线定理可知EF ∥A 1B ，EH ∥A 1D 1，所以有EF ∥平面A 1BCD 1，EH ∥平面A 1BCD 1，而EF ∩EH ＝E ，因此平面EFGH ∥平面A 1BCD 1，故本题选D.5.(多选)(2020·青岛市58中模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则( )A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线EF 与直线AD 1平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 答案 BC解析 A 项，若D 1D ⊥AF ， 又因为D 1D ⊥AE 且AE ∩AF ＝A ， 所以DD 1⊥平面AEF ， 所以DD 1⊥EF ，所以CC 1⊥EF ，显然不成立，故结论错误； B 项，直线EF ∥直线BC 1， 又直线BC 1∥直线AD 1， 所以EF ∥AD 1，故结论正确；C 项，如图所示，连接D 1F ，D 1A ，延长D 1F ，AE 交于点S ，因为E ，F 分别为BC ，C 1C 的中点， 所以EF ∥BC 1， 又BC 1∥AD 1， 所以EF ∥AD 1，所以A ，E ，F ，D 1四点共面， 所以截面即为梯形AEFD 1， 又因为D 1S ＝AS ＝42＋22＝25，AD 1＝22，所以1△AD S S ＝12×22×(25)2－⎝⎛⎭⎫2222＝6， 所以1AEFD S 梯形＝6×34＝92，故结论正确；D 项，设点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为h 1，h 2， ∵V C －AEF ＝13S △AEF ·h 1＝V A －CEF ＝13×1×12×2＝13，V G －AEF ＝13S △AEF ·h 2＝V A －GEF ＝13×1×22×2＝23，∴h 1≠h 2，故结论错误．6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜程度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图(3)所示时，AE ·AH 为定值答案AD解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH 为定值，故D正确．7．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC，平面ABD解析如图，连接AM并延长交CD于点E，连接BN并延长交CD于点F，由重心性质可知，E，F重合，且E为CD的中点，∵EMMA＝ENBN＝12，∴MN∥AB，又AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，∴MN∥平面ABD，又AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．9．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②P A∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．答案①②③④解析先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．①∵E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，∴EF∥AD，GH∥BC，∵AD ∥BC ，∴EF ∥GH ， ∴EF ，GH 确定平面EFGH ，∵EF ⊂平面EFGH ，AD ⊄平面EFGH ， ∴AD ∥平面EFGH ，同理AB ∥平面EFGH ，AB ∩AD ＝A ， AB ，AD ⊂平面ABCD ，平面EFGH ∥平面ABCD ，所以①正确； ②连接AC ，BD 交于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，G 为PC 的中点， ∴OG ∥P A ，OG ⊂平面BDG ，P A ⊄平面BDG ，∴P A ∥平面BDG ，∴②正确； ③同②同理可证EF ∥平面PBC ，∴③正确； ④同②同理可证FH ∥平面BDG ，∴④正确； ⑤EF ∥GH ，GH 与平面BDG 相交， ∴EF 与平面BDG 相交， ∴⑤不正确．11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .证明 (1)如图，连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AE ，BC ＝AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ， AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点， 所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面P AD ，FH ⊄平面P AD ， 所以FH ∥平面P AD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， 所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面P AD ，OH ⊄平面P AD ， 所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ， 所以平面OHF ∥平面P AD . 又因为GH ⊂平面OHF ， 所以GH ∥平面P AD .12.(2021·银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥S －ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝DC ＝SA ＝12BC ＝2，点E ，G 分别在线段SA ，AD 上，且SE ＝AE ，AG ＝GD ，F 为棱BC上一点，且CF ＝1.证明：平面SCD ∥平面EFG .证明 因为点E ，G 分别在线段SA ，AD 上，且SE ＝AE ，AG ＝GD ， 故EG ∥SD ，又EG ⊄平面SCD ，SD ⊂平面SCD ， 故EG ∥平面SCD ； 因为∠ADC ＝∠BCD ＝90°， 故AD ∥BC ，因为GD ＝FC ＝1，故四边形GDCF 为平行四边形，故GF ∥CD ；又GF ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，故GF ∥平面SCD ， 因为GF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， 所以平面SCD ∥平面EFG .13．(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.则以下四个说法中正确的是( )A ．MN ∥平面APCB ．C 1Q ∥平面APC C ．A ，P ，M 三点共线D ．平面MNQ ∥平面APC 答案 BC解析 对于A 项，连接MN ，AC ， 则MN ∥AC ，连接AM ，CN ， 易得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的； 对于B 项，由A 项知M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，AN ⊂平面APC ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的；对于C 项，由A 项知A ，P ，M 三点共线是正确的； 对于D 项，由A 项知MN ⊂平面APC ， 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．14．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________． 答案 8解析 如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.15．(2021·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且P A 1∥平面AMN ，则P A 1的长度范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤1，52 B.⎣⎡⎦⎤324，52 C.⎣⎡⎦⎤324，32D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 B解析 取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ，∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且P A 1∥平面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值A 1O ，A 1O ＝⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫242＝324， 当P 与E (或F )重合时，P A 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52. ∴P A 1的长度范围为⎣⎡⎦⎤324，52. 16.(2021·宜昌调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，P A ＝AB ＝2，AD ＝3BC ＝3，E 在棱AD 上，且AE ＝1，若平面CEF 与棱PD 相交于点F ，且平面CEF ∥平面P AB .(1)求PF FD的值； (2)求点F 到平面PBC 的距离．解 (1)∵平面CEF ∥平面P AB ，且平面CEF ∩平面P AD ＝EF ，平面P AB ∩平面P AD ＝P A ， ∴P A ∥EF ，又AE ＝1＝13AD ，∴PF ＝13PD ，∴PF FD ＝12. (2)∵F 为PD 的三等分点，∴F 到平面PBC 的距离等于D 到平面PBC 的距离的13， 设D 到平面PBC 的距离为h ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又∵BC ∥AD ，AB ⊥AD ，∴BC ⊥AB ，∵P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ，由等体积法得V D －PBC ＝V P －BCD ，即13S △PBC ·h ＝13S △DBC ·P A ， ∵P A ＝AB ＝2，AD ＝3BC ＝3，∴PB ＝22，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PB ·BC ＝2，S △DBC ＝12BC ·AB ＝1， ∴h ＝2，∴F 到平面PBC 的距离等于23.。
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能 异面．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
[典型母题]
[一题多变]
(2015· 南通模拟)如图所示,斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的中点． (1)证明 AD1∥平面 BDC1. (2)证明 BD∥平面 AB1D1. [证明] (1)∵D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
[类题通法]
证明直线与平面平行，一般有以下几种方法 (1)若用定义直接判定，一般用反证法；
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与 已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一 个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
基础盘查二
平面与平面平行的判定与性质
(一)循纲忆知
1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中面面平行的有关性质与判定定理， 并能够证明有关性 质定理．
2． 能运用面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行 关系的简单命题．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
2．(2015· 潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若 m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条 件是 A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2 ( )
解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行,那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β， 因此选D.
高考数学复习第七章 第四节直线、平面平行的判定及其性质
考向 1 线面平行的判定与性质 【典例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线 和它们的交线的位置关系是_______. (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN. 求证：MN∥平面AA1B1B.
【思路点拨】(1)把文字叙述转化为符号叙述，然后利用线面 平行的性质，将线面平行转化为线线平行. (2)“线线平行”“线面平行”“面面平行”是可以互相转化 的，本题可以将问题转化为“证明MN与平面AA1B1B内的某一条 直线平行”来解决，也可转化为“证明MN所在的平面与平面 AA1B1B平行”来解决.
)
【解析】选D.因为直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相
交或直线a在平面α内，所以选项A，B，C均不正确.故选D.
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是 ________(只填序号). ①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1. 【解析】借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线， 故③错误. 答案:①②④
∵CD⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC.
又EF⊂平面AA1B1B，MN 平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B.
方法二：过M作MQ∥BB1交BC于Q，连接NQ.
∵MQ 平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B， ∴MQ∥平面AA1B1B. 由MQ∥BB1得 CM CQ .
CB1 CB
又CM=DN，CB1=DB， ∴ CM CQ DN ，
则 ME B1M , NF BN .
BC B1C AD BD
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
CM=DN，BD=B1C，