广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题 含答案
1
广东省深圳市2020年高三年级第二次调研考试
数学(理科)
2020．6
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设
2
1(1)izi+
=
−
则|z|=
A．
1
2
B．22 C．1 D．2
2．已知集合
2{|2},{|320},x
AyyBxxx===−+
则
A．A∩B= B．A∪B=R C．AB D．BA
3．设α为平面，m，n为两条直线,若m⊥α,则“m⊥n”是”nα”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线
22
22
:10,0)(yxCabab−=
的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为
A．2 B．2 C．3 D．3
5．已知定义在R上的函数f(x)满足()()2,fxfx+=当01x时，13()fxx=，则178f=
A．12 B．2 C.18 D．8
6.若x1，x2，…，xn 的平均数为a，方差为b，则
1223,23,23n
xxx+++
的平均数和方差分别为
A．2a，2b B．2a，4b C．2a+3，2b D．2a+3，4b
7．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若
24
4,2,SS==
则6S=
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
8．函数
()
()
14sin2xxxfx−
=
的部分图象大致为
2
9已知椭圆C：
22
2
13xya+=
的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|=|FP|,则C的方
程为
A．
221123xy+= B.22183xy+= C．22163xy+= D.22
143xy+=
10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均
为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则ABCD=
A．24 B．26 C．28 D．32
11．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，
该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,nnnaaan+++=+N故此数列称为斐波那契数
列，又称“兔子数列”，其通项公式为
11515()().225nnna+−
=−
(设n是不等式
2
log(15)(15)211xxx+−−+
的正整数解，则n的最小值为
A．10 B．9 C．8 D．7
12．已知直线y=与函数()()()sin01xfx=+的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依
次记为A，B，C，且满足()*.NACnBCn=有下列结论：
①n的值可能为2
②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称
③当φ=6时，有且仅有一个实数ω，使得(),11fx−++在上单调递增;
3
④不等式nω>1恒成立
其中所有正确结论的编号为
A．③ B．①② C．②④ D．③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线y=xlnx在点(1,0)处的切线方程为 ▲
14.若x，y满足约束条件
20,0,30,yxyxy−
−
+−
则yzx=的最大值为 ▲
15．志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有
▲ 种分配方案
16．已知正方形ABCD边长为3，点E，F分别在边AB，AD上运动(E不与A，B重合，F不与A，D重
合)，将△AEF以EF为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF体积的最大值为 ▲
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17．(本小题满分12分)
ABC
中，D为BC上的点，AD平分∠BAC，AD=5，AC=8，△ACD的面积为103．
(1)求CD的长；
(2)求sinB
18．(本小题满分12分)
如图，三棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AA
1
的中点，
111
23
2.3CAFBEABAEB==⊥，
(1)证明：
1
EFCEB⊥平面
;
(2)求直线EF与平面CFB1所成角的大小.
4
19．(本小题满分12分)
足球运动被誉为“世界第一运动”为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进
行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
(1) 下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球
社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ζ，
求()E;
(2)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者
再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的
人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第1n+次触球者()N,n+第n次触球者是甲的概率记为P
n
.
(i)求P1，P2，P3(直接写出结果即可);
(ii)证明：数列{Pn-13}为等比数列.
20．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，P为直线l0：x=-4上的动点，动点Q满足0PQl⊥，且原点O在以PQ为直径
的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程：
(2)过点E(2，0)的直线l1与曲线C交于A，B两点，点D(异于A，B)在C上，直线AD，BD分别与x轴交
于点M，N，且3AAMD=,求△BMN面积的最小值。
5
21．(本小题满分12分)
已知函数1()cos(0)axfxexa−=.其中常数2.71828,e是自然对数的底数)
(1)若3,a=求f(x)在
0,
2
上的极大值点 ；
（2）（i）证明()20,1afxa+在上单调递增;
(ii)求关于x的方程
1
()afxe−=
在[0,]2上的实数解的个数.
(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，
则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在
直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使
直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中||2,||1,MAMB==如图，以两条导槽的交点为原点O，
横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系.
(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为,(02)用φ表示点M的坐标，并求出C的
普通方程；
(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为)(02的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直
线l2与C交于G，H两点，当11,||,||||GHFEFD依次成等差数列时，求直线l
2
的普通方程。
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为正实数，且满足1.abc++=证明：
11
(1)|||1;22abc−++−
（2)333222111()()3.abcabc++++
6
7
8
9
10
11
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13
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2020届广东省深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题及答案精品
0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 5 页 共 6页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如 果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于
5
5
A． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4,6) 在直线 3x − 2y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
A． 2 3
B． 3 2
2020年广东深圳市高三数学第二次调研测试卷 新课标 人教版
2020年广东深圳市高三数学第二次调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回． 参考公式：(1)如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； (2)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{n a }中，已知42=a ，83=a , 则4a 的值为A ．16B ．14C ．12D ．10 2．抛物线24x y =的准线方程是A ．1-=xB ．1-=yC ．161-=x D ．161-=y 3．函数x x y cos sin 3+=的一个单调增区间是A ．]3,32[ππ- B ． ]6,65[ππ- C ． ]34,3[ππ D ． ]67,6[ππ4．在6)1(-x 的展开式中，x 的指数为奇数的所有项的系数和为A ．64B ． 0C ．32D ．32-5．已知直线l ，平面α、β，满足βα⊄⊄l l ,．在βααβ⊥⊥,,//l l 这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构造的命题中，真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．已知圆024:22=++-+f y x y x C 与y 轴交于A 、B 两点，若0=⋅，则f 的值等于A ．3-B ．3C ． 8D ．22 7．已知函数)(x f 满足1)21()(+=x x f ，)(1x f-是)(x f 的反函数，则函数)1(1-=-x fy 的图象是A ．B ．C ．D ． 8．集合}0))((|{},012|{<--=<+-=b x a x x B x x x A ，若“2-=a ”是“∅≠B A I ”的充分条件，则b 的取值范围是A ．1-<bB ．1->bC ．1-≥bD ．21<<-b9．已知⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=]1,0(22]0,1[1)(x x a x x ax x f ，若)(lim 0x f x →存在，则)(x f 的最大值是 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 10.当y x ,满足条件1<+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是 A ．)3,3(- B ．)31,31(- C ．)31,21(- D ．)21,31(-第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．11．已知非零向量a ρ、b ρ满足b a b a ρρρρ⋅=⋅2，则a ρ与b ρ夹角的大小为 ．12．已知复数yi x z +=),(R y x ∈，满足0)1(=++i z i ，则22y x +=________． 13．将4名大学生分配到3个企业去实习，不同的分配方案共有 种；如果每个企业至少分配去1名学生，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）． 14．如图，11=OA ，直角三角形),3,2,1(1Λ=+n A OA n n 的直角边n A A n n =+1，记n n OA a =),3,2,1(Λ=n ，则数列}{n a 的通项公式为 ．三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；O1A 2A 3A 4A 5A 6A ┌└（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o ．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；ABCD1A 1B 1C（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求)(lim n n n b S +∞→的值．20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．[参考答案]说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分(第13题前空2分，后空3分)，满分20分．11． ο60 ． 12．21 ． 13．81；36． 14．222+-n n ．三、解答题15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x， ………………………2分3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ． …………………5分 （Ⅱ） 原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=…………………10分1cot +=x1)43(+-= 41=． …………………12分16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分 （Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C BA 的侧棱长为x ．取BC 中点E，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥． 又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． ……………2分在AED Rt ∆中，tan 45AEED==o，解得x =． …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又ABD 1A 1B 1C EFG H I1,sinCDBE EBFBD=∠===∴EF=．又AE=∴在AEFRt∆中，tan3AEAFEEF∠==．…………………………8分故二面角CBDA--的大小为arctan3．…………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，∴过E作EG AF⊥于G，则EG⊥平面ABD．…………10分在AEFRt∆中，10AE EFEGAF⨯===． (12)分Q E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为2EG=．…………13分解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由,CA CB=DA DB=，易得平面ABD⊥平面CHD，且交线为DH．过点C作CI DH⊥于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCDV V--=可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D-设1(,,)n x y z=r为平面ABD的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,021nABnρρ得yy⎧=⎪-=取1(n=u r…………6分1又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r…………7分∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． …………8分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为． …………9分 （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(n =ur(0,CA =-u u u r …………10分∴点C 到平面ABD的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分 18． （本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．如遇考生直接根据椭圆的有关性质推导出这个结论，可酌情给分．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求)(lim n n n b S +∞→的值．解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ． …………………………2分 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ； …………………………4分 当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-． …………………………6分 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ． ………………… 7分 （注：如遇考生用数学归纳法推证通项公式，可酌情给分）（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=， ……………………8分 n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（2） （1）、（2）两式相减， 得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S Λ ……………10分 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴． …………………………12分 （Ⅲ）n n n n n n n b S )21(43)21()12()21()32(3⋅-=⋅-+⋅+-=+Θ，∴3)(lim =+∞→n n n b S ． …………………………14分 20．（本题满分14分） 已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ． （Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-， 又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ． (2)由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根， ⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ， 即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分 把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ， 则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ． 依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅， 即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+nn Θ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ，3136<∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a Λ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅， 解得3136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)试题
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(1)由sin2 B sin Asin C及正弦定理可得b2 ac,
所以cos B a2 c2 b2 ≥ 2ac ac 1 ,
2ac
2ac 2
而0 B , 所以0 B ≤ π
3
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(2) 在平面ABCD内过点A作直线AD的垂线Ax,
SA 平面ABCD, SA AD, SA Ax,
所以直线AS、Ax、AD两两垂直,以点A为坐标原点, 分别
以直线Ax、AD、AS为
z
S
x、y、z轴建立如图所
示空间直角坐标系,
过点B作BE AD
交直线AD于E .
A
E
AD / / BC, AB BC CD 1,
A. 2 3
3 B.
2
3 C.
3
D. 3
AC AD AB BC AD AB AD BC AD
3 BD AD
3 BA AD AD
A
2
3 AD 3
B
D
C
6.已知一个四棱锥的高为3, 其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形 ?则此四棱
锥的体积为( D )
AF / / BC, 且AF BC 1,四边形ABCF是平行四边形,
CF / / AB,
S
又因为CF 平面SAB,
AB 平面SAB,CF / / 平面SAB
P
FP CF F ,
平面PCF / / 平面SAB,
A
F
又CP 平面SAB,
D
CP / / 平面SAB
B
广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三下学期第二次调研数学(理)试题 Word版含解析
- 1 - 2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2.用2B铅笔将考生号及试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合24,x2AxxBxx，则AB（ ） A. 22xx B. 2xx C. 1xx D.
2xx
【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式可得集合,AB，根据并集的概念即可得结果. 【详解】由2422Axxxx，21Bxxxxx，则2ABxx
故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题. 2.设复数z的共轭复数是z，且1z，又复数z对应的点为Z，(1,0)A与(0,1)B为定点，则函数()(1)()fzzzi取最大值时在复平面上以Z，A，B三点为顶点的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 - 2 -
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 假设cossinzi，根据模长公式构造关于fz的函数，从而可确定当fz取最大值时，的取值，从而求得z；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【详解】1z 可设cossinzi 1cos1sincossinzziiii
2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试：理科数学试题
绝密★启用前 试卷类型：B2020年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试理 科 数 学2020.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2．用 2B 铅笔将考生号及试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}24,x 2A x x B x x =<=<-，则A B =U （ ）A ．{}22x x -<<B ．{}2x x <C ．{}1x x >-D ．{}2x x >-2．设复数z 的共轭复数是z ，且1z =，又复数z 对应的点为Z ，(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()(1)()f z z z i =+-取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形3．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图像过两点()0,,,0,24A B f x π⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则()f x =（ ）A ．()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()3sin 54f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 74f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()3sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12CD ．235．若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名. 现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为A ．61B ．52C ．53D ．32 6．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) ABCD7.已知函数f(x+2)(x ∈R )为奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当x ∈[0,1]时,(),2020xf x =则f ( 2020)=( ) A .20201.2020B1.1010C D .08.在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,已知点P 是正方形''AA D D 内部(不含边界)的一个动点,若直线AP 与平面''AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与'DC 所成角的余弦值相等,则线段DP 长度的最小值是( )D.439.已知F 是椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点, 若|PF|=3|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( )A1.2BCD 10.如图，斜△ABC 满足tan A +tan B =4+23，1=AB ，AB < max{AC BC ,}，其中max {a , b }表示 a ， b 中较大的数（a =b 时定义max {a , b }=a =b ）. 线段 AC 的中垂线上有一点 D ，过点 D 作 DE ⊥BC 于点E ，满足CE BE AB =+，则点 D 到△ABC 外接圆上一点的距离最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111.若设0sin a xdx π=⎰，则6⎛ ⎝ 的展开式中的常数项是（ ） A ．-160 B ．160 C ．-20 D ．2012.已知,,,m n s t 为正实数,4m n +=,9m n s t +=,其中,m n 是常数,且s t +的最小值是89,满足条件的点(,)m n 是双曲线22128x y -=一弦的中点,则此弦所在的直线l 的方程为( )A.4100x y +-=B.220x y --=C.4100x y +-=D.460x y --=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为 14.方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间[0,2π]上的解为____ _15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 1:= 1的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 . 直线l : m (2-y )+(1-2m )x =y +1 （m ∈R ）交椭圆于 P ， Q 两点，直线 A 1P 和直线 A 2Q 相交于椭圆外一点 R ，则点 R 的轨迹方程为．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，1AB BC AD 12===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P-ABCEF 的体积的取值范围为______．三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
2020深圳、广州二调-理科数学试题
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的
A．4 B．3 C．2 D．1
a
11.若设
0
sin
xdx
，则
a
x
1 6
x
的展开式中的常数项是（
）
A．-160 B．160
C．-20
D．20
2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理科数学试题 第 3 页 共 7 页
12.已知 m, n, s,t 为正实数, m n 4 , m n 9 ,其中 m, n 是常数,且 s t 的最小值是 8 ,满足条
方程：
M1 (R r)2
M2 r2
(
R
r
)
M1 R3
.设
r R
，由于
的值很小，因此在近似计算中
3 3 3 4 5 (1 )2
3 3 ，则
r 的近似值为(
)
A． M 2 R M1
B． M 2 R 2M1
C． 3 3M 2 R M1
D． 3 M 2 R 3M1
2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理科数学试题 第 2 页 共 7 页
2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试 理科数学试题 第 6 页 共 7 页
（2）若方程
f
x
0 的两个根分别为
【答案】2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)
（2）设直线 BM 的斜率为 k ， M (x0 , y0 ) ，则 k y0 x2
, k y0
3
x0 2
,k k y02 ，
3
x02 12
又 x02 12
y02 4
1, x02
12 3y02,k k
1 ，………………………………………………10 分
3
k
1 2
,
1 3
2 ，即 2 sin2 A C sin B 1的取值范围是 (1,
2] ．……………12 分
4
2
18．解析：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时， CP / / 平面 SAB ．证明如下： 取 SA 的中点 F ，连接 FP, FB, PC ，则 FP 1 AD ，………………………………………………2 分
F
O
C
a2
B
所以离心率 e 3( 2 1) 6 3 ．
17．解析：（1）由 sin2 B sin Asin C 及正弦定理可得 b2 ac ，………………………………3 分
a2 c2 b2 2ac ac 1
π
所以 cos B
≥
，而 0 B ，所以 0 B ≤ ．…………………6 分
A
E
Dy
n2 SD 2 y2 z2 0
3 1
，
n2 DC 2 x2 2 y2 0
xB
C
取 x2 1，则 y2 3, z2 2 3 ，从而 n2 (1, 3, 2 3) ．…………………………………10 分
cos
n1, n2
n1 n2 n1 n2
2 1 ，
解得 7 a 24 ．
4．答案：C
1