浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷(含答案)
1
浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试
数学试卷
参考公式:
如果事件A､B互斥,那么P(A+B)= P(A)+ P(B)
如果事件A､B相互独立,那么P(A·B)=P(A) ·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率为p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
()(1)nknnkkPkCpp−=−
(k =0,1,2,…,n)
台体的体积公式：11221(),3SVSSS=++其中12,SS表示台体的上､下底面积,h表示棱台的高. 2.若复数21aii+−(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为 3. 若x,y满足约束条件42yxxyy+−,则z=x+2y的最大值是 6. 已知在三棱柱111ABCABC−中,M,N分别为11,ACBC的中点,E,F分别为1,BCBB的中点,则直线MN 3. 已知函数21,0()ln,0,axxfxxx+=下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是 .,2A+ .,2B+ .,2C+ .,2D+ 11. 若双曲线221xya−=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 13.已知a∈R,若二项式(1)nax+的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 14.已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且,,2Ac+ bcosA- acosB=2acosA,则ba=_____内 17. 设a, b∈R,若函数3221()(1)32fxaxbxax=++−在区间[-1,1]上单调递增,则a+b的最大值为 19. (本小题满分15分) 20. (本小题满分15分) 21.(本小题满分15分) 22. (本小题满分15分) (I)若1,2a=证明: f(x)≥0;
柱体的体积公式：VSn=.其中S表示柱体的底面积,nh表示柱体的高.
锥体的体积公式：13Vsh=.其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.
球的表面积公式：24SR=.
球的体积公式：343VR=.其中R表示球的半径.
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1
A. -2 B. -1 C.1 D.2
A.8 B.6 C.4 D.2
4.设a∈R,则“a>2”是“方程22220xyaxy++−+=的曲线是圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在下面四个[,]x−的函数图象中,函数y=|x|cos2x的图象可能是
2
与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为
A.平行､平行 B.异面､平行 C.平行､相交 D.异面､相交
7. 口袋中有相同的黑色小球n个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球
的数目,n表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是
A. E(ξ)
A.当a=0, m∈R时,有且只有1个 B.当a>0,m≤-1时,都有3个
C.当a<0,m<-1时,都有4个 D.当a<0,-1
点除外),记VM与AB所成角为α, VM与底面ABC所成角为β,二面角A-VC-B为γ,则
10. 设a∈R,数列{}na满足a3112,(2),nnnaaaaa+−==−−
A.当a=4时,a10>210 B.当2a=时,a10>2
C.当13a=时,a10>210 D.当165a=时,a10>2
非选择题部分(共110分)
二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡
12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.
3
项的系数是_____.
角B的取值范围是_____.
15.已知椭圆22:1,97xyC+=F为其左焦点,过原点O的直线1交椭圆于A,B两点,点A在第二象限,且∠
FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.
16. 已知非零平面向量a,b,c, 满足a·b=a2, 3c=2a+b,则||||bcbc的最小值是___.
______.
三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
18. (本题满分14 分)
已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()]4.2fxfx++=
(I)求实数a的值;
(II)设0,2a且2()(),23ff+=求sin2α.
4
如图,在四棱锥C-ABNM中,四边形ABNM的边长均为2,△ABC为正三角形,MB=6，MB⊥NC,E,F
分别为MN,AC中点｡
( I )证明:MB⊥AC;
(II)求直线EF与平面MBC所成角的正弦值｡
设等差数列{}na的前n项和为,nS已知: a5= 2a2+3且92,,aSa14成等比数列.
(I )求数列{}na的通项公式;
(II)设正项数列{}nb满足2112,nnnbSs++=+求证:121.nbbbn++++
如图,已知抛物线22(0)xpyp=的焦点为F(0,1), 过F的两条动直线AB, CD与抛物线交出A､B､C､
D四点,直线AB, CD的斜率存在且分别是112(0),.kkk
(I )若直线BD过点(0,3),求直线AC与y轴的交点坐标
(II)若k1 -k2=2, 求四边形ACBD面积的最小值.
已知函数3()ln.fxaxaxxx=−−其中a∈R.
(II)若11()xxefx−−在x∈(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
浙江省金华市十校2025届高考数学一模试卷含解析
浙江省金华市十校2025届高考数学一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ） A ．20-B ．60C ．70D ．802．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．23．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．54．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．05．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <6．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ）A ．12B ．2C ．22D ．27．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．28．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．33B 3C ．2或233D ．2310．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．211．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92 B ．9C ．5D ．5212．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省金华十校2021届高三下学期4月模拟考试数学试题 含答案
2
（Ⅰ）求 a，b 的值；
（Ⅱ）证明：当 x (0,6) 时， f (x) −3x ． x+6
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浙江省金华十校 2021 届高三下学期 4 月模拟考试
数学评分标准与参考答案
一、选择题（ 4 10 = 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
B
D
A
C
D
C
D
D
A
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分）
1
3．若实数
x，y
满足约束条件
y x
−
| x |, 3y +
2
则 z = 3x − y 的最 −2
4．己知奇函数 y = g(x) 的图象由函数 f (x) = sin(2x +1) 的图象向左平移 m(m 0) 个单位后得到，则 m
可以是（ ）
（Ⅱ）证明： 1 + 1 + + 1 n ．
b1 b2
bn 2
4
21．（本题满分 15 分）
如图，已知抛物线 y2 = 4x ，过点 P(−1,1) 的直线 l 斜率为 k，与抛物线交于 A，B 两点．
（Ⅰ）求斜率 k 的取值范围； （Ⅱ）直线 l 与 x 轴交于点 M，过点 M 且斜率为 −2k 的直线与抛物线交于 C，D 两点，设直线 AC 与直线
为 ，则 E( ) = _______，第二次取到 1 个白球 1 个黑球的概率为_________．
16．已知等比数列 an
的公比为
q
前
n
浙江省金华十校高三数学4月模拟考试试题 文(含解析)新人教A版
2012-2013学年浙江省金华市十校高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．U2．（5分）（2013•金华模拟）复数z=的虚部为（）z=的虚部为﹣3．（5分）（2013•婺城区模拟）“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）y=垂直，垂直，则﹣a•a=y=5．（5分）（2013•婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（）．2，∴f（﹣2﹣6．（5分）（2013•婺城区模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）=7．（5分）（2013•金华模拟）已知a＞0，b＞0，a、b的等比中项是1，且，则m+n的最小，，又8．（5分）（2013•金华模拟）已知抛物线y2=4px（p＞0）与双曲线有相同的．|AF'|=2∴双曲线的焦距（e==9．（5分）（2013•金华模拟）△ABC中，点P满足，则△ABC一定是中点，由可得点，可得，从而得到三角形ABC的边BC上的中线与高线重合，可得三角形解：∵，，故点，∴，即10．（5分）（2013•金华模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线OAB，设g（x）=f[f（x）]，则满足方程g（x）=x的根的个数为（）=二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•金华模拟）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70]的汽车大约有80 辆．12．（4分）（2013•婺城区模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的k= 4 ．13．（4分）（2013•金华模拟）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有2个红球，3个黑球，1个白球．从袋中任取两球，两球颜色为一红一黑的概率为．根据所有的取法共有解：所有的取法共有=15=．14．（4分）（2013•金华模拟）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．22MN=2≥2≤1，化简得）≤0，∴﹣≤k≤0，﹣15．（4分）（2013•金华模拟）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 5 ．可得16．（4分）（2013•金华模拟）若函数f（x）=sin2x+acos2x的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是偶函数，则a的值为﹣．）的解析式为x+）=sin2x+acos2x=的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的x+））=±=sin+acos=﹣，∴=0．17．（4分）（2013•金华模拟）设函数y=f（x），x∈R的导函数为f′（x），且f（x）=f（﹣x），f′（x）＜f（x），则下列三个数：从小到大依次排列为f（3），ef（2），e2f （﹣1）．（e为自然对数的底）故三个数：三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤．18．（14分）（2013•婺城区模拟）己知函数三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．（I）求角B的大小；（II）若，求c的值．2x+2B+）2B++2k）∵sinxcosx=x==sin2x+）2B+）∴2B+=B=B=；（2ccos即当19．（14分）（2013•金华模拟）己知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3=45，a1+a4=14．（I）求数列{a n}的通项公式及前，n项和S n；（II）设，若数列{b n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列的前n项和T n．，解得因此=2n（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，即．===．20．（14分）（2013•金华模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．（I）证明：MC∥平面PAD；（II）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．EM=AB∵NC=PC=PB=中，cos∠MCN==所成角的余弦值为21．（15分）（2013•金华模拟）已知函数，其中a为大于零的常数．（I）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（II）设函数，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥lnx0成立，求实数p 的取值范围．（e为自然对数的底）p≥（，，[]，+∞）上单调递增，所以p≥（=lnx+≥f（所以+1≥1+1＞22．（15分）（2013•婺城区模拟）已知抛物线点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足，O为坐标原点．（I）求抛物线C的方程；（II）以M点为起点的任意两条射线l1，l2的斜率乘积为l，并且l1与抛物线C交于A、B两点，l2与抛物线C交于D、E两点，线段AB、DE的中点分别为G、H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．（Ⅰ）∵，∴得到，则，代替=：。
浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题及答案
浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量，，且，则（ ）(),2a x = ()1,2b =- a b ⊥a =A ．B ．4C ．D ．2．已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（ ）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A ．6B ．7C ．8D ．93．已知，则的值为（ ）()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++3a A ．B ．0C ．1D ．21-4．若复数，则的最大值为（ ）23i i i i n z =+++⋅⋅⋅+*N n ∈zA ．1B C D ．25．已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差{}n a *1,N n b ∈{}n b a {}n b 数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为R O AB αB BCD △αR 的正三角形，线段分别与球面交于点，那么三棱锥的体积是,AC AD ,M N A OMN -（ ）A B C D 33337．设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在()2e =-+xf x ax ax R a ∈e 2.718= 两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（ ）m n ()0f m <()0f n <a A ．B ．24e e ,212⎛⎤ ⎥⎝⎦34e e ,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．32e e ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦24e e ,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线222x y c +=2C交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为、，若椭圆1k 2k 1C 12k k ⋅的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．452二、多选题9．已知 ，，则（ ）1sin cos 5θθ+=()0,πθ∈A ． B ． 12sin cos 25θθ=-sin cos 1225θθ-=C ． D ．7sin cos 5θθ-=4tan 3θ=-10．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运动，1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 并且总是保持，则下列结论正确的是（ ）1AP BD ⊥A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段上1BC C ．平面1BD ⊥11A C DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为11BCC B ⎫⎪⎪⎭11．设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A ，B 两点，则以1F 2F 22143x y +=l 1F 下说法正确的是（ ）A ．的周长为定值8B ．的面积最大值为2ABF △2ABF △C ．的最小值为8D ．存在直线l 使得的重心为2212AF AF +2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭12．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，{}n a ()1*111,e cos ,n a n n n a a a n S ++==-∈N n 则（ ）A ．B ．1n n a a +>211n n n a a a ++<+C ．D ．n a ≤n S <三、填空题13．已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件()0,0O ()3,0A l P 2PA PO =的其中一条直线的方程__________．l 14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学()98,100X N 成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,()2~,X N μσ则，.()0.6826P X μσμσ-<<+=(22)0.9544P X μσμσ-<<+=15．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，ABCD αA 4AB =BC =，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的AB BC αABCD α正切值为______．16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，M 为的111ABC A B C 2CA CB ==AB =13AA =AB(1)证明：平面；1//AC 1B CM (2)求点A 到平面的距离.1B CM 18．记为数列的前项和，已知.n S {}n a n 1111,2n n n n S S a a a +=-=-(1)求的通项公式；{}n a (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.2n an b ={}n b n n T 21n T -19．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球1-或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的12概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．1213(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．记的内角的对边分别为.已知.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos tan A B C ==(1)求；2A C +(2)证明：.25c b a >>21．已知抛物线，圆是上的一点.21:C x y =222:(4)1,C x y P +-=1C (1)设是上的一点，求的最小值；Q 2C PQ (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.P 2C 1C ,A B P PA PB =P 22．已知函数.()()11ln ,2f x x g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭(1)证明：当时，；1x ≥()()f x g x ≤(2)设为正实数且.,a b a b（i ）若；b a a b =e >（ii ）若，证明：.1a b +=b a a b a b a b +<+参考答案：1．D【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得.x 【详解】由，可得，a b ⊥220x -+⨯=所以，，4x =()2,2a =||a ===故选：D.2．C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.3．B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.()()()()5551111x x x x x =--+--【详解】因为，展开式第项()()()()5551111x x x x x =--+--()51x -1r +，当时，，当时，55155C (1)C (1)r r r rr r r T x x --+=-=-3r =33235C (1)10x x x ⋅-=-2r =，故，即.22335C (1)10x x -=333310100a x x x -+==30a =故选：B 4．B【分析】分、、、四种情()*4N n k k =∈()41N n k k =+∈()42N n k k =+∈43n k =+()N k ∈况讨论，分别求出，即可得到，从而得解.z z 【详解】解：因为，，，，，1i i =2i 1=-3i i =-41i = ，，，，，且，41i i k +=42i 1k +=-43i i k +=-4i 1k =N k ∈234i i i i 0+++=所以当，时，则，4n k =()*N k ∈0z =0z =当，时，则，41n k =+()N k ∈i z =1z =当，时42n k =+()N k ∈1i z =-+=当，时，则，43n k =+()N k ∈1z =-1z =所以的最大值为z 故选：B 5．C【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.【详解】设等比数列的公比为，若是等比数列，则为常数，{}n a q {}n b a 1111111n n n n n nb b b b b b a a q q a a q+++---==由为常数，所以是等差数列；211n n q b b +≠⇒-{}n b 若是等差数列，设的公差为，则为常数，所以是{}n b {}n b d 1111111n n n n n nb b b b d b b a a q q q a a q+++---==={}n b a 等比数列.综上，“是等比数列”是“是等差数列”的充要条件.{}n b a {}n b 故选：C 6．A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出的面AOP 积及三棱锥的体积.【详解】连接，因为为直径，,,,BM MN OM ON AB 所以，在Rt 中，，BM AM ⊥ABC Rt BCM RtACB 所以，即，BC CMAC BC=2CB CM AC=⋅其中，所以，AC ==,CM AM ==易证，所以，AMN ACD ∽4455MN CD R ==取的中点的中点，连接，MN ,P CD Q AQ 则必过点，于是，AQ P ()2122ABQ S R ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭又，14,25AO AB AP AQ ==所以1114sin sin 2225AOP S AO AP OAP AB AQ OAP∠∠⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 141sin 252AB AQ AOP ∠⎛⎫=⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭，2214142525ABQ S R ⎫=⨯=⨯⨯=⎪⎪⎭于是.23114335A OMNAOP V S MN R -⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故选：A 7．A【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构1x >2e xa x x >-造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得()2e =-+xf x ax ax (1)e>0f =,m n ，则，()()00,f m f n <<1,1m n >>当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，1x >2e ()0x f x a x x <⇔>-2e xa x x>-令，求导得：，由得，由2e (),1x g x x x x =>-222(31e ()())x x x x g x x -+'=-()0g x '<1x <<得()0g x '>x >因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，()g x )+∞23<<则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两2e (2)2a g >=322e e e e (3)(2)6232g g ==⋅<=个，于是得，所以实数的取值范围是.4e (4)12a g ≤=a 24e e 212a <≤故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.8．D【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到22221x y a b +=22221x y s t-=，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得2225b a =222252x y a +=222x y c +=A到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合,,B C P :CP y x ⎫=⎪⎪⎭A 得到，，得到双曲线方程，联立2222232s t a b b +=-=222b s =22t b =222221x y b b-=，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭,Q 12,k k 得到乘积.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，22221x y a b +=22221x y s t -=则，22222a b s t c -=+=由，c a =2235a c =因为，所以，222c a b =-2225b a =故椭圆方程为，222252x y a +=联立可得：，，222x y c +=22222223253236x c b b b b =-=-=2223b y =则，A ⎫⎪⎪⎭由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于轴对称，x则，，,B ⎫⎪⎪⎭,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，故,0P ⎫⎪⎪⎭CP k =直线，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭代入中得，①，A ⎫⎪⎪⎭22221x y s t -=222252163b b s t -=又②，22222225322s t a b b b b +=-=-=②①结合得到或，2252b s =222b s =因为，显然，故，所以，2252a b =s a <222b s =2222322b t b b =-=故双曲线方程为，222221x y b b-=联立与得：，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭222221x y b b -=2297056x b -=设，()11,Qx y 则，解得：，217569b =-⋅1x =故1y ⎫==⎪⎪⎭所以，,Q 所以，其中2k ==1k =故.124k k ==故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，12,e e P 122F PF θ∠=则；2212sin cos 1e e θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②若点是椭圆与双曲线的一()00,P x y ()22122:10x y C a b a b +=>>()2222210,0:x y C m n m n -=>>个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.()00,P x y 1C 2C 9．ACD【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A ：因为所以1sin cos ,5θθ+=21(sin cos )12sin cos ,25θθθθ+=+=即，所以A 正确;12sin cos 25θθ=-对于B 、C ：因为，且，249(sin cos )12sin cos ,25θθθθ-=-=()0,πθ∈12sin cos 025θθ=-<所以，即，所以所以B 错误，C 正确;sin 0cos 0θθ><，sin θcos θ0->7sin cos ,5θθ-=对于D ：联立，解得所以，所以D 正确.1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩43sin ,cos ,55θθ==-4tan 3θ=-故选：ACD.10．BC【分析】对A ，由面面平行说明；1113P AA D AA D V S CD -=⋅对B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C ，P 三点共线；1B 对C ，由向量法证，再由线线垂直证平面；1111,DA BD DC BD ⊥⊥1BD ⊥11A C D 对D ，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点P 到平面11BCC B 11BCC B ∥1AA D 1AA D 的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，1AA D 所以，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =--()11,0,1B C =-- 因为，所以，所以，即，所以，1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x (),0,CP x x = 所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，，，，，，()11,0,1A ()10,1,1C ()11,0,1DA = ()10,1,1DC = ()11,1,1BD =--由，111111110,0,DA BD DC BD DA BD DC BD ⋅=⋅=⇒⊥⊥因为，，平面，所以平面，C 正确；11DA DC D ⋂=1DA 1DC ⊂11A C D 1BD ⊥11A C D 对于D ，，，平面的一个法向量为．()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m = 设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．01x ≤≤sin θ≤≤故选：BC ．11．ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A ，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C ，设直线的l 方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心1x my =-2ABF △2ABF △进而判断BD.【详解】由椭圆，可得，22143x y +=2,1a b c ===所以为，故A 正确；2ABF △121248AF AF BF BF a +++==因为，所以，当且仅当取等号，124AF AF +=()221122282AF AF AF AF +≥+=12AF AF =故C 正确；由题可设直线的方程为，由，l 1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2234690m y my +--=设，则，()()1122,,,A x y B xy 12122269,3434m y y y y m m +==-++所以1y-==所以的面积为，2ABF △12112S F F y =-令，，t =1t ≥221m t =-所以，212121313t S t t t ===++因为，由对勾函数的性质可知，1t ≥134t t+≥所以，当，即取等号，故B 错误；2121231313t S t t t===≤++1t =0m =由上可知122634my y m +=+所以，又，()212122268223434m x x m y y m m +=+-=-=-++()21,0F 所以的重心为，2ABF △221821,33434m m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令，解得，221811334621344m m m ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨⎪=⎪+⎩2m =所以当直线的方程为时的重心为，故D 正确.l 21x y =-2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD.12．ACD【分析】A 选项，先构造函数，并研究其单调性，利用()()e cos >0=-xf x x x ()e 1>0>+x x x 进行放缩，利用数学归纳法可证明；B 选项，构造函数，判断其单调性即可；()()2e cos >0=---xf x x x x x C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；D 选项，结合C 选项结论对进行放缩即可证明.n a 【详解】设函数，则，故在上单调()()e cos >0=-xf x x x ()e sin 0x f x x '=+>()f x ()0,∞+递增.用数学归纳法下证.01n a <≤当时，有；1n =1011a <=≤假设当时，有，n k =01k a <≤由于，()()()1001e cos e 1+-=≤=<=<k k f a f f a 所以根据在上单调递增可知，()f x ()0,∞+101+<≤k a 即当时，有.1n k =+101+<≤k a 综上可知，.101+<≤k a 对于A ，令，()e 1,>0=--xg x x x 因为，故在上单调递增，故，()e 10xg x '=->()g x ()0,∞+()()00g x g >=即，即.e 1>0--x x ()e 1>0>+xx x ，故A 正确.11111e cos 1cos +++++=->+->n a n n n n n a a a a a 对于B ，令，，()2e cos ,>0=---x h x x x x x ()e sin 12x h x x x '=+--令，()()m x h x '=()e cos 2xm x x '=+-令，则>0，所以，即在上单调递增，()()n x m x '=()e sin xn x x '=-()n x ()m x '()0,∞+所以，所以即 在上单调递增，()()00m x m '>='()m x ()h x '()0,∞+所以，所以在上单调递增，()()00h x h ''>=()h x ()0,∞+所以，即，即.()()00h x h >=2e cos >0---x x x x 2e cos >-+x x x x 故，故选项B 错误；()12111e cos *++++=->+n a n n n n a a a a对于C ，可用数学归纳法证明：.n a ≤当时，有1n =1110=≤=<a假设当时，有，n k =)0∈<k a k *N若1+k a则由可知()*21111++=>>+>+>k k k k a a a与假设k a ≤1+≤k a故，故C 正确.n a ≤对于D ，当时，，1n ≥2==<=n a故D 正确.112==<==∑∑nnk k k n S a 故选：ACD.【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：（1）可以利用数学归纳法来进行证明；（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.13．（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）1x =l ()2214x y ++=【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆(),P x y 2PA PO =P P 心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.()1,0C -2r =l C【详解】设点，由可得，(),P x y 2PA PO ==整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，()2214x y ++=P ()1,0C -2r =直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，l P 2PA PO =l C 所以，直线的方程可为.l 1x =故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.1x =l ()2214x y ++=14．1500【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.()1080.1587P ξ≥=【详解】因为考试的成绩服从正态分布，X ()98,100N 根据，，则，98μ=10σ=1089810μσ=+=+得，()10.68261080.15872P ξ-≥==即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．945015.87%1500⨯≈故答案为：1500.15【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过B D αE F AE AF几何关系可得到，，过作满足，过2BE DF AF ===AE =EF BD ==A l //l EF E做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出EP l P BP BPE ∠PE =解【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，B D αE F AE AF 由，所以，,,DF BE αα⊥⊥,AE AF α⊂,DF AF BE AE ⊥⊥因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，AB BC α//BC AD =BC AD所以，，得，30BAE ∠=︒45DAF ∠=︒2BE DF AF ===AE =因为所以，,,DF BE αα⊥⊥//DF BE 又，所以四边形是平行四边形，2BE DF ==DFEB所以，因为，所以，所以//BD EF ,BD EF αα⊄⊂BD α∥EF BD ==过作满足，则即为矩形与平面的交线，A l //l EF l ABCD α过做垂直于点，连接，则即为所求，E EP l P BP BPE ∠在中，AEF △cos FAE ∠==由可得，22cos sin 1,0πFAE FAE FAE ∠+∠=<∠<sin FAE ∠=所以，解得11222AEF S FAE EP =⨯⨯∠= PE =所以矩形与平面所成角的正切值为.ABCD αtan BEBPE PE∠==.16．330【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.m 2m n =22C n 不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，x 此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有()1,2,,2i A i n = i k 2221C ni n i k ==∑i A 个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.2C ik )2201C C 0==221C i nk i =∑下求最小值.221C i nk i =∑若在中，有.122,,,n k k k 2j i k k -≥则令，其余且，**1,1i i j j k k k k =+=-*(12j i k k l n =≤≤,)l i j ≠，**2222222211C 11C C C C C C C i j i j i j ijk k k k k k i j k k k k +-+-=+-=-+--≤-故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.221C i nk i =∑不妨设有个个，则有y ,2a n y -1a +()()()222121,n ya n y a C n n +-+==-整理有.()1122y a n n -=--由于，故.由等式两边对应相等可知，，121y n ≤≤-()0,12yn∈1,a n y n =-=即调整后有个个.此时的值为，n 1,n n -n 221C i nk i =∑2(1)n n -则，()()32211(1)3C n n n n x n n -+≤--=故友好组个数的最大值为，即.()()113n n n -+()()2224m m m -+下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜122,,,n A A A 2n 1i n ≤≤i A ；当时，队胜，下标均是在模的意义下.12,,i i i n A A A +++ 12n i n +≤≤i A 121,,,i i i n A A A +++- 2n 综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加m ()()2224m m m -+单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33017．(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，1BC 1B C N MN 则有为的中点，M 为的中点，N 1BC AB 所以，1//AC MN 且平面，平面，1AC ⊄1B CM MN ⊂1B CM 所以平面.1//AC 1B CM （2）连接,因为，所以,1AB 2CA CB ==CM A B ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABC CM ⊂ABC所以，,所以平面,1AA CM ⊥1AB AA A ⋂=CM ⊥11ABB A 又因为平面,所以,1MB ⊂11ABB A 1CM MB ⊥又，所以是等腰直角三角形，222CA CB AB +=ABC,112CM AB MB ====所以1112CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△设点A 到平面的距离为，1B CM d 因为,所以,11A B CM B ACM V V --=111133B CM ACM S d S AA⨯⨯=⨯⨯ 所以11ACM B CM S AA d S ⨯== 18．(1)n a n =(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据12n n S n a +=11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出；n a n =（2）利用等比数列前n 项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数21n T -【详解】（1）由有，即，112n n n n S S a a +-=-11112n n n n n S a S a a +++--=-1112n n n n S S a a ++-=又，故，11a =111S a =所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，即，12n n S n a +=12n n n S a +=故，两式相减得，即，1122n n n S a +++=112122n n n n n a a a ++++=-1122n n n n a a ++=所以，11111n n a a a n n +====+因此的通项公式为.{}n a n a n =（2）由（1）及，有，所以，2n a n b =2n n b =2212242n nn T -=-=-又，011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++ 因为均为正整数，所以存在正整数使得，11C ,C ,,C n n n n - k 431n k =+故，221224231n nn T k -=-=-=-所以除以3的余数为2.21n T -19．(1)分布列见解析；期望为112(2)79192【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：，，()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭甲的得分X 的可能取值为，1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为：X 1-01p1671214.()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，21-轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，3111464P ⎛⎫==⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，1-2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.1714979646432192192P =+++=20．(1)；3π2(2)证明见解析.【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得sin cos A B =π2A B =±π2A B +≠，再代入计算即可；π2A B =+2A C +（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，换元后构造新函数，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=()()32222110f x x x x x =+---<<求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与12cos 25A -<<商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，sin cos A B =π2A B =±tan C 所以，即，所以，π2C ≠π2A B +≠π2A B =+所以.()π3π22π2π22A C A A B A A A ⎡⎤⎛⎫+=+--=+---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由，3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭得，()222221cos cos sin 22sin cos 1sin cos 22cos 12cos 1A A A A A A A A A -=⋅==--故，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=令，则，()cos 10A x x =-<<()()32222110f x x x x x =+---<<，()()()26422311f x x x x x '=+-=-+当时，；当时，；1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-()1,0-又，所以，120,025f f ⎛⎫⎛⎫->-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 25A -<<，sin cos tan A B C <==<12sin 25B -<<可得，所以.π6B C <<b c <而，故.sin sin 2tan sin cos 5b B B B a A B ===>>25b a >所以.25c b a >>【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从322cos 2cos 2cos 10A A A +--=而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定cos A 理边角互化证明边的关系.21．1(2)或235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）设，圆心，半径为，2(,)P t t 2(0,4)C 1，=所以当时，有最小值t =2PC所以的最小值；PQ 1（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，k 所以切线的方程为：，()220y t k x t kx y t kt -=-⇒-+-=由圆的切线性质可知：，()()()()22222124410t k t t k t ⇒-+-+--=*设，()()22112212,,,,,A x x B x x x x t ≠，是方程的两个不相等实根，2112220x k ty x x k t kx y t kt =-⎧⎧=⇒⎨⎨=--+-=⎩⎩12,k k *因此，即，且，210t -≠()2122241t t k k t -+=-PA PB =所以由圆的切线性质知：，2AB PC ⊥()()22222221212212444411211t t x x t t t x x t x x t t t t ⎡⎤-----⎢⎥⋅=-⇒+⋅=-⇒-⋅=---⎢⎥⎣⎦，2235t t ⇒=⇒=所以的坐标为或.P 235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22．(1)证明见解析(2)（i ）证明见解析（ii ）证明见解析【分析】（1）构造并利用导数研究其在单调性，即可证结论；11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭[1,)+∞（2）（i ）问题化为，设且，利用0,0,,y x x y x y x y >>=≠e>x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，构造研究其值域范围，即可证结论；y x x y =1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ii ）设，令研究其单调性可得，再构造1012b a <<<<()ln 1x f x x =-01b a b a <<<研究单调性得，最后构造研究()ln (01)xh x x x=<<ln ln b a a a b b >()()1x x x a b b x a ϕ-=+≤≤单调性比较函数值大小即可证结论.【详解】（1）令且，则，11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x ≥222111(1)()1022x h x x x x -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'所以在上递减，故，即，()h x [1,)+∞()(1)0h x h ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭所以时.1x ≥()()f x g x ≤（2）（i ）设，0,0,,y x x y x y x y >>=≠e >不妨设，且，则，x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111[1]y y n y y n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111n n y y y n n +⎛⎫⇒+=⇒=+ ⎪⎝⎭11111n n y x n n +⎛⎫⎛⎫⇒=+⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211n n +⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭设，则，.()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()11ln ln 12f n n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()111ln 1212f n f n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎭'⎝设，则.()()111ln 1212g n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭()()221111[]2(1)1g n n n n n =+-'++22102(1)n n =>+于是，在内单调递增，当趋向于时，趋向于，故.()g n ()0,∞+n +∞()g n 0()0gn <由得：，则在内单调递减，当趋向于时，趋向于()0f n >()0f n '<()f n ()0,∞+n +∞()f n e ，故.()e f n >.e >（ii ）证明：，其中，b a a b a b a b +<<+0,0,1a b a b >>+=由对称性知：不妨设，令，此时，1012b a <<<<()ln 1xf x x =-()211ln (1)x x f x x --'+=令且，则，即递减，11ln y x x=-+01x <<221110x y x x x -=-=<'y 所以，即，故，则单调递增，1|0x y y =>=1ln 1x x>-()0f x '>()f x 则，于是，()()ln ln ln ln 11a b a b a bf a f b a b a b b a>⇒>⇔>⇔>--01b a b a <<<令，此时，单调递增，()ln (01)x h x x x=<<()21ln 0xh x x '-=>()h x则ln ln ln ln ()()a b baa b ab a b a a b bh b h a a b a b⇔⇔>11ln ln ln ln a b b a a a b b a a b b --⇔>⇔>令，此时，()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<()1ln ln x xx a a b b ϕ--'=令，则，()1ln ln x x x a a b b μ-=-()212(ln )(ln )0x x x a a b b μ-=+>'所以递增，即递增，则，()x μ()x ϕ'()min ()ln ln 0b ax b a a b b ϕϕ''==->于是，单调递增，则.()0x ϕ'>()x ϕ()()12b a a bb a a b a b ϕϕϕ⎛⎫<<⇔+<<+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：第二问，（i ）注意令且，结合得到x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x x y =为关键；（ii ）依次构造函数证明、，最后构造1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01b a b a <<<ln ln b a a a b b >证结论.()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<。
【选考专题】浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试卷
【选考专题】浙江省金华十校2020年4月高三模拟考试卷一、选择题（本大题共 20 小题，每小题2分．共 40 分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）2020年1月29日，在古巴南部海域（19.46°N，78.79°W）发生7.7级地震，震源深度10千米。
完成1、2题。
1.此次地震A. 震源位于地壳B.地处海沟附近C. 肯定引发海啸D. 位于生长边界2.可以用于监测地震发生的地理信息技术是A. GLSB. RSC.GPSD. VR马来西亚沙巴傍晚时分落日的红霞壮美而灿烂，被誉为世界三大最佳日落观赏地之一。
读沙巴地理位置示意图，完成3、4题。
3.沙巴日落时漫天红霞的成因是大气对太阳辐射的A. 反射B.折射C. 散射D. 吸收4.甲地的农业地域类型A. 以大种植园和农场为主B. 专业化和商品化程度低C. 橄榄等农作物广泛种植D. 多采用谷物和牧草轮作如图为南极长城站1986-2019年平均气温及线性变化趋势图。
完成5、6题。
5.1986-2019年南极长城站的气温变化特点是A. 持续升高B.均温最高出现在2018年C. 波动上升D. 2019均温比1986高0.6℃6.图示气温变化给全球带来的影响最不可能的是A. 全球各地降水减少B. 扩大某些疫病流行C.高山冰川普遍退缩D. 改变原有生态系统浙江某地推广早芋和晚稻轮作模式，利用地膜覆盖使毛芋上市时间和水稻育秧时间提前。
完成7、8题。
7.稻芋轮作模式得以实现的主导因素是A. 光照B.热量C. 市场D. 技术8.稻芋轮作模式的生态效益有A. 增加就业岗位B.提高农民经济收入C. 保持土壤肥力D. 增加土地复种指数如图是口罩生产工艺流程图。
完成9-10题。
9.影响口罩生产量的主要因素是A. 市场B.原料C. 技术D. 劳动力10.无纺布卷料生产厂与口罩加工厂之间的地域联系方式属于A. 商贸联系B.科技联系C. 信息联系D. 生产协作联系读某一区域同面积的松林、草地、红砂岩和泥装的反射波讲曲线。
浙江省金华十校2022届高三下学期4月模拟数学试题(含答案解析)
浙江省金华十校2022届高三下学期4月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}{01}A x x a B x x =<=<≤∣，∣，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a <≤B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≤或1a ≥2．已知复数(2i)(1i)z a =++，其中i 是虚数单位，a ∈R ，下列选项中正确的是（ ） A ．若z 是纯虚数，则这个纯虚数为5i - B ．若z 为实数，则2a =C ．若z 在复平面内对应的点在第一象限，则122a <<D ．当2a =时，5z =3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．80314．直线a ⊥平面α，直线//b 平面β，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若二项式2nx⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则n 可以取（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．已知x y ，满足不等式组22102x y y ⎧+-≤⎨≤⎩（），若ax y +中有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11a -≤≤B ．01a ≤≤C ．1a ≤-D ．1a ≥7．已知函数()()()sin cos f x x g x x t x x ===，，，则图象为下图的函数可能是（ ）A ．2f x y g x =+（）（）B ．()()2y f t x x =+C ．()()2y g f x x =+D ．()()2y g f x x =+8．三棱锥P ABC-中，PA PB AB PC a AC b BC c =====，，，若三角形PAC 和PBC 都是等腰直角三角形，则a b c ，，可能的不同取值有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．至少4种9．设()53211f x x x g x x x =-=--（），（），则有（ ） A ．存在()()000x f x g x ∈<R ，成立B ．任意x f x g x ∈>R ，（）（）恒成立C ．任意x f x g x ∈≤R ，（）（）恒成立D ．存在()()00012x f x g x ∈=+R ，成立 10．已知数列{}{}{}n n n a b c 、、满足()*11111223341111111234n n n n n n n n n n n b a b c c a a c c n S n T b b b b a a a +++====-=⋅∈=+++≥=+++---N ，，，（），，则下列有可能成立的是（ ）A ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b > B ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T <C ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b < D ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T > 二、双空题11．直线1:30l x y a +-=的斜率为________，直线2:210l ax y +-=，若12l l ⊥，则=a ________.12．香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示.则图2中两线段AD 与BC ，在图1的六面体中实际所成的角为________，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成（如图3所示），则这个菱形的面积为________.13．口袋中有4个黑球、3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数，则()2P ξ==________，()E ξ=________.14．已知函数()()12sin 0f x x ωω+＝＞，则函数()f x 的最大值为________，若函数()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则ω的取值范围为________. 三、填空题15．2022年北京冬奥会大约招募了2.7万名志愿者.5名金华籍志愿者被安排在运动场馆，每名志愿者只能去一个场馆，若可供安排的5个场馆中至少有3个要安排他们，则不同的安排种数有________.16．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点1F 的直线l ，在第一象限交双曲线的渐近线于点P ，与圆222x y a +=相切于点Q .若12PQ FQ =，则离心率e 的值为________. 17．已知向量m ，若对于满足7m a m a +=⋅的任意向量a ，都存在R λ∈，使得m a m λ+≤恒成立，则向量m 的模m 的最大值为________.四、解答题18．已知函数2cos cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）. (1)求函数f x （）的周期及对称轴:(2)在锐角ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若70462f B a b π⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，，，求ABC 的面积.19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PB 的中点，AB =，2PA AD =，150BAD ∠=，60PAD ∠=.(1)求证：BC ⊥平面PCD ；(2)求直线PA 与平面ADE 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 单调递增且12a >，前n 项和n S 满足2441n n S a n =+-，数列{}n b 满足212n n nb b b ++=，且123a a b +=，233b a +=. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)若1n n nc a b =，求证：123415n c c c c ++++<. 21．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F A ，为C 上异于原点的任意一点，过A 作直线1x =-的垂线，垂足为H B ，为x 轴上点.AF FB =且四边形AHFB 为平行四边形.直线AF AB ，与抛物线C 的另一个交点分别为.D E ，(1)求抛物线C 的方程;(2)求三角形ADE 面积的最小值. 22．已知函数()ln f x x x =，()()212m g x x m x =+-. (1)求函数()f x 在e x =处的切线方程；(2)（i ）若函数()()f x g x -在()0,∞+为递减函数，求m 的值； （ii ）在（i ）成立的条件下，若()12122x x x x +>≠且()()()()()12122222f x f x g x gx tt Z +=++∈，求t 的最大值.参考答案：1．C 【解析】 【分析】利用交集的定义即得. 【详解】∵集合{}{01}A x x a B x x =<=<≤∣，∣， A B =∅， ∵0a ≤. 故选：C. 2．D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得()2+2+1i z a a =-，再由复数的基本概念逐一判断可得选项. 【详解】解：()(2i)(1i)2+2+1i z a a a =++=-，对于A ：当z 是纯虚数时，则20a -=且2+10a ≠，解得2a =，此时这个纯虚数为5i ，故A 不正确；对于B ：当z 为实数时，则2+10a =，解得12a =-，故B 不正确；对于C ：当z 在复平面内对应的点在第一象限，则2>02+1>0a a -⎧⎨⎩，解得122a -<<，故C 不正确；对于D ：当2a =时，5z i =，所以5z =，故D 正确， 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n 项和公式即可求解. 【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∵445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D. 4．B 【解析】 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线a ⊥平面α，直线//b 平面β，若a b ⊥，则α、β平行、相交或重合， 即“a b ⊥”⇒“//αβ”；若//αβ，则直线a ⊥平面β，设过直线b 的平面γ与平面β相交，交线为c ， 因为直线//b 平面β，直线b ⊂平面γ，平面β平面γ=直线c ，所以，直线//b 直线c ，因为直线a ⊥平面β，直线c ⊂平面β，所以，直线a ⊥直线c ，故直线a ⊥直线b ， 即“a b ⊥”⇐“//αβ”.因此，“a b ⊥”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B.5．A 【解析】 【分析】由通项公式求出52212n rr rr nT C x-+=⋅，得到5202n r -=，其中n r ≥且,n r N ∈，通过检验得到正确答案. 【详解】2⎛+⎝nx 的通项公式()152222122r n r n r r r r r r n n T C x x C x ---+==⋅，其中n r ≥且,n r N ∈，要想展开式中含有常数项，则5202n r -=，即54n r =，当4r =时，5n =满足要求，经检验，其他选项均不合题意. 故选：A 6．A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，然后利用线性规划进行数形结合求解 【详解】22102x y y ⎧+-≤⎨≤⎩（）等价于(1)(1)02x y x y y ++-+⎧⎨≤⎩，则可行域如图所示，令ax y t +=，y ax t =-+，当11a -≤≤时，y ax t =-+过(3,2)-或(1,2)点时，t 能够取得到最大值，而a 在[]1,1-之外时，t 无最大值，故选：A7．C 【解析】 【分析】A 选项，利用当0x <时，()()022sin x x y g xf x ==>++排除A 选项，B 选项，利用0x =时，cos 01202y ==+排除B 选项，D 选项，利用奇偶性排除D 选项，C 选项，满足图象要求. 【详解】 A 选项，()()22sin x y g x xf x ==++，其中当0x <时，()()022sin x x y g xf x ==>++恒成立，故A选项错误； B 选项，()()cos 22x y f x x t x ==++，当0x =时，cos 01202y ==+，不合要求，B 错误； C 选项，()()22sin xy g x xf x ==++，当0x =时，0y =，当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，且为非奇非偶函数，故符合要求. D 选项，()()()2sin 2g x f x xh x x==++， 定义域为R ，且()()h x h x -=-，故()h x 为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D 错误. 故选：C 8．C 【解析】 【分析】对三角形PAC 和三角形PBC 的各边位置关系进行分类讨论，求解出不同情况下,,a b c 的取值，进而得出,,a b c 所有可能取值的种数. 【详解】根据题意可画简图如下,PAB 为等边三角形，且,PAC PBC 都是等腰直角三角形，分类讨论如下：,PA PC PA PC ⊥==①时，PC PA PB === ，此时PBC 中，90BPC ∠=︒所以，2,AC ==2BC ==此时，2,2;a b c ===,PA AC PA AC ⊥==②2PC ==，此时PBC 中，90PBC ∠=︒,此时BC PB ==a b c ===,AC PC AC PC ⊥=③时，1AC PC ==，此时PBC 中，90BCP ∠=︒，此时1BC PC ==，此时1,1a b c ===所以,,a b c 的取值有3种不同情况. 故选：C. 9．B 【解析】 【分析】利用配方法可得()()f x g x -=223111222x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得.【详解】∵()()()()532632111f x g x x x x x x x x x -=----=-+-+223111222x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又223110,022x x ⎛⎫⎛⎫-≥-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵22311112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即()()12f xg x >+恒成立，故ACD 错误.故选：B. 10．B 【解析】【分析】若{}n a 为等比数列，可得112,2n n n n a c --==，进而可得124n n n b a -==可判断AC ；若{}n c 为递增的等差数列，利用累乘法可得1212n n n c c b c +++=，再利用裂项相消法可得n S =21111n d d c c +⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用累加法可得()()212n n n a n d --=+，进而可得3113nTa d≥=-，可判断BD. 【详解】因为11111n n n a b c c a a +====-，， ∵121c a a =-，即2112a a c =+=， 若{}n a 为等比数列，则{}n a 的公比为212a q a ==， ∵11112,222n n n n n n n n a c a a ---+==-=-=，由12n n n n b c c b ++=⋅，可得1121242n n n n n n b c b c +++-===， ∵124n n n b a -==，故AC 错误；若{}n c 为递增的等差数列，11c =，公差0d >，由12n n n nb c c b ++=⋅则12n n n n b cb c ++=，∵31352244123123n n n nb bc c c b b c b b b b c c c c ++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， ∵112112n n n b c c b c c +++=，即1212n n n c c b c +++=， ∵2111111n n n n n c d b c c d c c ++⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， ∵23423344511111111111111n n n n d S b b b b d c c c c c c c c +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111111111n n d d d c c d d c d++⎛⎫⎛⎫++=-=-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又()()()()111221111,,n n n n n n n n n c n d c a a a a a a a a a a +---=+-=-=-+-++-+，∵()()212n n n a n d --=+，又3,0,nn an ≥->则34311111343n n T a a a n a d=+++≥=----， ∵当3n ≥时，不等式n n S T <恒成立， 故20222022S T <，故B 正确，D 错误. 故选：B.11． 13- 6-【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式即得，利用直线垂直的关系即得. 【详解】由题可得11:33al y x =-+，故直线1:30l x y a +-=的斜率为13-；由12l l ⊥可得，1132a ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，解得6a =-.故答案为：13-；6-.12．90##2π【解析】 【详解】根据题意，六面体为两个正四面体的叠加，如图AD 与BC ，是对棱，由对称性知AD 与BC 垂直， 故六面体中实际所成的角90，由六面体的正视图为菱形，可得正视图对应长度为：则A 的正投影为BC 中点，作PO ⊥平面ABC 于O ，O 为ABC 中心，P 的俯视图在O 点，由棱长为2得223BO ==，所以PO ==所以菱形的面积为122⨯=故答案为：90. 13．1136 149【解析】 【分析】“2ξ=”表示取出的2球为“1黑1红”或“2白”，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得()2P ξ=的值；写出随机变量ξ的分布列，可求得()E ξ的值. 【详解】解：“2ξ=”表示取出的2球为“1黑1红”或“2白”，所以，()11242329C C C 112C 36P ξ+===； 由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，则()2429C 10C 6P ξ===，()114329C C 11C 3P ξ===，()11242329C C C 112C 36P ξ+===， ()113229C C 13C 6P ξ===，()2229C 14C 36P ξ===.所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：因此，()111111140123463366369E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：1114369，. 14． 3 30,2⎛⎤⎥⎝⎦156,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】∵根据正弦函数值域即可求f (x )最大值；∵根据区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭为单调区间求出ω的最大值；求出f (x )的增区间为A ，则根据,43Aππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭即可求出ω关于整数k 的范围，令k 为具体的整数即可求出ω的具体范围. 【详解】∵当sin x ω＝1时，f (x )取最大值3；∵函数()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，根据正弦函数的性质可知，区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，即2123412266T T ππππππωω-=≤⇒⇒⇒≤.令2222k x k πππωπ-+≤+，则2222k k x ππππωωωω-+≤≤+，k ∵Z ； 则23248262223k k k k πππωωωπππωω⎧-+⎪⎪⇒-≤≤+⎨⎪+⎪⎩，k ∵Z ； ∵012ω<≤， ∵0k =时，302ω<≤； 1k =时，1562ω≤≤；2k 时，∵8214k -，故2k 不符题意； 综上，ω∵30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦156,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3；30,2⎛⎤⎥⎝⎦156,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15．2820 【解析】 【分析】对所需场馆的数量进行分类讨论，按照先分组再分配的方法，结合分类加法与分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】若有3个场馆需要安排，将5名志愿者分为三组，每组人数分别为3、1、1或2、2、1，此时共有2233535522C C C A 1500A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种安排方法；若有4个场馆需要安排，将5名志愿者分为四组，每组人数分别为2、1、1、1，此时共有2455C A 1200=种安排方法；若有5个场馆需要安排，则每个场馆只安排1人，此时共有55A 120=种安排方法.综上所述，共有150012*********++=种安排方法.故答案为：2820. 16【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为2F ，设2POF θ∠=，11,PFO F PO αβ∠=∠=，则θαβ=+， 则由题意可得tan 2OQ a PQ b β==，1tan OQ a FQ b α==，从而可求得223tan tan()2ab b a θαβ=+=-，所以2232ab bb a a=-，从而可得222b a =，进而可求出离心率 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，在1PF O 中，2POF ∠是1PF O 的一个外角， 设2POF θ∠=，11,PFO F PO αβ∠=∠=，则θαβ=+， 因为直线1PF 与圆222x y a +=相切于点Q ，所以1OQ PF ⊥, 在1Rt OQF 中，1,OQ a OF c ==，所以1FQ b ==， 因为12PQ FQ =，所以2PQ b =， 所以在直角POQ △中，tan 2OQ aPQ bβ==， 在直角1OQF △中，1tan OQ aFQ b α==， 因为θαβ=+，所以22tan tan 32tan tan()1tan tan 212a aab b b a a b a b b αβθαβαβ++=+===---⋅， 因为θ为直线OP 的倾斜角，直线OP 为双曲线的渐近线， 所以2232ab bb a a=-,所以222b a =， 所以22223c a b a =+=，所以c =，所以离心率为==ce a，17【解析】 【分析】设出向量(),0m m =，根据题干条件得到关于λ的不等式问题，由根的判别式得到不等关系，求出m ≤m 的模m 的最大值. 【详解】设(),0m m =，(),a x y =，满足7m a m a +=⋅，即满足()()2227m x y mx ++=∵，都存在R λ∈，使得m a m λ+≤恒成立，即存在R λ∈，使得()222m x y m λ++≤∵，由∵∵可知：存在R λ∈，使得()22222249220m mx m x mx m λλ++--≤成立 即0λ∆≥，即()2222224449220m x m m x mx m ---≥， 化简得：()222149220m x mx m -++≥∵，即∵式恒成立，则必须满足21490Δ0m ⎧->⎨≤⎩，解得：2198m ≤，即m ≤所以m 的最大值为.【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.18．(1)周期为π，对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z .【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换，化为()f x =1cos 232x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后求解（2）由（1）得，1cos 2062f B B π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，解出B ，余弦定理可得2491624cos604c c =+-⨯︒，再化简求解得到c ，最后即可计算ABC 面积 (1)（1）()212cos cos cos cos 2f x x x x x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1cos2111cos2cos 222232x x x x x π+⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭，∵T π=. 由23x k ππ+=得：26k x ππ=-，故函数()f x 的对称轴为26k x ππ=-，k ∈Z . (2)（2）11cos 2cos2066322f B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得1cos 22B =-，∵02B π<<，∵02B π<<，∵223B π=，3B π=，.由余弦定理可得2491624cos604c c =+-⨯︒. 所以2416150c c -+=，∵52c =或32c =.当32c =时，9491644cos 037222A +-=<⨯⨯，舍去. 当52c =时，满足，所以154sin6022ABC S =⨯⨯︒=△ 19．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可得出AD PD ⊥，利用线面垂直的判定可证得AD ⊥平面PCD ，结合//BC AD 可证得结论成立；（2）证明出PD ⊥平面ABCD ，设1AD =，以点D 为坐标原点，DC 、DA 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PA 与平面ADE 所成角的正弦值. (1)证明：不妨设1AD =，则2PA =，AB =在PAD △中，2222cos604122cos603PD PA AD PA AD =+-⋅=+-⋅⋅=， 所以，222PD AD PA +=，即PD AD ⊥，90ADC ∠=，则AD CD ⊥，PD CD D =，AD ∴⊥平面PCD ，//BC AD ，BC ∴⊥平面PCD .(2)解：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PD AD ⊥，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面ABCD ，又因为90ADC ∠=，以点D 为坐标原点，DC 、DA 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设1AD =，则()0,1,0A 、()0,0,0D、(P、)B、E ⎝⎭， 设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，()0,1,0DA =，32DE ⎛= ⎝⎭，则03202n DA y n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1x =，可得()1,0,1n =-，(0,AP =-，所以，cos ,n AP n AP n AP⋅<>==-=⋅，因此，直线PA 与平面ADE 20．(1)21n a n =+，2n n b = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1n =结合12a >可求得1a 的值，令2n≥，由题意推导出数列{}n a 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式，分析可知数列{}n b 为等比数列，确定的该数列的公比，结合2b 的值可求得数列{}n b 的通项公式；（2）由1n =时，114615c =<，由2n ≥时，利用放缩法可得出()1121252n n n c n =≤+⨯，再利用等比数列的求和公式可证得结论成立. (1)解：当1n =时，21143a a =+，所以11a =或13a =，因为12a >，故13a =；当2n ≥时，22114444n n n n n a S S a a --=-=-+，即()2212n n a a --=，因为{}n a 是单调递增的数列，所以，12n a a ≥>，则12n n a a --=，即12n n a a --=， 所以，{}n a 是等差数列，公差为2，首项是3，所以，()32121n a n n =+-=+.由212n n nb b b ++=得，212n n n b b b ++=，所以{}n b 是等比数列，3128b a a =+=，2334b a =-=，则数列{}n b 的公比为322b q b ==，所以，2222422n n n n b b --=⋅=⨯=. (2)解：当1n =时，114615c =<， 当2n ≥时，()1121252n n n c n =≤+⨯.所以，1122311111111142165252526512n n n c c c -⎛⎫- ⎪⎝⎭++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=+⨯⨯⨯⨯- 4114155215n =-⨯<. 综上可知，对任意的N n *∈，12415n c c c ++⋅⋅⋅+<成立. 21．(1)24y x = (2)16 【解析】 【分析】（1）由平行四边形对边相等和AF FB =，求出得到AH AF =，由抛物线定义可知：1x =-是抛物线准线，从而求出抛物线方程；（2）设出直线AD 方程，与抛物线联立后得点D 的坐标，从而求出AD 的长，利用点到直线距离求出点E 到直线AD 的距离，表达出三角形ADE的面积，利用基本不等式求出最小值. (1)∵四边形AHFB 为平行列边形，∵AH FB =，因为AF FB =.∵AH AF =，因为点F 是抛物线焦点，由抛物线定义可知：1x =-为抛物线的C 准线. 即抛物线C 的方程为24y x =. (2)设()2,2A a a ，0a >，设AD 的方程为1x ty =+.代入24y x =得：2440y ty --=，∵4,4,A D A D y y t y y +=⎧⎨=-⎩∵2D y a =-，212,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵()()22441A D A D AD x x t y y t =++=++=+，又∵22111222a a t a a a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， ∵221114t a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵()22141AD t a a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由题意可得()22,0B a +，设AE 为22x my a =++,联立抛物线方程得：()224420y my a --+=()242A E y y a ∴=-+.∵()2242242E a a y a a -++==-，()2222224,a a E a a ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭， 则点E 到直线AD 的距离为d =21214a a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.∵3112162ADE S AD d a a ⎛⎫=⋅=+≥ ⎪⎝⎭△，当且仅当1a a =，即1a =时等号成立. 即当1a =时，三角形ADE 面积的最小值为16.【点睛】对于求解圆锥曲线中的面积问题，要想用变量表达出三角形或者四边形的面积，结合换元法，基本不等式，二次函数或者导函数求出最值.22．(1)2e 0x y --=(2)（i ）1m =（ii ）max 2t =-【解析】【分析】（1）根据题意求出斜率()e f '，求解计算即可；（2）（i ）设()()2ln 12m t x x x x m x =-+-，讨论单调性求解即可； （ii ）根据条件得()()()()()()1212122t f x f x g x g x t x t x =+--=+， 分211x x >>和2110x x >≥>两种情况构造函数求解即可.(1)因为()ln 1f x x '=+，所以()e 2f '=.函数()f x 在e x =处即过()e,e 点的切线方程：()e 2e y x -=-，故所求的切线方程为：2e 0x y --=.(2)（i ）设()()()()2ln 12m t x f x g x x x x m x =-=-+-， 则()ln t x x mx m '=-+，()1mx t x x-''= ， 当0m ≤时，()0t x ''>，()t x '在()0,∞+为增函数.当1x >时，()()10t x t ''>=，()t x '在()0,∞+为增函数与()t x '在()0,∞+为减函数矛盾；当0m >时，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()t x '在()0,∞+增函数， 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0t x ''<，()t x '在()0,∞+减函数，()11ln 11ln max t x t m m m m m ⎛⎫''==-+=-- ⎪⎝⎭， 因为()t x 在()0,∞+为减函数，所以1ln 0m m --≤成立.记()1ln p m m m =--，则()11p m m'=-， 因为1m 时，()0p m '>，1m <时，()0p m '<，所以()()10p m p ≥=，又()1ln 0p m m m =--≤，所以1m =.（i i ）由（i ）成立的条件，即1m =，则()()()21ln 2t x f x g x x x x =-=-. 因为()()()()()12122222f x f x g x g x t t +=++∈Z ，（不妨设12x x <）. 所以()()()()()()1212122t f x f x g x g x t x t x =+--=+ 又()t x 在()0,∞+为减函数，而()12122x x x x +>≠，所以只有211x x >>和2110x x >≥>两种情况.当211x x >>时，()()21t x t x <，所以()()()12122(1)12t t x t x t x t =+<<=-， 当2110x x >≥>时，所以()()212t x t x <-.()()()()121122t t x t x t x t x =+<+-，记()()()()201x t x t x x ϕ=+-<≤ ()()()()222ln ln 2x t x t x x x x ϕ'''=--=-+--()()1122222022x x x x x ϕ''=-++=-≥-=--， 所以()()22ln ln 2x x x x ϕ'=-+--在(]0,1为递增函数，又()()10x ϕϕ''≤=，()()()2x t x t x ϕ=+-在(]0,1为递减函数，所以()()()()()()00012112x x x t x x t x t x ϕϕϕ→→→-=≤≤<=+- 又0x →时，()0t x →，()()1222ln222t x t -→=-<-， 因为t Z ∈，所以2max t =-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
2020年4月普通高考数学(浙江卷)全真模拟卷(1)(解析版)
2020年4月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}0,1,2,3A =，{}1,2,3,4B =，则()C U A B =I （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}3,4,5C ．{}4,5D ．∅【答案】C 【解析】∵A ＝{}0,1,2,3， B ＝{}1,2,3,4， ∴A ∩B ＝{1，2，3}，又∵全集U ＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U （A ∩B ）＝{4，5}． 故选：C ．2．双曲线2213y x -=的焦点坐标为（ ）A ．()B ．()2,0±C ．(0,D ．()0,2±【答案】B【解析】由双曲线方程2213y x -=可知，1,a b ==所以2c =，所以双曲线2213y x -=的焦点坐标为()2,0±，故选：B.3．关于,x y 的不等式组23000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-，即实数m 的取值范围是()1-∞-，，故选C ． 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。
2021年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(学生版+解析版)(4月份)
2021年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合{|11}A x x =-，全集U R =，则(UA = )A ．{|1x x -或1}xB ．{|1x x <-或1}x >C ．{|11}x x -D ．{|11}x x -<<2．（4分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是3，则双曲线的渐近线方程是( )A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±3．（4分）若实数x ，y 满足约束条件320y xx y ⎧⎨-+⎩，则3z x y =-的最小值是( )A ．2B ．0C ．1-D ．2-4．（4分）已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是( ) A ．12π- B ．1π- C ．12π+ D ．1π+5．（4分）已知直线1:10l x ay +-=，2:(2)330l a x y a ++-=，则“3a =-”是“12//l l ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．202π-B．2193π-C．2203π-D．1202π-7．（4分）已知数列{}nna是等差数列，则()A．3642a a a+=B．3645a a a a+=+C．364112a a a+=D．36451111a a a a+=+8．（4分）函数|()|x ayln x a+=-的图象，不可能是()A．B．C．D．9．（4分）已知四面体A BCD-，2AB=，2BC BD==，AB⊥平面BCD，BE AC⊥于E，BF AD⊥于F，则()A．AC可能与EF垂直，BEF∆的面积有最大值B．AC不可能与EF垂直，BEF∆的面积有最大值C．AC可能与EF垂直，BEF∆的面积没有最大值D．AC不可能与EF垂直，BEF∆的面积没有最大值10．（4分）已知椭圆22:12xC y+=和直线:(0)l x t t=>，点A，B在直线l上，射线OA，OB 分别交椭圆C于M，N两点，则当OMN∆面积取到最大值时，AOB∠是() A．锐角B．直角C．钝角D．都有可能二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共36分. 11．（4分）已知i 为虚数单位，若(1)2i z i +=，则||z = ．12．（6分）在1(2)n x x +的展开式中，若5n =，则含x 项的系数是 ；若常数项是24，则n = ．13．（6分）一位数学家长期研究某地春季流感病例总数变化情况，发现经过x 天后的当日新增流感病例数y 满足函数模型01(1)x x y a y A a =--，其中0y 是当0x =时患流感病例总数，y A N=，a 为流感感染速率，N 为该地区人口总数，10000N =． （1）若2a =，则经过3天后当日新增流感病例数为 .（用0y 表示）（2）当流感病例总数激增到1000例时，政府规定市民出入公共场所需佩戴口罩，引导市民多通风、勤洗手等干预措施到位，发现经过2天后当日新增流感病例数为200，则a = ． 14．（6分）设函数33,(),x x x a f x x x a ⎧-<=⎨⎩，已知不等式()0f x 的解集为[3-，)+∞，则a = ，若方程()f x m =有3个不同的解，则m 的取值范围是 ．15．（6分）袋中原有3个白球和2个黑球，每次从中任取2个球，然后放回2个黑球．设第一次取到白球的个数为ξ，则()E ξ= ，第二次取到1个白球1个黑球的概率为 ． 16．（4分）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若0q >，则132S S S +的最小值是 ． 17．（4分）已知AOB ∆是直角三角形，AOB ∠是直角，MON ∆是等边三角形，4AB =，1OM =，则MA NB ⋅的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知60A =︒，(c kb k R =∈为系数）．（Ⅰ）若3k =，求sin B ；（Ⅱ）求sin 2sin B C +取到最大值时，k 的取值．19．（15分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，222AB BC CD DA ===，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PC 上一点，2PE EC =． （Ⅰ）求证：平面EBD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若PA AB =，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，212(*)n n a a n n N -==∈，数列{}n b 满足：当n S ，1n S +，2n S +成等比数列时，公比为n b ，当n S ，1n S +，2n S +成等差数列时，公差也为n b ．（Ⅰ）求2n S 与21n S -； （Ⅱ）证明：121112nn b b b +++． 21．（15分）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（Ⅰ）求斜率k 的取值范围；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设a ，b R ∈，已知函数()1ax f x e b x -=+++在点(0，(0))f 处的切线方程为32y x =-．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当(0,6)x ∈时，3()6xf x x -<+．2021年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。