2016年四川省高考理科数学真题及答案解析
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2016年四川省高考数学试卷(理科)及答案
2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•游仙区校级月考）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．3．（5分）（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）（2016秋•通渭县期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．5．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．6．（5分）（2016春•平罗县校级期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．7．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．9．（5分）（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．10．（5分）（2016秋•汕头期末）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013秋•南开区期末）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：12．（5分）（2016秋•大连月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．13．（5分）（2016秋•汕头期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：14．（5分）（2016春•陕西校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（），利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为：﹣215．（5分）（2016秋•江西月考）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016秋•博野县校级期中）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨17．（12分）（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．18．（12分）（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD ﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM ∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB ∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=，根据e2==，求得q的值，可得{a n}的解析式，再利用放缩法可得∴e n=＞，从而证得不等式成立．=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相减可【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1得a n=q•a n，+1即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3 =2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．20．（13分）（2016秋•路南区校级月考）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，又，当a时，F′（x）=2a+≥+e1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a ﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．。
2016年高考理科数学四川卷-答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】由题可知，A Z {2,1,0,1,2}=--I ，则A Z I 中元素的个数为5，故选C ． 【提示】由A 与Z ，求出两集合的交集，即可做出判断． 【考点】交集及其运算． 2.【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24246C x i 15x =-，选A ．【提示】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【考点】等比数列的通项公式． 6.【答案】B【解析】初始值n 3=，x 2=，程序运行过程如下所示v 1=i 2=，v 1224=⨯+=i 1=，v 4219=⨯+=i 0=，v 92018=⨯+=i 1=-跳出循环，输出v 18=，选B ．【提示】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当i 1=-时，不满足条件i 0≥，跳出循环，输出v 的值为18．p 是q 的必要不充分条件．故选A ．第8题图【提示】由题意可得p F ,02⎛⎫⎪⎝⎭，设200y p ,y 2p ⎛⎫⎪⎝⎭，要求OM k 的最大值，设0y 0>，运用向量的加减运算可得200y y 12p OM OP OF ,336p 33⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r ，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【提示】设出点1P ，2P 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线1l 与2l 的斜率，由两直线垂直求得1P ，2P 的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到AB ，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB △的面积的取值范围． 【考点】平面向量数量积的运算． 10.【答案】B第10题图【提示】由DA DB DC ==u u u r u u u r u u u r，可得D 为ABC △的外心，又DA DB DB DC DC DA 2===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，可得D 为ABC △的垂心，则D 为ABC △的中心，即ABC △为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC △的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为X 轴建立直角坐标系XOY ，求得B ，C 的坐标，再设P 点的坐标为(cos ,sin )θθ，[0,2π)θ∈，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【提示】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数3X~B2,4⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E(X)．【提示】根据()f x 是周期为2的奇函数即可得到511f f f 222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用当0x 1<<时，x f (x)4=，求出5f 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再求出f (1)，即可求得答案．【提示】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【提示】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．3第18题图【提示】（Ⅰ）延长AB 交直线CD 于点M ，由点E 为AD 的中点，可得1AE ED=AD 2=，由1BC CD=AD 2=，可得ED BC =，已知ED BC ∥．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB CD ∥．利用线面平行的判定定理证明得直线CM ∥平面PBE 即可．（Ⅱ）如图所示，由ADC PAB 90∠=∠=o ，异面直线PA 与CD 所成的角为90o ，AB CD M =I ，可得AP ⊥平面ABCD ．由CD PD ⊥，PA AD ⊥．因此PAD ∠是二面角P CD A --的平面角，大小为45o ．PA AD =．不妨设AD 2=，则1BC CD AD 12===．经计算可得出．【提示】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列n {a }为首项等于1、公比为q 的等比数列，再根据22a ，3a a ，2a 2+ 成等差数列求得公比q 的值，可得n {a }的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得n e =，根据25e 3==，求得q 的值，可得n {a }的解析式，再利用放缩法可得∴n-1n 4e 3⎛⎫=> ⎪⎝⎭，从而得证不等式成立．【提示】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点1F 、2F 构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式0∆=，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；（Ⅱ）设出点P 的坐标，根据l OT '∥写出l '的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出2PT 、PA 和PB ，由2PT PA PB =λg 求出λ的值．【提示】（Ⅰ）利用导数的运算法则得出f (x)'，通过对a 分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令1x 21x 11g(x)f (x)e ax lnx e a x x --=-+=--+-，可得g(1)0=，从而g (1)0'≥，解得1a 2≥， 又，当1a 2≥时，31x 1x 23312x x 2F (x)2a e e x x x --+-'=+-+≥+，可得F (x)'在a 2≥时恒大于0， 即F(x)在x (1,)∈+∞单调递增．由F(x)F(1)2a 10>=-≥，可得g(x)也在x (1,)∈+∞单调递增，进而利用g(x)g(1)0>=，可得g(x)在x (1,)∈+∞上恒大于0，综合可得a 所有可能取值．【考点】利用导数研究函数的单调性，导数最值问题的应用．。
2016学年高考理科数学年四川卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<，{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3A B x x 32⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．【提示】解不等式求出集合A ，B ，结合交集的定义，可得答案． 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】(1i)x 1yi +=+，x xi 1yi ∴+=+，即x 1x y =⎧⎨=⎩，解得x 1y 1=⎧⎨=⎩，即x yi 1i +=+【解析】等差数列又10a 8=，【解析】双曲线两焦点间的距离为，方程】f (x)y =(0,1)∈，故排除x ||e 在[0,2]【解析】a b 1>>上为减函数，故a log c1<α平面ABCD α平面ABA 11CB D △所成角就是60∠，则m 、2【解析】πx 4=-为1πT 2=，即ππ(n 2=∈ω2n 1N (n +∈为正奇数，f (x)在⎛ ⎝1812-=，即T =≥ωk π=，k ∈，π2ϕ≤，，π2ϕ≤，∴ϕ，结合πx =-【答案】2-222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，【考点】平面向量数量积的运算n123n(q++++-…z2100x900y=+经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值210060900100216000⨯+⨯=元．（Ⅰ）在12ab2，(a∴+（Ⅰ）ABEF 为正方形，AFD 90∠=， ，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDC AF ⊂平面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面（Ⅱ）由AF AF ⊥平面BE EF ⊥可得DFE 60∠．AB EF ∥EFDC 平面EFDC平面ABCD AB CD ∴∥， EFDC 为等腰梯形，以EB (0,2a,0)∴=，a BC ,2⎛= ，AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为1m (x ,y =，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则，取m (3,0,=的法向量为22n (x ,y ,z =n BC=0n AB0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=m n 4|m ||n |31316-==++，则二面角E-BC-A1EX EX <解法二：购买零件所用费用含两部分，当n 19=时，费用的期望为：222222143m 41m 1m ||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时，S 取得最小值12，又10>，可得3S 24833<=（Ⅰ）函数（Ⅱ）1x ，2x 是(x 2)e g(x)(x 1)-=-，[(x g (x)'=，OA OB =120，OK ∴30，1OAsin30OA 2=与O 相切； 2OD =，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，设=圆的圆心，OA OB（Ⅰ）设K30，1=OAsin30OA2（Ⅱ）设圆心为T，证明曲线当x ≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有x 3≤<或x 5>． (1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；时，当31x 2-<<时，当。
2016年四川省高考理科数学试题word版_高考数学试题含答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，学科&网则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9（B ）18（C ）20（D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A）3（B ）23（C）2（D ）19.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高考真题——数学理(四川卷)解析版数学(理)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.【题设】设集合，Z 为整数集，则中元素的个数是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.2. 【题设】设i 为虚数单位，则的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.3. 【题设】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（A ）向左平行移动个单位长度 （B ）向右平行移动个单位长度 （C ）向左平行移动个单位长度 （D ）向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.4. 【题设】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有，所以其中奇数的个数为，故选D. 学科.网考点：排列、组合5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B考点：等比数列的应用.6. 【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.7. 【题设】设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.8. 【题设】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2,则直线OM 的斜率的最大值为（A ） （B ） （C ） （D ）1 【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()222max 22,,2123633,,1222122,,233OM OM p p p p p x t x t t k k pt pt t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，故选C.考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算. 学科.网9. 【题设】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 10. 【题设】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P ，M 满足=1， =，则的最大值是（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,,1,.A B C --设由已知，得，又131,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()(22214x y BM -++∴=，它表示圆上点与点距离平方的，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭，故选B 。
2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)
（D） 37 2 33 4
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由题意， uuur uuur DA DB
DA
uuur DB
DB uuur DC
DC ，所以 D
uuur DC
uuur DA
2
到uuurA,uBuu,rC 三uuu点r 的uuu距r 离uu相ur 等u，uurD DA DB DB DC DB DA
纵坐标不变，得 y sin(ωx φ) 的图象，另一种是把 y sin x 的图象横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不 ω
变，得 y sin ωx 的图象，向左平移 φ 个单位得 y sin(ωx φ) 的图象． ω
（4）【2016 年四川，理 4，5 分】用数字 1，2，3，4，5 构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
uuuur uuuur
uuuur 2
DA DB DB DC DC DA 2 ，动点 P ， M 满足 AP =1 ， PM MC ，则 BM 的最大值是（ ）
（A） 43 4
（B） 49 4
（C） 37 6 3 4
（C） 2 2
（D）1
【答案】C
【解析】如图，由题可知
F
p 2
,
0
，设
P
点坐标为
y02 2p
, y0
，显然，当
y0
0 时， kOM
0；
y0 0
时， kOM 0 ，要求 kOM 最大值，不妨设 y0 0 ．
2016年四川省高考数学试卷(理科)
2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q ＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A．【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=﹣2．【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q ＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=，根据e2==，求得q的值，可得{a n}的解析式，再利用放缩法可得∴e n=＞，从而证得不等式成立．=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相减可得a n+1=q•a n，【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3 =2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，从而证明命题成立．【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，如图所示；则==，==，两式相比，得：=，由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，所以=，即λ=，原命题成立．【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．【另解】，判断出c=b，e=，经仿射变换=×E→⊙O′：x′2+y′2=a2；l PT→l P′T′：x+y﹣3=0；∴=a=，b=a=，∴E：+=1；设T（x0，y0），PT为切线也是极线方程．：+=1⇔x0x+2y0y﹣6=0⇔2x+2y﹣6=0，∴T（2，1）；证明：由图知，根据圆幂定理：|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，K OT=，K O′T′=，K PT=﹣1，K P′T′=﹣，∴|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴==，又==，∴对比λ=，原命题成立．【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，又，当a时，F′（x）=2a+≥+e1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g （x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。
2016四川高考理科数学真题及答案
3. 为了得到函数 y = sin 2x - ⎪ 的图象，只需把函数 y = sin 2x 的图象上所有的点（）⎨ y ≥ 1 - x, 则p 是q 的（ ）⎪ y ≤ 1, P2016四川高考理科数学真题及答案本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页， 共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、 草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 2} ，Z 为整数集，则集合 A I Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2. 设 i 为虚数单位，则 ( x + i)6 的展开式中含 x 4 的项为（ ）A ． -15x 4B ．15x 4C ． -20ix 4D ． 20ix 4⎛π ⎫ ⎝3 ⎭ π πA ．向左平行移动 个单位长度B ．向右平行移动 个单位长度3 3 π πC ．向左平行移动 个单位长度D ．向右平行移动 个单位长度6 64. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．48C ．60D ．725. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发 资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据： lg1.12 ≈ 0.05 ， lg1.3 ≈ 0.11 ， lg2 = 0.30 ）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出 了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。
2016年高考理科数学四川卷-答案
【考点】向量的定义和性质，模的最值．
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】 2 2
【解析】由题可知， cos2 π sin2 π cos π 2 （二倍角公式）．
8
8
42
【提示】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子
的值．
【考点】二倍角的余弦 12.【答案】 3
5 / 12
而得到答案． 【考点】由三视图求面积，体积． 14.【答案】 2
【解析】首先， f x 是周期为 2 的函数，所以 f (x) f (x 2) ；
而 f x 是奇函数，所以 f (x) f (x) ，所以： f (1) f (1) ， f 1 f 1 ，即 f 1 0
又f
【提示】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．
【考点】二项式系数的性质．
3.【答案】D
【解析】由题可知，y
sin
2x
π 3
sin
2
x
π 6
，则只需把
y
sin2x
的图像向右平移
π 6
个单位，选
D．
【提示】由条件根据函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，可得结论． 【考点】 y Asin(x ) 的图象变换规律． 4.【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5 分为两步：先从 1，3，5，三个数中选一个 作为个位数有 C13 ，再将剩下的 4 个数字排列得到 A44 ，则满足条件的五位数有 C13A44 72 ．选 D．
a
a
方法二：特殊值法，若 x1 x2 1 ，可算出 SPAB 1，
x 1，故 S△PAB
1，排除
[四川卷]2016年四川卷理科数学(全解析)
结束输出v i =i 1 v =vx +ii ≥ 0?i =n 1v = 1 开始 输入n, x 否 是2016年四川卷理科数学试题逐题详解考试时间:2016年 6月 7日(星期二)15:00～17:00本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150分.考试时间 120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共 50分)一、 选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.1. 设集合 { }22 A x x =-££ ,Z 为整数集,则集合A Z I 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】C ；由题可知, { } 2,1,0,1,2 A =-- Z I ,则 A Z I 中元素的个数为5. 2. 设i 为虚数单位,则( ) 6i x + 的展开式中含 4x 的项为( )A ． 4 15x -B ． 415x C ． 4 20i x - D ． 420i x【解析】A ；由题可知,含 4x 的项为 24246 C i 15 x x =- .3. 为了得到函数 π sin 2 3 y x æö =- ç÷ èø的图象,只需把函数 sin 2 y x = 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动 π 3 个单位长度B ．向右平行移动 π 3 个单位长度C ．向左平行移动 π6个单位长度D ．向右平行移动 π6个单位长度【解析】D ；因为 ππ sin 2sin 2 36 y x x éù æöæö =-=- ç÷ç÷ êú èøèø ëû ,所以只需把 sin 2 y x = 的图象向右平移 6 p个单位. 4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72【解析】D ；由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5；分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 13 C ,再将剩下的4个数字排列得到 44 A ,则满足条件的五位数有 1434 C A 72 ×= .5. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12% ,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年 份是( )(参考数据:lg1.120.05 » ,lg1.30.11 » ,lg 20.30 = ) A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】B ；设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,( )130112%200 x+= ,解得 1.12200lg 2lg1.3 log 3.80 130lg1.12x - ==» ,因资金需 超过200万,则x 取4,即2019年.6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示 的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值 分别为3,2.则输出v 的值为( ) A ．9B ．18C ．20D ．35【解析】B ；初始值 3,2 n x == ,程序运行过程: 2 i = , 1224 v =´+= ； 1 i = ,详解提供: 南海中学 钱耀周(1,1) C (2,1) B (1,0)A (0,1)Oy xy =1y = x+1y =x 1P MFxO y4219 v =´+= ； 0 i = , 92018 v =´+= ； 1 i =- ,跳出循环,输出 18 v = .7. 设 p :实数 , x y 满足( ) ( ) 22 112 x y -+-£ ,q :实数 , x y 满足 11 1 y x y x y ³- ì ï³- í ï £ î,则 p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】A ；如图,( ) ( ) 22112 x y -+-£ ①表示圆心为( ) 1,1 ,半径为 2 的圆内区域所有点(包括边界)； 11 1 y x y x y ³- ì ï³- í ï £ î② 表示 ABC D 内部区域所有点(包括边界).实数 , x y 满足②则必然满足①,反之不成立,则 p 是q 的必要不充分条件.8. 设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线 22 y px = ( 0 p > )上任意一点,M 是线段PF 上的点,且2 PM MF = ,则直线OM 斜率的最大值为( )A ．3 3B ．2 3C ．2 2D ．1【解析】C ；如图,由题可知 ,0 2 p F æö ç÷ èø ,设P 点坐标为 2 00 , 2 y y p æö ç÷ èø,显然,当 0 0y < 时, 0 OM k < ； 0 0 y > 时, 0 OM k > ,要求 OM k 最大值,不妨设 0 0 y > ,则OM OF FM =+= uuuu r uuu r uuuu r OF +uuu r( )200 1112 , 3333633 y y p FP OF OP OF OP OF p æö=+-=+=+ ç÷ èø uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r , 020 0 02 32 63 OM y k y p y p p y p == + +2 22 £ 2 2 = ,当且仅当 220 2 y p = 等号成立.[或]设 ( ) 2 2,2 P pt pt , ( ) , M x y ,则 2 2,2 2 p FP pt pt æö =- ç÷ èø uuu r , 又 1 3 FM FP = uuuu r uuu r ,所以 2 2 236 p p p x t -=- 且 2 3 pt y = ,即 2 2 33 p p x t =+ 且 2 3 pt y = ,所以 OM k =2 2112 1 212 12 2 2t t t t =£= + + ,所以( ) max2 2 OM k = . 9. 设直线 1 l , 2 l 分别是函数 ( ) ln ,01 ln ,1 x x f x x x -<< ì= í > î 图象上点 1 P , 2 P 处的切线, 1 l 与 2 l 垂直相交于点P ,且1 l ,2 l 分别与 y 轴相交于点 , A B ,则 PAB D的面积的取值范围是( ) A ．( )0,1 B ．( )0,2 C ．( )0,+¥ D ．( )1,+¥ 【解析】A ；由题设知,不妨设 12 , P P 点的坐标分别为 ( ) ( ) 111222 ,,, P x y P x y ,其中 12 01 x x <<< ,则由于 12, l l 分别是点 12 , P P 处的切线,由导数几何意义可知 1 l 的斜率 1 k 为 1 1 x - , 2 l 的斜率 2 k 为 21x ；又 1 l 与 2 l 垂直, 且 12 0 x x << ,可得: 1112 1211 11 k k x x x x ×=-×=-Þ×= ,且 1 l 的方程为: ( ) 11 1 1ln y x x x x =--- ①, 2 l2D P C (3, 3)C (3, 3) x A y PAMCBxDy的方程分别为 ( ) 22 2 1ln y x x x x=-+ ②,此时点 A 的坐标为( ) 1 0,1ln x - , B 的坐标为( ) 2 0,1ln x -+ ,由此可得: ( ) 1212 2ln ln 2ln 2 AB x x x x =--=-×= ,①、②两式联立可解得交点P 的横坐标为x =121212 2ln 2 x x x x x x - = ++ , PAB D 的面积为 12 1 1 1122 21 1 22 PAB xS AB P x x x x D =×=´´=£ + + ,当且仅当 1 1 1x x=即 1 1 x = 时等号成立,而 1 01 x << ,所以 1 PAB S D < . 10.在平面内,定点 ,,, A B C D 满足 == DA DB DC uuu r uuu r uuu r , 2 DA DB DB DC DC DA ×=×=×=- uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r,动点P ,M满足 =1 AP uuu r ,PM MC = uuuu r uuu u r ,则 2BM uuuu r 的最大值是( )A ．434B ．494 C ． 3763 4 + D ．37233 4+ 【解析】B ；由题意, DA DB DC == uuu r uuu r uuu r,所以 D 到 ,, A B C 三点的距离相等, D 是 ABC D 的外心；2 DA DB DB DC DC DA ×=×=×=- uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ( )0 DA DB DB DC DB DA DC DB CA Þ×-×=×-=×= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,所以DB AC ^ ,同理可得, , DA BC DC AB ^^ ,从而D 是 ABC D 的垂心； 所以 ABC D 的外心与垂心重合,因此 ABC D 是正三角形,且D 是 ABC D 的中心, cos DA DB DA DB ADB DA DB ×=Ð= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 1 2 2 æö´-=-ç÷ èø所以 2 DA = uuu r,所以正三角形 ABC D 的边长为23,以 A 为原点建立直角坐标系, ,, B C D 三点坐标分别为 ( ) ( )3,3,3,3 B C - , ( ) 2,0 D ,由 1 AP = uuu r,设 ( ) cos ,sin P q q ,其中 [ ) 0,2π q Î ,而PM MC = uuuu r uuu u r,即M 是PC 的中点,可以写出M 的坐标为 3cos 3sin , 22 M q q æö++ ç÷ ç÷ èø,则 22 cos3 2 BM q - æö =+ ç÷ èø uuuu r 23712sin 33sin 371249 6 2444 p q q æö +- ç÷ æö ++ èø =£= ç÷ ç÷ èø,当 2 3 q p = 时, 2 BM uuuu r 取得最大值 49 4 . [或]甴已知易得 120 ADC ADB BDC Ð=Ð=Ð=°, 2 DA DB DC === uuu r uuu r uuu r,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,则 ( ) 2,0 A , ( )1,3 B -- , ( )1,3 C - ,设 ( ) , P x y ,由已知 1 AP = uuu r ,得( ) 2 2 21 x y -+= ,又PM MC = uuuu r uuu u r ,所以 13 , 22 x y M æö -+ ç÷ ç÷ èø ,所以 133 , 22 x y BM æö ++ =ç÷ ç÷ èøuuuu r ,所以 ( ) ( )222 133 4x y BM -++ = uuuu r ,它表示圆( ) 2 221 x y -+= 上点( ) . x y 与点 ( )1,33 -- 距离平方的 1 4 ,所以 ( )( )22 2 2max 149 3331 44 BM æö =+-+= ç÷ èøuuuu r .13 3CBAP1133第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.11. 22 ππ cos sin = 88- __________．【解析】2 2 ； 22 πππ2 cos sin cos 8842-== (直接考查二倍角公式). 12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．【解析】 3 2 ； 由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 113 1 224P =-´= , 因为 2次独立试验成功次数X 满足二项分布 3 ~2, 4 X B æö ç÷ èø,则 ( ) 33 2 42E X =´= 13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是_________.【解析】 33；由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得几何体P ABC - ,且三棱锥高为 1 h = ,则体积 13V Sh ==113 2311 323 æö´´´´= ç÷ èø. 14.已知函数 ( ) f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当01 x << 时, ( ) 4 xf x = ,则 5 2 f æö-+ ç÷ èø ( ) 1 f = __________.【解析】 2 - ；由周期性知 ( ) ( ) 11 f f =- ,由奇函数知 ( ) ( ) 11 f f =-- ,即 ( ) 10 f = ,又 5 2 f æö -= ç÷ èø11 22 f f æöæö-=- ç÷ç÷ èøèø12 42 =-=- ,所以 ( ) 5 12 2 f f æö-+=- ç÷ èø. 15.在平面直角坐标系中,当 ( ) , P x y 不是原点时,定义P 的“伴随点”为 2222 , y x Px y x y æö- ¢ ç÷++ èø；当P 是 原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ¢定义为曲线C 的“伴随曲线”,现有下列命题:① 若点A 的“伴随点”是点A ¢,则点A ¢的“伴随点”是点A ；② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；③ 若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线” ' C 关于 y 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号).【解析】②③；①设 ( ) , A x y ,伴随点 2222 , y x Ax y x y æö- ¢ ç÷++ èø , A ¢的伴随点横坐标为 2222 2222x x yy x x y x y - + æöæö - + ç÷ç÷ ++ èøèøx =- ,同理可得纵坐标为 y - ,故 ( ) , A x y ¢¢ -- ,错误；② 设单位圆上的点P 的坐标为( ) cos ,sin q q ,则 P 的伴随点的坐标为 ( ) sin ,cos P q q ¢ -= ππ cos ,sin 22 q q æö æöæö -- ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø ,所以P ¢也在单位圆上,即P ¢点是P 点延顺时针方向旋转 π2 .正确；③设曲线C 上点 A 的坐标( ) , x y ,其关于x 轴对称的点 ( )1 , A x y - 也在曲线C 上,所以点 A 的伴随点 2222 , y x Ax y x y æö - ¢ ç÷ ++ èø ,点 1 A 的伴随点 1 2222 , y x A x y x y æö -- ¢ ç÷ ++ èø, A ¢与 1 A ¢ 关于 y 轴对称.正确；④反例:例如 1y = 这条直线,则 ( ) 0,1 A , ( ) 1,1 B , ( ) 2,1 C ,而这三个点的伴 随点分别是 ( ) 1112 1,0,,,, 2255 A B C æöæö¢¢¢ -- ç÷ç÷ èøèø,而这三个点不在同一直线上.下面给出严格证明:设点 ( ) , P x y 在直线 :0 l Ax By C ++= ,P 点的伴随点为 ( ) 00, P x y ¢ ,则 0 22 0 22 y x x yx y x y ì = ï + ï í - ï = ï + î ,解得 022 000 2200y x x y x y x y - ì = ï + ï í ï = ï + î , 代入直线方程可知 00222200000 y x AB C x y x y - ++= ++ ,化简得 ( ) 22 0000 0 Ay Bx C x y -+++= ,当 0 C = 时, ()2200 C x y + 是一个常数, ' P 的轨迹是一条直线；当 0 C ¹ 时, ()2200 C x y + 不是一个常数,P ¢的轨迹不是一条直线.所以,直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟 确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议 价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按 照[ ) 0,0.5 ,[ ) 0.5,1 ,…,[ ] 4,4.5 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ) 求直方图中a 的值；(Ⅱ) 设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由； (Ⅲ) 若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x (吨),估计x 的值,并说明理由.a 0.52 0.40 0.160.12 0.08 0.044.5 43.532.521.510.5月均用水量（吨）组距频率 【解析】(Ⅰ)由直方图得 ( ) 0.50.080.160.40.520.120.080.0421 a ´+++++++= ,解得 0.3 a = .(Ⅱ)由图,不低于3吨人数所占百分比为 ( ) 0.50.120.080.04=12% ´++ , 所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:3012%=3.6 ´ (万) (Ⅲ)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:EPDCBAG M FAB CDPE( ) 0.50.080.160.30.40.520.73 ´++++= ,即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故2.53 x << , 假设月均用水量平均分布,则 ( ) 85%73%0.5 2.50.5 2.9 0.3x -¸ =+´= (吨).所以,估计用水量为2.9吨时,85%的居民每月均用水量不超过标准. 17.(本小题满分 12分)在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对的边分别是 ,, a b c ,且cos cos sin A B Ca b c+= . (Ⅰ) 证明:sin sin sin A B C = ； (Ⅱ) 若 2226 5b c a bc +-= ,求tan B .【解析】(Ⅰ)依题意,结合正弦定理得 cos cos sin 1 sin sin sin A B CA B C+== ,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += ,又sin cos sin cos B A A B += ( ) ( ) sin sin sin A B C C p +=-= ,从而sin sin sin A B C = .(Ⅱ)由题 22265 b c a bc +-= ,根据余弦定理可知, 2223 cos 25b c a A bc +- == ,又 ( ) 0, A p Î ,sin 0 A > ,则 234sin 1 55A æö =-= ç÷ èø ,即 cos 3 sin 4 A A = ,由(Ⅰ)可知 cos cos sin 1 sin sin sin ABC A B C +== ,所以 cos 11 sin tan 4 B B B ==所以tan 4 B = .18.(本小题满分 12分)如图,在四棱锥P ABCD - 中, // AD BC , 90 ADC PAB Ð=Ð=°, 12BC CD AD == ,E 为棱 AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(Ⅰ) 在平面PAB 内找一点M ,使得直线 // CM 平面PBE ,并说明理由；(Ⅱ) 若二面角P CD A -- 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)延长AB ,交直线CD 于点M ,因为E 为 AD 中点,所以 1 = 2AE ED AD = ,因为 1 = 2BC CD AD = ,所以ED BC = ,因为 // AD BC 即 // ED BC ,所以四边形BCDE 为平行四边形, // BE CD ,即 // CM BE ,又BE Ì 面PBE ,CM Ë 面PBE ,所以 // CM 面PBE .此时M 在DC 延长线上,且DC CM = . (事实上:延长AP 至N 使AP PN = ,则所找的点可以是MN 上任意一点!)(Ⅱ)过A 作 AF EC ^ 交EC 于点F ,连结PF ,过A 作 AG PF ^ 交PF 于点G , 因为 90 PAB =° ∠ ,PA 与CD 所成角为90°,所以PA AB ^ ,PA CD ^ ,又 = AB CD M I , 所以PA ^平面 ABCD ,又EC Ì面ABCD ,所以PA EC ^ ,因为EC AF ^ 且 AF AP A = I ,z E PD C BAx M y 所以CE ^面PAF ,又 AG Ì面PAF ,所以AG CE ^ ,因为 AG PF ^ 且 AG AF A = I , 所以AG ^面PFC ,所以 APF ∠ 为所求PA 与面PCE 所成的角,因为PA ^面 ABCD , 90 ADC =° ∠ 即 AD DC ^ .所以 PDA ∠ 为二面角P CD A -- 所成的平面角, 由题意可得 45 PDA =° ∠ ,而 90 PAD =° ∠ ,所以PA AD = ,因为BC CD = ,四边形BCDE 是平行四边形, 90 ADM =° ∠ ,所以四边形BCDE 是正方形, 所以 45 BEC =° ∠ ,所以=45 AEF BEC = o∠∠ ,因为 90 AFE = o∠ ,所以 2= 2AF AE , 所以 22 4 tan == 4 AD AF APF AP AP = ∠ ,所以 1sin = 3APF ∠ , 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 13.向量法:由已知CD PA ^ ,CD AD ^ ,PA AD A = I ,所以CD ^平面PAD ,于是CD PD ^ ,故 PDA Ð 为二面角P CD A -- 的平面角,所以 45 PDA =° ∠ ,由PA AB ^ ,PA CD ^ ,又 = AB CD M I ,所以PA ^平面ABCD ,不妨设 1 BC = , 则在Rt PAD D 中, 2 PA AD == ,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A xyz - 如图所示,则( ) 0,0,0 A , ( ) 0,0,2 P , ( ) 2,1,0 C , ( ) 1,0,0 E , () 1,0,2 PE =- uuu r , ( ) 1,1,0 EC = uuu r , ( ) 0,0,2 AP = uuu r, 设平面PCE 的法向量为 ( ) ,, x y z = n ,则 0 0 PE EC ì ×= ïí ×= ï îuuu r uuu r n n ,得 20 0 x z x y -= ì í += î ,解得 2 2 x z y z = ì í=- î , 令 1 z = ,得 ( ) 2,2,1 =- n ,设直线PA 与平面PCE 所成角为q ,则 21sin 233AP AP q × === ´ uuu ruuu r n n , 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 13. 19.(本小题满分 12分)已知数列{ } n a 的首项为1, n S 为数列{ } n a 的前n 项和, 1 1 n n S qS + =+,其中 0 q > , *n ÎN . (Ⅰ) 若 232 2,,2 a a a + 成等差数列,求{ }n a 的通项公式； (Ⅱ) 设双曲线 2 22 1 ny x a -= 的离心率为 n e ,且 253 e = ,证明: 12 1 43 3 n nn n e e e - - ++×××+> . 【解析】(Ⅰ)当 1 n = 时, 21 1 S qS =+ ,即 121 1 a a qa +=+ ,又 1 1 a = ,所以 2 a q = .当 2 n ³ 时, 1 1 n n S qS + =+ , 1 1 n n S qS - =+ ,相减得 1 n n a qa + = ,又 21 a qa q == , 所以{ }n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 又 232 2,,2 a a a + 成等差数列,所以 3222 22232 a a a a =++=+ ,即 22320 q q --= , 解得 2 q = 或 12q =- (舍去),所以 1* 2, n n a n - =ÎN .(Ⅱ) 2221 =1 1n n n a e a + =+ ,由(Ⅰ)可得,{ } n a 为首项为1,公比为q 的等比数列,故 22225 11 3 e a q =+=+= ,即 4 3 q = ,所以 14 3 n n a - æö= ç÷ èø,所以 22221444 1 333 n n n n e --- æöæöæö =+>= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø所以 21 123 1 4 1 44443 3 ...1... 4 3333 1 3nn n nn n e e e e - - æö- ç÷ - æöæö èø ++++>++++== ç÷ç÷ èøèø - ,不等式得证.20.(本小题满分 13分)已知椭圆E : 2222 1 x y a b+= ( 0 a b >> )的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l : 3 y x =-+ 与椭圆E 有且只有一个公共点T .(Ⅰ) 求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(Ⅱ) 设O 是坐标原点,直线l ¢平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明: 存在常数l ,使得 2PTPA PB l =× ,并求l 的值.【解析】(Ⅰ)设短轴一端点为 ( ) 0, C b ,左,右焦点分别为 ( ) 1 ,0 F c - , ( ) 2 ,0 F c ( 0 c > ),则 222c b a += .由题意, 12 F F C D 为直角三角形,所以 2221212 F F FC F C =+ ,解得 22b c a == , 所以E : 22 22 1 2 x y b b += ,代入 3 y x =-+ 消去 y 整理得 223121820 x x b -+-= (*),由 ( ) 2212121820 b D =--= ,解得 2=3 b ,所以椭圆E 的方程为 221 63x y += .此时(*)为 2440 x x -+= ,解得 2 x = ,则 31 y x =-+= ,所以T 的坐标为( ) 21 , .(Ⅱ)设l ¢: 1 2 y x m =+ ( 0 m ¹ ),联立直线l 的方程可解得 22 2,1 33 m m P æö -+ ç÷ èø,故 2 2 8 9 PT m = ,设 ( ) ( ) 1122 ,,, A x y B x y ,联立直线l ¢与椭圆E 的方程消去 y 整理得22344120 x mx m ++-= , 由 ( ) 2216124120 m m D =--> ,解得 3232 22 m -<< ,且 12 4 3 mx x +=- , 212 412 3m x x - = , 所以 22111 2252 212 3323 m m m PA x y x æöæö=--++-=-- ç÷ç÷ èøèø,同理 2 52 2 23 m PB x =-- ,所以 12 522 22 433 m m PB PB x x æöæö ×=---- ç÷ç÷ èøèø ( ) 21212 522 22 433 m m x x x x æöæö =---++ ç÷ç÷ èøèø2 2 5224412 (2)(2)() 43333m m m m - =----+210 9 m = , 故存在常数 45l = ,使得 2PTPA PB l =× .[参数方程法]设 ( ) 00 ,3 P x x - 在l 上,由 12 OT k = ,l ¢平行OT ,得l ¢的参数方程为 0 02 3 x x t y x t =+ ì í =-+ î ,代入椭圆E 整理可得 2200 24440 t t x x ++-+= ,设两根为 A t , B t ,则有 ( ) 20 2 2A B x t t - =,而 ( ) ( )()( ) 22222000 23122 PTx x x =-+--=- , 5 A PA t = , 5 B PB t = ,故有 ( ) 2 0 5 552 2A B PA PB t t x ×=×=- ,由题意 2PT PA PB l =× , 所以 2220 2(2) 4 5 5 (2) 2PT x PA PB x l - === × - ,故存在常数 4 5 l = ,使得 2 PT PA PB l =× ,21.(本小题满分 14分)设函数 ( ) 2ln f x ax a x =-- ,其中a ÎR .(Ⅰ) 讨论 ( ) f x 的单调性；(Ⅱ) 确定a 的所有可能取值,使得 ( ) 1 1 e xf x x- >- 在区间( ) 1,+¥ 内恒成立(其中e 2.718 = …为自然 对数的底数).【解析】(Ⅰ)由题意, ( ) 2121'2 ax f x ax x x- =-= ( 0 x > ),① 当 0 a £ 时, 2210 ax -£ , ( ) 0 f x ¢ £ , ( ) f x 在( ) 0,+¥ 上单调递减.② 当 0 a > 时,当 1 0, 2 x a æöÎç÷ ç÷ èø 时, ( ) 0 f x ¢ < ；当 1 , 2 x a æö Î+¥ ç÷ ç÷ èø时, ( ) 0 f x ¢ > . 故 ( ) f x 在 1 0, 2a æöç÷ ç÷ èø 上单调递减,在 1 , 2a æö +¥ ç÷ ç÷ èø上单调递增. (Ⅱ)原不等式等价于 ( ) 1 1 e 0 xf x x - -+> 在 ( ) 1, x Î+¥ 上恒成立.一方面:令 ( ) ( ) 121 11 e ln e x xg x f x ax x a x x-- =-+=--+- ,只需 ( ) g x 在( ) 1,+¥ 上恒大于0即可,又 ( ) 10 g = ,故 ( ) g x ¢ 在 1 x = 处必大于等于0,令 ( ) ( ) 1 2 112e x F x g x ax x x- ¢ ==-+- , ( ) 10 g ¢ ³ ,可得 12 a ³ .另一方面:当 1 2 a ³ 时, ( ) 3 111 2323312122 2e 1e e x xx x x F x a x x x x x--- +- ¢ =+-+³+-+=+ , 因为 ( ) 1, x Î+¥ ,故 3 20 x x +-> ,又 1 e 0 x - > ,故 ( ) F x ¢ 在 12a ³ 时恒大于0.所以当 12a ³ 时, ( ) F x 在 ( ) 1, x Î+¥ 单调递增.所以 ( ) ( ) 1210 F x F a >=-³ ,故 ( ) g x 也在 ( ) 1, x Î+¥ 单调递增.所以 ( ) ( ) 10 g x g >= ,即 ( ) g x 在 ( ) 1, x Î+¥ 上恒大于0. 综上,a 的所有可能取值为 12a ³ .[法二]令 ( ) 1 11ex g x x - =- , ( ) 1 e x s x x - =- ,则 ( ) 1 e 1 x s x - ¢ =- ,当 1 x > 时, ( ) 0 s x ¢ > ,故 ( ) s x 递增, 又由 ( ) 10 s = ,有 ( ) 0 s x > ,从而当 1 x > 时, ( ) 0 f x > ,当 0 a £ , 1 x > 时, ( ) ( )2 1ln 0 f x a x x =--< , 故当 ( ) ( ) f x g x > 在区间( ) 1,+¥ 内恒成立时,必有 0 a > . 当 10 2a << 时,1 1 2a > ,由(Ⅰ)由 ( ) 1 102 f f a æö <= ç÷ èø ,从而 1 0 2g a æö > ç÷ èø , 所以此时 ( ) ( ) f x g x > 在区间( ) 1,+¥ 内不恒成立. 当 12a ³ 时,令 ( ) ( ) ( ) h x f x g x =- ( 1 x ³ ),当 1 x > 时, ( ) 32 1 2222111112121 2e 0 xx x x x h x ax x x x x x x x x - -+-+ ¢ =-+->-+-=>> ,因此, ( ) h x 在( ) 1,+¥ 上递增,又 ( ) 10 h = ,所以当 1 x > 时, ( ) 0 h x > ,即 ( ) ( ) f x g x > 恒成立, 综上,a 的所有可能取值为 12a ³ .。