2014-2015学年上海市虹口高中高二(上)数学期中试卷带解析答案
第1页（共13页） 2014-2015学年上海市虹口高中高二（上）期中数学试卷 一、填空题（每题4分，共48分） 1．（4分）已知{an}是等差数列，如果a3=18，a6=27，则公差d= ． 2．（4分）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于 ．
3．（4分）= ． 4．（4分）数列{an}的前n项和Sn=n2+n﹣3，则通项公式an= ． 5．（4分）等比数列{an}，公比q=，则它的前6项和S6= ． 6．（4分）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=﹣，且（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=，则a1= ． 7．（4分）已知平面内两点P（﹣2，4），Q（2，1），则的单位向量是 ． 8．（4分）等差数列{an}中a3×a7=﹣16，a4+a6=0，则前项n和Sn= ． 9．（4分）在等比数列{an}中，an＞0，且a1•a2•…•a7•a8=16，则a4+a5的最小值为 ． 10．（4分）数列{an}满足an+1=，a8=2，则a1= ．
11．（4分）Sn是等差数列{an}的前n项和，S6＞S7＞S5，则下列命题正确的是 ． ①d＜0； ②S11＞0； ③S12＜0； ④数列的最大项为S11． 12．（4分）a为正数，记[a]表示取a的整数部分，已知a﹣[a]、[a]、a，依次成等比数列，则a= ．
二、选择题（每题4分，共16分） 13．（4分）设{an}是等比数列，则“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（4分）已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10 第2页（共13页）
等于（ ） A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21 15．（4分）设，若与不平行，点P在线段AB上|AP|=2|PB|，
如图所示，则=（ ）
A． B． C． D． 16．（4分）在平面直角坐标系中，设向量满足=，且，数列{xn}，{yn}分别是等差数列、等比数列，则四边形ABCD是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
三、解答题（8分+8分+10分+10分） 17．（8分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列， （1）求{an}的公比q； （2）求a1﹣a3=3，求Sn．
18．（8分）已知数列{an}中，a1=2，an=（n≥2）． （1）求a2、a3、a4的值； （2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明． 19．（10分）在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a1，a2，a5成等比数列． （1）求an； （2）设bn=，求b1+b2+…+bn的值；
（3）设cn=an﹣8，求数列{|cn|}的前n项和Tn． 20．（10分）已知等差数列{an}的前项n和为Sn，且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N*． （1）证明：{an﹣1}是等比数列； （2）求{Sn}的通项公式； 第3页（共13页）
（3）求Sn取得最小值时n的值． 第4页（共13页）
2014-2015学年上海市虹口高中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题（每题4分，共48分） 1．（4分）已知{an}是等差数列，如果a3=18，a6=27，则公差d= 3 ． 【解答】解：在等差数列{an}中，由a3=18，a6=27，得 ． 故答案为：3．
2．（4分）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于 4 ． 【解答】解：∵等差数列{an}， ∴a1+a5=a2+a4=2a3， 又a1+a2+a3+a4+a5=20， ∴5a3=20， 则a3=4． 故答案为：4
3．（4分）= 2 ． 【解答】解：=2． 故答案为：2．
4．（4分）数列{an}的前n项和Sn=n2+n﹣3，则通项公式an= ． 【解答】解：a1=S1=1+1﹣3=﹣1， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n﹣3）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）﹣3]=2n， 当n=1时，2n=2≠a1， 第5页（共13页）
∴． 故答案为：．
5．（4分）等比数列{an}，公比q=，则它的前6项和S6= ． 【解答】解：∵等比数列{an}，公比q=， ∴a1=2，
∴S6==． 故答案为：．
6．（4分）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=﹣，且（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=，则a1= 2 ． 【解答】解：∵q=﹣， ∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）==． ∴a1=2． 故答案为2．
7．（4分）已知平面内两点P（﹣2，4），Q（2，1），则的单位向量是 ． 【解答】解：=（4，﹣3）． ∴的单位向量=±==． 故答案为：．
8．（4分）等差数列{an}中a3×a7=﹣16，a4+a6=0，则前项n和Sn= ﹣n2+9n或 第6页（共13页）
n2﹣9n ． 【解答】解：∵等差数列{an}中a3×a7=﹣16，a4+a6=0，
∴， 解得a1=8，d=﹣2或a1=﹣8，d=2， ∴Sn=8n+=﹣n2+9n．或Sn=﹣8n+=n2﹣9n． 故答案为：﹣n2+9n或n2﹣9n．
9．（4分）在等比数列{an}中，an＞0，且a1•a2•…•a7•a8=16，则a4+a5的最小值为 ． 【解答】解：∵数列{an}为等比数列， ∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6， ∴a1•a2•…•a7•a8=（a4a5）4=16， ∴a4a5=2 ∴a4+a5≥2=2
故答案为：2
10．（4分）数列{an}满足an+1=，a8=2，则a1= ． 【解答】解：由题意得，an+1=，a8=2， 令n=7代入上式得，a8=，解得a7=； 令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1； 令n=5代入得，a6=，解得a5=2； … 根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，
∵8÷3=2…2，故a1= 故答案为：． 第7页（共13页）
11．（4分）Sn是等差数列{an}的前n项和，S6＞S7＞S5，则下列命题正确的是 ①② ． ①d＜0； ②S11＞0； ③S12＜0； ④数列的最大项为S11． 【解答】解：∵{an} 是等差数列，Sn是其前n项和，且S6＞S7＞S5， ∴a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0； ∴d=a7﹣a6＜0，故①正确； S11==11a6＞0，故②正确； 同理可得，S12=6（a6+a7）＞0，故③错误； 由以上分析可知，公差d＜0，a6＞0，a7＜0，故数列{Sn}中的最大项为S6，非S11，故④错误； 综上所述，正确的命题是①②． 故答案为①②．
12．（4分）a为正数，记[a]表示取a的整数部分，已知a﹣[a]、[a]、a，依次成等比数列，则a= ．
【解答】解：由题意，整数部分x≥0，小数部分y属于[0，1） y，x，x+y成等比数列，所以x＞0 x2=y（x+y）=＞x2﹣xy﹣y2=0 因为x＞0，所以x=y， 因为0≤y＜1 所以0≤x＜，对应正整数x，只能取1 所以x=1，y2+y﹣1=0 从而y=，因此a=x+y=．
故答案为：．
二、选择题（每题4分，共16分） 13．（4分）设{an}是等比数列，则“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 第8页（共13页）
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：{an}是等比数列，则由“a1＞a2＞a3”可得“数列{an}是递减数列”，故故充分性成立． 再由“数列{an}是递减数列”，可得“a1＞a2＞a3”，故必要性成立． 综上可得，“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的充要条件， 故选：C．
14．（4分）已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=﹣6，那么a10
等于（ ）
A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21 【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12， ∴a8=a4+a4=﹣24， ∴a10=a8+a2=﹣30， 故选：C．
15．（4分）设，若与不平行，点P在线段AB上|AP|=2|PB|，如图所示，则=（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：∵点P在线段AB上|AP|=2|PB|， ∴=， ∴=， ∴+=． 故选：C．
16．（4分）在平面直角坐标系中，设向量满 第9页（共13页）
足=，且，数列{xn}，{yn}分别是等差数列、等比数列，则四边形ABCD是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【解答】解：∵=，且， ∴x1+x2+x3+x4=0，y1+y2+y3+y4=0． ∵数列{xn}，{yn}分别是等差数列、等比数列，设等比数列的公比为q， 则有 x2+x3=x1+x4=0，且y1（1+q+q2+q3）=0， 即 （1+q）（1+q2）=0，∴q=﹣1，∴y1+y4=y2+y3=0． 可得+=+=，即 ==， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：A．
三、解答题（8分+8分+10分+10分） 17．（8分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列， （1）求{an}的公比q； （2）求a1﹣a3=3，求Sn． 【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2） 由于a1≠0，故2q2+q=0 又q≠0，从而
（Ⅱ）由已知可得 故a1=4
从而
18．（8分）已知数列{an}中，a1=2，an=（n≥2）． （1）求a2、a3、a4的值； （2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
易错汇总2014-2015年上海市七宝中学高二上学期期末数学试卷与解析
∴当 l 是线段 P1P2 的中垂线时，满足条件，此时满足条件的直线只有一条， 若 P1（1，1），P2（5，4）在直线的 l 的同侧， 则满足 l∥P1P2， 则到直线 l 的距离等于 的直线有 2 条，
综上共有 3 条， 故选： B．
所以
的最小值为： 8，最大值为： 16，
故
的取值范围是 [ 8，16] ．
故答案为： [ 8， 16] ．
12．（ 3 分）我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一 固定直线平行的直线被甲、 乙两个封闭图形所截得线段的比为定值 K，那么甲 的面积是乙的面积的 K 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形 ABCD、 乙：小矩形 EFCD）、②（甲：大直角三角形 ABC 乙：小直角三角形 DBC）中
．
11．（ 3 分）若动点 P 在直线 l1：x﹣y﹣2=0 上，动点 Q 在直线 l2：x﹣y﹣6=0 上，
设线段
PQ 的中点为
M（x1，y1），且（ x1﹣2）2+（y1+2）2≤ 8，则
x12+y
2 1
的取
值范围是
．
12．（ 3 分）我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一
固定直线平行的直线被甲、 乙两个封闭图形所截得线段的比为定值 K，那么甲
10．（3 分）已知两点 M（0，﹣5），N（ 4，3），给出下列曲线方程：① x+2y+1=0；
②（ x+1）2+（y+1）2=2；③
；④
．则曲线上存在点 P 满足
| PM| =| PN| 的方程的序号是 ②③ ．
【解答】解：问题可转化为线段 MN 的垂直平分线
2014-2015年上海市宝山区高二(上)期末数学试卷及答案
2014-2015学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=．2．（4分）在等比数列{a n}中，已知a3=2，a6=16，则公比q=．3．（4分）已知矩阵，则AB=．4．（4分）已知向量，，则=．5．（4分）若行列式的第二行、第三列元素的代数余子式的值等于﹣3，则实数x=．6．（4分）用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=．7．（4分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C 三点共线，则k=．8．（4分）已知向量，点A（1，﹣2），若与同向，且，则点B坐标为．9．（4分）一平面截一球得到面积为12π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是．10．（4分）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．11．（4分）在各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=51（其中n∈N*），公差为d，则n+d的最小值等于．12．（4分）在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=3，△ABC中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为S1，S2，…，S n，…（从大到小），其中n∈N*，则=．13．（4分）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是．①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②与直线m平行的直线不可能与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．14．（4分）已知等差数列{a n}前n项和为S n（n∈N*），函数f（x）=x3+x+2（x∈R），若满足f（a2﹣2）=5，f（a2014﹣4）=﹣1，则S2015=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在四边形ABCD中，•=0，=，则四边形ABCD是（）A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形16．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21B．20C．19D．1817．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c18．（5分）已知两非零向量，，其中a1，a2，b1，b2均为实数，集合A={x|a1x+b1≥0}，集合B={x|a2x+b2≥0}，则“”是“A=B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）数列{a}的前n项和记为S n，已知a n=5S n﹣3（n∈N）求（a1+a3+…+a2n）的值．﹣120．（14分）已知向量，，其中是互相垂直的单位向量．（1）求以，为一组邻边的平行四边形的面积；（2）设向量，，其中λ为实数，若与夹角为钝角，求λ的取值范围．21．（14分）如图，在体积为的正三棱锥A﹣BCD中，BD长为2，E为棱BC的中点，求：（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥A﹣BCD的表面积．22．（16分）在上海自贸区的利好刺激下，A公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第n个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为b n、c n和a n=a•a n，（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b n+1c n+1=a n+ba n2（其中a，b为常数，n∈N*），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件．与a n满足的关系式；（1）求a，b的值，并写出a n+1（2）证明：a n逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2014年1月份以来的第n个月的销售总量a n关于n的表达式．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S1＞1，且6S n=（a n+1）（a n+2），n ∈N*．的关系式；（1）求a n与a n+1（2）在满足条件的所有数列{a n}中，求a2015最小值；（3）若数列{a n}各项都为正数，设数列{b n}满足a n（2bn﹣1）=3，并记T n为{b n}的前n项和，问：是否存在常数c使得对任意的正整数n，都有T n≥c成立？如果存在，请写出c的取值范围；如果不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市宝山区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：=1．【解答】解：==1，故答案为：1．2．（4分）在等比数列{a n}中，已知a3=2，a6=16，则公比q=2．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a3=2，a6=16，得16=2q3，解得q=2．故答案为2．3．（4分）已知矩阵，则AB=．【解答】解：∵矩阵，∴AB===．故答案为：．4．（4分）已知向量，，则=0．【解答】解：（﹣）•=（，﹣）•（，）=﹣=0，故答案为：0．5．（4分）若行列式的第二行、第三列元素的代数余子式的值等于﹣3，则实数x=﹣1．【解答】解：由题意得M23=﹣=﹣（1﹣2x）=﹣3解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．6．（4分）用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=1+a+a2．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”时，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a27．（4分）已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：向量，∴又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）∴k=故答案为8．（4分）已知向量，点A（1，﹣2），若与同向，且，则点B坐标为（7，﹣5）．【解答】解：设B（x，y），=（x﹣1，y+2），∵与同向，且，∴﹣（x﹣1）﹣2（y+2）=0，=3，解得x=7，y=﹣5．∴B（7，﹣5）．故答案为：（7，﹣5）．9．（4分）一平面截一球得到面积为12π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是64π．【解答】解：球的截面圆的半径为：12π=πr2，r=2设球的半径为：R．则：球心到这个圆面的距离是由，R=4．所以球的表面积：4πR2=4π×16=64π，故答案为：64π．10．（4分）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又∵=+，∴=（+），即λ=μ=，∴λ+μ=．故答案为：．11．（4分）在各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=51（其中n∈N*），公差为d，则n+d的最小值等于16．【解答】解：若a1=1，a n=51（其中n∈N*），则1+（n﹣1）d=51，即（n﹣1）d=50，则d=，n+d=n+=（n﹣1）++1≥2+1，当n﹣1=，即n=1+5∈（8，9），不为整数，则等号不能成立，当n=8时，d=不为整数；当n=9时，d=不为整数；n=7时，d=不为整数；n=6时，d=10，有n+d=16；n=11时，d=5，有n+d=16．则当n=6或11时，n+d取得最小值，且为16．故答案为：16．12．（4分）在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=3，△ABC中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为S1，S2，…，S n，…（从大到小），其中n∈N*，则=．【解答】解：设第一个正方形的边长为x，则由相似三角形可得=，解得x=1，∴S1=1，再由相似三角形可得S1，S2，…，S n，…构成1为首项，为公比的等比数列，∴===故答案为：13．（4分）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是②．①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②与直线m平行的直线不可能与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．【解答】解：对于①，设m与平面α相交于点A，在m上取一点P，作PO⊥α于A点在α内作直线l与AO垂直，则∵PO⊥α，l⊆α，∴l⊥PO∵l⊥AO，PO∩AO=O，∴l⊥平面PAO∵m⊆平面PAO，∴l⊥m因为在平面α内与直线l平行的直线，都与m垂直，所以平面α内有无数条直线与直线m垂直，故①不正确；对于②，因为两条平行线中有一条与已知平面垂直，则另一条也与已知平面垂直，故与平面α的斜线m平行的直线也是平面α的斜线，故②正确；对于③，将图中的直线l平移到平面α外的直线n，则直线n与m垂直且与平面α平行，故③不正确；对于④，如图的平面PAO就是与平面α的一个垂直平面，若一个平面β与平面PAO平行，则β与直线m平行且与平面α垂直，故④不正确．故答案为：②14．（4分）已知等差数列{a n}前n项和为S n（n∈N*），函数f（x）=x3+x+2（x∈R），若满足f（a2﹣2）=5，f（a2014﹣4）=﹣1，则S2015=6045．【解答】解：函数f（x）=x3+x+2即为f（x）﹣2=x3+x，令g（x）=f（x）﹣2，由g（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）递增．f（a2﹣2）=5，f（a2014﹣4）=﹣1，即为f（a2﹣2）﹣2=3，f（a2014﹣4）﹣2=﹣3，即有g（a2﹣2）=﹣g（a2014﹣4）=g（4﹣a2014），即有a2﹣2=4﹣a2014，即a2+a2014=6，则有S2015=（a1+a2015）•2015=（a2+a2014）•2015==6045．故答案为：6045．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在四边形ABCD中，•=0，=，则四边形ABCD是（）A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形【解答】解：由•=0知⊥．由=知BC AD．∴四边形ABCD是矩形．故选：C．16．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：由＜﹣1，可得＜0，由它们的前n项和S n有最大可得数列的d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴使得S n＞0的n的最大值n=19．故选：C．17．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选：A．18．（5分）已知两非零向量，，其中a1，a2，b1，b2均为实数，集合A={x|a1x+b1≥0}，集合B={x|a2x+b2≥0}，则“”是“A=B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若A=B，则不等式a1x+b1≥0和a2x+b2≥0的解集相同，则a1a2＞0，且方程a1x+b1=0和a2x+b2=0同解，即，则成立，即必要性成立，若，则，当a1a2＜0时，满足，但集合A={x|a1x+b1≥0}，集合B={x|a2x+b2≥0}的解集不同，解集A=B不成立，故充分性不成立，故“”是“A=B”的必要不充分条件，故选：B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.}的前n项和记为S n，已知a n=5S n﹣3（n∈N）求19．（12分）数列{a）的值．（a1+a3+…+a2n﹣1【解答】解：由S n=a1+a2++a n知a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），a1=S1，由已知a n=5S n﹣3得a n﹣1=5S n﹣1﹣3．于是a n﹣a n﹣1=5（S n﹣S n﹣1）=5a n，所以a n=﹣a n﹣1．由a1=5S1﹣3，得a1=．所以，数列{a n}是首项a1=，公比q=﹣的等比数列．由此知数列a1，a3，a5，，a2n，﹣1是首项为a1=，公比为的等比数列．）=．∴（a 1+a3+a5++a2n﹣120．（14分）已知向量，，其中是互相垂直的单位向量．（1）求以，为一组邻边的平行四边形的面积；（2）设向量，，其中λ为实数，若与夹角为钝角，求λ的取值范围．【解答】解：（1）可知平行四边形两条邻边长为，又设夹角为θ，可知，因为θ∈[0，π]，可知，所以该平行四边形面积为；（2），，若与夹角为钝角，则．21．（14分）如图，在体积为的正三棱锥A﹣BCD中，BD长为2，E为棱BC的中点，求：（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥A﹣BCD的表面积．【解答】解：（1）过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的中心，由=得AO=1．又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE=取BD中点F，连结AF、EF，故EF∥CD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角．在△AEF中，AE=AF=，EF=，所以cos∠AEF==．所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos．（2）由AE=可得正三棱锥A﹣BCD的侧面积为S=3•BC•AE=3所以正三棱锥A﹣BCD的表面积为S=3+=3+3．22．（16分）在上海自贸区的利好刺激下，A公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第n个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为b n、c n和a n=a•a n，（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b n+1c n+1=a n+ba n2（其中a，b为常数，n∈N*），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件．（1）求a，b的值，并写出a n与a n满足的关系式；+1（2）证明：a n逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2014年1月份以来的第n个月的销售总量a n关于n的表达式．【解答】解：（1）依题意：，∴，∴…①又，∴…②解①②得从而（2）由于．但a n+1≠2，否则可推得a1=a2=2矛盾．故a n+1＜2，于是a n＜2．又，所以a n+1＞a n从而a n＜a n+1＜2．（3）由得，又因为2﹣a n+1＞0，2﹣a n＞0，则log2（2﹣a n+1）=2log2（2﹣a n）﹣1，∴log2（2﹣a n+1）﹣1=2[log2（2﹣a n）﹣1]即{log2（2﹣a n）﹣1}为等比数列，公比为2，首项为﹣1，故，∴．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S1＞1，且6S n=（a n+1）（a n+2），n ∈N*．（1）求a n与a n+1的关系式；（2）在满足条件的所有数列{a n}中，求a2015最小值；（3）若数列{a n}各项都为正数，设数列{b n}满足a n（2bn﹣1）=3，并记T n为{b n}的前n项和，问：是否存在常数c使得对任意的正整数n，都有T n≥c成立？如果存在，请写出c的取值范围；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）n=1时，a1=2或1（因为S1＞1所以舍1），n≥2时，，，两式相减得，，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，所以a n+1=﹣a n或a n+1﹣a n=3（2）由题可知，求a2015的最小值只需求a2014最大值，且a2015=﹣a2014 （a2014＞0）；因为当n≤2013时，若存在n∈N*，使得a n+a n+1=0，则相邻两项异号，不符合题意．因此当n≤2013时，只能满足a n+1﹣a n=3，a2014才能取到最大值，所以a2014=a1+2013×3=6041最大，因此只需a2015=﹣a2014=﹣6041即为最小．（3）因为a n＞0，a n+1=﹣a n不成立，所以a n+1﹣a n=3，即a n=3n﹣1满足，得，，∵{T n}单调递增，∴n=1时T n最小值为，因此存在常数c使T n≥c恒成立，这时c的取值范围是（﹣∞，log25﹣1]．。
上海市松江二中2014_2015学年高二数学上学期开学试卷(含解析) (1)
上海市松江二中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（3分）计算：=．2．（3分）已知函数f（x）=sin（ax+）的最小正周期为4π，则正实数a=．3．（3分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=2，a3+a4=4，则a5+a6=．4．（3分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为．5．（3分）已知，，则x=．（结果用反三角函数表示）6．（3分）若（1+）n=0，则实数r的取值范围是．7．（3分）如果f（n）=1++++…+（n∈N*），那么f（n+1）﹣f（n）=．8．（3分）设S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，若S10=10，S20=30，则S40=．9．（3分）在1和2之间插入2n个数，组成首项为1，末项为2的等差数列，若此数列前n+1项的和与末n+1项的和之比为9：13，则n=．10．（3分）数列{a n}中，若a1=1，（n∈N*），则=．11．（3分）数列{a n}中，a1=2，a2=3，对于满足n≥3的每个正整数n，a n=，则a2014=．12．（3分）数列{a n}的通项a n=（﹣1）n（λ+）+3，若此数列的各项都是正数，则λ的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）已知△ABC的三内角A，B，C，则“A，B，C成等差数列”是“B=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）将函数y=sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得到的图象与函数y=sin（x+）的图象重合，则m的最小值为（）A．B．C．D．π15．（4分）已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．1016．（4分）已知定义在点评：本题主要考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题．2．（3分）已知函数f（x）=sin（ax+）的最小正周期为4π，则正实数a=．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用周期公式，根据已知周期求出a的值即可．解答：解：∵ω=a，f（x）的最小正周期为4π，∴a=，故答案为：点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．（3分）已知等比数列{a n}中，a1+a2=2，a3+a4=4，则a5+a6=8．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据在等比数列{a n}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6也成等比数列，进而根据a1+a2和a3+a4的值求得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6也成等比数列，∵a1+a2=2，a3+a4=4∴a5+a6=8故答案为：8．点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列的性质．4．（3分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为a n=3n ﹣2（n∈N*）．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得a3，a4，可得公差，进而可得其通项公式．解答：解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=14，解得a3=7，由求和公式可得S7===70，解得a4=10，故等差数列的公差d=a4﹣a3=3，故数列{a n}的通项公式为a n=a3+（n﹣3）d=3n﹣2故答案为：a n=3n﹣2（n∈N*）点评：本题考查等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列的求和公式，属基础题．5．（3分）已知，，则x=．（结果用反三角函数表示）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：x∈（，π）⇒π﹣x∈（0，），依题意，结合诱导公式知，sinx=sin（π﹣x）=，从而利用反正弦可求x．解答：解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sinx=sin（π﹣x）=，∴π﹣x=arcsin，∴x=π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．点评：本题考查反三角函数的运用，考查诱导公式的应用，将x∈（，π）转化为π﹣x∈（0，）是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．6．（3分）若（1+）n=0，则实数r的取值范围是．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限得到，求解绝对值不等式及分式不等式得答案．解答：解：∵（1+）n=0，∴，即，解得：．故答案为：．点评：本题考查了数列极限，考查了数学转化思想方法，训练了绝对值不等式和分式不等式的解法，是中档题．7．（3分）如果f（n）=1++++…+（n∈N*），那么f（n+1）﹣f（n）=．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用已知条件列出关系式，求解即可．解答：解：f（n）=1++++…+（n∈N*），那么f（n+1）﹣f（n）=1++++…++﹣（1++++…+）=．故答案为：．点评：本题考查数列的函数的特征，数列的通项公式的应用，基本知识的考查．8．（3分）设S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，若S10=10，S20=30，则S40=150．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：S10=10，S20=30，设S30=a，S40=b，由题意知10，30﹣10，a﹣30，b﹣a成等比数列，由此能求出S40．解答：解：∵S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，∵S10=10，S20=30，设S30=a，S40=b，∴10，30﹣10，a﹣30，b﹣a成等比数列，∴a﹣30=40，解得a=70，b﹣a=80，解得b=150．∴S40=150．故答案为：150．点评：本题考查数列的前40项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．9．（3分）在1和2之间插入2n个数，组成首项为1，末项为2的等差数列，若此数列前n+1项的和与末n+1项的和之比为9：13，则n=5．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可知该等差数列的首项a1=1、a2n+2=2，求出公差d，再等差数列的前n项和和题意列出方程，求出n的值．解答：解：由题意可知，该等差数列的首项a1=1，a2n+2=2，则此数列的公差d==，∵此数列前n+1项的和与末n+1项的和之比为9：13，∴，即13=9，解得，n=5，故答案为：5．点评：本题考查等差数列的性质和前n项和公式，注意末n+1项看成首项是2、公差是原来公差的相反数的数列，属基础题．10．（3分）数列{a n}中，若a1=1，（n∈N*），则=．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由，求出a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n，然后求得极限．解答：解：由，得（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===，∴==，故答案为：．点评：本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．11．（3分）数列{a n}中，a1=2，a2=3，对于满足n≥3的每个正整数n，a n=，则a2014=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件分别求出数列{a n}的前8项，得到{a n}是周期为6的周期数列，由此能求出a2014．解答：解：∵数列{a n}中，a1=2，a2=3，对于满足n≥3的每个正整数n，a n=，∴a3=，a4==，a5==，a6==，a7==2，a8==3，∴{a n}是周期为6的周期数列，∵2014=335×6+4，∴a2014=a4=．故答案为：．点评：本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题的关键是推导出{a n}是周期为6的周期数列．12．（3分）数列{a n}的通项a n=（﹣1）n（λ+）+3，若此数列的各项都是正数，则λ的取值范围是解答：解：（1）∵a1=1，d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n．∴．则；（2）a n=1+（n﹣1）d，b n==．S n=b1+b2+…+b n==．由若对任意n∈N*，不等式S n＞均成立，则，即对任意n∈N*均成立，∵．∴d＜1．点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法去数列的和，训练了数列不等式的解法，是中档题．20．（10分）如图，在y轴的正半轴上依次有点A1、A2、…、A n，其中点A1（0，1）、A2（0，10），且|A n﹣1A n|=3|A n A n+1|（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B1、B2、…、B n，点B1的坐标为（3，3），且|OB n|=|OB n﹣1|+2（n=2，3，4，…）．（1）求点A n、B n的坐标（用含n的式子表示）；（2）设四边形A n B n B n+1A n+1面积为S n，求数列{S n}的通项公式．考点：数列的应用．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用|A n﹣1A n|=3|A n A n+1|，及|A1A2|=9，结合等比数列的通项公式求得|A n A n+1|，结合等比数列的求和公式，可得|A1A2|+|A2A3|+…+|A n﹣1A n|，从而得出A n的坐标；确定{|OB n|}是3为首项，2为公差的等差数列，可求B n的坐标；（2）①连接A n B n+1，设四边形A n B n B n+1A n+1的面积为S n，则S n=+．解答：解：（1）|A n﹣1A n|=3|A n A n+1|，且|A1A2|=10﹣1=9，∴|A n A n+1|=|A1A2|．∴|A1A2|+|A2A3|+…+|A n﹣1A n|=9+3+1+…+=，∴A n的坐标（0，），∵|OB n|﹣|OB n﹣1|=2 （n=2，3，…）且|OB1|=3，∴{|OB n|}是以3为首项，2为公差的等差数列∴|OB n|=3+（n﹣1）×2=（2n+1），∴B n的坐标为（2n+1，2n+1）．（2）连接A n B n+1，设四边形A n B n B n+1A n+1的面积为S n，则S n=+=•（）n﹣3×（2n+3）+•2•=+．点评：本题考查数列与函数的结合、等比数列的通项公式、等差关系的确定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1+a n=3•2n，n∈N*．（1）证明数列{a n﹣2n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）在数列{a n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；（3）已知1＜r＜s且r，s∈N*，若a1，a r，a s成等差数列，请求出r，s满足的关系式．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：分析：（1）利用等比数列的定义进行证明；（2）可以先假设存在某连续三项，根据等差中项的定义式列出方程化简，在正整数范围内有解则存在，否则不存在；（3）根据等差中项的定义列出a1，a r，a s的关系式，化简即可得到r，s的关系式．解答：解：（1）由a1=3，a n+1+a n=3•2n，n∈N*．得：，所以数列{}是以a1﹣2=1为首项，公比为﹣1的等比数列，∴=（﹣1）n﹣1，所以；（2）假设存在连续三项a n﹣1，a n，a n+1成等差数列，则由已知得：2（2n+（﹣1）n﹣1）=2n﹣1+（﹣1）n﹣2+2n+1+（﹣1）n，（n≥2）化简得2n﹣1=22×（﹣1）n﹣1，显然当n=3上式成立，所以存在数列{a n}中的第二、三、四项构成等差数列；（3）由1＜r＜s且r，s∈N*，结合通项可知a1＜a r＜a s，由a1，a r，a s成等差数列，可得2a r=a1+a s，即2•2r+2（﹣1）r﹣1=3+2s+（﹣1）s﹣1，整理得2r+1﹣2s=3﹣2（﹣1）r﹣1+（﹣1）s﹣1，因为1＜r＜s且r，s∈N*，所以2r+1﹣2s的可能取值为0，8，…，而3﹣2（﹣1）r﹣1+（﹣1）s﹣1∈，∴2r+1﹣2s=0，∴s=r+1（r≥2，r∈N）．点评：本题突出考查了等差数列及等差中项的基本概念、通项和性质，体现了化归思想．其中第二问的类型一般先假设存在，然后根据题意列方程或不等式，只要有符合题意的解即说明存在，否则不存在．。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是 （ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据 求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是 （ ） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =， 而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为 （ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下 甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912， 所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确， 考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率 用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 （ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是 （ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对 【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的 考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 （ ）A.60条B.66条C.70条D.71条 【答案】A 【解析】 试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种 【答案】D【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（ ）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】 【解析】 试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400； （2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元 中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？ （2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？ 【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】 试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论 试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证 经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解 （1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥， 又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--， 设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。
数学上学期期中试题-第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案
浙江省衢州第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线24y x =的焦点坐标为 （ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()16,0D ．()0,16 2．已知,αβ是平面，,,a b c 是直线，O 是点． 下列五个命题：①若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a b ； ②若//,a b a c ⊥，则b c ⊥； ③若//,a b αα⊂，则//a b ； ④若//,//a b αα，则//a b ； ⑤若,//,ab O a α=，则b 与α平行或相交．其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则ab c +的取值范围是 （ ）A ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．已知实数,m n 满足222m n +=，则点(),P m n m n +-的轨迹方程是 （ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．222x y +=D ．224x y +=5．直线3y x =+与曲线2194x x y -=的交点情况为 （ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点 D ．有三个交点6．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，过焦点1F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知定点7,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点P 在抛物线2:2C y x =上，点P 在y 轴上的射影是M ， 则PA PM +的最小值是 （ ）A ．112 B ．4 C ．92D ．5 8．过点()4,0P 的直线l 与双曲线22:1412x y C -=的右支交于,A B 两点，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）A ．1k ≥B ．1k <C ．kD ．k ≤二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a 与b 的位置关系是 ．12．渐近线方程为0x =的双曲线过点(2-，则此双曲线的标准方程为 ．13．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与BD 所成的角θ的大小为 ．14．已知点)M，椭圆22:14x C y +=与直线(y k x =交于,A B 两点，则ABM ∆的周长为 ．15．已知12,F F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，M 是1PF 的中点，3OM =，则点P 到椭圆左焦点1F 的距离1PF = ．16．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是抛物线C 上的动点，若定点()1,0A -，则PFPA的最小值为 ． 17．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为e ，直线:l y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点．若AM AB λ=，则2e λ+= ．三、解答题（本大题共5小题，14分+14分+14分+15分+15分，共72分）18．一个椭圆1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2C 和椭圆1C 有公共焦点，且双曲线2C 的实半轴长比椭圆1C 的半长轴长小4，双曲线2C 的离心率2e 与椭圆1C 离心率1e 之比为7:3，求椭圆1C 和双曲线2C 的方程．（14分）19．已知抛物线2:C y x =-与直线():1l y k x =+相交于,A B 两点，O 为坐标原点．（14分）（1）求OA OB ⋅的值；（2）当AOB ∆k 的值．21．已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（15分） （1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN长度的最小值；的面积为（3）当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得TAB 1？若存在，确定点T的个数；若不存在，请说明理由．5衢州二中二○一四学年第一学期高二期中考试—数学参考答案20．（1）2213x y -= （2）()22225133078033y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩，设CD 的中点为E22155,1313kE k k ⎛⎫⇒ ⎪--⎝⎭2221255EB k k k k k k --⇒=⇒-=k ⇒= 21．（1）2214x y +=；（2）()221016:2,3344SA y k x M k x y ⎧⎛⎫=+⇒⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩()222214161640k x k x k ⇒+++-=222284,1414k k S k k ⎛⎫-⇒ ⎪++⎝⎭()1101:2,433SB y x N k k ⎛⎫⇒=--⇒- ⎪⎝⎭ 16133MN k k ⇒=+83≥，∴14k =时min83MN=； （3）14k=64,55S SB ⎛⎫⇒⇒= ⎪⎝⎭154T SB S d -=⇒=，设1:0l xy t ++=1342l SB d t -==⇒=-或52-，若32t =-代入检验，点T 有2个；若52t =-代入检验，点T 不存在；所以点T 共有2个．。
XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷。后有答案
XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷。
后有答案XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，共计150分。
考试时间：120分钟。
卷(I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A。
a^2<b^2B。
1/a<1/bC。
a^2>b^2D。
a^3>b^32.等差数列{an}中，若a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（）A。
7B。
15C。
20D。
253.不等式（1/x-1）>1的解集为（）A。
{x>1}B。
{x<1}C。
{x>2}D。
{x<2}4.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若B=45°，b=23，c=32，则C=（）A。
60°或120°B。
30°或150°C。
60°D。
30°5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），则a5=（）A。
32B。
31C。
16D。
156.等差数列{an}中，an=6-2n，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6=（）A。
42B。
-42C。
±42D。
无法确定7.△ABC中，若∠ABC=π/2，AB=2，BC=3，则sin∠BAC=（）A。
4/5B。
3/10C。
5/10D。
1/108.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13，那么将二进制数（11.1）2转换成十进制数是（）{共9位}A。
512B。
511C。
256D。
2559.不等式①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a-b-1)；③ba+≥2，其中恒成立的是（）A。
数学上学期期中试题-2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案(文)
浙江省湖州中学2014-2015学年 高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 (1) 直线10xy的倾斜角为
(A)135 (B)45 (C)60 (D)120 (2)设是空间中的一个平面，,,lmn是三条不同的直线. ①若m⊂，n⊂，l⊥m，l⊥n，则l⊥； ②若l∥m，m∥n，l⊥，则n⊥； ③若l∥m，m⊥，n⊥，则l∥n； ④若m⊂，n⊥，l⊥n，则l∥m； 则上述命题中正确是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
(3)已知直线3210mxmy与直线2320mxmy互相垂直，则实数m的值为
(A) 23m (B) 233或mm (C)23m (D) 233或mm
(4) 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是
(5)圆01222xyx关于直线032yx对称的圆的方程是 (A)21)2()3(22yx (B)21)2()3(22yx (C)2)2()3(22yx (D)2)2()3(22yx (6)若空间中四条两两不同的直线1l、2l、3l、4l，满足12ll，23//ll，34ll，则下列结论一定正确的是 (A)14ll (B)14//ll
(C)1l、4l既不平行也不垂直 (D)1l、4l的位置关系不确定 (7)若圆224260xyxmym与y轴的两交点,AB位于原点的同侧，则实数m的取值范围是 (A)6m (B)3m或62m (C)2m或61m (D)3m或1m
(8)如图，在三棱锥ABCS中，E为棱SC的中点，若 2,32BCABSCSBSAAC，则异面直线AC与
BE所成的角为
(A)030 (B)045 (C)060 (D)090 (9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 (A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 32 (10)已知点1,0A，1,0B，0,1C，直线0yaxba将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试(含解析)新人教A版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量单元同步测试（含解析）新人教A 版必修4(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2；④|a ²b |＝|a |²|b |. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．4解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a²b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )³2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →²(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →²(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23.∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )²c ＝(6,3)²(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )²c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ²b 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ²b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)³2＝λ－1>－1.答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( ) A.34 B.537 C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)²e 1＝3e 21＋4e 1²e 2＝3³12＋4³1³1³cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1²e 2＝9³12＋16³12＋24³1³1³cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537³1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .答案 B 10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－－，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ²b ≥0，∴a ²b ≤|a |24，∴cos θ＝a ²b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是( )A.13 B.12 C.23D.34解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，所以2PA →＋PC →＝0，PC →＝－2PA →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△PAB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案π6或76π 14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ²b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →²AC →＝BA →²BC →＝2，那么c＝__________.解析 由题知 AB →²AC →＋BA →²BC →＝2，即AB →²AC →－AB →²BC →＝AB →²(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案 216．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ²b ＝a ²c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ²d ＝0，则(3a ＋5b )²(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ²b ＝0， 解得m ＝2914.故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →²CE →＝(AC →＋CD →)²(CA →＋AE →)＝AC →²CA →＋CD →²CA →＋AC →²AE →＋CD →²AE →＝－a 2＋0＋a ²223a ²22＋a 2²223a ²22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →²BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)²(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ －2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →²MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →. ∴x 4＝y－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋y －y ＝0，x 4＝y－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1²e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →²BA →的值．解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ， 且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ. 又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3. 作AH ⊥BD 交BD 于H ， 则H 为BD 的中点． 在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32， 于是∠ABH ＝30°， 所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ²cos30°，即23＝2λ²32， 解得λ＝2. (2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →²BA →＝|CB →|²|BA →|cos120°＝－4.。
2014-2015学年江苏省扬大附中东部分校高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年江苏省扬大附中东部分校高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答卷相应位置.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．（5分）椭圆=1的准线方程为．3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）4．（5分）若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．5．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是．6．（5分）阅读如图所示程序，输出的结果是．7．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5=0上任意一点，P点关于直线2x+y ﹣1=0的对称点在圆上，则实数a等于．8．（5分）直线l经过P（2，3），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为．9．（5分）定义某种新运算⊙：s=a⊙b的运算原理如图流程图所示，则5⊙4﹣3⊙4=．10．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于．11．（5分）已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1，若过点（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为．12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C．13．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．14．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率，则a的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；（2）求四棱锥A1﹣ABCD的体积．16．（14分）已知a＞0且a≠1．设命题p：函数y=a x是定义在R上的增函数；命题q：关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根．若“p或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（15分）如图：AD=2，AB=4的长方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．18．（15分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点H（异于点M，N），满足，试证明点H恒在一定直线上．2014-2015学年江苏省扬大附中东部分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答卷相应位置.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．2．（5分）椭圆=1的准线方程为x=．【解答】解：因为椭圆的方程为：=1，所以a=4，b=，由a，b，c之间的关系可得：c=3，所以准线方程为x=±=±．故答案为：．3．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；若m⊂a，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．4．（5分）若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．【解答】解：因为球的表面积为12π，设球的半径为r，所以4πr2=12π，所以r=．故答案为：．5．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．【解答】解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个6．（5分）阅读如图所示程序，输出的结果是10．【解答】解：由循环变量i的初值为1，终值为5，步长为2，累加变量S的初值为1，故该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+1+3+5=10的值，故输出的结果为：10，故答案为：107．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay﹣5=0上任意一点，P点关于直线2x+y ﹣1=0的对称点在圆上，则实数a等于﹣10．【解答】解：根据题意得：圆心C在直线2x+y﹣1=0上，由圆的方程得：圆心C坐标为（﹣2，﹣），代入直线2x+y﹣1=0中，得：﹣4﹣﹣1=0，解得：a=﹣10．故答案为：﹣108．（5分）直线l经过P（2，3），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为x+2y﹣8=0或3x﹣2y=0．【解答】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，将点P（2，3）代入可得，，∴a=4，此时，直线方程为即x+2y﹣8=0，当直线过原点时，直线的方程为y=kx，把点P（2，3）代入可得3=2k，∴k=，即直线的方程为y=x，即3x﹣2y=0，综上可得，满足条件的直线方程为：x+2y﹣8=0或3x﹣2y=0．9．（5分）定义某种新运算⊙：s=a⊙b的运算原理如图流程图所示，则5⊙4﹣3⊙4=9．【解答】解：有框图知S=a⊙b=∴5⊙4﹣3⊙4=5×（4+1）﹣4×（3+1）=9故答案为：910．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于﹣1．【解答】解：∵过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，∴可取M（c，）．又以MN为直径的圆恰好过左焦点，∴，化为a2﹣c2=2ac，∴e2+2e﹣1=0，e＞0．解得e==﹣1．故答案为：．11．（5分）已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1，若过点（2，﹣1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为30°或90°．【解答】解：设A（﹣1，0），B（3，0），D（0，1），则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=﹣x，∴圆心C（x，y）满足，∴C（1，﹣1），∴半径r=|CD|=，则圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5；当斜率不存在时，直线l：x=2到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l的倾斜角为90°；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+﹣1，由弦长为4，∴圆心（1，﹣1）到直线l的距离为=1，∴，∴k=，此时直线l的倾斜角为30°，综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°故答案为：30°或90°．12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是①②③（填序号）①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M∥平面AB1C．【解答】解：∵线段A1M所在平面AD1A1与B1C所在平面BCC1B1互相平行，且直线A1M与B1C不平行，∴线段A1M与B1C所在直线为异面直线，故①正确；设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B 1（2，2，2），M（0，0，1），D1（0，0，2），∴，，，，∴=0﹣4+4=0，=4﹣4+0=0，∴，，∴BD1⊥AB1，BD1⊥AC，∴对角线BD1⊥平面AB1C，故②正确；设平面AMC的法向量为=（x1，y1，z1），则，，∴，∴=（1，1，2），设平面AB1C的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，∴，∴=（1，1，﹣1），∵=1+1﹣2=0，∴平面AMC⊥平面AB1C，故③正确；∵A1（2，0，2），M（0，0，1），∴，∵=﹣2+0+1=﹣1≠0，∴直线A1M与平面AB1C不平行，故④不正确．故答案为：①②③．13．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故答案为：．14．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率，则a的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1，）、B（x2，y2），由消去y，可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣x1+1）（﹣x2+1）=0，化简得2x1x2﹣（x1+x2）+1=0．∴2•﹣+1=0．整理得a2+b2﹣2a2b2=0．∵b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵，平方得≤e2≤，∴≤1﹣e2≤，可得≤≤2，因此2a2=1+≤3，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为=．故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；（2）求四棱锥A1﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）∵B1C∥A1D，∴直线A1B与A1D所成的角就是异面直线A1B与B1C所成角．又△A1BD等边三角形，∴异面直线A1B与B1所成角的大小为60°．（2）四棱锥A1﹣ABCD的体积V=．16．（14分）已知a＞0且a≠1．设命题p：函数y=a x是定义在R上的增函数；命题q：关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根．若“p或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由函数y=a x是定义在R上的增函数，得a＞1，∴p为真时，a＞1；由关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根，得⇒a＞2，∵p或q为真，p且q为假，由复合命题真值表知：p，q一真一假，若p真q假时，1＜a≤2；若p假q真时，⇒a∈∅；综上a的取值范围是1＜a≤2．17．（15分）如图：AD=2，AB=4的长方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连AC交BD于O，连MO则O为AC中点，因为M为PC中点，所以MO∥AP，又AP⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，则AP∥平面MBD．（2）当BN=时，平面PCN⊥平面PQB．证明如下：正△PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，又CN⊂平面ABCD，则PQ⊥CN又因为长方形ABCD中，由相似三角形得，则CN⊥BQ，∴CN⊥平面PQB，又∵CN⊂平面PCN，所以，平面PCN⊥平面PQB．18．（15分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P、Q为椭圆Γ上关于y轴对称的两个不同的动点，求•的取值范围．【解答】（1）解：∵椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且椭圆Γ过点A（2，）．∴c=2，…（1分），…（2分）解得a2=8，b2=4，…（4分）∴椭圆Γ的方程为．…（6分）（2）设P（x，y），则Q（﹣x，y），（x≠0），=（x﹣2，y﹣），=（﹣x﹣2，y﹣），…（1分）由，得x2=8﹣2y2，∴=4﹣x2+（y﹣）2=3y2﹣2y﹣2=3（y﹣）2﹣，…（5分）由题意，﹣2＜y＜2，∴﹣≤3﹣＜10+4．…（7分）∴的取值范围是[﹣，10+4）．…（8分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点H（异于点M，N），满足，试证明点H恒在一定直线上．【解答】解：（1）由题意可得，解得，c=1，b=2，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，F2（1，0）设P（5，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=4（x1﹣1），又因为且代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值﹣．（3）设过P（5，3）的直线L与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，，设=λ，则（x1﹣5，y1﹣3）=λ（x2﹣5，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得5=，x=，3=，y=从而5x=，3y=由于，，∴，所以点H恒在直线20x+15y﹣20=0，即4x+3y﹣4=0上．。
2014-2015学年上海市金山中学高二下学期期末考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014-2015学年上海市金山中学高二下学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n,k ），则P （10,3）的值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62、方程的图象表示曲线C ，则以下命题中甲：曲线C 为椭圆,则1<t<4； 乙：若曲线C 为双曲线,则t>4或t<1； 丙：曲线C 不可能是圆；丁：曲线C 表示椭圆,且长轴在x 轴上,则．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④4、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内容高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5、半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是．6、已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为．7、如图，中，，在三角形内挖去半圆，圆心在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为．8、在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则___ ____cm．9、在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．10、圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm ，半径为cm ，则该圆锥的体积为．11、已知，，若直线与射线（为端点）有交点，则实数的取值范围是 ．12、若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是 ．（结果用数值表示）13、设分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则．14、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 ．15、在二项式的展开式中，含的项的系数是 ．（用数字作答）16、经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是 ．17、若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是 ．18、已知，则．三、解答题（题型注释）19、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分，第3小题满分5分．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； （2）写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点．（1）如果的中点为，，求证：平面；（2）如果,，求此圆锥的体积；（3）如果二面角大小为，求的大小．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知圆．（1）求过点的圆C 的切线的方程；（2）如图，为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足求的轨迹．22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在二项式的展开式中：（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．23、（本题满分12分）如图，直线平面，为正方形，，求直线与所成角的大小．参考答案1、C2、B3、B4、A5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、2816、17、18、1119、（1）相似比为（2）（3）详见解析20、（1）详见解析（2）（3）21、（1），（2）22、（1）时，，时（2）23、【解析】1、试题分析：由题意知本题是要把10划分成3部分，可以列举出所有的情况（1、1、8）（1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）共有8种结果，考点：排列、组合及简单计数问题2、试题分析：方程表示曲线C，以下命题：甲：若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠，则曲线C为椭圆，因此不正确；乙：若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；丙：当4-t=t-1＞0，即t=时，曲线C表示圆，因此不正确；丁：若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜，正确．综上可得真命题为：乙丁．考点：椭圆双曲线圆的标准方程及其性质3、试题分析：：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确考点：线面平行垂直的判定与性质4、试题分析：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，故选A.考点：旋转体.5、试题分析：由已知，AB=2R，BC=R，故tan∠BAC= ，cos∠BAC= ，连接OM，则△OAM为等腰三角形AM=2AOcos∠BAC=，同理AN=，且MN∥CD而AC=R，CD=R，故MN：CD=AM：AC，MN=R，连接OM、ON，有OM=ON=R，于是cos∠MON= ，所以M、N两点间的球面距离是考点：球面距离及相关计算6、试题分析：设出M，N的坐标分别为∵M，N在抛物线∴①②，①-②知∵M，N在直线：上即弦MN的中点坐标为∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于M，N两点，设的斜率为k∴∴弦MN的中垂线的斜率为k，∴弦MN的中垂线的方程为：令x=0得y=考点：1．两直线垂直的条件；2．直线与圆锥曲线位置关系；3．一元二次方程的根系关系7、试题分析：阴影部分旋转一周构成的图形为一圆柱挖去一球剩余的部分，球的体积为，圆锥的体积为，因此所求体积为考点：球的体积圆锥体积8、试题分析：球的体积等于水上升的体积，所以考点：球体，柱体的体积求解9、试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法10、试题分析：由弧长为可知底面圆的半径为，由半径为可知圆锥的母线为，则圆锥的高为1，因此圆锥的体积为考点：圆锥的性质11、试题分析：直线过点时，直线与直线平行时，，结合图形可得到实数的取值范围是考点：直线方程及斜率12、试题分析：五个人排成一排，所有的排法种数为，甲乙两人之间仅有一人的种数为，所以概率考点：1．排列问题；2．古典概型概率13、试题分析：由得考点：1．向量的模；2．双曲线的定义及几何性质14、试题分析：抛物线的焦点为，渐近线考点：抛物线双曲线方程及性质15、试题分析：展开式的通项公式为，令，所以系数为考点：二项式定理16、试题分析：抛物线的焦点为，直线的斜率为，所以直线为考点：1．抛物线交点；2．直线方程17、试题分析：设正方体边长为考点：正方体性质18、试题分析：考点：排列数组合数计算19、试题分析：（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比；（2）设出椭圆的方程，直线的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线的方程，根据直线与椭圆有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．（3）作法：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆于点E和点F，则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ试题解析：（1）椭圆与相似．因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为（2）椭圆的方程为：设，点，中点为，则，所以则因为中点在直线上，所以有，即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以，即（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为．作法2：过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为．考点：1．直线和圆锥曲线的位置关系；2．两点关于直线对称的性质；3．求直线MN 的方程是解题的难点20、试题分析：（I）连接OC、AQ，由三角形中位线定理可得OC∥AQ，由圆周角定理我们可得OC⊥BQ，由圆锥的几何特征，可得SO⊥BQ，进而由线面垂直的判定定理，得到QB⊥平面SOC，则OH⊥BQ，结合OH⊥SC及线面垂直的判定定理得到OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）若∠AOQ=60°，易得∠OBQ=∠OQB=30°，又由QB=，求出圆锥的底面半径OA长及圆锥的高SO，代入圆锥体积公式，即可得到圆锥的体积；（Ⅲ）作QM⊥AB于点M，由面面垂直的判定定理可得QM⊥平面SAB，作MP⊥SB于点P，连QP，则∠MPQ为二面角A-SB-Q的平面角，根据二面角A-SB-Q的大小为arctan，设OA=OB=R，∠AOQ=α，进而可求出∠AOQ的大小．试题解析：（1）因为,所以平面,所以, 又,所以平面．（2）在中，是直角，且,所以,又三角形为等腰直角三角形，所以，所以．（3）过作,所以平面,再过作,连接,则．所以是二面角的平面角，所以，令，则，，所以,所以．考点：1．二面角的平面角及求法；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面垂直的判定21、试题分析：（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为y=k（x-3），由圆心到切线的距离等于半径可得解出k值，即得所求的切线方程；（2）由题意得，NP为AM的垂直平分线，由|CN|+|AN|＝＞2，可知动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a＝，焦距2c=2，求出b，待定系数法求点N的轨迹（椭圆）的方程试题解析：（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，即；由得，解得，从而所求的切线方程为，．（2）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．且椭圆长轴长为焦距2c=2．∴点N的轨迹是方程为考点：1．圆的切线方程；2．平面向量数量积的运算22、试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由所有项的二项式系数和等于4096，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设项的系数最大，项的系数为，则有试题解析：（1）因为,所以或．当时，二项式系数最大的项为，；当时，二项式系数最大的项为．（2）因为,所以．又因为，所以所以展开式中系数最大的项为．考点：二项式定理的应用23、试题分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点O，得到的锐角∠EOB 就是异面直线所成的角，再利用解三角形的知识求出此角即可试题解析：令取中点为，中点为，中点为，连,则,所以就是直线与所成角或其补交．又因为在中，再连,可得，所以，所以直线与所成角的大小为．考点：异面直线及其所成的角。