北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(一)
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x x
60
解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 60 x
箱子容积为V=x2 h
60 x 2
x3
(0
2
x
60)
2
V ´=60x－3x²/2
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
解:设x2 km.
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千
米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂
C的总运费为
教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
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1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f (x) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
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解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275
(其中 x N 且 x [1, 20]). ⑵∵ P( x)= – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x N 且 x [1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，M P (x)单调递减. MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加,每艘利润与前一 艘比较,利润在减少.
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例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则桶高为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
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练习1:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接 于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当 h=H/3时, 圆柱体的体积最大.
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3、如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 B
令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去)
得V (40)=16000
当x (0,40)时，V (x） 0;
当x (40,60)时，V (x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3 5
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区 间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本 身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不 与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
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2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
y 5t CD 3t BD 5t 400 x2 3t(100 x)
(0 x 100).
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令y t( 5x 3) 0 ,在0 x 100 的范围内有 400 x2
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
北师大版高中数学选修2-2第 三章《导数应用》
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一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握 在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求 解最值。2、过程与方法：通过分析具体实例， 经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情 感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象， 由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程
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R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
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例 3： 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边 际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3)边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减 在本题中的实际意义是什么？
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a=-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点2．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1633．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞5．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f << C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<6．已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(01]，C ．()1,+∞D ．[1,)+∞7．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-8．若函数1()21xf x e x =--(e 为自然对数的底数)，则()y f x =图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1210．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（ ）A ．1011B ．1012C ．2019D ．202011．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（ ）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．612．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞二、填空题13．已知函数(),e ,x xx af x x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点，则a 的取值范围是__.14．已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的取值范围为___________ 15．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．16．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB 上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.17．已知函数()xf x e =，()g x ex =，若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______.18．已知函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出如下命题：①当20x -<<时，()0f x >；②(1)(0)f f -<；③函数()f x 在12x =-处切线的斜率小于零；④0是函数()f x 的一个极值点；其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）19．设m R ∈，若函数()332f x x x m =-+在3⎡⎣上的最大值与最小值之差为2，则实数m 的取值范围是______.20．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21．已知函数()()211ln ,022f x x a x a R a =--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.22．某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物(精灵“文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c 与生产的饰品的件数x （单位：万件）满足函数32120075c x =+(单位：万元)；该饰品单价p （单位：元）的平方与生产的饰品件数x （单位：万件）成反比，现已知生产该饰品100万件时，其单价50p =元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为()f x （万元）（注：利润=销售额-成本） （1）求函数()y f x =的表达式．（2）当生产该饰品的件数x （万件)为多少时，工厂生产该饰品的利润最大． 23．设函数3222ln 11(),()28a x x f x g x x x x +==-+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，求函数()f x 的解析式；（2）如果对于任意的1213,[,]22x x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，试求实数a 的取值范围.24．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． 25．已知函数()ln f x ax x =-. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′，令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 5．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减，因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32aa <<<， 所以2(log )(3)(2)af a f f <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.6．D解析：D 【分析】 根据函数1()ln xf x x ax-=+，求导得到()'f x ，然后根据函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，转化为()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立求解. 【详解】 函数1()ln xf x x ax-=+， ()2211()aax f x x ax ax --'=+=， 因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数， 所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立， 又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立， 即1a x≥在[1,)+∞上恒成立， 令()()max 11g x g x x==，， 所以1a ≥， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集． 【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 8．C解析：C 【分析】代入特殊值()10f <可判断,A B 选项，记()21x g x e x =--，结合函数单调性可得当x →+∞时，()0f x >，从而可选出正确答案.【详解】记()21x g x e x =--，则有()2x g x e '=-， 当ln 2x <时，()20x g x e -'=<，()g x 是减函数，当ln 2x >时，()20x g x e -'=>，()g x 是增函数，因为()130g e =-<， 所以()10f <，排除,A B 选项；()2250g e =->，所以当x →+∞时，()0>g x ，即x →+∞时，()0f x >，则D 错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于中档题.9．C解析：C 【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果. 【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ， 所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤， 故a 的最大值为1. 故选：C. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数， 因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n nf n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键.11．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】 由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+， ()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 12．B解析：B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==， 当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、填空题13．【分析】设函数求得求得函数的单调性和极值画出函数的图象结合图象分类讨论即可求解【详解】设函数则令得：当时函数单调递增；当时函数单调递减又故画出函数的图象如图所示：因为存在实数b 使函数恰有三个零点所以解析：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 设函数()x x h x e =，求得()1xxh x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】 设函数()x x h x e =，x ∈R ，则()1x xh x e'-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 又()11h e=，故画出函数()h x 的图象，如图所示： 因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根， 所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，因为函数(),,x xx af x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以1a <，①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1a e-<，解得1a e >-，所以10a e-<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，e ⎪⎝⎭【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数.14．【分析】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解构造函数利用导数求出函数的取值情况即可求出k 的取值范围【详解】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解设则由解得此时函数单调递增由解得此时函数单调解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln xk x=有解，构造函数()ln xf x x=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k 的取值范围. 【详解】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，∴等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln xk x=有解， 设()ln xf x x =， 则()21ln xf x x -'=， 由()0f x '>，解得0x e <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<，解得x e >，此时函数单调递减，当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值()ln 1e f e e e==， 所以()1f x e ≤，1k e∴≤， 即k 的取值范围为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.e⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了等价转化的思想，属于中档题.15．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln2,)-+∞【分析】把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2x f x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20x f x e '=-=，解得ln 2x =， 所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞， 所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln 2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln2,)-+∞. 故答案为：(22ln2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.16．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增【分析】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为31sin (8)6x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(8)(04)6y x x x =-<<的最大值可得结果.【详解】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==， 四边形AFEC 的面积为22111424222x x ⨯⨯-=-， 则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311sin (8)(8)66x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号，令31(8)(04)6y x x x =-<<，则21(83)6y x '=-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，所以函数31(8)(04)6y x x x =-<<在(0,3上递增，在(3上递减，所以当3x =时，31(8)6y x x =-所以当,23x πθ==时，四棱锥B AFEC '-【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构 解析：ln 22【分析】由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=-，设()2ln x h x x e=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.【详解】由()()12f x g x m ==，即1xe m ==且0m >.所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x eh x x e x ex-'=-=.令()0h x '>，得x >，令()0h x '<，得0x <<所以函数()h x 在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.则函数()h x 的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22故答案为：ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.18．②④【分析】由导数的图象推不出当时；当时函数单调递增由此可判断②正确由可判断③错误由时时时可判断④正确【详解】由导数的图象推不出当时故①不一定正确当时函数单调递增所以故②正确因为所以函数在处切线的斜解析：②④ 【分析】由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >；当20x -<<时0f x ，函数()f x 单调递增，由此可判断②正确，由102f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭可判断③错误，由0x >时0f x，0x =时0fx ，0x <时0f x 可判断④正确【详解】由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >，故①不一定正确. 当20x -<<时0f x ，函数()f x 单调递增，所以(1)(0)f f -<，故②正确因为102f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在12x =-处切线的斜率大于零，故③错误因为0x >时0f x ，0x =时0f x ，0x <时0f x所以0是函数()f x 的一个极值点，故④正确 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要熟练掌握导函数的图象和性质.19．【分析】设结合导数可得函数的值域为最大值与最小值之差为从而得到函数的值域为最大值与最小值之差也为然后根据题意可得或即可求得答案【详解】设则函数在区间上单调递减在区间上单调递增函数的值域为最大值与最小 解析：][(),01,-∞⋃+∞【分析】设3()3,g x x x x =-∈结合导数可得函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，从而得到函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域为[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得220m -+≥或20m ≤，即可求得答案. 【详解】设()33,g x x x x ⎡=-∈⎣，则()()()233311g x x x x ==-'-+，∴函数()y g x =在区间[)0,1上单调递减，在区间(上单调递增．()00g =，()12g =- ，0g= ，∴函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，∴函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．()332f x x x m =-+在x ∈上的最大值与最小值之差为2，∴220m -+≥或20m ≤，解得m 1≥. 或0m ≤. .∴实数m 的取值范围为][(),01,-∞⋃+∞．故答案为：][(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化，考查了分析能力和计算能力，属于难题.20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg2f x f>，进一步可得不等式lg2x>，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cosf x x x x x=++的定义域为R，且()()()()()22sin cos sin cosf x x x x x x x x x-=--+-+-=++，即有()()f x f x-=，即()f x为偶函数；又0x>时，()()sin cos sin22cos0f x x x x x x x x'=+-+=+>，则()f x在0x>递增，不等式()()1lg lg22f x fxf⎛⎫+ ⎪⎝⎭>，即为()()()lg lg22f x f xf+->，即有()()lg2f x f>，可得()()lg2f x f>，即有lg2x>，即lg2x>或lg2x<-，解得100x>或1100x<<，则解集为()10,100,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x=这一性质的应用.三、解答题21．（1）22y x=-+；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率即得解；（2）先求导再对a分类讨论即得函数的单调区间；（3）任意的[)1,x∈+∞，()minf x≥，再对a分类讨论即得解.【详解】（1）3a =时，()2113ln 22f x x x =--，()10f = ()3f x x x'=-，()12f '=- ∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =-+所以所求的切线方程为22y x =-+; （2）()()20a x a f x x x x x-'=-=> ①当0a <时，()20x a f x x-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x =所以函数f x 的递增区间为+∞，递减区间为( 当0a <时，()20x a f x x-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+;当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(. （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥，而()111ln1022f a =--=， 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥而()111ln1022f a =--=， 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可，而()10f f <=，从而1a >不满足题意； 综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞. 【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间的步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.求函数的单调区间是函数的必备基本功，要熟练掌握灵活运用.22．（1）()()321200075f x x x =->；（2）25万件 【分析】（1）设2k p x =，代入100x =，50p =求出k 的值，然后由已知给出的关系式列式即可；（2）求出（1）中所得函数的导函数，利用导数求函数的极大值，即可得函数的最大值【详解】（1）依题意：设2k p x =，代入100x =，50p =得：41025k =⨯，∴p=，故()()321200075f x x x =-> （2）由(1)得()2675f x x '=- 则()26002575f x x x '>⇔>⇔<< 所以函数()f x 在()0,25上递增，在()25,+∞上递减，所以函数()f x 在25x =处有极大 值：因为()f x 在0,上只有唯一极值，所以函数()f x 在25x =处有最大值； 故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润． 【点睛】此题考查了函数的模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题 23．（1）21ln ()x x f x x +=；（2）12a ≥. 【分析】（1）求导3ln 4()x x x a f x x --'=，由已知得(1)1f '=-，求出12a =得解 （2）求导2()34g x x x '=-得到()g x 在(12)32， 上的最大值为1()12g =转化11()1,x f x ⋅≥ 得到1112ln a x x x ≥-在113[,]22x ∈恒成立.构造函数1111()ln ,h x x x x =-求得1()h x 的最大值为(1)1h =，得解【详解】（1）3ln 4()x x x a f x x --'=， ∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与30x y -+=垂直，∴(1)1f '=-， 12a ∴=.21ln ()x x f x x +∴= （2）2()34g x x x '=-， ∴14(,)23x ∈，()0g x '<，43(,)32x ∈，()0g x '>，∴()g x 在14(,)23上递减，在43(,)32上递增，∴()g x 在14(,)23上的最大值为131()1,()224g g ==较大者，即()1g x ≤， ∵对于任意的113[,]22x ∈，都有112()()x f x g x ⋅≥成立，∴11()1,x f x ⋅≥ 1112ln 1,a x x x +∴≥ 即对任意的111113(,),2ln 22x a x x x ∈≥-成立.令1111()ln ,h x x x x =-， 11()ln h x x '=-， ∴11(,1)2x ∈，1()0h x '>，13(1,)2x ∈，1()0h x '<，∴1()h x 在1(,1)2上递增，在3(1,)2上递减，1()h x 的最大值为(1)1h =，∴21a ≥，12a ≥. 【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.24．（1）6x ＋2y －1＝0.；（2）15e －3.【解析】试题分析：（I ）根据已知中f （x ）=x 3+ax 2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x ），结合f'（1）=2a ，f'（2）=﹣b ，计算出参数a ，b 的值，然后求出f （1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．（II ）根据g （x ）=f′（x ）e ﹣1求出函数g （x ）的解析式，然后求出g （x ）的导数g'（x ）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g （x ）的极值．解：（I ）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+1∴f'（x ）=3x 2+2ax+b ．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a ，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b ，因此12+4a+b=﹣b ，解得a=﹣，因此f （x ）=x 3﹣x 2﹣3x+1∴f （1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（﹣）=﹣3（x ﹣1），即6x+2y ﹣1=0．（II ）由（I ）知g （x ）=（3x 2﹣3x ﹣3）e ﹣x从而有g'（x ）=（﹣3x 2+9x ）e ﹣x 令g'（x ）=0，则x=0或x=3∵当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0，当x ∈（0，3）时，g'（x ）＞0，当x ∈（3，+∞）时，g'（x ）＜0，∴g （x ）=（3x 2﹣3x ﹣3）e ﹣x 在x=0时取极小值g （0）=﹣3，在x=3时取极大值g （3）=15e ﹣3点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．25．（1）答案见解析；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x -'=-=，然后解不等式()0f x '<和()0f x '>即可..（2）由()1f x a x '=-，当0a ≤时，()10f x a x'=-<，()f x 单调减不成立，当0a >时，()11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=，易得1x a =是()f x 的极小值点，然后分1a e ≥，10a e<<两种情况，利用零点存在定理求解. 【详解】（1）当1a =时，由()111x f x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；.（2）由()1f x a x'=-， 若0a ≤，()10f x a x'=-<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意；若0a >，()11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调增， 则1x a=是()f x 的极小值点， （i ）若111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫≥⇒<≤⇒=⋅-≥-= ⎪⎝⎭， 此时，()f x 最多有一个零点，不合题意；.（ii ）当111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫<<⇒>⇒=⋅-<-= ⎪⎝⎭， 又1110f a e e ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭，故在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，()f x 有一个零点， 又∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，()f x 有且只有一个零点. 由（1）知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，22442222ln 2ln 2f a a a a aa ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故在214,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，()f x 有一个零点， 又∵1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 单调增， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，()f x 有且只有一个零点.所以a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及函数的零点与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【详解】 解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。
北师大版数学选修2-2配套作业：第三章 导数应用 §1 第1课时
第3章§1 第1课时导数与函数的单调性A级基础巩固一、选择题1．在下列结论中，正确的有(A)(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个[解析]分别举反例：(1)y＝ln x，(2)y＝12，故选A.x(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(D)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]由条件知f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2x ln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)·f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(B)A．y＝sin x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x[解析]对于B，y＝x e2，则y′＝e2，∴y＝x e2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.5．(2019·临沂高二检测)已知函数y＝f(x)的图像是如图四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B.6．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( A )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1[解析] 因为f ′(x )＝1－ln xx2，∴当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，因为e<a <b ， 所以f (a )>f (b )．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞，－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是(－∞，0]．[解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0， 解得a ≤0， 故答案为(－∞，0]． 三、解答题9．(2018·天津理，20(1))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1.求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间．[解析] 由已知，h (x )＝a x －x ln a ， 有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：10．(2019·长沙高二检测)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )·e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．[解析] ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x ， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0， 解x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表∵a 1212∴x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1， ∴a ≥34.B 级 素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f (x )是定义在R 上的函数，它的图像上任意一点P (x 0，y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0)，那么函数f (x )的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－1)D ．(2，＋∞)[解析] 因为函数f (x )，(x ∈R )上任一点(x 0，y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0)，即函数在任一点(x 0，y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2， 即知任一点的导数为f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜2，即函数f (x )的单调递减区间是(－1,2)． 故选A.2．函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2017，对任意x ∈R ，都有f ′(x )<2x 成立，则不等式f (x )>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，＋∞)[解析] 令F (x )＝f (x )－x 2－2013，则F ′(x )＝f ′(x )－2x <0，∴F (x )在R 上为减函数， 又F (－2)＝f (－2)－4－2013＝2017－2017＝0， ∴当x <－2时，F (x )>F (－2)＝0，∴不等式f (x )>x 2＋2013的解集为(－∞，－2)． 二、填空题3．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是[－13，13].[解析] 函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f (x )的单调减区间为(－1,1)，则a 的取值集合为{0}； (2)若f (x )在区间(－1,1)内单调递减，则a 的取值集合为{a |a <0}．[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f (x )的单调减区间为(－1,1)， ∴－1和1是方程f ′(x )＝0的两根， ∴3－2a3＝1，∴a ＝0，∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f (x )在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x )<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y ＝f ′(x )开口向上，一根为－1，∴必有3－2a3>1，∴a <0，∴a 的取值集合为{a |a <0}． 三、解答题5．已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)·e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间．[解析] (1)因为f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e.又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)， 即4e x －y －3e ＝0.(2)f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，因为f ′(x )＝－x (x ＋1)e x ， 令f ′(x )<0，得x <－1或x >0；f ′(x )>0 得－1<x <0.所以f (x )的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x ＋x (a >0)．若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝a x －2a 2x2＋1，∵f ′(1)＝－2，∴2a 2－a －3＝0，∵a >0，∴a ＝32.(2)f ′(x )＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x 2，∵当x ∈(0，32)时，f ′(x )<0；当x ∈(32，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )的单调递减区间为(0，32)，单调递增区间为(32，＋∞)．C 级 能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a <0时f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：)． (2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x )<0，∴h (x )在[1,2]上为减函数．h (x )min ＝h (2)＝－72，∴a ≤－72，故a 的取值范围为{a |a ≤－72}．由Ruize收集整理。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（ ） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．6．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<8．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab 的值为（ ） A ．23-B ．23或2 C ．2D ．13-9．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f >B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤10．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f >12．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（ ）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、填空题13．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 14．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.15．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数()2221,204ln 2,0x mx m x f x x m x xe ⎧----<≤⎪=⎨+->⎪⎩在区间()2,-+∞上有且只有三个零点，则实数m 的取值范围为______.18．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________. 19．函数()()21xf x x =-的最小值是______.20．已知函数2()2ln af x x x=+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题21．已知函数()322=-+f x x ax b ．（1）4a =时，()f x 在区间[]1,1-的最小值为-5，求b 的值 （2）讨论()f x 的单调性；22．已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围. 23．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．设函数f （x ）＝ln x ＋kx，k ∈R ． （1）若曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，求f （x ）的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；（2）若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6x g x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-， 设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减， 而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线， 函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2， 则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<， 故k 的最小值为6ln33+， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．5．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．A解析：A 【分析】求导，根据题意得到()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，当21a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'2341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；当69a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'23129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.故6293a b -==-. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.9．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可知()g x 单调递增，比较(),(0)g a g 的大小，可得()f a 和(0)a e f 的大小关系.【详解】解：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e--==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增；因为0a >，所以()(0)g a g >，即0()(0)af a f e e>，即()(0)a f a e f >. 故选：A. 【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.10．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.11．B解析：B 【分析】构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+， 又()10f x '+<，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=， 所以()(1)g e g <，即()0f e e +<， 所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n n x n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A.【点睛】 方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n n x n ∈+是解答的关键. 二、填空题13．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可.【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x ex e x f x --=+-=+=， 所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-，因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->，故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数.因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤.故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题. 14．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答解析：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【详解】由题意得：()()2sin2x x f x e e x f x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-221x x ∴->-，解得：()1,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 故答案为：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求 解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ 【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x y x =的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln x y x -'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln x y x =单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln x y x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e - 分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭【点睛】 本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】当时函数的图像是函数的图像进行上下平移而得到的求出的单调区间作出其图像可得在上函数至多有2个零点又当时则在上函数至多有1个零点根据条件所以在上有一个零点在上有2个零点则从而可得答案【详解】当解析：()22【分析】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x y x=的图像进行上下平移而得到的,求出4ln x y x=的单调区间，作出其图像，可得在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点，又当20x -<≤时，()2010f m =--<，则在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点，根据条件所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点，则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，从而可得答案. 【详解】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x y x =的图像进行上下平移而得到的. 又由函数4ln x y x =有()241ln x y x -'=. 由()241ln 0x y x -'=>，得x e <，()241ln 0x y x-'=<，得x e >. 所以函数4ln x y x=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减,图像如图. 当1x >时，4ln 0x y x =>.所以在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点. 当20x -<≤时，()2221f x x mx m =---，()2010f m =--<，其对称轴为x m =. 此时二次方程22210x mx m ---=有两相异号的实根.所以在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点. 因为函数()f x 在区间()2,-+∞上有且只有三个零点.所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点. 则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，解得:272m < 故答案为：()27,2【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题. 18．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函 解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围.【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-，当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得a x =，且1a a >-<①当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数， ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数， ③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩， 解得15a ≤≤.故答案为：15a ≤≤.【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.19．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为 解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减.且()114f -=-， 当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零.函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.20．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求 解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】 由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=， 又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >， 当0x a <<()0f x '<；当x a ()0f x '>， 故x a =()f x 的极小值点，也是最小值点，且()ln 1f a a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥，∴a 的取值范围为[),e +∞．故答案为：[),e +∞．【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1b =；（2）答案见解析．【分析】（1）求导求出函数的单调区间，比较(1),(1)f f -得到函数的最小值为65b -=-即得解；（2）先求导，再对a 分三种情况得到函数的单调性.【详解】（1）()3224f x x x b =-+，所以()2682(34)f x x x x x '=-=-， 令()>00f x x '∴<，；()<00f x x '∴>，； 所以函数的单调递增区间为[1,0]-，单调递减区间为[0,1]，因为(1)246,(1)2f b b f b -=--+=-=-，所以()f x 在区间[]1,1-的最小值65,1b b -=-∴=.（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-． 令0f x ，得0x =或3a x =． 若0a >，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，0f x ；当0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a x 时，0f x ．故()f x 在,0，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； 若0a =，()f x 在(),-∞+∞单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，0fx ； 当,03⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a x 时，0f x ． 故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，0,单调递增，在,03⎛⎫ ⎪⎝⎭a 单调递减． 【点睛】 方法点睛：用导数求函数的单调区间步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.22．（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞. 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间；(2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()2x f x x e '=-， ()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()2x f x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->， 故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意；当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln 2x a =，0x =是极大值点，ln 20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.23．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值．【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=.在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =.由正弦定理，得2432sin 3sin sin 33OC CD x x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 得43sin 3OC xkm =，43sin 33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以43432sin sin 23333y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭， 则()()'23cos sin 122cos 16f x a x x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭. 故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元． 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k ＝e ，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为()h x '≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得21()(0)k f x x x x '=->， ∵曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，∴()0f e '=，即210k e e -=，解得k ＝e ， ∴221()(0)e x e f x x x x x-'=-=>， 由()'f x <0，得0<x <e ；由()'f x >0，得x >e ，∴f （x ）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．当x ＝e 时，f （x ）取得极小值，且f （e ）＝ln e ＋e e＝2． ∴f （x ）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立，设h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋k x －x (x >0)，则h （x ）在(0，＋∞)上单调递减， ∴21()1k h x x x '=--≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立， ∴k ≥14．故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果． 【详解】解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x =（2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '>()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。
(北师大版)深圳市高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设函数()3xf x xe =，若存在唯一的负整数0x ，使得()00f x kx k <-，则实数k 的取值范围是（ ） A ．23,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．30,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．236,e e ⎛⎫--⎪⎝⎭D ．223,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤D ．35a <≤4．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1635．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<7．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b > B ．1,b ≤-或b 2≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）ABCD9．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 10．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<11．如果不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．2,3⎡-⎢⎣⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12．已知函数()3242xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____． 14．已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.16．函数()f x 在(0，+∞)上有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,K f x f x K f x K f x K⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，取函数()2253ln 2f x x x x =-，若对任意x ∈(0，+∞)，恒有()()K f x f x =，则K 的最小值为______．17．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.18．下列五个命题：①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件； ②函数()3113f x x x =++有两个零点； ③集合A ={2，3}，B ={1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是13； ④动圆C 即与定圆()2224x y -+=相外切，又与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是()280y x x =≠⑤若对任意的正数x ，不等式x e x a ≥+ 恒成立，则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____． 19．已知函数2()2ln af x x x =+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．20．已知()3226f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______三、解答题21．设函数()22f x x x k x =++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =-时，解不等式()3f x >；（Ⅱ）若对任意[]1,2x ∈时，直线21y x =+恒在曲线()y f x =的上方，求k 的取值范围. 22．已知函数()()2ln 0,1xf x a x x a a a =+->≠．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求a 的取值范围．23．已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根，求m 的取值范围.24．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．25．设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈．证明： （Ⅰ）()f x 21x x ≥-+； （Ⅱ）34<()f x 32≤． 26．已知函数32()f x x ax bx c =+++．f （x ）在点x=0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5上具有相反的单调性． （1）求实数b 的值； （2）求实数a 的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用到函数研究其图象，令3x y xe =，y kx k =-，从而讨论两个函数的性质作出3x y xe =与y kx k =-的图象，从而结合图象可得解． 【详解】()3x f x xe =，令y kx k =-，()3(1)x f x e x '=+，()3x f x xe ∴=在(-∞，1]-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数，又y kx k =-是恒过点(1,0)的直线，∴作()3x f x xe =与y kx k =-的图象如下：当直线y kx k =-与()3x f x xe =相切时， 设切点为(,3)x x xe ，3331xx x xe e xe x =+-， 则152x -=，152x +=；令()3x g x xe kx k =-+ 结合图象可知：(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩解得：2232k e e<故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.作出两个函数的图象后，通过观察分析得到存在唯一的负整数01x =-，使得()00f x kx k <-，即(0)0(1)0(2)0g g g ⎧⎪-<⎨⎪-⎩.2．A解析：A 【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】 由题意得2ln x xa x +=有两个零点2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=） 令()12ln (0)g x x x x =--> ,则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x xa x+=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞，当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x xa x+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ， 即要2ln x xa x +=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3．A解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-，因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤， 故选:A. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.4．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.5．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=， 而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．7．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.8．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-，故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+，故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<，令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增，令()0V h '<2h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭.即当h =时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.9．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 当0x >时，令()()0F x f x kx =-=， 可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解， 即y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 又由()312ln xg x x -'=， 令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点， 则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点， 则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点； 当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >； 当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.11．A解析：A 【分析】分0x =、10x -≤<、01x <≤三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数a 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】由已知，不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立. ①当0x =时，则有10≥恒成立，此时a R ∈； ②当10x -≤<时，由3310x ax ++≥可得213a x x≤--， 令()21f x x x =--，()32211220x f x x x x-'=-+=>， 所以，函数()f x 在区间[)1,0-上为增函数，则()()min 10f x f =-=，则30a ≤，得0a ≤；③当01x <≤时，由3310x ax ++≥可得213a x x≥--，令()32120x f x x -'==可得x =，列表如下：2()2max22f x ⎛=-= ⎝⎭3a ∴≥a ≥.综上所述，实数a的取值范围是⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】利用在上恒成立等价于在上恒成立利用正弦函数的性质得出在的最小值即可得出的范围【详解】在上恒成立即在上恒成立则故答案为：【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围属于中档题 解析：[)1,-+∞【分析】利用()0f x '≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，即可得出a 的范围. 【详解】()(sin )cos (sin cos )04x x x x f x e x a e x e x x a e x a π⎤⎛⎫'=++=++=++≥ ⎪⎥⎝⎭⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin 42x π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭则1,1a a ≥-≥- 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围，属于中档题.15．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4） 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误； 对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解； 令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】根据题意利用导数求出函数的最大值即可【详解】由得当时函数单调递减当时函数单调递增所以函数的最大值为：即所以要想恒有只需所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题考查了解析：2332e【分析】根据题意，利用导数求出函数()2253ln 2f x x x x =-的最大值即可. 【详解】 由()2253ln 2f x x x x =-得()()213ln f x x x '=-， 当13x e >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当130x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =的最大值为：231332e f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()2332f x e ≤，所以要想恒有()()K f x f x =，只需2332K e ≥，所以K 的最小值为2332e .故答案为：2332e【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题，考查了学生的数学阅读和运算求解能力.17．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数解析：2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=， 所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）. 所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--， 所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数， 所以函数()F x 的零点在(2,3)内， 所以2m =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为；④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对解析：①③⑤ 【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确； ②利用导数可知函数为增函数，函数最多一个零点； ③根据古典概型求得概率为13； ④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立，可得a 的范围. 【详解】对于①，当2a >时，()cos f x a x '=-0>恒成立，所以，()sin f x ax x =-为R 上的增函数；而当12a ≤≤时，()cos f x a x '=-0>也恒成立，()sin f x ax x =-在R 上也是增函数，所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的； 对于②，2()10f x x '=+>恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，最多只有一个零点，故②是错误的；对于③，所有基本事件为：21,22,23,31,32,33++++++共6个， 其中和为4的有22,31++共2个，根据古典概型可得所求概率为2163=，故③正确；对于④，设(,)(0)C x y x ≠||x =2+，两边平方并化简得244||y x x =+，当0x >时，得28y x =，当0x <时，得0y =，所以所求轨迹方程是：28(0)y x x =>或0,0y x =<，故④不正确；对于⑤，依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立，令()x f x e x =-，则()1x f x e =-'，因为0x >，所以()0f x '>，所以()x f x e x =-在(0,)+∞上为增函数，所以()(0)1f x f >=，所以1a ≤，故⑤时正确的. 故答案为：①③⑤ 【点睛】本题考查了；利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立，考查了古典概型，考查了两圆外切，考查了求曲线的轨迹方程，属于中档题.19．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求 解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=， 又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >，当0x <<()0f x '<；当x ()0f x '>，故x =()f x 的极小值点，也是最小值点，且ln 1f a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥， ∴a 的取值范围为[),e +∞． 故答案为：[),e +∞． 【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.20．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在解析：43 【分析】通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值．【详解】因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-， 当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减， 所以()f x 的最大值为(0)f a =，又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>， 所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=， 所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =． 故答案为：43 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．三、解答题21．（Ⅰ）()1,+∞；（Ⅱ）31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）由1k =-时，不等式为223x x x -+>，然后分2x ≥，2x <讨论求解. （Ⅱ）将任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，转化为112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立求解.【详解】（Ⅰ）当1k =-时，不等式()3f x >，即223x x x -+>， 所以2(2)23x x x x ≥⎧⎨-+>⎩，或2(2)23x x x x <⎧⎨-+>⎩，，即得223x x ≥⎧⎨>⎩，或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，， 解得2x ≥或12x <<， 所以原不等式的解集是()1,+∞；（Ⅱ）因为对任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，即21x x k +<当[]1,2x ∈时恒成立，即12x k x+<，即111122x k x x x ⎛⎫⎛⎫-+<<-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故只要112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立即可， 即当[]1,2x ∈时，只要k 大于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值且k 小于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，因为当[]1,2x ∈时，211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，max 1112x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，min 11324x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故所求k 的取值范围是31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；22．（1）()0,∞+（2）[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x ）=()ln 2ln 21ln x xa a x a x a a +-=+-，再对a 进行讨论，得到f'（x ）＞0，从而函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．（2）f （x ）的最大值减去f （x ）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f （x ）的最大值是f （1）或f （﹣1），最小值f （0）=1，由f （1）﹣f （﹣1）的单调性，判断f （1）与f （﹣1）的大小关系，再由f （x ）的最大值减去最小值f （0）大于或等于e ﹣1求出a 的取值范围． 试题（1）由于()()ln 2ln 21ln 0x xf x a a x a x a a =+'-=+->，1° 当1,2a y x >=单调递增，ln 0a >，所以()1ln xy a a =-单调递增， 故()21ln xy x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；2° 当01,2a y x <<=单调递增，ln 0a <，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln x y x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞． （2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-， 所以当[]1,1x ∈-时，()()()()()()()()maxmin max min 1f x f x f x f x e -=-≥-，由（1）知，()f x 在[]10-，上递减，在[]0,1上递增， 所以当[]1,1x ∈-时()()()()()()(){}minmax01,max 1,1f x f f x f f ===-，而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫--=+--++=-- ⎪⎝⎭， 记()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭'（当2t =时取等号），所以()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =．1° 当1a >时，()0g a >， ∴()()11f f >-， ∴当1a >时，()()101f f e -≥-， 即ln 1a a e -≥-，易知：ln y a a =-，在()1,a ∈+∞上递增， ∴a e ≥． 2° 当01a <<时，()0g a <， ∴()()()()111,101,ln 1f f f f e a e a<---≥-+≥-， 易知1ln y a a =+在()0,1a ∈上递减， ∴10,a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上：[)10,,a e e ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦． 23．（1）()0f x =极大值，()3227f x -=极小值.（2）(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出函数在()()1,1f 处的切线方程，由点()2,4过切线，即可得到321b c +=，再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解； 【详解】解：（1）∵()2'32f x x bx c =++，∴()'132f b c =++，∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-.∵该切线经过点()2,4，∴()()()43221b c b c -+=++-，即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1，∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =，1c =-，故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-，令()'0f x =，得1x =-或13x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故()()10f x f =-=极大值，()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. （2）∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根， ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点. ∵()23f -=-，()29f =，结合函数()f x 的图象，∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题. 24．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.25．（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析． 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到3()2f x ≤， 再结合第一问的结论，得到3()4f x >， 从而得到结论. 试题（Ⅰ）因为44231()11,1()1x x x x x x x----+-==--+ 由于[0,1]x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -+-≤+， 所以2()1.f x x x ≥-+ （Ⅱ）由01x ≤≤得3x x ≤，故31133(1)(21)33()11222(1)22x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++ ， 所以3()2f x ≤. 由（Ⅰ）得22133()1()244f x x x x ≥-+=-+≥， 又因为，所以3()4f x >. 综上，33().42f x <≤ 【考点】函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（Ⅰ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-+-≤+，进而可证()21f x x x ≥-+；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤． 26．（1）0b =（2）63a -≤≤- 【分析】(1)根据()f x 在点0x =处取得极值,可得(0)0f '=,建立等量关系,求出参数b 即可. (2)由条件“在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性”可知函数的极值点应介于[2,4]即可. 【详解】(1)2()32f x x ax b '=++,因为()f x 在点0x =处取得极值, 所以()0f x '=,即得0b =;经检验可知：b ＝0符合题意． (2)令(0)0f '=,即2320x ax +=, 解得0x =或23x a =-. 依题意有203a ->.因为在函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性,所以应有243a ≤-≤, 解得63a -≤≤-. 【点睛】本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.。
高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义实用课件北师大版选修1_1
(2)f′(x)＝1x0＋
2 ，于是 x
f′(1)＝2110
(g/h)，f′(4)＝75
(g/h)，
f′(1)和 f′(4)分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产
产品2110 g 和75 g.
[一点通] 工作效率即产量对时间 t 的导数．解决该类问题时要正确表示 出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公 式及法则解决．
[一点通] 利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式， 并联系导数的物理意义求解．
1．某人拉动一个物体前进，他所做的功 W 是时间 t 的函数 W
＝W(t)，则 W′(t0)表示
()
A．t＝t0 时做的功
B．t＝t0 时的速度
C．t＝t0 时的位移
答案：D
D．t＝t0 时的功率
2．在 F1 赛车中，赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s＝10t＋ 5t2(s 的单位为 m，t 的单位为 s)．求： (1)t＝20，Δt＝0.1 时的 Δs 与ΔΔst； (2)求 t＝20 时的瞬时速度． 解：(1)∵Δs＝s(20.1)－s(20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋ 5×202)＝21.05，∴ΔΔst＝210..015＝210.5(m/s)． (2)∵s′＝10＋10t，∴当 t＝20 时， s′＝10＋10×20＝210(m/s)， 即 t＝20 时的瞬时速度为 210 m/s.
[精解详析] (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时， 产量 y 从 f(1)＝8210 (g)变到 f(4)＝12706 (g)， 此时平均变化率为f44－ －f11＝12706－ 3 8210＝1192(g/h)， 它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产1192 g 产 品．
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值 课件
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或22．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1633．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f <<C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<4．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1B ．2C 2D 35．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( ) A ．()e -∞， B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．已知函数1()ln xf x x ax -=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(01]，C ．()1,+∞D ．[1,)+∞7．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b >B ．1,b ≤-或b 2≥ C ．12b -<< D ．12b -≤≤8．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln x xe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <9．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值12．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（ ）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.15．若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.16．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．17．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.18．若函数()2xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.20．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题21．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()4ln f x x x =根的个数． 22．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++． （1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 23．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-；（1）若12a <≤，求函数()f x 的单调递减区间； （2）求证：若15a <<，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．24．已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根，求m 的取值范围. 25．已知函数32()4f x x ax =-+-. （I ）若4()3f x x =在处取得极值，求实数a 的值； （II ）在（I ）的条件下，若关于x 的方程()[1,1]f x m =-在上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.26．已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>. 综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==，()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.3．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32aa <<<，所以2(log )(3)(2)af a f f <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.4．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．5．B解析：B 【分析】由题中对称知f （x ）＝﹣g （x ）有解，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnxh x x=，求函数导数，分析单调性可得值域，进而可得解. 【详解】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解， ∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，∴lnx ＝ax ，即lnxa x=在（0，+∞）有解， 令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0,?x e h x h x >'∈单调递增； ()()(),,0?x e h x h x ∈+'∞<，单调递减.()()1max h x h e e==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e≤. 故选B. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，涉及函数对称的处理，考查了计算能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据函数1()ln xf x x ax-=+，求导得到()'f x ，然后根据函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，转化为()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立求解.【详解】函数1()ln xf x x ax-=+， ()2211()aax f x x ax ax --'=+=， 因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数， 所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立， 又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x ≥在[1,)+∞上恒成立， 令()()max 11g x g x x==，，所以1a ≥， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.8．C解析：C 【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1xh x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.9．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.12．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+，()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m >【分析】转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果. 【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点， 当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()xy f x x e x =-=-，10xy e '=->，所以函数()xy f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m > 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调解析：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】 构造函数()()sin f x g x x=，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=， 则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭， 26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】先求导设把问题转化为在上存在两个零点设为且再利用韦达定理求解代入整理利用二次函数求取值范围即可【详解】因为所以设因为函数在上存在两个极值点所以在上存在两个零点所以在上存在两个零点设为且所以根解析：814,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求导，设()2g x x ax b =++，把问题转化为()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，再利用韦达定理求解，代入()39b a b ++，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】 因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>， 所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠， 所以根据韦达定理有：1212x x ax x b+=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b ++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠， 所以()()22112281334,16x x xx ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.16．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln 2,)-+∞【分析】把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2xf x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln 2,)-+∞. 故答案为：(22ln 2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.17．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x-+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x -+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a+'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=，所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.18．【分析】求导函数求出函数的极值利用函数恰有三个零点即可求实数的取值范围【详解】解：函数的导数为令则或可得函数在上单调递减和上单调递增或是函数的极值点函数的极值为：函数恰有三个零点则实数的取值范围是：解析：240,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围． 【详解】解：函数2xy x e =的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+，令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增， 0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==． 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立， 所以()h m 在10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.20．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-．∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根， 令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.三、解答题21．（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3．∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，140g x g ≤=-<， 当3x >时，()55553ee 202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定. 22．（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >． 所以实数b 的取值范围为()0,∞+． （2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-， 解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤， 令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符． 当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+． 令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤； 令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =． 又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减． 又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-． 所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】 思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果. 23．（1）{}|11x a x -<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出()f x 的导函数，根据12a <≤可得到单调递减区间； （2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，判断出单调性，利用12()()g x g x >可得答案.【详解】 （1）21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-的定义域为(0+)∞，， [](1)(1)1()x x a a f x x a x x----'=-+=， 因为12a <≤，所以011a <-≤，当11a -=即2a =时，()f x 在(0+)∞，单调递增， 当011a <-<时，即02a <<，令()0f x '<得11a x -<<，所以()f x 单调递减， 单调递减区间为{}|11x a x -<<， 综上所述，2a =时，()f x 无单调递减区间； 02a <<时， ()f x 单调递减区间为{}|11x a x -<<. （2）设21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，则 21(1)1()1a x a x a g x x a x x-+-+-'=-++=， 令2()(1)1M x x a x a =+-+-，所以2(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--， 因为15a <<，所以(1)(5)0a a ∆=--<，所以()0M x >，即()0g x '>，所以()g x 在(0+)∞，上单调递增， 对任意的120x x >>，有12()()g x g x >，即1122()()f x x f x x +>+，1212()()()f x f x x x ->--，所以1212()()1f x f x x x ->--.【点睛】利用导数()0f x '<求得函数的单调递减区间，利用导数()0f x '>求得函数的单调递增区间.24．（1）()0f x =极大值，()3227f x -=极小值.（2）(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出函数在()()1,1f 处的切线方程，由点()2,4过切线，即可得到321b c +=，再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解； 【详解】解：（1）∵()2'32f x x bx c =++，∴()'132f b c =++，∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-. ∵该切线经过点()2,4，∴()()()43221b c b c -+=++-，即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1，∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =，1c =-，故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-，令()'0f x =，得1x =-或13x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故()()10f x f =-=极大值，()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. （2）∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根， ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点.∵()23f -=-，()29f =， 结合函数()f x 的图象，∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题. 25．（I ）2a =；（II ）(4,3]--． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，把43x =代入导函数为零可得关于a 的方程，解之可得实数a 的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求()'f x ，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 试题 （I ）由题意得，经检验满足条件（II ）由（I ）知令（舍去） 当x 变化时，的变化情况如下表：x－1(－1,0) 0 （0，1） 1－ 0 +－1↘－4↗－3∵关于x 的方程上恰有两个不同的实数根∴实数m 的取值范围是26．（1）答案见解析；（2）{}1a a e ≤-． 【分析】（1）分类讨论0a ≥，0a <两种情况，利用导数得出函数()f x 的单调性；（2）分类参数得出ln 1x e x a x --≤在(0,)+∞恒成立，利用导数得出ln 1()x e x g x x--=的最小值，即可得出实数a 的取值范围． 【详解】（1）定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x+'=+= ①若0a ≥，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增②若0a <，则1()a x a f x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=1()00f x x a '>⇒<<-，1()0f x x a'<⇒>-()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减综上知①0a ≥，()f x 在(0,)+∞单调递增，②0a <，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减 （2）不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在(0,)+∞恒成立令ln 1()x e x g x x --=，0x >，则2(1)ln ()x x e xg x x-+'=令()(1)ln xh x x e x =-+，0x >，1()0xh x xe x'=+>． 所以()y h x =在(0,)+∞单调递增，而(1)0h =所以(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增所以在1x =处()y g x =取得最小值(1)1g e =-，所以1a e -≤ 即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤- 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的单调性 课件
0
. . . . . ..
2
2013-4-2
x
（－∞，2）上单减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2， +∞）上单增,切线斜率 大于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生 改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
(B)–1<a<1
(D) 0<a<1
3 、 当 x∈(-2,1) 时 ， f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
作业布置：课本P62页习题3-1A组1、2 五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
2.已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x )图象的大致形状。 y A
y f ( x)
B o
2013-4-2
2
3
x
设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数， y f '( x ) 的图象如 右图所示,则 y f ( x )的图象最有可能的是( C)
1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ,); ( 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 , ). ( 3 2 的单调区间。 2 2 变1：求函数
y 3x 3x
解 : y 9 x 2 6 x 2 2 9 x 6 x 0, x 或x 0, 单调增区间为 ,0) ( ,); ( 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x , 单调减区间为 0, ). ( 3 3 2013-4-2
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：导数及其应用课件
例1 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点
坐标．
跟踪训练1 设函数f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x) 的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
例2 设函数f(x)＝a ln x＋xx−+11，a为常数，讨论函数f(x)的单调性．
跟踪训练2 已函数的极值和最值 1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数 在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整 个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数 值中的最小值． 2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数， 直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值， 求参数的值． 3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理 和数学运算素养．
考点四 利用导数研究方程、不等式等综合问题 1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、 证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数， 然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数 图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一， 也是高考的重点和热点内容． 2．通过对以上知识的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和 数学运算素养．
(1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点二 利用导数研究函数的单调性 1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线 性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是 导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元 二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． 2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素 养．
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（ ） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知任意实数1k >，关于0x >的不等式()2x xk x a e->恒成立，则实数a 的最大整数值为（ ） A ．1B ．1-C ．0D ．23．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1634．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,27⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭5．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数，()11f e=，对任意实数都有()()0f x f x '->，设()()xf x F x e =则不等式()21F x e <的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞6．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e-<< D ．111a e+<< 7．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点C ．0x ≤时，不等式()2x f x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点8．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10．函数()21xy x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数()2xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当12x x <时，不等式1221()0()f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.14．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入()R x （万元）满足()32191882R x x x x =-++（其中x 是该产品的月产量，单位：百台，08x <<），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..15．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB 上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.16．已知函数()xf x e =，()g x ex =12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______. 17．已知函数2()2ln af x x x=+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．18．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.19．已知函数()f x 在R 上是偶函数，其导函数为()f x '，且()21f =，()0f x ≥.当0x >时，()()0xf x f x '+<恒成立，则不等式()21f x -≤的解集为______.20．已知函数()ln f x x x =．存在k Z ∈，使()2f x kx k >--在1x >时恒成立，则整数k 的最大值为________．三、解答题21．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；22．已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围. 23．已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 24．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 25．已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥． 26．已知函数()xf x e =，()215122g x x x =--(e 为自然对数的底数). （1）记()()ln F x x g x =+，求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值； （2）若k ∈Z ，且()()0f x g x k +-≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】 原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-， 设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减， 而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线， 函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2， 则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<， 故k 的最小值为6ln33+， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．B解析：B 【分析】由关于0x >的不等式()2x x k x a e ->恒成立，可知当0x >时，函数2()xxf x e =的图像在直线()y k x a =-下方，利用导数求出函数2()xxf x e =的单调区间，画出函数的图像，利用图像求解即可 【详解】 解：令2()x x f x e =（0x >），由题意知当0x >时，函数2()xxf x e =的图像在直线()y k x a =-下方，由2()x x f x e =，得'2(1)()xx f x e -=，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表x(0,1)1 (1,)+∞'()f x+ 0- ()f x2e所以()f x 的大致图像如图所示当0a >时，由图像知不成立，当0a =时，因为'(0)2f =，所以当12k <<时不成立；当1a =-时，设直线0(1)y k x =+与()f x 的图像相切于点00(,())x f x ，则00002(1)()1x x f x k e x -==+，得2001x x -=，解得0(0,1)x =，所以01k =<<， 所以当1k >时，函数2()x xf x e=的图像在直线()y k x a =-下方， 所以当a Z ∈时，max 1a =-， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数的单调性，考查数形结合的思想，解题的关键是把不等式()2x x k x a e ->恒成立，转化为当0x >时，函数2()xxf x e =的图像在直线()y k x a =-下方，然后利用函数图像求解，属于中档题3．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.4．C解析：C 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 ∵()()xf x F x e=∴2()()()()()x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''--'==∵对任意实数都有()()0f x f x -'> ∴()0F x '<，即()F x 在R 上为单调减函数 又∵()11f e= ∴21(1)F e =∴不等式()21F x e<等价于()(1)F x F < ∴不等式()21F x e<的解集为(1,)+∞ 故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<，构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.6．C解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x'=+>在区间()1,e 上恒成立，所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论． 【详解】()()xf xg x e =， 则()()()xf x f xg x e '-'=， 2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若g （2）0<，则()y g x =有2个零点， 若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点， 若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确； 由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减， 由0(0)(0)2f g e==，得0x 时，()(0)g x g ， 故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．8．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项 【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+， 令'()0f x =，则1cos x x=-， 作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足.【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题9．C解析：C 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据函数图象，当12x <时，()210xy x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案.【详解】 解：因为12x <时，()210xy x e =-<，所以C ，D 错误； 因为()'21xy x e =+， 所以当12x <-时，'0y <， 所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以A 正确，B 错误.【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.11．C解析：C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax fxx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=， 若()f x 在()1,3上不单调， 令2241g xax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】根据题意得到函数单调递增求导根据导数大于等于零得到构造求导得到单调区间计算函数最小值得到答案【详解】当时不等式即故函数单调递增恒成立即设故函数在上单调递减在上单调递增故故故答案为：【点睛】本解析：(,]4e-∞【分析】根据题意得到函数()()g x xf x =单调递增，求导根据导数大于等于零得到4xe a x≤，构造()4xe F x x=，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案. 【详解】当12x x <时，不等式1221()0()f x f x x x -<，即()()1122x f x x f x <， 故函数()()g x xf x =单调递增，()()22xg x xf x e ax ==-，()'40xg x e ax =-≥恒成立，即4xe a x≤，设()4xe F x x =，()()21'4x e x F x x-=，故函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 故()()min 14eF x F ==，故4e a ≤. 故答案为：(,]4e -∞. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数()()g x xf x =单调递增是解题的关键.14．6【分析】设销售利润为利用导数求出的最大值即可【详解】设销售利润为依题意可得当时当时所以在单调递增在单调递减所以时取得极大值也是最大值所以当公司每月生产6百台时获得利润最大故答案为：6【点睛】本题考解析：6 【分析】设销售利润为1(),()()12g x g x R x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】设销售利润为()g x ，依题意可得，3232191119()11,(0,8)882288g x x x x x x x x =-++--=-+-∈，2393()(6)848g x x x x x '=-+=--，当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,6)单调递增，在(6,8)单调递减， 所以6x =时，()g x 取得极大值，也是最大值， 所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.15．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增【分析】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为31sin (8)6x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(8)(04)6y x x x =-<<的最大值可得结果.【详解】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==， 四边形AFEC 的面积为22111424222x x ⨯⨯-=-， 则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311sin (8)(8)66x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号，令31(8)(04)6y x x x =-<<，则21(83)6y x '=-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，所以函数31(8)(04)6y x x x =-<<在上递增，在上递减，所以当x =31(8)6y x x =-所以当,2x πθ==B AFEC '-【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.16．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构解析：ln 22【分析】由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=-，设()2ln x h x x e=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.【详解】由()()12f x g x m ==，即1xe m ==且0m >.所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x eh x x e x ex-'=-=.令()0h x '>，得x >，令()0h x '<，得0x <<所以函数()h x 在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.则函数()h x 的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22故答案为：ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.17．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求 解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=， 又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >，当0x <<()0f x '<；当x ()0f x '>，故x =()f x 的极小值点，也是最小值点，且ln 1f a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥， ∴a 的取值范围为[),e +∞． 故答案为：[),e +∞． 【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.18．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立，所以()h m 在10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.19．【分析】由时可得再利用偶函数的性质即可解决【详解】当时由及得所以故在上单调递减又为偶函数所以所以解得或故答案为：【点睛】本题考查解与抽象函数有关的不等式本题关键是找到函数的单调性以及利用偶函数的性质 解析：(][),04,-∞+∞【分析】由0x >时，()()0xf x f x '+<可得'()0f x <，再利用偶函数的性质(||)()f x f x =即可解决. 【详解】当0x >时，由()0f x ≥及()()0xf x f x '+<，得()()0xf x f x '<-≤，所以'()0f x <，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()21f x -≤⇔(|2|)1(2)f x f -≤=所以|2|2x -≥，解得4x ≥或0x ≤. 故答案为：(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查解与抽象函数有关的不等式，本题关键是找到函数()f x 的单调性以及利用偶函数的性质(||)()f x f x =，是一道中档题.20．2【分析】由即则将问题转化为在上恒成立令利用导函数求出最小值即可【详解】解:因为由即对任意的恒成立得（）令（）则令得画出函数的图象如图示:与在有唯一的交点∴存在唯一的零点又∴零点属于∴在递减在递增而解析：2 【分析】由()2f x kx k >--,即ln 2x x kx k >--,则将问题转化为ln 21x x k x +<-在1x >上恒成立,令ln 2()1x x h x x +=-,利用导函数求出最小值即可．【详解】解:因为()ln f x x x =,由()2f x kx k >--即()()12k x f x --<对任意的1x >恒成立, 得ln 21x x k x +<-（1x >）, 令ln 2()1x x h x x +=-（1x >）,则2ln 3()(1)x x h x x '--=-, 令()ln 30g x x x =--=,得3ln x x -=, 画出函数3y x =-,ln y x =的图象,如图示:∴3y x =-与ln y x =在1x >有唯一的交点,∴()g x 存在唯一的零点,又()41ln40g =-<,()52ln50g =->, ∴零点0x 属于()4,5,∴()h x 在()01,x 递减,在()0,x +∞递增, 而4ln 442(4)33h +<=<,115ln 55(5)344h +<=<, ∴()023h x <<,k Z ∈， ∴k 的最大值是2. 故答案为:2 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用导函数求最值,考查零点存在性定理的应用,考查数形结合思想.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞. 【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果. 【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x ah x x x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>；()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2at x x x'=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200ax x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，()2max21x x -+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞. 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间； (2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()2x f x x e '=-，()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->，故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意； 当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln 2x a =，0x =是极大值点， ln 20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞. 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 23．（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【分析】（1）求导数可得2244(1)(2)ax a y ax x +-'=++，当1a 时函数在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时易得函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，不等式()()1f x g x +在[0x ∈，)+∞时恒成立，当01a <<时，不等式00()()1f x g x +不成立，综合可得a 的范围； （3）由（2）的单调性易得11[(1)]122ln k lnk k <+-+，进而可得11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得结论． 【详解】解：（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++， 当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减； （2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=， 即不等式00()()1f x g x +不成立， 综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k∴+>+，*()k N ∈． 即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性和恒成立以及不等式的证明，属于中档题． 24．（1）5ln 224m +≤<；（2）152ln 28- 【分析】（1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果；（2）根据已知条件将12()()g x g x -化为关于1x 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到实数k 的最大值. 【详解】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=， 令()0h x '=得112x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又15ln 224h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+.∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点， ∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩， 解得5ln 224m +≤<. （2）()()21ln 12g x x x b x =+-+， ∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =， ∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，.∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()22331210x F x x x xx --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时，()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 根据()()12g x g x k -≥恒成立，可得152ln 28k ≤-，∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题. 25．（1）在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()20f '=可得212a e =，由导函数的符号可得函数的单调区间； （2）当1a e时，()ln 1xe f x x e--()g x =，利用导数证明()0g x ≥即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为1(0,),()e xf x a x'+∞=-． 由题设知，()20f '=，所以212a e =． 从而22111()ln 1,()22x x f x e x f x e e e x'=--=-． 当02x <<时，()0f x <′；当2x >时，()0f x >′． 所以()f x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． （2）证明：当1a e时，()ln 1xe f x x e--． 设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，当01x <<时，()0(1)g g x '<'=；当1x >时，()(1)0g x g ''>=． 所以()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()()10g x g ≥=． 因此，当1a e时，()()0f x g x ≥≥． 【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.26．（1）()min 4ln 2F x =-+，()max 4ln3F x =-+；（2）1-. 【分析】（1）对函数()F x 求导，根据导数的方法研究其在[]1,3上的单调性，进而可得出最值；（2）先将不等式恒成立转化为215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，令()215122x h x e x x =+--，根据导数的方法求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）∵()()215ln ln 122F x x g x x x x =+=+--，∴()()()2122x x F x x--'=，令()0F x '=，则112x =，22x =， 当()1,2x ∈时，()()()21202x x F x x--'=<，则函数()F x 在区间()1,2上单调递减；当()2,3x ∈时，()()()21202x x F x x--'=>，则函数()F x 在区间()2,3上单调递增；∴()()min 24ln2F x F ==-+，又()()33ln 143F F =-<=-+，所以()max 4ln3F x =-+； （2）∵()()0f x g x k +->对任意x ∈R 恒成立，∴2151022x e x x k +---≥对任意x ∈R 恒成立， ∴215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立. 令()215122xh x e x x =+--，则()52x h x e x '=+-. 由于()10xh x e '=+>，所以()h x '在R 上单调递增.又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，3437044h e ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>. 即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增. ∴()()02000min 15122xh x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502xe x +-=，∴0052x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+.∵013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 又∵215122xk e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，∴()0k h x ≤， 又k ∈Z ，∴max 1k =-. 【点睛】本题主要考查用导数的方法求函数的最值，考查导数的方法研究等式恒成立问题，属于常考题型.。