【全国百强校Word】河北省衡水中学2018届高三9月大联考理数试题
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试理数试题
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(0,]2B ．2[,1)2 C. 3(0,]2 D ．3[,1)2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A． B． C. D．7.函数1()sin(ln)1xf xx-=+的图像大致为（）A． B．C. D．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a=，238b=，则输出a的值是（）A． 68 B．17 C.34 D．369.已知e为自然对数的底数，若对任意的1[,1]xe∈，总存在唯一的(0,)y∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A ．6，3 B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．26 B ．23 C.24 D ．2512.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8B ． 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，3a =，则满足条件的三角形共有两个；③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为2cos()104πρθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 223-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈.18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD . 由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=， 所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(0,3,0)A a -，(,0,0)B a ，1(0,3,0)B a ，(0,0,)D a .所以11(,3,0)CC BB a a ==-.由12BC AD =，得31(,,)22C a a a ，所以31(,,)22DC a a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000003031022ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则03x =，033z =，所以(3,1,33)m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =， 所以33393cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率22c e a ==，即2a c =，又224(21)a c +=+， 所以22a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-， 因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+，所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+，所以221212||1()4AB kx x x x =++-⋅=2222228881()42121k k k k k -+⋅--⨯++2242(1)21k k +=+. 同理可得22142[1()]||12()1k CD k+=+2242(1)2k k +=+.由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠， 即411cos ()3||||CD AB θ=+=2243(1)23242(1)k k +⨯=+. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x y y ---+--=222200002(2)(2)2x y x y ++⋅-+⋅， 又因为22004x y -=，所以222220000022(4)(2)4(2)42x x x x x -=++-⋅-+-⋅=220000224242x x x x +⋅-⋅22002(4)x x =-，所以208x =，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(22,2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a>-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x ex x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1）由2cos()104πρθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2121222()432321||8t t t t t t +-+==.23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a -≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得22a ≥或22a ≤-， 所以422a -<≤-或224a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(,22][22,)-∞-⋃+∞.。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|x≤1}，则∁A故选：B．2. 对应的点的坐标为）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.，则满足的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为=（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知x=C．故选：D．6. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）A.【答案】A【解析】由题易知：故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）A. B. C.【答案】C【解析】由题意得：则输出的故选：C9. ：，，若直线平分线段于）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.）B. C.【答案】A【解析】，期为4的零点，分别画与两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）A. B. D.【答案】A的图象关于点中心对称，为奇函数，y轴对称，故选：A12. 已知直线：为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：其中直线的“绝对曲线”的条数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，化简得．令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【答案】【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，且__________．【答案】【解析】可设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，由I 为△PF 1F 2的内心，可得，则|QF 1|=，若|F 1Q|=|PF 2， 又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即， 则e== 故答案为：15. 若平面向量________．【答案】【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n 个式子的左边是n 3，右边是n 个连续奇数的和，设第n 个式子的第一个数为a n ，则有a 2﹣a 1=3﹣1=2， a 3﹣a 2=7﹣3=4，…a n ﹣a n ﹣1=2（n ﹣1）， 以上（n ﹣1）个式子相加可得a n ﹣a 1=故a n =n 2﹣n+1，可得a 45=1981，a 46=2071， 故可知2017在第45个式子， 故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2为数列.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1，因为存在以存在，使得成立，即存在，使得.即可解得.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在成立，即存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2.（3）试比较男生学习时间的方差.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足.∴可估计全校中每天学习不足.（2本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为由题意可得所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，.（1（2.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1得到（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，平面角的余弦值．试题解析：（1为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.所以二面角点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由，则即可求得顶点方程；（2的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得得到直线值，可得直线，有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线试题解析：（1）∵∴由①知的重心，由②知（2恰为①当直线的斜率存且不为0时，设直线则①根据焦半径公式得，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得的斜率为的方程为，整理化简得恒过定点②当直线0点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3，求证【答案】(1) (2) (3)见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1∴函数的图象在（2时，只需∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.在上的值域为.综合①②得实数的取值范围为.（3）由（2）知，当时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线中，曲线.（1（2后得到曲线的最小值.【答案】(1)【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求出C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1标方程为（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2.试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为，∴实数的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018 学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}， B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}， 则∁AB={x|x≤1}， 故选：B．2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限【答案】D【解析】设 z=x+yi，D. 第四象限，∴∴ 在复平面内对应的点位于第四象限故选：D．3. 已知中，，A.B.C.D.【答案】A 【解析】∵ ∴，则 的值是（ ）化为， ．可得：B 为锐角，C 为钝角．∴=-==≤=，当且仅当 tanB= 时取等号．∴tanA 的最大值是故选 A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4. 设，为的展开式的第一项（ 为自然对数的底数），，若任取，则满足 的概率是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，s=，∴m= =e，则 A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出 A={（x， y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域， 任取（a，b）∈A，则满足 ab＞1 的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：计算阴影部分的面积为S 阴影==（x﹣lnx） =e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．所求的概率为 P=，故选：C．5. 函数的图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数 y= 是偶函数，排除 B．当 x=10 时，y=1000，对应点在 x 轴上方，排除 A，当 x＞0 时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知 x= 是函数的一个极值点，排除 C．故选：D．6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为， ，所以7. 已知，A.B.【答案】A，故选 D．，，则 ， ， 的大小关系为（ ）C.D.【解析】由题易知：，∴故选：A 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式 的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或 式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比 较大小．学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网... 8. 执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得：则输出的 S=.故选：C9. 如图，设椭圆 ：的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于 ，则椭圆 的离心率是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM∽△AFB，且，即 = 可得 e= = ．故答案为： ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 设函数 为定义域为 的奇函数，且，当时，，则函数在区间 上的所有零点的和为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为 4，且的图象关于直线 对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象， 两个函数的图象都关于直线 对称， 方程的零点关于直线 对称，由图象可知交点个数为 6 个，可得所有零点的和为 6，故选 A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数，其中 为函数 的导数，求（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意易得：∴函数 的图象关于点 中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于 y 轴对称，∴∴故选：A12. 已知直线 ：，若存在实数 使得一条曲线与直线 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于 ，则称此曲线为直线 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①；②；③；④.其中直线 的“绝对曲线”的条数为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由 y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线 l 过点 A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒 V 型，而直线 l 过顶点 A（1，1）．所以直线 l 不会与曲线 y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线 l 的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 是以 A 为圆心，半径为 1 的圆，所以直线 l 与圆总有两个交点，且距离为直径 2，所以存在 a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 与直线 l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 是直线 l 的“绝对曲线”；对于③，将 y=ax+1﹣a 代入 x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x2=, x1x2=．若直线 l 被椭圆截得的线段长度是|a|， 则化简得．令 f（a）=．f（1） ，f（3） ．所以函数 f（a）在（1，3）上存在零点，即方程有根．而直线过椭圆上的定点（1，1），当 a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线 x2+3y2=4 是直线的“绝对曲线”．对于④将 y=ax+1﹣a 代入.把直线 y=ax+1-a 代入 y2=4x 得 a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2=，x1x2=．若直线 l 被椭圆截得的弦长是|a|，则 a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2）化为 a6-16a2+16a-16=0， 令 f（a）=a6-16a2+16a-16，而 f（1）=-15<0，f（2）=16>0． ∴函数 f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程 f（a）=0 有实数根，当 a∈（1，2）时，直线满足条件， 即此函数的图象是“绝对曲线”． 综上可知：能满足题意的曲线有②③④． 故选：C． 点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要 函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知实数 ， 满足【答案】 【解析】如图，作出可行域：，且，则实数 的取值范围_______．，表示可行域上的动点与定点连线的斜率，显然最大值为 ，最小值为∴ 故答案为： 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要 注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的 直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上 取得.14. 双曲线的左右焦点分别为 、 ， 是双曲线右支上一点， 为的内心， 交 轴于 点，若，且，则双曲线的离心率 的值为__________．【答案】【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c， 由 I 为△PF1F2 的内心，可得=2，则|QF1|= m， 若|F1Q|=|PF2|= m， 又 PQ 为∠F1PF2 的角平分线，可得，则 n=4c﹣m， 又 m﹣n=2a，n= m， 解得 m=4a，n=2a，=2，即 c= a， 则 e= = ． 故答案为： ．15. 若平面向量 ， 满足 【答案】【解析】由可得：∴在 方向上投影为故最大值为： 16. 观察下列各式：，则 在 方向上投影的最大值是________．；；；；……若按上述规律展开后，发现等式右边含有“ ”这个数，则 的值为__________．【答案】【解析】由题意可得第 n 个式子的左边是 n3，右边是 n 个连续奇数的和， 设第 n 个式子的第一个数为 an，则有 a2﹣a1=3﹣1=2， a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得 an﹣a1=，故 an=n2﹣n+1，可得 a45=1981，a46=2071， 故可知 2017 在第 45 个式子， 故答案为：45 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）17. 已知等差数列 中，公差 ，，且 ， ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若 为数列的前 项和，且存在，使得成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由题意可得解得 即可求得通项公式；(2),裂项相消求和，因为存在，使得成立，所以存在，使得即可解得 的取值范围.成立，即存在，使得成立.求出的最大值试题解析：（1）由题意可得即又因为 ，所以所以.（2）因为，所以因为存在，使得.成立，所以存在，使得使得成立.成立，即存在，又（当且仅当 时取等号）.所以 ，即实数 的取值范围是.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调 查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有 名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 小时的人数. （2）若从学习时间不少于 小时的学生中选取 人，设选到的男生人数为 ，求随机变量 的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差 与女生学习时间方差 的大小.（只需写出结论）【答案】(1)240 人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得 20 名学生中有 12 名学生每天学习不足 4 小时，进而可以估计校 400 名学生中天学习不足 4 小时的人数； （2）学习时间不少于 4 本的学生共 8 人，其中男学生人数为 4 人，故 X 的取值为 0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得 X=0，1，2，3，4 的概率，进而可得随机变量 X 的分布列； （3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析： （1）由折线图可得共抽取了 人，其中男生中学习时间不足 小时的有 人，女生中学习时间不足 小时的 有 人.∴可估计全校中每天学习不足 小时的人数为：人.（2）学习时间不少于 本的学生共 人，其中男学生人数为 人，故 的所有可能取值为 ， ， ， ， .由题意可得；；；；. 所以随机变量 的分布列为∴均值.（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥 平行的平面交 于 .的底面为矩形，已知，，过底面对角线 作与（1）试判定点 的位置，并加以证明；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1) 为 的中点，见解析(2)【解析】试题分析：（1）由 平面 得到，结合 为 的中点，即可得到答案；（2）求出平面 EAC 的法向量和平面 DAC 的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．试题解析：（1） 为 的中点，证明如下：连接 ，因为 平面 ，平面平面， 平面 ，所以，又 为 的中点，所以 为 的中点.（2）连接 ，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以 平面，以 为原点， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴，过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知，，，，，，则，.显然， 是平面 的一个法向量.设是平面 的一个法向量，则，即，取 ，则，所以，所以二面角的余弦值为 .点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用 方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设 m，n 分别为平面 α，β 的法向量，则二面角 θ 与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20. 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为， ，平面内两点 、 同时满足：①；②；③.（1）求顶点 的轨迹 的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线 ， ，直线 ， 与 的轨迹 相交弦分别为 ， ，设弦 ，的中点分别为 ， .①求四边形的面积 的最小值；②试问：直线 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）① 的最小值的 ，②直线 恒过定点.【解析】试题分析：（1）由可得 为的重心，设，则 ，再由，可得 为的外心， 在 轴上，再由 ∥ ，可得，结合即可求得顶点 的轨迹 的方程；（2）恰为的右焦点．当直线 ， 的斜率存在且不为 0 时，设直线 的方程为．联立直线方程与椭圆方程，化为关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 的纵坐 标得到和与积．①根据焦半径公式得 、 ，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形面积 的最小值；②根据中点坐标公式得 的坐标，得到直线 的方程，化简整理令 解得 值，可得直线 恒过定点；当直线 ， 有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为 0，直线 即为 轴，过点（.试题解析：（1）∵∴由①知∴为的重心设，则 ，由②知 是的外心∴ 在 轴上由③知，由，得，化简整理得：．（2）解：恰为的右焦点，①当直线 的斜率存且不为 0 时，设直线 的方程为由，设则，①根据焦半径公式得，又， ，所以，同理，则，当，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，则直线 的斜率为，∴直线 的方程为 整理化简得 令 ，解得， ，∴直线 恒过定点，②当直线 有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为 0，直线 即为 轴，过点，综上， 的最小值的 ，直线 恒过定点．点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标 函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构 造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是 两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利 用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. （2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程， 然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再 证明与变量无关.21. 已知函数.（1）当 ，求函数的图象在 处的切线方程；（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（3）已知 ， ， 均为正实数，且，求证.【答案】(1)(2)(3)见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数 y=f（x）的图 象在 x=0 处的切线方程； （2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数 f（x）在（0，1）上单调递增，可得 f′（x）≥0 在（0，1） 上恒成立，构造 =（x+1）ln（x+1）﹣x，证明 h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1）， 即可求实数 a 的取值范围；（3）由（2）知，当 a=﹣1 时，在（0，1）上单调递增，证明，即试题解析： （1）当 时，从而可得结论．则，则，∴函数的图象在 时的切线方程为 .（2）∵函数 在 上单调递增，∴在当 时，在 上无解满足，当 时，只需，∴①上无解，，∵函数 在 即上单调递增，∴在在 上恒成立.上恒成立，设，∵，∴，则 在 上单调递增，∴ 在 上的值域为.∴在 上恒成立，则②综合①②得实数 的取值范围为.（3）由（2）知，当时，在 上单调递增，于是当时，，当时，，∴，即，同理有，，三式相加得.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线 的极坐标方程是，以极点为原点 ，极轴为 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 中，曲线 的参数方程为：（ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；（2）将曲线 经过伸缩变换后得到曲线 ，若 ， 分别是曲线 和曲线 上的动点，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ 求出 C1，C2 的直角坐标方程即可；（2）求出 C3 的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1）∵ 的极坐标方程是，∴，整理得，∴ 的直角坐标方程为.曲线 ：，∴，故 的普通方程为.（2）将曲线 经过伸缩变换后得到曲线 的方程为，则曲线 的参数方程为（ 为参数）.设，则点 到曲线 的距离为.当时， 有最小值，所以 的最小值为.23. [选修 4-5：不等式选讲]已知.（1）当 时，解不等式.（2）若不等式对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2）不等式对 恒成立，即求的最小值，结合函数的单调性即可.试题解析：（1）当 时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当 时， 取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数 的取值范围为.点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解． ①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个 区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的 并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试题
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则 A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C ．{}32x x -<< D ．{}12x x << 2．已知复数z 满足()133i z i +=(i 是虚数单位)，则z = A ．3344i + B ．3322i - C ．3322i + D ．3344i - 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像 A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b >><则 6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A ．233B ．3C ．23D ．433 7．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则正实数a 的取值范围为A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2] 10．抛物线()()()()211223320,,,,,y px p A x y B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为 A ．(1，2] B ．(1，2) C ．(0，2] D ．(2，3] 12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞) 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B 两点，且弦长为23，则a 的值是__________． 14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD g 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)（一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B C B C A Aω--+=． (1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====o，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()222231012x yC a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点．(1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈． (1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁B={x|x≤1}，A故选：B．2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）【答案】A化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.）【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）B. D.【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）D.【答案】C则输出的故选：C9. 如图，：右焦点为，，若直线平分线段于）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 时，）B. D.【答案】A【解析】，期为4与两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）C.【答案】A的图象关于点中心对称，可得为奇函数，y轴对称，故选：A12. 已知直线使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：的“绝对曲线”的条数为（）B.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF 1，若|F 1Q|=|PF 2，又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即，则e= 故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an ，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an ﹣a1故an =n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在，使得.的取值范围.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足..（2本的学生共的所有可能取值为所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知于.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角面角的余弦值．试题解析：（1，因为，平面为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.是平面的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由则的外心，轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的右焦点．当直线的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得值，可得直线，另一条直线的斜率为0，直线试题解析：（1）∵的重心轴上由③知（2恰为的斜率存且不为0时，设直线则，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1（2）若函数上单调递增，求实数（3，求证【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2）∵函数上单调递增，∴在在上无解满足，时，只需∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.上单调递增，在上的值域为.②（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]，极轴为中，曲线的参数方程为：.（1（2的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．出C3试题解析：（1（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2. 试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁A B={x|x≤1}，故选：B．2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设z=x+∴在复平面内对应的点位于第四象限故选：D．3. ）【答案】A【解析】化为B为锐角，C为钝角．=-，当且仅当∴tanA故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.）【答案】C【解析】由题意，s=∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为S阴影（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. ）【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）【答案】C则输出的故选：C9. ：，于点，若直线平分线段于）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB=故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10.）B. D.【答案】A【解析】，期为4两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11.（）C.【答案】A∴的图象关于点中心对称，可得为奇函数，y轴对称，故选：A12. ：为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：；④其中直线的“绝对曲线”的条数为（）B.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. ，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF1|，若|F1Q|=|PF2|=，又PQ为∠F1PF2的角平分线，则n=4c﹣m，又m﹣n=2a，n=m，解得m=4a，n=2a，，即，则e=故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a3﹣a2=7﹣3=4，…a n﹣a n=2（n﹣1），﹣1以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1故a n=n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在.的取值范围.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在成立..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足小时的有..（2本的学生共人，其中男学生人数为人，故所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥，.（1（2.【答案】为【解析】试题分析：（1得到（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．试题解析：（1，因为，所以为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.是平面的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由，则轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的右焦点．当直线的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得值，可得直线，另一条直线的斜率为0试题解析：（1）∵的重心轴上由③知（2恰为的斜率存且不为0时，设直线则，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，，解得恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0轴，过点点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. .（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2）∵函数上单调递增，∴在在上无解满足，时，只需，∴∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.上单调递增，在上的值域为.综合①②得实数的取值范围为.（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为：.（1（2后得到曲线的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求出C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2. 试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学(文)试题+Word版含答案
衡水金卷2018届全国高三大联考文数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M x|x25x 4 0，N 0,1,2,3 ，则集合M N中元素的个数为（）A．1B．2 C．3 D．412.已知命题p：x R，(2 x)20，则命题p为（）1 1A．x0R，(2x0)20 B．xR，(1x)201 1C．xR，(1x)20 D．x0R，(2x0)203.已知复数z5i （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）2i 1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知双曲线C：x2y21(a 0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为a216（）A．4x3y0 B．16x 9y0 C．4x 41y 0 D．4x3y 125.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A．726mm2 B．363mm2C．363mm2D．363 mm251 10 5 206.下列函数中，与函数y 2x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）2xA．ysinx B．yx3C．y 1 D．yx2,x02,x 0x x7.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）2，bln21lg58.设a log54log5ln3，c102，则a，b，c的大小关系为（）3A．a b c B．b c aC．c a b D．b a c9.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．18B．19C．20D．119 20 21 2010.将函数f(x) 2sin(4x)的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原3 6来的2倍，得到函数y g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是（）A．最小正周期为B．图象关于直线x对称12C．图象关于点(,0)对称D．初相为12 311.抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（）A．4B． 4 C． 4 D．163 3 3 912.已知ABC的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acosB bcosA) abc，若a b 2，则c的取值范围为（）A．(0,2) B．[1,2)C．[ 1 ,2)D．(1,2]2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量a(sin ,cos)，b (k,1)，若a//b，则k ．3 614. 已知函数f(x)x32x，若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线经过圆 C：x2(y a)22的圆心，则实数a的值为．3x y ,15. 已知实数x，y满足约束条件x , 则sin(xy)的取值范围为（用6y 0,区间表示）．16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD为阳马，侧棱MA 底面ABCD，且MABCAB 2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在递增的等比数列a n中，a1a632，a2a518，其中n N*.（1）求数列a n的通项公式；（2 ）记b n a n log2a n 1 ，求数列b的前n项和T n.n如图，在三棱18.柱ABC A1B1C1中，AA1平面ABC，AC BC，AC BC CC12，点D为AB的中点.（1）证明：AC1//平面B1CD；（2）求三棱锥A1CDB1的体积.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计30 岁及以下70 30 100 30 岁以上60 40 100 合计130 70 200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：K2n(ad bc)2，其中nabc d．(ab)(cd)(ac)(bd)参考数据：2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010P(Kk0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知椭圆C：x2 y21（a b0）过点( 2,1)，离心率为2，直线l：a 2 b2 2kx y 2 0与椭圆C交于A，B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数k，使得|OAOB||OA OB|（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x) lnx2x23，g(x)f'(x)4xalnx(a0).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若关于 x的方程g(x) a有实数根，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为x 2cos,为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为y（sin极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()3.4（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x) |2x 1| |x 1|.（1）解不等式f(x) 3；（2）记函数g(x) f(x)|x 1|的值域为M，若t M，试证明：t22t3.衡水金卷2018届全国高三大联考文数答案一、选择题1-5:CDDAB 6-10: DAABC 11 、12：BB二、填空题13.114. 2 15. 1,1 16. 36 16 22三、解答题17.解：（1）设数列 a n的公比为q，则a2a5a1a632，又a2a518，∴a22，a516或a216，a2（舍）.5∴q3a58，即q 2.a2故a n a2q n22n1(nN*).（2）由（1）得，b n2n 1 n.∴T n b1b2⋯b n2⋯ 2n1)(123 ⋯1 2n(1n)n (122 n)2 212n 1 n2n.218.（1）证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O是BC1的中点，∵点D为AB的中点，∴OD//AC1.又OD 平面B1CD，AC1平面B1CD，∴AC1//平面B1CD.（2）解：∵ AC BC，AD BD，∴CDAB.在三棱柱ABC A1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC，又平面ABB1A1平面ABC AB，∴CD平面ABB1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为CD，且CD ACsin 2.1 1 1 41 4∴V A1CDB1V CA1DB1S A1DB1A1B1AA13CD2CD 2222.3 6 319.解：（1）由列联表可知，K2200 (70 40 60 30)2 2.198.130 70 100 100因为2.198 2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的 5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有3 540 100（人），偶尔或不用共享单车的有 5 2（人）.100（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的 2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)共10种.其中没有 1人经常使用共享单车的可能结果为(d,e)共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1 9 P1 .10 102 11, a2b220.解：（1）依题意，得c 2,a 2a2b2c2,解得a24，b22，c22，故椭圆C的标准方程为x2y2 1.4 2（2）假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程y kx 2,x22y24,消去y并整理，得(1 2k2)x28kx40，则64k216(12k2) 0，即k2 2. 或k22设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x28k，x1x24.1 2k212k2由|OA OB||OAOB|，得OAOB 0，∴x1x2y1y20，∴x1x2(kx12)(kx22) 0，即(1 k2)x1x22k(x1x2)40，∴4(1 k2)16k240，12k212k2即84k20，即k22，k 2.1 2k2故存在实数k 2，使得|OA OB| |OA OB|成立.21.解：（1）依题意，得14x1 4x2(1 2x)(12x)f'(x)x，x(0,).x x令f '(x) 0，即1 2x 0，解得0x1；21令f '(x) 0 ，即12x 0，解得x，21 1故函数f(x)的单调递增区间为(0, )，单调递减区间为2(,).12 （2）由题得，g(x) f '(x) 4x alnx alnx.依题意，方程1x alnx a 0有实数根，x即函数h(x)1alnx a存在零点，x1 a又h'(x)x2x 令h'(x)0，得x当a0时，h'(x)ax 1x2，1.a0，即函数h(x)在区间(0, )上单调递减，而h(1) 1 a1 1 1 1 1110，h(e a)1a(1)a110，1 a 1 ee a e a所以函数h(x)存在零点；当a 0时，h'(x)，h(x)随x的变化情况如表：x (0, 1 1 1 )a(,) a ah'(x) 0h(x)极小值1a 1alna为函数h(x)的极小值，也是最小值.所以h() alnaa a1) 0，即0 a 1时，函数h(x)没有零点；当h(a1) 0，即a 1时，注意到h(1) 1 a 1a a1当h( 0，h(e) 0，a e e所以函数h(x)存在零点.综上所述，当a ( ,0) [1, )时，方程g(x) a有实数根.22.解：（1）由曲线C的参数方程x 2cos ,（为参数），y sin得曲线C的普通方程为x2y2 1.4由2 sin( ) 3，得(sin cos ) 3，即xy 3，4所以直线l的普通方程为x y3 0.（2）设曲线C上的一点为(2cos ,sin )，则该点到直线l的距离d |2cos sin 3|| 5sin( ) 3|（其中tan 2），2 2当sin( ) 1时，d max| 53| 10 3 2，2 2即曲线C上的点到直线l的距离的最大值为103 2.23x,x 1,23.解：（1）依题意，得f(x)2x, 1 x 1,则不等式f(x) 3，即为23x,x 1,2x 1, 1x 1,x 1,1 x1.3x 3,或 2 或2解得2 x3 3x 3,故原不等式的解集为x| 1x 1.（2）由题得， g(x) f(x) |x 1| |2x 1| |2x 2||2x 1 2x 2| 3，当且仅当(2x1)(2x2) 0，即1x 1时取等号，2∴M [3, )，∴t22t 3 (t 3)(t1)，∵tM，∴t3 0，t1 0，∴(t 3)(t 1) 0 ，∴t22t 3.。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序填涂在答题卡上）1. ）A. B. C. D.2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）4. 设为）A. C. D.5. 函数的图象大致是（）A. B. 学+科+...学+科+...C. D.6. ）A.7. ）A. D.8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）A. B. C.9. ：，于点，若直线平分线段于）A. C. D.10. 设函数为定义域为的奇函数，且）A. B. C. D.11.（）A. D.12. ：的“绝对曲线”的条数为（）A. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. ，则实数_______．14. 的左右焦点分别为，且__________．15. ________．16. 观察下列各式：……__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2.（3.（只需写出结论）19. 的底面为矩形，已知，（1（2.20.（1（2），，，①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21. .（1，求函数（2（3请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为：.（1（2后得到曲线的最小值.23. [选修4-5：不等式选讲]（1（2.。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|x≤1}，则∁A故选：B．2. 在复平面内，复数）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）【答案】A化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.，则满足的概率是（）【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）B. D.【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）D.【答案】C则输出的故选：C9. 如图，设椭圆：，，若直线平分线段于的离心率是（）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 时，）B.【答案】A【解析】周期为4的函数图象，两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）C.【答案】Ay轴对称，故选：A12. 已知直线使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：的“绝对曲线”的条数为（）【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，化简得．令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF 1，若|F 1Q|=|PF 2，又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即，则e= 故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……”这个数，则__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an ，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an ﹣a1故an =n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1）求数列的通项公式；（2，使得.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在.的取值范围.试题解析：（1（2因为存在，使得成立，所以存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2.（3的大小.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1小时的有人，女生中学习时间不足..（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知于.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1得到（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC平面角的余弦值．试题解析：（1，所以为的中点.（2平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.，的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，的轨迹，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2恒过定点【解析】试题分析：（1）由则的外心，轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形的最小值；②根据中点坐标公式得得值，可得直线，另一条直线的斜率为0，轴，过点（试题解析：（1）∵的重心轴上由③知，化简整理得：（2恰为的斜率存且不为0时，设直线，，即时取等号．，恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0恒过定点点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1，求函数（2）若函数（3，求证.【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2在时，只需∵函数在上单调递增，∴即.上单调递增，综合①②得实数的取值范围为.（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数方程为：.（1）求曲线（2后得到曲线的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．出C3试题解析：（1（2）将曲线后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2）不等式. 试题解析：（1（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试理数试题
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(0,]2B ．2[,1)2 C. 3(0,]2 D ．3[,1)2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A． B． C. D．7.函数1()sin(ln)1xf xx-=+的图像大致为（）A． B．C. D．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a=，238b=，则输出a的值是（）A． 68 B．17 C.34 D．369.已知e为自然对数的底数，若对任意的1[,1]xe∈，总存在唯一的(0,)y∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A ．6，3 B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．26 B ．23 C.24 D ．2512.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8B ． 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，3a =，则满足条件的三角形共有两个；③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为2cos()104πρθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 223-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=， 所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(0,3,0)A a -，(,0,0)B a ，1(0,3,0)B a ，(0,0,)D a .所以11(,3,0)CC BB a a ==-.由12BC AD =，得31(,,)22C a a a ，所以31(,,)22DC a a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000003031022ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则03x =，033z =，所以(3,1,33)m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =， 所以33393cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率22c e a ==，即2a c =，又224(21)a c +=+， 所以22a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-， 因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+，所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+， 所以221212||1()4AB kx x x x =++-⋅=2222228881()42121k k k k k -+⋅--⨯++2242(1)21k k +=+. 同理可得22142[1()]||12()1k CD k+=+2242(1)2k k +=+.由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠， 即411cos ()3||||CD AB θ=+=2243(1)23242(1)k k +⨯=+. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x y y ---+--=222200002(2)(2)2x y x y ++⋅-+⋅， 又因为22004x y -=，所以222220000022(4)(2)4(2)42x x x x x -=++-⋅-+-⋅=220000224242x x x x +⋅-⋅22002(4)x x =-，所以208x =，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(22,2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a>-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x ex x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1）由2cos()104πρθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2121222()432321||8t t t t t t +-+==.23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a -≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得22a ≥或22a ≤-， 所以422a -<≤-或224a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(,22][22,)-∞-⋃+∞.。