概率论与数理统计 老师总结经典习题总汇
由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留 1 Cm m种保留下来的取法， 下来作为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排 k 列，总数为 Pmn1 k 事件B所包含的基本事件总数为 mP n1 m
在实际中，有许多问题的结构形式与抽球 问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地 抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个 ，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的 概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择 抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突 出，而不必过多的交代实际背景。
1.3 古典概型与几何概型
一、古典概型的定义(p.11)
设随机实验E满足下列条件
1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即
S {1, 2 ,..., n}
2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即
P(1 ) P(2 ) ... P(n ) 1/ n
则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个 事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合 函数P(· )具有如下性质： ①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0 ； ②完备性：P(S)=1； ③ 可列可性质 ：若A1 ，A2 ，…，An ，…是两两互不相 容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j, i, j=1,2,…)，有 P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2) +…+ P(An)+… 则称P(A)为事件A的概率。
2、全概率公式(P.21) 定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。
设事件组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个划分，且
设 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),则
P( B)＝ P( Ak ) P( B | Ak )
k 1
n
此公式称为全概率公式。
（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下 或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）
返回
例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件：
A B C A2 “恰有一人命中目标” ABC ABC ABC : : A3 “恰有两人命中目标” ABC ABC ABC : : A4 “最多有一人命中目标 : : ” BC AC AB ABC A5 “三人均命中目标” : :
1、概率的统计定义 设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若 当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值 p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动 的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率， 记为P(A)=p。 由定义，显然有 0≤P(A)≤1, P(S)=1，P(φ)=0。
2、概率的公理化定义（P.8）
13 13 13 C39 C52 C39 P( A) 1 P( A ) 1 13 13 C52 C52
2 11 C13 C39 P( AB) 13 C52
2 11 C13 C39 13 2 11 C52 C13 C39 P( AB) P( B A) 13 13 13 13 P( A) C52 C39 C 52 C39 13 C52 5 2 6 5 8 C13C13C26 C13 C39 P( BC) P(C ) 13 13 C52 C52 5 2 6 C13 C13 C 26 13 2 6 C 52 C13 C 26 P ( BC) P( B C ) 5 8 8 P (C ) C13 C 39 C 39 13 C 52
例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概 率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每 个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件 的概率： A={某指定的一个盒子中没有球}
B={某指定的n个盒子中各有一个球} C={恰有n个盒子中各有一个球} D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总 共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。 事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的 每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。 ( N 1) n n种放法。因此 总共有(N–1) P ( A) n
N
分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入 盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。
(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的 可能情况(设一年365天)；
(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车， 旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站： “盒子”；
(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中； (4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误 球，页盒子。
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要
求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…,m)，共有分法：
• 条件概率的一般计算方法： • (1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条 件下， B发生的条件概率。“缩减样本空间” • (2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式
P( AB) P( B A) P( A)
例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为 “至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为 “恰有5张方块”，求源自件概率P(B|A)，P(B|C) 解
P( B) P( BA ) P( BA2 ) P( BA3 ) 1 P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | A3 ) P( A3 )
1 1 1 0.02 0.01 0.03 0.0225 4 4 2
1、样本空间的划分 设S是试验E的样本空间，A1,A2,…,An是试验E的 一组事件，若A1, A2,…, An满足如下两个条件： （1）A1∪A2∪…∪An=S， （2） A1, A2,…, An两两互不相容 则称事件组A1,A2,…,An组成样本空间的一个划分； 若是样本空间的一个划分，则在每次试验中， 事件A1,A2,…,An必有且仅有一个发生。
3、贝叶斯公式(Bayes)
定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件 组A1,A2,…,An组成样本空间S的一个划分，且 P(Ak)>0,(k=1,2,…n),及P(B)>0，则
P( Ak B) P( Ak ) P( B Ak ) k 1, 2,, n
P( A ) P( B A )
A1 “至少有一人命中目标 : : ” A6 “三人均未命中目标” : :
A B C
例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产 品畅销”的对立事件。 解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示 事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件 “甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示 为：
AB
因此对立事件为：A B A B A B 即所求对立事件为：“甲种产品畅销 或乙种产品滞销”。
事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，
则
nAB P( B | A) nA
n AB n P ( AB) nA P ( A) n
定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)>0，则
P ( AB ) P ( B | A) P ( A) (1.14)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p.18)
可以验证，条件概率P(· |A)符合概率所需满足的 三条基本性质： ①非负性：对任意一个事件B，均有 0≤P(B|A)≤1； ②完备性：P(S|A)=1； ③可列可加性：若B1，B2，…，Bn，…两两 互不相容，则有
P( Bn A) P( Bn A)
n 1 n 1
条件概率也满足概率的基本性质（P.18)
n! n1!.... m ! n
例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到 者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可 在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能 够会面的概率。 解：
S x, y | 0 x 60,0 y 60
A x, y | x, y S, x y 20
i 1 i i
n
此式称为Bayes公式。
根据题意，这是一个几何概型问题，于是
u A 602 402 5 P A 2 uS 60 9
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，
十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个
二、古典概型的基本类型举例
• 古典概率的计算关键在于计算基本事件总 数和所求事件包含的基本事件数。 由于样本空间的设计可由各种不同的方法， 因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁 多样。但可归纳为如下几种基本类型。
1、抽球问题
例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任 抽2个球，求取到一红球一白球的概率。 解 设A——取到一红球一白球
P( B) P( Ak )P( B Ak )
k 0
4
0.1 02. 0.900 0.4 0.809 0.2 0.727 0.1 0.652 0.814
例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产 了1000批产品，则可以通过检验，以合格品出产厂的 约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可 能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言， 希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率 P(Ai|B) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小 越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)第一章习题解答1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；（4）Ω=｛（x,y）｝。
2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。
3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。
223由题设可知样本点总数，。
2C52C411所以；7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。
表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。
则样本空间，事件所以8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。
概率与统计每章习题总结版演示文稿
答:
ex f (x;)
x0
0 x0
E(X ) 1
1
E(X )
用X 估计EX
1
X
例3、设总体X的概率密度为
f (x)
1
x
e
2
X1， … ， Xn为样本，求参数的矩估计。
解: 这是单个正态总体在方差已知的情况下检验均值
H0 : 0 4.55 H1 : 0
检验统计量为
U X 0 n
H 0 的拒绝域为
W {| U | u 2}
计算得 x 4.364 u x 0 4.364 4.55 3.78
n 0.11 5
u0.025 1.96.
因为 u 3.78 1.96
H0
:
2
Hale Waihona Puke 2 080检验统计量为
2 n 1S 2
2 0
H1
: 2
2 0
H 0 的拒绝域为
W
{ 2
2 1
2 n
1或 2
2
2n 1}
计算得
s2 121 .8
2 9121.8 13.7
80
2 0.025
9
19
.023
2 0.975
9
2.7
因为
2.7 2 19.023
接受H0，认为整批保险丝的熔化时间的方差等于80
无显著差异?(=0.05 )
解: 这是两个正态总体检验方差比
H
0：
2 1
22；H 1：
2 1
2 2
检验统计量为 F S12
S
2 2
拒绝域为：{FF1/2(n11, n21) 或FF/2(n11, 21)}
(完整word版)概率论与数理统计教程习题(大数定律与中心极限定理)
习题10（切比雪夫不等式）一．填空题1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得≤≥-)3(σμX P .2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得≥<<)2715(X P .3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P .4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞→)(lim 1n XP ni in .二．选择题1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
①)(b X a P <<； ②))((b X E X a P <-<；③)(a X a P <<-； ④))((a b X E X P -≥-.2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥-)1(λλX P （ ）.①λ； ②2λ③4λ； ④λ1. 三．解答题1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ，2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，8)(=i X D ),,2,1(n i Λ=.记∑==ni i X n X 11，由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p .3. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，)(4i X E 存在，且一致有界),,,2,1(ΛΛn i =.对任意实数0>ε，证明1)1(lim 122=<-∑=∞→εσn i i n X n P . 11（特征函数）一．填空题1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则=≥)3(X P .=<<)40(X P ，=≤)1(X P .2. 若随机变量~X ),(2σμN ，且)()(c X P c X P ≥=≤，则=c .3. 若随机变量~X ),2(2σN ，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P . 4. 若X 服从正态分布),(2σμN ，记ασμσμ=+<<-)(k X k P .当9.0=α时，=k ，当95.0=α时，=k .5. 随机变量21,X X 相互独立，且都服从标准正态分布，记21432X X Y -+=， 则Y 概率密度=)(y f Y .二．选择题6. 若随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且),(~2σμN X i ),,2,1(n i Λ=，则=∑=)1(1ni i X n D （ ）①2σ； ②2σn ； ③n /2σ； ④22/n σ.7. 若随机变量Y X ,相互独立，且都服从正态分布),(2σμN .设Y X +=ξ，Y X -=η，则=),cov(ηξ（ ）.①22σ； ② 1； ③1-； ④ 0.8. 若随机变量Y X ,满足)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，2/1),(-=Y X R ，则=+)23(Y X D （ ）.① 5； ② 4； ③ 3； ④ 2.三．解答题1. 某种电池的寿命X （单位：h ）服从正态分布)35,300(2N .（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x ，使寿命在x ±300之间的概率不小于0.9.2. 测量某一目标的距离时，随机误差)40,0(~2N X （单位：m ）.（1）求)30(≤X P ，（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。
概率论与数理统计习题集与答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论得基本概念§1 、1 随机试验及随机事件1、 (1) ⼀枚硬币连丢3次,观察正⾯H ﹑反⾯T 出现得情形、样本空间就是:S= ;(2) ⼀枚硬币连丢3次,观察出现正⾯得次数、样本空间就是:S= ;2、(1) 丢⼀颗骰⼦、 A:出现奇数点,则A= ;B:数点⼤于2,则B= 、(2) ⼀枚硬币连丢2次, A:第⼀次出现正⾯,则A= ;B:两次出现同⼀⾯,则= ; C:⾄少有⼀次出现正⾯,则C= 、§1 、2 随机事件得运算1、设A 、B 、C 为三事件,⽤A 、B 、C 得运算关系表⽰下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发⽣表⽰为: 、(2)A 与B 都发⽣,⽽C 不发⽣表⽰为: 、(3)A 与B 都不发⽣,⽽C 发⽣表⽰为: 、(4)A 、B 、C 中最多⼆个发⽣表⽰为: 、(5)A 、B 、C 中⾄少⼆个发⽣表⽰为: 、(6)A 、B 、C 中不多于⼀个发⽣表⽰为: 、2、设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则(1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。
§1 、3 概率得定义与性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= 、2、已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 、§1 、4 古典概型1、某班有30个同学,其中8个⼥同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个⼥同学得概率,(2)最多有2个⼥同学得概率,(3) ⾄少有2个⼥同学得概率、2、将3个不同得球随机地投⼊到4个盒⼦中,求有三个盒⼦各⼀球得概率、§1 、5 条件概率与乘法公式1.丢甲、⼄两颗均匀得骰⼦,已知点数之与为7, 则其中⼀颗为1得概率就是。
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。