2020年高考数学二轮复习立体几何第一章《空间直线、平面平行垂直》讲义案及拔高题型归纳附答案解析
部编版2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例2 空间中的平行与垂直学案
1 规范答题示例2 空间中的平行与垂直
典例2 (14分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用中位线定理取PD的中点M――→考虑平行关系长度关系
平行四边形AEFM―→AM∥EF――→线面平行的判定定理EF∥平面PAD
(2)平面PAD⊥平面ABCDPA⊥AD―――→面面垂直的性质PA⊥平面ABCD―→PA⊥DE――――――――→正方形ABCD中E，H为AB，BC中点DE⊥AH――――→线面垂直的判定定理DE⊥平面PAH――――→面面垂直的判定定理平面PAH⊥平面DEF 2
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板
证明 (1)取PD的中点M，连结FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝12CD.
∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝12CD，
∴AE∥FM且AE＝FM，
∴四边形AEFM为平行四边形，
∴AM∥EF，4分
∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD.7分
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，
10分
∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH，
∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.14分 第一步
找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直.
2020届高考数学大二轮复习层级二专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直教学案
- 1 - 第2讲 空间中的平行与垂直
[考情考向·高考导航]
(文)高考对本讲命题较为稳定，解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．
(理)高考对本讲命题较为稳定，常以解答题第(1)问的形式考查，主要是线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中等．
[真题体验]
1．(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，
点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
解：(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°，由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.
所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.
2．(2019·江苏卷)如图，
- 2 - 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.
2020高考数学二轮专题复习立体几何(理)
立体几何（理）
考纲解读 】
1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推 论的简单应用。
2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握 证明空间两直线平行及角相等的方法。
4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面 直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。
5. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 ; 了解空间向量的基本定理，理解
空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ; 掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌 握用直角坐标计算空间向量数量积公式 .
6. 了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念 . 掌握棱柱 , 棱锥的性质 , 并会灵 活应用 , 掌握球的表面积、体积公式 ; 能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所 表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 .
7. 空间平行与垂直关系的论证 .
8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决 有关问题 ,
进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题 .
9. 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法 （如：直接法、转化法、向量法） . 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量 表示的情况）和距离公式计算距离 .
【 考点预测 】
在 2020 年高考中立体几何命题有如下特点：
1. 线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．
2. 多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．
3. 多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．
4. 有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在 17---22 分之间，题型一般为 1 个选择题， 1 个填空题， 1 个解答题 .
人教A版2021届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(拔高)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直
1 第一章空间直线、平面平行垂直
一、考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
二、命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
三、知识点精讲
(一).直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9 2 文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
11lllll∥∥
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 aa∥∥
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 lllll∥∥
(二).两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则∥ 3 2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：空间中的平行与垂直含解析
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2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：空间中的平行与垂直含解析
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教学资料范本
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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
专题能力训练第34页
一、能力突破训练
1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是( )
A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1
答案:D
解析:易知A1C1⊥平面BB1D1D.
∵B1O⊂平面BB1D1D,
∴A1C1⊥B1O,故选D.
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
答案:A
解析:如图,易知PA,PE,PF两两垂直,
∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,
∴EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.
3.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
3 / 10 答案:②③④
解析:对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.
2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案
1 第2讲 空间中的平行与垂直
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．
热点一 空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1 (1)(2018·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是( )
A．若l∥m，则必有α∥β
B．若l⊥m，则必有α⊥β
C．若l⊥β，则必有α⊥β
D．若α⊥β，则必有m⊥α
答案 C
解析 对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交且不垂直或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α平行或相交，所以选项D错误．
(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( ) 2
A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交
D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行
答案 B
解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，而BD⊂β，AC⊄B，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故选B.
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直(中档)
第一章空间直线、平面平行垂直
一、考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
二、命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
三、知识点精讲
(一).直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9 文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
11lllll∥∥
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 aa∥∥
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 lllllI∥∥
(二).两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若I,则∥ 2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
2020届高考数学大二轮复习 专题题型2解答题 立体几何第1课时空间中线、面平行和垂直关系的证明练习文
- 1 - 第1课时 空间中线、面平行和垂直关系的证明
[考情分析] 立体几何的解答题着重考查线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.
热点题型分析
热点 综合法证明平行和垂直
1．线、面平行问题解题策略
(1)证明线面平行：利用线面平行的定义、判定定理，面面平行的性质定理、性质等；
(2)证明面面平行：利用面面平行的定义、判定定理、垂直于同一直线的两个平面平行、平行于同一平面的两个平面平行；
(3)利用线线、线面、面面平行的相互转化．
2．线、面垂直问题解题策略
(1)证明线线垂直：利用图形中的垂直关系、等腰三角形底边中线的性质、勾股定理、线面垂直的性质；
(2)证明线面垂直：利用判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的性质；
(3)证明面面垂直：利用判定定理、证明直二面角；
(4)利用线线、线面、面面垂直的相互转化．
(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
证明 (1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED．
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1， - 2 - 所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．
又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
1．利用综合法证明平行和垂直的步骤如下：
(1)巧转化：根据图形与已知条件，通过转化寻找证明平行或垂直所需要的条件；
(浙江专用)最新2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间几何体学案
1 第1讲 空间几何体
[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
热点一 三视图与直观图
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．
例1 (1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(
)
答案 A
解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案 2＋22
解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E， 2
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22.
而四边形AECD为矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22＋1.
由此可还原原图形如图所示．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，
B′C′＝22＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积为S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′
＝12×1＋1＋22×2＝2＋22.
思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(拔高)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直
第一章空间直线、平面平行垂直
一、考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
二、命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
三、知识点精讲
(一).直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9 文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
11lllll∥∥
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 aa∥∥
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 lllllI∥∥
(二).两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若I,则∥ 2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）