河北省保定市普通高中2021届高三上学期摸底考试数学答案
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河北省保定市普通高中
2021届高三毕业班上学期摸底考试
数学试题参考答案
2020年10月
一、 单选题
1-4 CBAC
5--8 CBBA
二、选择题
9.AD 10.BCD 11.AD 12.BCD
三、填空题
13. 43； 14. 3； 15. 1 16. -12
四、解答题
17.解：（1）1tan,0cossinxxxnmnm，……………（3分）
由2,0x，所以4x …………（4分）
（2）12cossincosxxnmnm)4sin(x………………………（6分）
)22,22(cos,44420xx
………………………（8分）
,0
，由于余弦函数图象得
43,
4
………………………（10分）
18.（1）解：设等比数列na的公比为q
选①；0)1)(2(,6)1(223213qqqqaaaS,
122,2,1n
n
aqq
河北省邯郸市2021-2022学年高三上学期开学摸底考试数学试题及答案
-1 -邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷数学 参考答案1.A2.D3.B4.A5.B6.B7.A8.B9.B D 10.A B D 11.B D 12.A B C13.-32 14.-14 23 15.2022 16.112π17.ʌ解析ɔ(1)a n +1-2n +1()-a n -2n ()=a n +1-a n -2n =2(与n 无关),3分…………………………………故数列a n -2n {}为等差数列,且公差d =2.可知,a n -2n =a 1-2()+n -1()d =2n -2;5分…………(2)由(1)得a n =2n +2n -2,7分……………………………………………………………………………所以b n =2a n +2-2n ()=2n +1,8分…………………………………………………………………………所以{b n }为首项是4,公比q =2的等比数列,则S n =b 11-q n ()1-q =41-2n ()1-2=2n +2-4.10分…………18.ʌ解析ɔ(1)体育不合格体育合格合计男10060160女11030140合计210903002分……………………………………………………………………………………………………………K 2的观测值k =300ˑ(100ˑ30-110ˑ60)2210ˑ90ˑ140ˑ160ʈ9.2<10.828,所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为体育合格 与性别有关;4分……………………(2)易知,所抽取的9名学生中,男生为9ˑ6090=6名,女生为3名.X 可取0,1,2,3,且P (X =0)=C 33C 39=184,P (X =1)=C 16C 23C 39=314,6分……………………………………P (X =2)=C 26C 13C 39=1528,P (X =3)=C 36C 39=521.8分……………………………………………………………所以X 的分布列为:X0123P 184314152852110分……………………………………………………………………………………………………………所以E (X )=0ˑ184+1ˑ314+2ˑ1528+3ˑ521=2.12分……………………………………………………19.ʌ解析ɔ(1)因为B =60ʎ,所以c o s B =12,s i n B =32,由余弦定理知:b 2=a 2+c 2-2a c c o s B ,-2 -即100=a 2+c 2-a c ȡ2a c -a c ,即a c ɤ100,3分……………………………………………………………当且仅当a =c 时取等号.所以әA B C 的面积S =12a c s i n B ɤ12ˑ100ˑ32=253,所以әA B C 的面积的最大值为253;5分………………………………………………………………………………………(2)由正弦定理得s i n C ㊃s i n π-A 2=22s i n A ㊃s i n C ,因为s i n C ʂ0,所以2s i n π-A 2=s i n A .即2c o s A 2=2s i n A 2㊃c o s A 2,7分……………………………因为c o s A 2ʂ0,故s i n A 2=22,由于0<A <π,所以A =90ʎ,9分…………………………………………因为s i n B =32=b a ,所以a =2033,所以c =a ㊃c o s B =1033,11分……………………………………所以周长为a +b +c =2033+10+1033=10+103.12分………………………………………………20.ʌ解析ɔ(1)椭圆过点3,12(),即3a 2+14b 2=1,2分…………………………………………………………又2c =23,得a 2=b 2+3,所以a 2=4,b 2=1,即椭圆方程为x 24+y 2=1;4分……………………………(2)由x 24+y 2=1y =k x +m {,得1+4k 2()x 2+8k m x +4m 2-4=0,6分………………………………………………由Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=-16m 2+64k 2+16>0,得m 2<1+4k 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,设A B 的中点M 为x 0,y 0(),得x 0=-4k m 1+4k 2=12,即1+4k 2=-8k m ,所以y 0=k x 0+m =12k -1+4k 28k =-18k .8分………………………………………………………………所以A B 的中垂线方程为y +18k =-1k x -12(),即y =-1k x -38(),故A B 的中垂线恒过点N38,0().12分……………………………………………………………………………………………………………21.ʌ解析ɔ(1)由C B =C E ,设B E 的中点为O ,连接P O ,则P O ʅB E ,又二面角P -E B -C 为直二面角,故P O ʅ平面A B C D ,设B C =a ,则P O =22a ,又A B =2,得三棱锥P -A B E 的体积V =13P O ˑ12A B ㊃B C =26,即13ˑ22a ˑ12ˑ2ˑa =26,得B C =a =1,3分………………………………………………………………于是由A E =B E =2,所以A B 2=A E 2+B E 2,所以A E ʅB E ,又平面P E B ʅ平面A B E D ,得A E ʅ平面-3 -P E B ,则A E ʅP B ,又P B ʅP E ,且A E ɘP E =E ,所以P B ʅ平面P E A ,由P B ⊂平面P A B ,故平面P A Bʅ平面P A E ;5分……………………………………………………………………………………………(2)以B E 的中点O 为坐标原点,以O P 的方向为z 轴正方向,过点O 分别作A B 和A D 的平行线,分别为x 轴和y 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A 32,12,0(),D 32,-12,0(),B -12,12,0(),P 0,0,22æèçöø÷,A D ң=(0,-1,0),A P ң=-32,-12,22æèçöø÷,A B ң=(-2,0,0),7分……………设n =x 1,y 1,z 1()为平面A D P 的法向量,则有n ㊃A D ң=0n ㊃A P ң=0{,即-y 1=0,-32x 1-12y 1+22z 1=0,{可取n =23,0,1æèçöø÷,9分……………………………………………………设m =x 2,y 2,z 2()为平面A B P 的法向量,则有m ㊃A B ң=0m ㊃A P ң=0{,即-2x 2=0-32x 2-12y 2+22z 2=0{,可取m =0,2,2(),11分……………………………………………………………………………………………………………所以c o s <n ,m >=n ㊃m n m =3311,由图形知二面角B -P A -D 为钝角,其余弦值为-3311.12分………22.ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=2e x -x 2,f'(x )=2e x -2x ,设g (x )=f '(x )=2e x -2x ,则g '(x )=2e x -2,令g '(x )=0,得x =0,2分……………………………………………………………………………………所以g (x )在区间(-ɕ,0)上单调递减,在区间(0,+ɕ)上单调递增,所以g (x )m i n =g (0)=2-0=2,即f '(x )ȡ0对任意x ɪR 恒成立,所以函数f (x )为增函数;4分………………………………………………………………………………(2)先证对任意x ɪ[0,+ɕ),e x ȡx 2+1.令p (x )=e x -x 2-1,p'(x )=e x -2x =m (x ),m '(x )=e x -2.6分………………………………………令m '(x )=0,得x =l n 2,所以m (x )在区间(-ɕ,l n 2)上单调递减,在区间(l n 2,+ɕ)上单调递增,所以m (x )ȡm (l n 2)>0,8分………………………………………………………………………………所以p '(x )>0,所以p (x )在[0,+ɕ)上单调递增,所以p (x )ȡp (0)=0,所以e x ȡx 2+1,x ɪ[0,+ɕ).10分………………………………………………当a >1时,f (x )-c o s x =a e x -x 2-c o s x >e x -x 2-c o s x ȡx 2+1-x 2-c o s x =1-c o s x ȡ0,即f (x )>c o sx 对于任意的x ɪ[0,+ɕ)恒成立.12分……………………………………………………。
河北省保定市2021届高三上学期期末考试数学(文)试题
【市级联考】河北省保定市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足2512z i =+，则z =（ ）A ．32i +或32i --B ．32i -或32i -+C ．12i +或12i -D ．13± 2．函数14()2x y x =-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 3．已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ）A ．//a α，//b αB ．//a α，b β//，//αβC ．a α⊥，b β⊥，//αβD ．αβ⊥，a α⊥，b β// 4．定义运算,,b a b a b a a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数2()1log f x x =⊕的图像是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则m +n ≠5的概率是( )A ．19B ．89C ．16D ．566．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．277．若双曲线22:13x y C m -=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．328．在ABC ∆中，若(1,2)AB =，(,2)AC x x =-（0x >），则当BC 最小时，ACB =∠（ ）A ．090B ．060C ．045D ．0309．已知函数32()2'(1)2f x x x f =++，且图像在点2x =处的切线的倾斜角为α，则3sin()cos()22ππαα+-的值为（ ） A ．316 B ．316- C ．417 D ．417- 10．在数列{}n a 中，若11a =，23a =，21(1)n n n a a a n ++=-≥，则该数列的前100项之和是（ ）A ．18B ．8C ．5D ．211．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，230PB PC PA ++=，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，记红豆落在PBC ∆内的概率为PBC P ∆，落在PAC ∆内的概率为PAC P ∆，，则PBC PBA PAC P P P ∆∆∆=（ ）A ．16B ．112C ．518D ．13612．已知,[,]44ππαβ∈-且0cos cos αββα->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ>B ．αβ<C ．||||αβ<D ．||||αβ>二、填空题13．已知集合{|11}M x x =-<<，{|0}1x N x x =≤-，则M C N =__________．（用区间表示）14．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x ＝0，则开始时输入的x 的值为____________15．设实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z kx y =-的最大值为16，则实数k =__________．16．已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 的切线方程为0022:1x x y y l a b+=，若l 分别交,x y 轴于,A B 两点，则当||AB 最小时，||OP =__________．（O 为坐标原点）三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.（1）求A ；（2）若3a =，2b =，求ABC ∆的面积.18．设2(,2)a x =-，(3,)b x =，()f x a b =，数列{}n a 的前n 项和n S ，点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()y f x =的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求满足21n m T >（*n N ∈）的最大正整数m . 19．如图，正三棱柱111ABC A B C ﹣中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长12AA ＝，底面边长1AB ＝，N 是1CC 的中点．（1）求证：平面1ANB ⊥平面11AA B B ；（2）求三棱锥1B ANB ﹣的高．20．为了积极支持雄安新区建设，鼓励更多优秀大学生毕业后能到新区去，某985高校组织了一次模拟招聘活动，现从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，并按成绩分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示，（由于某种原因，部分直方图不够清晰），同时规定成绩不低于90分为“优秀”，成绩低于90分为“良好”，且只有成绩“优秀”的学生才能获得专题测试资格.（1）若已知分数段[90,95)与[95,100]的人数比为2:1，请补全损坏的直方图；（2）如果用分层抽样的方法从成绩为“优秀”和“良好”中选出10人，设甲是选出的成绩“优秀”中的一个，若从选出的成绩“优秀”的学生中再任选2人参加两项不同的专题测试（每人参加一种，二者互不相同），求甲被选中的概率.21．设点53P(,)22在以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过2F 作直线m 交C 于两点,A B ，交y 轴于M 0(0,)y ，若12MA AF λ=，22MB BF λ=，且121λλ=，求0y .22．已知函数()3ln a f x x x x=++，且函数()f x 的图像在点1x =处的切线与y 轴垂直. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间3[,2]t t+上的最小值为()F t ，试求()F t 的最小值.参考答案1．A【解析】【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．【详解】设z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，∴225212a bab⎧-=⎨=⎩，解得32ab=⎧⎨=⎩或32ab=-⎧⎨=-⎩．∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2．B【解析】【分析】由于连续函数f（x）满足f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4•（12）x的零点所在区间．【详解】∵y＝x﹣4•（12）x为R上的连续函数，且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数y＝x﹣4•（12）x的零点所在区间为：（1，2），故选：B．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．3．C【解析】【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确；在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．4．C【解析】【分析】根据新定义可得函数1⊕log 2x 就是取1与log 2x 中较大的一个即可判断．【详解】从定义运算a ⊕b ()()b a b a a b ⎧≤⎪=⎨⎪⎩＞上看，对于任意的a 、b ，a ⊕b 实质上是求a 与b 中最大的， ∴1⊕log 2x 就是取1与log 2x 中较大的一个，∴对于对数函数y ＝log 2x ，当x ≥2，log 2x ≥1，∴当0＜x ＜2时，f （x ）＝1．故选：C ．【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题．5．B【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法能求出m +n ＝5包含的基本事件有4个，由此利用对立事件概率计算公式能求出m +n ≠5的概率．【详解】连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，基本事件总数n ＝6×6＝36，m +n ＝5包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，∴m +n ≠5的概率是p ＝148369-=． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以3为边长的长方形，高为4，分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案．【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4，故S 四棱锥ABCD 12ABE CBE CDE ADE S S S S S 四边形=++++=⨯4×3+12⨯5×312+⨯5×312+⨯4×3+3×3＝36． 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键．7．C【分析】先求出抛物线y2＝8x的焦点坐标，由此得到双曲线C：223x ym-=1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．【详解】∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），双曲线C：223x ym-=1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴c＝2，b2＝3，m＝1，∴e21ca===2．故选C．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．8．A【分析】由已知BC AC AB=-可求BC的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小时的x，结合向量数量积的性质即可求解．【详解】∵AB=（1，2），AC=（﹣x，2x）（x＞0），∴BC AC AB=-=（﹣x﹣1，2x﹣2），∴|BC|==令y＝5x2﹣6x+5，x＞0根据二次函数的性质可知，当x35=，y min165=，此时BC最小，∴3655CA⎛⎫=-⎪⎝⎭，，CB=（85，45），38645555CA CB ⋅=⨯-⨯=0，∴CA CB ⊥，即C ＝90°， 故选A ． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求解能力，是基础题． 9．D 【分析】先对函数进行求导，求出f ′（1），然后根据导数的几何意义求出切线斜率 k ＝f ′（2）＝tanα，然后根据诱导公式及同角基本关系可得sin （2π+α）cos （32π-α）＝﹣cos αsin α2221sin cos tan sin cos tan αααααα-=-=-++，代入可求． 【详解】∵f （x ）＝x 3+2x 2f ′（1）+2， ∴f ′（x ）＝3x 2+4xf ′（1）， ∴f ′（1）＝3+4f ′（1），即f ′（1）＝﹣1，f ′（x ）＝3x 2﹣4x ，∴图象在点x ＝2处的切线的斜率k ＝f ′（2）＝4＝tanα， 则sin （2π+α）cos （32π-α） ＝﹣cosαsin α22sin cos sin cos αααα=-+ 21tan tan αα=-+417=-，故选D ． 【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用． 10．C【分析】先分别求出{a n }的前9项，观察这9项知a n 是周期为6的周期函数，由此能求出{a n }前100项之和． 【详解】∵a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝a n +1﹣a n （n ∈N *）， ∴a 3＝3﹣1＝2， a 4＝2﹣3＝﹣1， a 5＝﹣1﹣2＝﹣3， a 6＝﹣3+1＝﹣2， a 7＝﹣2+3＝1， a 8＝1+2＝3， a 9＝3﹣1＝2， …∴a n 是周期为6的周期函数， ∵100＝16×6+4，∴S 100＝16×（1+3+2﹣1﹣3﹣2）+（1+3+2﹣1）＝5． 故选C ． 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意周期性和递推式的合理运用． 11．D 【分析】根据2PB +30PC PA +=，计算出△P AB ，△P AC ，△PBC 面积的关系，求出概率，作积得答案． 【详解】如图，令12PB PB =，13PC PC =，1PA PA =．则P 为△A 1B 1C 1 的重心，∴111111PA B PA C PB C S SS==，而1112PABPA B SS =，1113PACPA C SS =，1116PBCPB C SS =．∴2S △P AB ＝3S △P AC ＝6S △PBC ，∴12PAB P =，13PAC P =，16PBC P =． 则P △PBC P △PBA P △P AC 111123636=⨯⨯=．故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档． 12．A 【解析】 【分析】由已知得αcos α＞βcos β，令f （x ）＝x cos x （04x π≤≤），利用导数结合奇偶性可得f （x ）＝x cos x 在[4π-，4π]上为增函数，则答案可求． 【详解】 ∵α，β∈[4π-，4π]，∴cosα＞0，cosβ＞0， 由cos cos αββα-＞0，得αcos α﹣βcos β＞0，则αcos α＞βcos β，令f （x ）＝x cos x （04x π≤≤），则f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ≥cos x ﹣sin x ≥0．∴f （x ）＝x cos x 在[0，4π]上为增函数， 而f （x ）＝x cos x 为奇函数，可得f （x ）＝x cos x 在[4π-，4π]上为增函数． 又αcos α＞βcos β， ∴α＞β． 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．13．（-1,0） 【分析】化简集合N ，根据补集与交集的定义写出． 【详解】M ＝{x |﹣1＜x ＜1}＝（﹣1，1），N ＝{x |1xx ≤-0}＝[0，1）， 则∁M N ＝（﹣1，0）， 故答案为（﹣1，0）． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 14．78【解析】 【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可． 【详解】第一次输入x ＝x ，i ＝1 执行循环体，x ＝2x ﹣1，i ＝2，执行循环体，x ＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3，i ＝3， 执行循环体，x ＝2（4x ﹣3）﹣1＝8x ﹣7，i ＝4＞3， 输出8x ﹣7的值为0，解得：x 78=， 故答案为：78． 【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案． 15．3 【解析】 【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k 进行分类讨论，通过平移直线z ＝kx +y 得到最大值点A ，即可得到答案．【详解】实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如图：240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩得：A （4，4）， 同样地，得B （0，2），z ＝kx +y ，即y ＝﹣kx +z ，分k ＞0，k ＜0两种情况． 当k ＞0时，目标函数z ＝kx +y 在A 点取最大值，即直线z ＝kx +y 在y 轴上的截距z 最大，即16＝4k +4，得k ＝3； 当k ＜0时， ①当k 12-＞时，目标函数z ＝kx +y 在A 点（4，4）时取最大值， 即直线z ＝kx +y 在y 轴上的截距z 最大， 此时，16＝4k +4， 故k ＝3． ②当k 12≤-时，目标函数z ＝kx +y 在B 点（0，2）时取最大值， 即直线z ＝kx +y 在y 轴上的截距z 最大， 此时，16＝0×k +2， 故k 不存在． 综上，k ＝3． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义． 16【分析】利用切线求得A 、B 两点坐标，表示出2AB ，再利用2200221x y a b+=，结合基本不等式求得22()AB a b ≥+，再利用AB 最小时的条件求得320a x a b =+，320b y a b=+，即可求解. 【详解】因为点()00,P x y 的切线方程为0022:1x x y yl a b+=，若l 分别交,x y 轴于,A B 两点，所以A （20a x ，0），B （0，20b y ），2AB ∴=22OA OB +=442200a b x y +，又 点P ()00,x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，∴有2200221x y a b+=，2AB ∴=22424444220002222222200000(x y b x a b a b a b x y x y a b y a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+420220a y x b)()2222()a b ab a b ≥++=+，当且仅当420220b x y a =420220a y x b时等号成立，4242002222004422200()b x a y y ax b a b a b x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩， 解得320a x a b =+，320b y a b=+，332200a b x y a b a b ∴+=+++=33a b a b ++=22a b ab +-，OP ∴=.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件，考查了逻辑推理及运算能力，属于难题． 17．（1）2π3 （2【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a 2＝b 2+c 2+bc ．由余弦定理可得：cos A 12=-，结合范围A ∈（0，π），可求A 23π=． （2）由已知利用余弦定理c 2+2c ﹣5＝0，解得c 的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为222sin =sin +sin +sin sin A B C B C ， 由正弦定理得222a b c bc =++.再由余弦定理得2221cos -22b c a A bc +-==，又因为 ()0,πA ∈，所以 2π3A =． （2）因为a =3，2b =，2π3A =代入222a b c bc =++得2+250c c -=, 解得c =.故△ABC的面积1sin 2S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）a n ＝6n －5 （n *∈N ） （2）8 【分析】（1）根据f （x ）＝3x 2﹣2x ，由（n ，S n ）在y ＝3x 2﹣2x 上，知S n ＝3n 2﹣2n ．由此能求出数列{a n }的通项公式． （2）由()()133111656126561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，知T n111111111127713131965612n n ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪-+⎝⎭（1－161n +），根据11126121m n （－）>+（*n N ∈）对*n N ∈恒成立,当且仅当3721m >，由此能求出所有n ∈N *都成立的m 的范围． 【详解】（1）因为()·f x a b =＝3x 2－2x. 又因为点()()*,n n S n N∈ 均在函数()y f x =的图像上，所以nS＝3n 2－2n.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－()()23121n n ⎡⎤---⎣⎦＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝1，所以，a n ＝6n －5 （*n N ∈）.（2）由（1）得知13n n n b a a +=＝11126561n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， 故T n ＝1ni i b =∑ ＝12111111...77136561n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝12（1－161n +），且T n 随着n 的增大而增大因此，要使12（1－161n +）21m >（*n N ∈）对*n N ∈恒成立,当且仅当n=1时T 1=3721m >， 即m<9，所以满足要求的最大正整数m 为8. 【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．易错点是基础知识不牢固，不会运用数列知识进行等价转化转化．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件． 19．（1）见解析 （2）7【分析】（1）取AB 中点O ，A 1B 1中点M ，连结OC 、OM ，以O 为原点，OC 为x 轴，OM 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB 1⊥平面AA 1B 1B ． （2）求出平面ABN 的法向量，利用向量法能求出三棱锥B 1﹣ANB 的高． 【详解】（1）取AB 中点O ，A 1B 1中点M ，连结OC 、OM ， ∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中（底面为正三角形， 侧棱垂直于底面），侧棱长AA 1＝2，底面边长AB ＝1，N 是CC 1的中点． ∴以O 为原点，OC 为x 轴，OM 为y 轴，OC 为z 轴， 建立空间直角坐标系， A （12，0，0），N （0，1）， B 1（12-，2，0）， AN =（112-），1AB =（﹣1，2，0）， 设平面ANB 1的法向量n =（x ，y ，z ），则120102n AB x y n AN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 取y ＝1，得n =（2，1，0），平面AA 1B 1B 的法向量m =（0，0，1），∵n m ⋅=0，∴平面ANB 1⊥平面AA 1B 1B ． （2）B （12-，0，0），AB =（﹣1，0，0）， 设平面ABN 的法向量m =（x ，y ，z ），则01022m AB x m AN x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取z ＝2，得m =（0，2）， ∴点B 1到平面ANB 的距离d 12377AB m m⋅===． ∴三棱锥B 1﹣ANB【点睛】本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（1） 见解析（2）23【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，由分数段[90，95）与[95，100]的人数比为2：1，求出分数段[90，95）与[95，100]对应的小矩形有高分别为0.02，0.01，由此能求出补齐损坏的直方图．（2）由频率分布直方图得[90，100]的频率为0.3，用分层抽样的方法从成绩为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，由此能求出甲被选中的概率．【详解】（1）根据题意得良好学生的人数为100×（0.01+0.07+0.06）×5=70人,所以 优秀学生的人数为100-70=30人又因为分数段[)90,95与[]95,100的人数比为2:1，所以两分数段的分数分别为20人和10人.故补齐后的直方图如图所示（2）由频率分布直方图得：[90，100]的频率为：1﹣（0.01+0.07+0.06）×5＝0.3，∴用分层抽样的方法从成绩为“优秀”和“良好”中选出10人，其中选中“优秀”的学生有3人，选中“良好”的学生有7人，设甲是选出的成绩“优秀”中的一个，从选出的成绩“优秀”的学生中再任选2人参加两项不同的专题测试，基本事件总数n 233C ==，甲被选中包含的基本事件个数m 1112C C ==2．∴甲被选中的概率p 23m n ==． 【点睛】 本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21．（1）22x y 1106+= （2）【分析】（1）由PF 1+PF 2＝，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，即可求得λ1+λ2为定值．【详解】（1）因为点P 5322（，）在以()()122,0,2,0F F -为焦点的椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>上，所以2a ==所以a =.又因为c=2，所以b =所以椭圆C 的方程为22x y 1106+= （2）设A 、B 、M 点的坐标分别为A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）显然直线m 存在斜率，设直线 m 的斜率为k ，则直线m 的方程是()2y k x =-． 将直线m 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得()2222352020300k x k x k +-+-=, ∴ 21222035k x x k +=+，2122203035k x x k -=+ 又 ∵ 1MA AF λ=2，2MB BF λ=2，将各点坐标代入得1112x x λ=-，2222x x λ=-． 又121λλ=，所以1212121212·==1222)(2x x x x x x x x λλ=----（），解得235k =又点M 在直线()2y k x =-上，所以0y =-2k 5=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．22．（1）()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）7【解析】【分析】（1）由已知求得a ，对f (x)求导，令()'0f x >和()'0f x <求得单调区间.（2）根据区间的定义得到1t >，又由（1）中的单调性，分31t ≤和31t>讨论，分别求得 ()F t ，再求()F t 的最小值即可.【详解】（1）由已知()21'3a f x x x =+- 因为()'1=0f ，所以 4a =故()43ln f x x x x=++. ()2221434'3x x f x x x x+-=+-= ,()0x > 令()'0f x >得1x >（43x <-舍去） 令()'0f x <得01x << ∴ ()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）因为0,t >所以由32t t +>得()2223,14t t t +>∴+> 解得3t <-（舍去）或1t >由（1）知()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞, 所以，若31,t≤ 即3t ≥时，()()17F t f == . 若31,t >即1<t<3时，()3934ln 3t F t f t tt ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， ()93494ln ln 333t t t F t t t t =++=-+， 则()()()22349914'33t t F t t t t -+=--+=， ∴ 1<t<3时，()'F t <0即()F t 单调递减，所以()F t >()37F = 故所求的最小值为7.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
2021-2022学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 经过，两点，则直线l 的倾斜角为( )A. B.C.D. 2.等差数列的前n 项和为，若，则( )A. 37B. 38C. 39D. 403.已知抛物线的焦点为F ，若抛物线上一点P 到y 轴的距离为2，则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，，，点P 满足，则点P 的轨迹的圆心坐标为( )A.B.C.D.5.已知双曲线C ：的一条渐近线与直线l ：垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为( )A. B. C.D.6.已知直线与圆相交于P 、Q 两点，则弦PQ 最短时所在的直线方程是( )A.B.C.D.7.抛物线C ：的焦点为F ，直线m 过点F ，斜率，且交抛物线C 于A ，点A 在x 轴的下方两点，抛物线的准线为l ，O 为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论：①；②平分；③其中正确的结论个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38.正方体的棱长为3，M 为空间一点，N 为底面内一点，且满足，异面直线与BN 所成角为，则线段MN 长度最小值为( )A. B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则两条平行直线之间的距离为C. 若，则D. 若，则直线，一定相交10.已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点P是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是( )A.B. 双曲线的渐近线方程为C. 椭圆的左顶点是双曲线的左焦点D.若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值11.已知数列为等差数列，为的前n项和，若，，则下列结论中正确的是( )A.B.C. 若数列的前n项和为，则D. 若，则的最小值为12.已知三棱锥的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，平面BCD，，，则下列说法中正确的是( )A. 三棱锥的四个面均为直角三角形B. 球O的表面积为C. 直线BD与平面ABC所成角的正切值是D. 平面BMN被球O所截的截面面积是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知，，若，则实数__________.14.阿基米德公元前287年-公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为__________.15.已知数列中，，，则__________.16.已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，，P为右支上一点，且满足，直线交y轴于点Q，若的内切圆的半径为2，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年河北省保定市第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年河北省保定市第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值A.16B.8C.D.4参考答案：B由题意知，即。
所以设公比为，所以，当且仅当，即，所以时取等号，所以最小值为8，选B.2. 抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（）参考答案：D3. 复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)1参考答案：由复数虚部定义：复数的虚部为，得的虚部为，故选.4. 当x＜0时，函数的最小值是（）A． B． 0 C． 2 D． 4参考答案：D考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题．5. 点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的( )A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心参考答案：C【考点】三角形五心．【专题】压轴题．【分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．【解答】解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为△ABC的重心；（2）时，O为△ABC的垂心；（3）时，O为△ABC的内心；（4）时，O为△ABC的外心；故选C【点评】本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=3，故体积V==6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．7. “|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．8. 已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=( )A、-B、-C、-D、-参考答案：C9. 已知，若关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0，恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（e﹣1，e）D．参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性，求出极值，得出方程f（x）=t的解的情况，得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间，利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=，∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时，f′（x）＞0，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当0＜t＜e时，方程f（x）=t有1解，当t=e时，方程f（x）=t有2解，当t＞e时，方程f（x）=t有3解，∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0，恰好有4个不相等的实数根，∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0，e）和（e，+∞）上各有一解，∴，解得e﹣1＜m＜e．故选C．10. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意， =4， =50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，，则实数的值是．参考答案：12. 定义一个对应法则．现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则．当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为．参考答案：13. 已知函数，，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是______.参考答案：【分析】画出函数的图像，讨论图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由，则函数简图如图所示：若函数恰有4个零点，则函数图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.（1）当函数处于①的位置时，点在函数的图象上，有，得；（2）当函数处于②的位置时，此时函数与直线相切，设切点的坐标为，有，解得：，由（1）（2）知实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．14. 函数的部分图象如图所示,则的值分别是_____________、______________.参考答案：略15. 已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：，若“非q且p”为真，则x的取值范围是____________________．参考答案：(－∞，-3)∪(3，＋∞)∪(1,2]略16. 曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为__________．参考答案：y=3x+1考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=e x+x?e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题17. 设a>0,b>0, 若a+b=1，则的最小值是.参考答案：26略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省保定市重点高中2021届高三上学期第三次月考 数学试题
2021届高三上学期第三次月考数学试卷考试范围：一轮复习第一章——第七章；考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1．下列命题中错误的是（）A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()00,x ∃∈+∞00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．00x ∃>使“00ax bx >”是“0a b >>”的必要不充分条件2．函数31()ln 13f x x x =-+的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．33．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=- ，则a 在a b +上的投影为（）A ．13B ．263-C ．63D ．2235．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（）A ．15B ．14C ．16D ．126．设2{|430}A x x x =-+ ，{|(32)0}B x ln x =-<，则A B = （）A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞D ．3(2，3]7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A ．352B ．358C ．92D ．988．已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为5i B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数255i z =-D ．15z =二、多选题（每题5分共20分，多选或错选不得分，少选给3分）9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（）A ．E 为PA 的中点B ．BD ⊥平面PACC ．PB 与CD 所成的角为3πD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4.10．已知函数31()423f x x x =-+，下列说法中正确的有（）A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103-B ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103-C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（）A ．AB AC⊥；B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC 与BD 夹角的余弦值为729145；D ．85AB AC +=12．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每空5分，共20分）13．已知函数2()ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是_____.14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．15．如图所示，,OA OB为两个不共线向量，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈uuu r uur uuu r 则22x y +的最小值为________.16．设cos 2(sin cos )=++z i θθθ，若z 为实数，则θ=________；若z 为纯虚数，则θ=________.五、解答题17．（10分）已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.（1）当2a =时，求(2)f ；（2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.18．（12分）己知向量(),cos 2a m x = ，()sin 2,b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-.（1）当63x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围.19．（12分）在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*132,n n S a a n =+∈N ，10a≠，且________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22n log n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（12分）已知函数()233sin cos sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β.21．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =．（1）证明:BD ⊥平面PAC ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30°，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．22.（12分）已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．B4．C5．A.6．A7．C8．B9．ABD10．ACD11．BD12．ABD （多选题部分分3分）13．12a ≥14．75︒15．1816．4-k ππ，k Z∈4k ππ+，k Z ∈17．（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a >当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a <<综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：312a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=，解得：212a ≤<综上所述：a 的取值范围为(32,11,22⎡⎫⎤⎪⎢⎦⎪⎣⎭18．【详解】解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+.根据()y f x =的图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到3sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得3m =，1n =.()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ 当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x 最大值为2，此时6x π=，()f x 最小值为－1，此时6x π=-.（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位得2sin 22sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令23x t π=-，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图当3sin 12t ≤<时，()g x m =在[]0,2π有两个不同的解∴32sin 223x π⎛⎫≤-<⎪⎝⎭，即32m ≤<.19．【详解】（1）由已知132n n S a a =+，2n ≥时，11132n n S a a --=+.两式相减得到13-=-n n n a a a ，即112n n a a -=-，因为10a ≠，所以数列{}n a 是公比为12-的等比数列，从而1112n n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选①1a ，14，2a 成等差数列，由1a ，14，2a 成等差数列，可得12124a a +=⨯，即111122a a -=，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选②1a ，21a +，3a 成等比数列，1a ，21a +，3a 成等比数列，即1a ，1112a -+，114a 成等比数列，221111124a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选③334S =，334S =，即111113244a a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）2222222222211log log log log 22222n n n n n b a n ---⎛⎫⎛⎫=-=--=-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.则()n 123022(1)2n n n T b b b b n n +-=+++⋅⋅⋅+==-.20．【详解】（Ⅰ）()2233sin cos sin cos 22f x x x x x =-+13sin 2cos 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可知222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈为单调增区间，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，22sin 3α=，又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，由()()()624sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ±=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦.21．【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，O 为BD 的中点，因为PB PD =，所以BD PO ⊥，因为AC PO O = ，所以BD ⊥平面PAC；（2）解：因为BD ⊥平面PAC ，BD 在平面ABCD 内，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，所以PAC ∠为PA 与底面ABCD 所成的角，即30PAC ∠=︒，设PC =2，因为PA PC ⊥，所以23,3,3,4,22PA PE AE AC AD =====,如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则3232(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(0,22,0),(,,3)22A B C D P ,22(0,22,0),(,,3)(22,0,0)22BC CP DC ==--=，uuu r uur uuu r ,设平面PBC 法向量为(,,)n x y z =，则220223022n BC y n CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，则(6,0,1)n =r ，设平面PDC 的法向量为(,,)m a b c =，则220223022n DC a n CP a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1c =，则(0,6,1)m =u r ，所以11cos ,777m n m n m n⋅===⨯u r ru r r u r r ，由图可知二面角B PC D --的平面角为钝角，所以二面角B PC D --的余弦值为17-22．（1）试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->.∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<.∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意.当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意.当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意.1,+∞.综上，a的取值范围为[)。
河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考(新高考)数学试题 Word版含答案
张家口市邢台市衡水市2021届新高三摸底联考数学试卷（新高考）第Ⅰ卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则A B =（ ）．A ．{}3B ．{}2,3C ．{}0,1D ．{}0,1,22．命题“()0,x ∀∈+∞，221xx +≥”的否定是（ ）．A ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +< B ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +≥C ．()0,x ∀∈+∞，221xx +<D ．221xx +≤3．已知复数34i2iz -=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设132a =，3log 2b =，2log 0.1c =，则（ ）． A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知向量m ，n 满足2m n m n +=-，且2m n =，则m 与n 的夹角的余弦值为（ ）．A ．13B ．14C ．16D ．186．函数()()22e cos e 1x xx x f x -=+的大致图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．9B ．10C ．11D ．128．已知斜率存在的直线l 交椭圆C ：22194x y +=于A ，B 两点，点P 是弦AB 的中点，点()1,0M ，且()0MP MB MA ⋅-=，1MP =，则直线MP 的斜率为（ ）．A ．B ．C ．43±D ．34±二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知双曲线E ：2214x y m -=（0m >）的一条渐近线方程为30x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A ．E 的焦点在x 轴上B ．49m =C ．E 的实轴长为6D ．E 10．2020年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G 手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且求得线性回归方程为455y x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．147a =B ．y 与x 正相关C ．y 与x 的相关系数为负数D ．8月份该手机商城的5G 手机销量约为36.5万部 11．已知0a >，0b >，且211a b+=，则（ ） A ．1b >B ．8ab ≤C ．224112a b +≥D ．28a b +≥12．已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()()sin 2g x x θ=+（π0π-<<）的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是（ ）． A ．π4θ=B ．直线π8x =是()g x 的图象的一条对称轴 C ．()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()g x 的图象可看作是()f x 的图象向左平移π4个单位长度而得到的 第Ⅱ卷三、填空题：13．若曲线()32f x ax x =-在点()()2,2f 处的切线的斜率为1，则a =______． 14．已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______，22cos 2sin 2cos ααα=-______． 15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．16．已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1AB BC CA ===，2PA =，则当点P 到平面ABC 的距离取最大值时，球O 的表面积为______．四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．在①5cos 3cos 3cos b B a C c A -=；②3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-；③2π2cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭（0π02B <<），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若7a c +=，ABC △的面积为4，______，求sin B 及b ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8390S S -=，26a =． （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2033nT =，求n 的值． 19．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．33BC AB AD ==，M 为线段BD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面AFM ；（2）求平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD △的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 21．2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2263，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，并已求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，B ，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．22．已知函数()sin cos 1f x x x x =+-，()()214g x x f x =-． （1）求()f x 在区间()0,2π上的极值点；（2）证明：()g x 恰有3个零点．2021届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则一、单项选择题1．D 【解析】∵{}2B x x =≤，∴{}0,1,2AB =．故选D ．2．A 【解析】命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为：()00,x ∃∈+∞，02021x x +<．故选A ．3．D 【解析】∵()52i 34i 2i 2i 5z +-===+-，∴2i z =-，它在复平面内对应的点()2,1-位于第四象限．故选D ．4．B 【解析】∵13221a =>=，33log 2log 31b =<=，且0b >，22log 0.1log 10c =<=，∴a b c >>．故选B ．5．B 【解析】∵2m n m n +=-，∴2222244m n m n m n m n ++⋅=+-⋅，∴212m n n ⋅=． 设向量m 与n 的夹角为θ，则22112cos 24nm n m n n θ⋅===．故选B ． 6．C 【解析】因为()()()()2222e cos e cos e1e 1x x xxx x x x f x f x -----===++，所以()f x 为偶函数，排除D ；因为()102f =．所以排除B ；因为()()2422e cos 244cos 221e 1e ef --==++， 而22224cos 250111e e e e-<<<++，所以()()21,0f ∈-，排除A ．故选C ． 7．C 【解析】记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，n S 是关于n 的增函数，而10101102320201210242021S =-=<，11111204720201220482021S =-=>， 所以使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为11．故选C ． 8．D 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线AB 的斜率为k ，不妨令0k >，则22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()1212121211094x x x x y y y y +-++-=，所以1200121122094y y x y x x -⨯+⨯⨯=-，所以00490x y k +=，即0049x k y =-． 由()0MP MB MA ⋅-=，得MP AB ⊥，又001MP y k x =-，所以00004191MP x yk k y x ⋅=-⋅=--，解得095x =．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则4cos 5PMH ∠=， 所以3tan 4PMH ∠=，即34MP k =-，考虑对称性可知，直线MP 的斜率为34±． 故选D ． 二、多项选择题9．AD 【解析】由0m >，可知双曲线E 的焦点一定在x 轴上，故A 正确；根据题意得13b a ==，所以36m =，故B 错误； 双曲线E的实轴长为12=，故C 错误； 双曲线E的离心率3c e a ===，故D 正确． 故选AD ．10．AB 【解析】由表中数据，计算得()11234535x =⨯++++=，所以4535140y =⨯+=， 于是得371041962161405a ++++=⨯，解得147a =，故A 正确；由回归方程中的x 的系数为正可知，y 与x 正相关，且其相关系数0r >，故B 正确，C 错误；8月份时，7x =，32y =（万部），故D 错误．故选AB ．11．ACD 【解析】21110b a b b-=-=>，∴1b >，故A 正确；211a b +=≥8ab ≥，故B 错误；222222412121*********2222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯≥+-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；()21422448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选ACD ．12．ABC 【解析】由题得，()πππππcos 2cos 2sin 2sin 244424g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴π4θ=，故A 正确； ∵ππππsin 2sin 18842g ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴直线π8x =是函数()g x 的图象的一条对称轴，故B 正确； 由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+（k ∈Z ），得π5πππ88k x k +≤≤+（k ∈Z ），当0k =时，π5π88x ≤≤，故()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确； ()πππ3πcos 2sin 2sin 24248f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()π3ππsin 2sin 2884g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()g x 的图象可看作是函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度而得到的，故D 错误． 故选ABC ． 三、填空题 13．14 【解析】∵()232f x ax '=-，∴()21221f a '=-=，解得14a =．14．3，87-【解析】因为π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 111tan 2αα-=+，解得tan 3α=， 所以22222222cos 2cos sin 1tan 8sin 2cos sin 2cos tan 27a a ααααααα--===----．15．180 【解析】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种， 所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 16．16π3【解析】当点P 到平面ABC 的距离最大时，PA ⊥平面ABC ．如图， 以ABC △为底面，PA 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面ABC △的距离112d PA ==． 由正弦定理得ABC △的外接圆半径2sin 603AB r ==︒，所以球O的半径为3R ==，所以球O 的表面积为216π4π3S R ==．四、解答题17．解：若选①：由正弦定理及5sin 3cos 3cos b B a C c A -=， 得()5sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3sin B B A C C A A C B =+=+=， 又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以5cos 3B =，即3cos 5B =，所以4sin 5B ==．因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选②：由正弦定理得及3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-， 得()3sin sin 4sin cos B B C A B +=，即3sin sin 4sin cos B A A B =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以3sin 4cos B B =，结合22sin cos 1B B +=及()0,πB ∈，可解得3cos 5B =，4sin 5B =． 因为114sin 4225ABC S a B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选③：由2π2cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得πcos 410B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 又π02B <<，所以ππ3π444B <+<，所以πsin 04B ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin 410B ⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以ππ4sin sin 441021025B B ⎛⎫=+-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭． 因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1118283390,6,a d a d a d ⎧+-+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得13,3,a d =⎧⎨=⎩∴()3133n a n n =+-⨯=．∴()()1233332222n n n a a n n S n n ++===+． （2）由（1）可得()132113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令2033n T =，得()2203133n n =+，即10111n n =+，解得10n =． 19．解：（1）因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．因为AB AD =，M 线段BD 的中点，所以BD AM ⊥．又AM AF A =，所以BD ⊥平面AFM ．（2）由（1）知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ，AD ，AF 两两垂直．分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．设1AB =，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,3,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1E ，所以()1,1,0BD =-，()0,1,1AE =，()1,3,0AC =，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0,0,AC n AE n ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 即0,30,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1y =，则3x =-，1z =-，则()3,1,1n =--． 由（1）知，()1,1,0BD =-为平面AFM 的一个法向量．设平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角为θ，则cos cos BD n BD n BD n θ⋅=⋅=311110-⨯-+⨯+-⨯=11=． 所以平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为11． 20．解：（1）设(),P x y ，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF xy =--．由12OF MP PF ⋅=，得2x +=28y x =， 即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，易知120y y <，所以122y y =-． ①设直线AB 的方程为1x my =+，联立28,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，128y y m +=， ②128y y =-， ③由①②③解得14x=±，所以1262AB y m =-===． 21．解：（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ，则()0.20.1200.030.5n ++-⨯=，解得2263n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当； ②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2263． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()1222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为1000000.818681860⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有81860瓶． （ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，54-，()()1038.45P Y P Z ==≥()P Z μσ=≥+()112P Z μσμσ=--<<+⎡⎤⎣⎦ ()110.68272=-0.15865=， 由（ⅰ）知()()5 2.638.450.1816P Y P Z ==<<=，所以()410.81860.158650.02275P Y =-=--=，故Y 的分布列为所以每瓶消毒液的平均利润为()100.1586550.818640.02275 5.5885E Y =⨯+⨯-⨯=（元）， 故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．22．解：（1）()cos f x x x '=（()0,2πx ∈），令()0f x '=，得π2x =，或3π2x =． 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．故π2x =是()f x 的极大值点，3π2x =是()f x 的极小值点． 综上所述，()f x 在区间()0,2π上的极大值点为π2x =，极小值点为3π2x =． （2）()()22111sin cos 44g x x f x x x x x =-=+--（x ∈R ）， 因为()00g =，所以0x =是()g x 的一个零点．()()()()()()2211sin cos 1sin cos 44x g x x x x x x x x g x --=+-----=+--=， 所以()g x 为偶函数．即要确定()g x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()g x 的零点个数即可． 当0x >0时()()11cos 12cos 22g x x x x x x '=-=-． 令()0g x '=，即1cos 2x =，π2π3x k =+或5π2π3x k =+（k ∈N ）． π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，又()00g =，所以π03g ⎛⎫< ⎪⎝⎭；π5,π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，且25251ππ03362g ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在区间50,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点．当5π3x ≥时，由于sin 1x ≤，cos 1x ≤． ()()2221111sin cos 11444g x x x x x x x x x t x =+--≥+--=-=． 而()t x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增，()5π03t x t ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭， 所以()0g x >恒成立，故()g x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内无零点，所以()g x 在区间()0,+∞内有一个零点，由于()g x 是偶函数，所以()g x 在区间(),0-∞内有一个零点，而()00g =，综上，()g x 有且仅有三个零点．。
河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考 数学试题
河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考数学试题考试范围：一轮复习前八章 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i2．设集合{}5,3,1,0,1,3U =---，{A x U y =∈=，则UA =（ ）．A ．[]5,3-B ．{}3,1-C ．{}5,3-D ．{}5,3,1,3--3．已知1tan 123πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．13- CD．4．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（ ）A ．45B ．65C ．69D ．105-5．设22(02)()3log (2)x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，则[](2)f f =（ ）试卷第2页，总6页A ．2-B ．1-C ．0D ．86．已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞8．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B．3C．5D二、多选题9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C．6g π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()g x 为奇函数10．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A．若a b⊥，则tan 2θ=B．若b在a上的投影为12-，则向量a与b的夹角为23πC．存在θ，使得||||||a b a b+=+D．a b的最大值为311．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D－中，E，F分别是11AB BC，的中点．有下列结论，其中正确的是（）A．EF与1BB垂直B．EF与平面11BCC B垂直C．EF与1C D所成的角为45°D．//EF平面1111DCBA12．已知抛物线24y x=的准线过双曲线2222:1x yCa b-=(0,a>0b>)的左焦点F，且与双曲线交于,A B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的有（）A．双曲线C的方程为224413yx-=B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C3D．双曲线C的离心率为2三、填空题试卷第4页，总6页13．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为______.14．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +=+，30B =︒，2a =，则ABC ∆的面积为______.15．如图，正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为_______，直线AB 与底面BCD 所成角的余弦值为_______．16．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．五、解答题17．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ； （2）若5c =，11a b +=，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为22的直线方程； （2）求222||||||PA PB PC ++的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*4211n n S n a n N-+=∈．（1）求证：21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列；（2）求和：12231011111a a a a a a +++． 20．如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，CE AB ∥． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1==PA AB ，3AD =，且CD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的正切值．试卷第6页，总6页21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率，过x 轴正半轴一点()0m ,且斜率为l 交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由22．设a R ∈，函数21()ln (1)2f x a x x a x =+++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设21()()(2)2x f x x a x ϕ=--+，若()x ϕ有两个相异零点1x ，2x ，且12x x <，求证：12ln ln 2ln 0x x a +-<.答案第1页，总28页参考答案1．A【解析】【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2．C【解析】【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出.【详解】{A x U y =∈={}2230x U x x =∈--+≥ {}31x U x =∈-≤≤{}3,1,0,1=--，所以{}5,3UA =-．故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．B【解析】【分析】利用三角函数诱导公式tantan 进行求解.【详解】1111tan[()]tan()1212πππαα-+=-+，111tan tan 12123ππαα⎛⎫⎛⎫+=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴. 故选：B【点睛】答案第3页，总28页本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意可得1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案【详解】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题5．B【解析】【分析】先求()2f ，再求[]()(2)4f f f =即可．【详解】解：由已知()2224f ==，则[]()2(2)43log 41f f f ==-=-+． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的求值，是基础题．6．B【解析】【分析】分析函数单调递增，解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，即可得解. 【详解】由题：()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩， 当01x <<时，()ln 0f x x =<，且单调递增； 当1≥x 时，()10f x x =-≥，且单调递增，所以()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩在()0,∞+单调递增， 解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，解得：1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.属于较易题.7．A【解析】【分析】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数， 所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点， 0m <不合题意，当0m >时，20mx >,当()ln 01f x x x =>⇒>，即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切，即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m=， 则有()()20000111,ln ln ln 222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．B【解析】【分析】 先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+， 根据题意513AF BF =，则135b BF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===， 由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--， 即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知221313193c b e a a==+==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值可判断B 、C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项. 【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 . 对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 、C 选项，sin 163g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误，C 选项正确； 对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-， 所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，同时也考查了三角函数图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【解析】【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+， a b D 正确. 【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a bD 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．AD【解析】【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题.【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，由题意可得//EF MN ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ，即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确；因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ，所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角，因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ，所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确；故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题.12．ABD【解析】【分析】根据抛物线24y x =准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ，得到c ，再根据与双曲线交于,A B 两点，且AOB 的面积为32，求得双曲线的方程，再逐项验证. 【详解】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ， 所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点， 所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =， 解得213,24a b ==， 所以双曲线C 的方程为224413y x -=，故A 正确； 双曲线C的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确； 点F 到双曲线C的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13【解析】【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为671a =⨯=.故答案为.【点睛】 本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】【分析】已知条件利用余弦定理求得C ，然后由三角形内角和可得A ，再由等腰三角形得b ，再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵()22a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，120C =︒， ∴30A =︒，∴2b a ==，∴11sin 22sin12022ABC S ab C ∆==⨯⨯︒=【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．15．90° 3【解析】【分析】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F ，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F .空1：因为AC AD BC DB ===，所以CD ⊥AE ，CD ⊥BE ， AE BE ＝E ，,AE BE ⊂平面ABE ，∴CD ⊥平面ABE ，AB平面ABE ，∴CD ⊥AB ，∴异面直线AB 与CD 所成的角为90°； 空2：∵CD ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE ，∴CD ⊥AF ，又AF ⊥BE ，,,CD BE ECD BE =⊂平面BCD ，∴AF ⊥平面BCD ，∴∠ABF 是直线AB 与底面BCD 所成角，正四面体ABCD 中，因为AF ⊥平面BCD ，所以点F 是三角形BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，所以22213()32BF a a a =-= 则333cos 3a BF ABF AB a ∠===．故答案为：90°；33【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.16．10x y -+=【解析】【分析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PD PAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上， 过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PD DPA PAF PA=∠=∠， 所以PD PA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=， 则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±，又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．（1）3C π=；（23【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ；（2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①： 由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=，故ABC 的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题．18．(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为,所以圆心到直线的距,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=. (2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++ ()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.19．（1）证明见解析；（2）1021【解析】【分析】(1)由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥,化简可得()122123n n a a n n n -=≥--即可证得结论; (2)由(1)可求得21n a n =-,利用裂项求和即可得出结果.【详解】解：（1）证明：由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥， 两式相减得()()()123212n n n a n a n --=-≥，即()122123n n a a n n n -=≥--， 在()()*4211n n S n a n N -+=∈中，令1n =，得11a =，故11121231n n a a a n n -====--，即21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列，得证． （2）由（1）知121n a n =-，即21n a n =-， 1223101111111113351921a a a a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯ 1111111201012335192122121⎛⎫=-+-++-=⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.20 【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明线线垂直BA PA ⊥，BA AD ⊥来证明线面垂直，即BA ⊥平面PAD CE BA ,CE ∴⊥平面PAD .（Ⅱ）以A 为原点建立平面直角坐标系，通过法向量之间的夹角余弦，得到二面角的夹角余弦值，再求出其正切值法二：连接PE ，作AH ⊥PE 于H ，找到二面角的平面角为AHB ∠，在直角三角形PAE 中求出线段长度，求出tan AHB ∠，即二面角的正切值.【详解】（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD BA PA ∴⊥BA AD ⊥,,AD PA ⊂平面PAD 且AD PA A ⋂=BA ∴⊥平面PADCE BA ,CE ∴⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CDE ∠为CD 与平面PAD 所成的角，所以45CED ∠=︒又1CD AB ==,90CED ∠=︒1,2DE CE AB AE ∴====连接,PE BE法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系 ()00,0A ，，()0,1,0B () 2,0,0E由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且()0,1,0AB =设平面PBE 的法向量为(),,n x y z = ()()2,1,0,0,1,1BE PB =-=-由,n BE n PB ⊥⊥，得020y z x y -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,2,2n =设所求二面角为θ，则22cos 133AB nAB n θ⋅===⨯⋅sin 3θ∴==sin tan cos θθθ∴== 法二：作AH ⊥PE 于H ，由（I ）知BA PE ⊥，,AH BA ⊂平面AHB ，AH BA A ⋂=PE ∴⊥平面AHB BE ⊂平面AHB ，PE BE ∴⊥AHB ∴∠为所求二面角的平面角在直角三角形PAE 中，1122AH PE AE PA ⋅=⋅AH ∴=tan AB AHB AH ∴∠==21．（1）22162x y +=；（2）存在，m =【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的,,a b c ，得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为)()03y x m x =->，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用0OA OB ⋅=，转化为坐标运算，建立等量关系求m 值.【详解】（1）根据题意，抛物线28y x =的焦点是()2,0，则()2,0F ，即2c =，，即3c e a ==，解可得a =26a =，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m x =->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m -<又0m >，∴0m <<设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.则))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又由以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=，即()212121212410333m x x y y x x x x m +=-++= 即26m =，又023m <<6m ∴=即存在6m =使得以AB 为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.22．（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，构造1212ln x xa x x -=，结论12ln ln 2ln 0x x a +-<，可转化为()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，构造函数21()ln 2g t t t t =--+，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1）(1)()()1a x x a f x x a x x++'=+++=，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；当0a <时，令()0f x '>，解得x a >-，则函数()f x 在区间(0,)a -上是减函数，在区间(,)a -+∞上是增函数.综上得：当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞.（2）由题意得，()ln x a x x ϕ=-.因为1x ，2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根，所以1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()()1212ln ln 0a x x x x ---=，解得1212lnx xa x x -=. 要证：12ln ln 2ln 0x x a +-<，即证：212x x a <，即证：()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即证：()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 令12(0,1)x t x =∈（因为120x x <<），则只需证21ln 2t t t<-+.设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上为减函数，∴()(1)0h t h >=，∴()0g t '>，()g t 在(0,1)为增函数，()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(0,1)上恒成立，∴12ln ln 2ln 0x x a +-<.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.。
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
河北省保定市2021届高三上学期(10月)摸底考试化学答案
保定市 2020年10月底高三摸底考试化学试题答案一、填空题（本题包括13小题，每小题3分，共39分）1.D2.A3.B4.D5.C6.C7.C8.D9.A 10.D 11.B 12.B 13.A二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分，有两个答案的选一个且正确得2分，只要有选错就不得分）14.AB 15.B 16.AD三、非选择题（本题共4小题，共49分）17.（13分）（1）726.5kJ•mol -1（1分，其它每空2分）（-726.5kJ•mol -1 也给分）（2）①变小；不变 ②-93（写成-93kJ•mol -1也给分）（3）① 2N 2H 4(g)+2NO 2(g)=3N 2(g)+4H 2O(g) △H ＝(2c -b) kJ·mol -1 或 -(b -2c) kJ·mol -1②4；减小18.（12分，每空2分）（1）2MoS 2＋7O 2=====高温2MoO 3＋4SO 2 （2）O=C=O ；1.1mol•L -1（3）重结晶（答加热蒸发，冷却结晶也给分）；减少钼的损失（4）MoS 2＋9ClO -＋6OH -===MoO 2－4＋2SO 2－4＋9Cl -＋3H 2O 19.（12分，每空2分）（1）G→F→I ；D→E→C （2）淀粉–KI 溶液变蓝（3）能得到纯度较高的氢氧化钠溶液，避免Cl 2与H 2反应(其他答案合理即可)阳离子；NaOH 溶液20.（12分，每空2分）（1）①检验产物水②在装置A 与B 之间增加装有碱石灰的干燥管，C 后连一碱石灰的干燥管（回答不出C 后……也给分）③取少许样品，加入稀H 2SO 4，若溶液出现蓝色，说明红色物质中含有Cu 2O ，反之则无（2）①正确；硝酸铜分解产生的混合气体中氧气的体积分数与空气中氧气体积分数相当；空气中带火星的木条不复燃，而在NO 2和O 2混合气体中木条复燃，所以NO 2能支持燃烧②y=部分解析： 2．A ．若A 为Fe ，E 为稀HNO 3，则B 为Fe （NO 3）3，D 为Fe （NO 3）2，选项A 错误； B ．若A 为Na 2CO 3，E 为稀HCl ，则B 为CO 2，D 为NaHCO 3，CO 2和NaHCO 3可以相互转化，选项B 正确；C ．若A 为碳，E 为氧气，则B 为CO 2，D 为CO ，CO 2与CO 可以相互转化，选项C 正确；D ．AlCl 3与少量NaOH 溶液反应生成Al （OH ）3，与过量NaOH 溶液反应生成NaAlO 2，符合转化关系，若E 是氨水则不符合，因为AlCl 3与少量氨水和过量氨水反应都生成Al （OH ）3沉淀和NH 4Cl ，选项D 正确。
河北省邯郸市2021届高三上学期(9月)摸底考试数学答案
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