七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十九讲 几何不等式(含答案)

第十九讲 几何不等式趣提引路】已知：如图19－1，三个居民区分别记作A 、B 、C ，邮电局记作O ，它是△ABC 的三条角平分线的交点，0、A 、B 、C 每两地之间有直线道路相连，一邮递员从邮电局出发，走遍各居民区再回到O 点，若AC ＞BC ＞AB .问：哪条路线走的距离最短？并说明理由.图19-1OCA解析 若不考虑顺序，所走路线有三条：OABCO （或OCBA 0）、OBACO （或OCAB 0），OBCAO （或OACBO ），其中OABCO 最短.在AC 上截取AB ´＝AB ，连结OB ´，设三条路线0ABCO ，OBACO ，0BCAO 的距离分别为1d 、2d 、3d ，易证△AOB ≌△A 0´B ，∴B 0＝B 0´ 3d －1d ＝（0B ＋BC ＋CA ＋A 0）－（OA ＋AB ＋BC ＋CO ）＝0B ＋（AC －AB ）－CO ＝0B ´＋（AC －AB ´）－CO ＝0B ´＋B ´C －CO ＞0，∴3d ＞1d ，同理2d >1d .∴路线OABCO 最短.知识拓展】1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较.这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中.2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： （1）三角形任何两边之和大于第三边 （2）三角形任何两边之差小于第三边（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. （4）同一三角形中大边对大角. （5）同一三角形中大角对大边例1 如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE ＝CF .求证：EF ≥12（AD ＋BC ）.图19-2GD 1C 1C BFEDA证明 如图所示，延长AD 至1D ，使D 1D ＝BC ，延长BC 至1C ，使C 1C ，＝AD ，连结1C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形，ABCD 和CD 1D 1C 是两个全等的梯形，在1D 1C 上取一点G 使1D G ＝AE ，连结FG 和EG .由AE ＝CF ，则EF ＝FG ，又EG ＝A 1D ＝AD ＋BC ，∴2EF ＝EF ＋FG ≥EG ＝AD ＋BC . 即EF ＝12（AD ＋BC ）.点评 当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立.证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等关系.例2 如图19-3，△ABC 中，AB ＞AC ，BE 、CF 是中线，求证：BE ＞CF .解析 BE 、CF 不在同一个三角形中，无法比较它们的大小，将BE 平移到FG ，在△GCF 中比较FC 与FG 的大小即可.证明 将BE 、CE 分别平移到FG 、FD ，则四边形EFDC 为□，作FH ⊥BC 于H . ∵AB ＞AC ，且F 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴FB ＞CE . ∴FB ＞FD ，由勾股定理得：HB ＞HD ，即FB ＞FD .又∵GH ＝GB ＋BH ＝EF ＋BH ＝DC ＋BH ＞CD ＋DH ＝CH ， 即GH ＞CH ，∴GF ＞CF .即BE ＞CF .图19-3H G FED CB A图19-4D´DCBA图19-5ca cb a FCBA例3 如图19-4，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为形内一点，∠ADC ＞∠ADB ，求证：DB ＞DC .解析 由于∠ADC 、∠ADB 与BD 、DC 不在同一三角形之中，所以考虑将某一图形绕着某点旋转一定角度，使图中的对应元素不变，使它们能集中在同一个三角形之中.证明 把△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD ´，连接DD ´，则AD ＝AD ´. ∴∠ADD ´＝∠AD ´D ，而∠ADC ＞∠ADB ， ∴∠ADC ＞∠AD ´C .∴∠ADD ´＋∠D ´DC ＞∠AD ´D ＋∠CD ´D . ∴∠D ´DC ＞∠DD ´C .∴CD ´＞DC ，即DB ＞DC .点评 几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变. 例4 如图19-5，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＜a ＋c ，求证：2∠B ＜∠A＋∠C .证明 延长BA 到D ，使AD ＝BC ＝a ，延长BC 到E ，使CE ＝AB ＝c ，连结DE ，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD ＝BE ＝a ＋c . ∴∠BDE ＝∠BED .作DF ∥AC ，CF ∥AD ，相交于F ，连结EF ，则ADFC 是平行四边形. ∴CF ＝AD ＝BC . 又∠FCE ＝∠CBA ，∴△FCE ≌△CBA （SAS ）. ∴EF ＝AC ＝b .于是DE ≤DF ＋EF ＝2b ＜a ＋c ＝BD ＝BE .这样，在△BDE 中，便有∠B ＜∠BDE ＝∠BED .∴2∠B ＜∠BDE ＋∠BED ＝180°－∠B ＝∠A ＋∠C ， 即2∠B ＜∠A ＋∠C .例5 过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19.图19-6GF E D C 2C 1B 2B 1CBA 2A 1A证明 如图19-6，设△ABC 重心为G ，过点G 分别作各边的平行线与各边交点依次为1A 、1B 、2B 、1C 、2C 、2A .连结1A 2A 、1B 2B 、1C 2C ，∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍， ∴1A A ＝1A 1B ＝1B B ， B 2B ＝2B 1C ＝1C C ， C 2C ＝2C 2A ＝2A A .∵BC A A //21，AC B B //21，AB C C //21 ∴图中的9个小三角形全等.即△A 1A 2A ≌△1A 1B G ≌△2B G 1B ≌…≌△2C 1C C .所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线恰好与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A ，重合，则△ABC 被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC 面积的19.若过点G 作的直线不与直线1A 1C 、1B 2C 、2B 2A 重合，不失一般性，设此直线交AC 于F ，交AB 于E ，交1C 2C 于D ，∵G 1B ＝G 2C ，∠E 1B G ＝∠D 2C C ， ∠1B GE ＝∠2C GD ， ∴△1B GE ≌△2C GD .∴EF 分△ABC 成两部分的面积之差等于21C DF DFCC S S △四边形－， 而这个差的绝对值不会超过12C C C S △的面积.从而EF 分△ABC 成两部分的面积之差不大于△ABC 面积的19.综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的19.好题妙解】佳题新题品味 例1 如图19-7.图19-7A ´PDCBA l421解析 本题周旋于根式，那就不易求出最小值，但从式子的特征联想到勾股定理，由数想形，构成直角三角形可使问题迅速解决.解 构造如图19-7所示的Rt △P AC 、Rt △PBD ，使AC ＝1，BD ＝2，PC ＝x ，CD ＝4，且PC 、PD 在直线l 上，则所求最小值转化为“在直线l 上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小”. 取点A 关于l 的对称点A ´，显然有P A ＋PB ＝P A ´＋PB ≥A ´B＝5.5.例2 如图19-8，已知AD 是△ABC 的角平分线，且AB ＞AC ，求证：BD ＞DC .解析 由于AB ＞AC ，所以可在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC ，于是DE ＝DC ，这样把DC 、BD 放入△BDE 中进行比较即可. 证明：∵AD 为角平分线，∴作△ADC 关于AD 为对称轴的△ADE . ∴DC ＝DE ，∠ADE ＝∠ADC .∴∠BED ＞∠ADE ＝∠ADC ＞∠ABD ， ∴∠BED ＞∠EBD .∴BD ＞ED 即BD ＞CD .图19-8E D CBA图19-9DCBA图19-10C B A图19-11E D CB A中考真题欣赏例1 （陕西中考题）如图19-9，已知AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜12（AB ＋AC ）.解析 考虑如何将AB 、AC 、AD 转移到同一个三角形中去，采取中线加倍法.证明 延长AD 至E ，使得DE ＝AD ，连结CE ，则△ABD ≌△ECD ，∴EC ＝AB ，在△ACE 中，AE ＜AC ＋EC .即2AD ＜AB ＋AC ，AD ＜12（AB ＋AC ）.例2 （连云港市中考题）在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，则边AB 的取值范围是（ ） A .1＜AB ＜9 B .3＜AB ＜13 C .5＜AB ＜13 D .9＜AB ＜13解析 参见图19-9，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连结CE ，由三角形三边的关系可知3＜CE ＜13，又CE ＝AB ，故3＜AB ＜13，选B .竞赛样题展示例1 （1996年“希望杯”初二竞赛题）如图19-10，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的大小关系是（ ）A .AC ＞2AB B .AC ＝2AB C .AC ≤2ABD .AC ＜2AB解析 关键在于构造等腰三角形，延长CB 至D ，使得BD ＝AB ，则∠D ＝∠DAB ＝∠C ，AD ＝AC ，在△ABD 中，AB ＋BD ＝2AB ＞AD ，即2AB ＞AC .选D .例2 （2000年“希望杯”初二竞赛题）如图19-11，△ABC 中；AB ＞AC 、AD 、AE 分别是BC 边上的中线和∠A 的平分线，比较AD 和AE 的大小关系.解析 延长AD 至F ，使DF ＝AD ，连结BF .则△ADC ≌△FDB ，∴AC ＝FB ，∠DAC ＝∠F .∵AB ＞AC ，∴AB ＞FB ，∴∠F ＞∠BAF ，∴∠DAC ＞∠BAF ，∴点D 在点E 的左边，∴∠BAF ＜∠EAC .∵∠ADE ＝∠BAF ＋∠ABC ，∠AED ＝∠C ＋∠EAC ，∠ABC ＜∠C ，∴∠ADE ＜∠AED ，故AD ＞AE .例3 如图19-12，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 上，求证：PQR ABCS S △△＞29. 解析 易想到作△ABC 和△PQR 的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比. 证明 如图19-12作CL ⊥AB 于L ，RH ⊥PQ 于H ，则PQR ABCS S △△＝PQ RH AB CL ••＝PQ ARAB AC••.不妨设△ABC 的周长为1，则PQ ＝13，AB ＜12，∴PQ AB＞23， ∵AP ≤AP ＋BQ ＝AB －PQ ＜12－13＝16， 又AR ＝13－AP ＞13－16＝16.又AC ＜12，从而AR AC ＞13，∴PQR ABCS S △△＞23×13＝29. 图19-12RQC BA图19-13B ´P BA图19-14HFE D CBA例4 （2000年江苏省初三竞赛题）如图19-13，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°. 证明：P A ＋PD ＋PC ≥BD .解析 在四边形ABCD 外侧作等边三角形AB ´D ，由∠APD ＝120°可证明B ´P ＝AP ＋PD .易知B ´C ≥PB ´＋PC ，得B ´C ≤AP ＋PD ＋PC .下证BD ＝B ´C . ∵△AB ´D 是等边三角形，∴AB ´＝AD ，∠B ´AD ＝60°，又易知△ABC 是等边三角形，故AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，于是△AB ´C ≌△ADB ，∴B ´C ＝DB .例5 设a h 、b h 、c h 是锐角△ABC 三边上的高，求证：12＜a b c h h h a b c ＋＋＋＋＜1.解析 如图19-14，在Rt △ADC 中，由于AC ＞AD ，故b ＞a h ， 同理可证c ＞b h ，a ＞c h ，∴a h ＋b h ＋c h ＜a ＋b ＋c ，即a b ch h h a b c＋＋＋＋＜1. ①设△ABC 的垂心为H 点， 由于 HA ＋HB ＞AB ， HB ＋HC ＞BC ， HC ＋HA ＞AC ， 则HA ＋HB ＋HC ＞12（a ＋b ＋c ）.从而1()2a b c h h h HA HB HC a b c ++>++>++, 即12a b c h h h a b c ++>++ ②由①、②得112a b ch h h a b c++<<++例6如图19-15，在△ABC 中，AB=AC ，过点A 作EF//BC ，D 为EF 上异于A 点的任一点，求证，AB+AC<BD+DC.解析将△ACD 以直线EF 为对称轴对折到△AC ′D 中，∠C'AD=∠DAC=∠ACB=∠ABC.∴∠C'AD+∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴B 、A 、C'三点共线..BC ′<C'D+DB ， 又AC'=AC ，CD=DC'，∴AC'+AB<BD+DC.即AB+AC<BD+DC.过关检测】A 级1.在△ABC 中，AD 为中线，AB=7，AC=5，则AD 的取值范围为________.2.（1994年安徽省数学竞赛题）已知在△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，且2∠B=5∠A ，则∠B 的取值范围是________.3.（1997年太原市初中数学竞赛试题）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数________.4.（1998年全国高中理科试验班招生数学试题）面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c ，且满足a ≤b ≤c ，则a+b 的最小值是________.5.（2000年江苏数学竞赛培训题）在任意△ABC 中，总存在一个最小角α，则这个角α的取值范围为________.图19-15B 级1.如图19-16，△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 上任一点，BE 、CF 交于P ，求证：PE+PF<AE+AF.2.如图19-17，等线段AB 、CD 交于O ，且∠A0C=60°，求证：AC+BD ≥AB.3.如图19-18，矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，求证：EF<AC.4.已知a 、b 、x 、y 均小于0，221x y +=a b ≥+.5.如图19-19，在△ABC 中，∠B=2∠C ，求证：AC<2AB.图19-16图19-18E6.平面上有n 个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n 的最大值7.如图19-20，已知△ABC 中AB>AC ，P 是角平分线AD 上任一点，求证：AB-AC>PB-PC.图19-19BC图19-20B()。