2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§3.2平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理, )1．问题导航(1)平面对量基本定理与向量的线性运算有何关系？ (2)在平面对量基本定理中为何要求向量e 1，e 2不共线？(3)对于同一向量a ，若基底不同，则表示这一向量a 的实数λ1，λ2的值是否相同？ 2．例题导读P 86例4.通过本例学习，学会应用平面对量基本定理解决实际问题． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 7你会吗？P 86例5.通过本例学习，学会用已知向量表示其他向量． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 5，T 6你会吗？1．平面对量基本定理(1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：我们把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底． 2．三点共线的充要条件平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使得OA →＝αOB →＋βOC →.其中α＋β＝1，O 为平面内任意一点．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内全部向量．( ) (3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )解析：(1)错误．依据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底． (2)正确．依据平面对量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示． (3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不肯定成立． 答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知平行四边形ABCD ，下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是( ) A.AB →，DC → B.AD →，BC → C.AD →，CB → D ．AB →，BC →解析：选D.由于AB →，BC →不共线，故是一组基底．3．已知向量a 与b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________．解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：34．已知向量a 与b 不共线，且AB →＝a ＋4b ，BC →＝－a ＋9b ，CD →＝3a －b ，则共线的三点为________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋9b ＋3a －b ＝2a ＋8b ，由于AB →＝a ＋4b ，所以AB →＝12BD →，所以A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D1．定理的实质平面对量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．2．分解的唯一性平面对量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．体现的数学思想平面对量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．对基底的理解设e 1，e 2是同一平面内不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不能作为平面内全部向量的一组基底的是________．(写出满足条件的序号)[解析] 由基底的定义可将此问题转化为推断各组中的两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底．①中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②中，设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，－（2＋λ）＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③中，由于e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底；④中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝0，1－λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底．[答案] ③ 方法归纳同一平面内的两个向量能不能作为基底，关键是看它们共不共线，在同一平面内，只要两个向量不共线，就可以作为一组基底．1．(1)设O 是平行四边形ABCD 两对角线AC 与BD 的交点，下列向量组可作为表示这个平行四边形所在平面的全部向量的基底的是( )①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. A ．①② B ．④ C ．①③ D ．①④(2)设a ，b 不共线，c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试推断c ，d 能否作为基底．解：(1)选C.推断两个向量能否作基底，只需看两个向量是否共线，由图可知AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，故①③可作为基底．(2)假设存在唯一实数λ，使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ(3a －2b )，即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0. 由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－3λ＝0，2λ－1＝0⇒⎩⎨⎧λ＝23，λ＝12.所以这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线． 所以c ，d 能作为基底．用基底表示向量点，设OA →＝a ，(1)如图，梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任意一OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c (2)如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →，AC →表示AD →，则AD →＝________． (链接教材P 86例5)[解析] (1)由于AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CD →＝12BA →，OD →＝OA →＋AC →＋CD → ＝OA →＋OC →－OA →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .(2)由于D 是BC 边的四等分点，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →. [答案] (1)D (2)34AB →＋14AC →若本例(2)中的条件不变，用基底AB →，AC →表示CD →.解：由于D 是BC 边的四等分点，所以CD →＝34CB →＝34(AB →－AC →)＝34AB →－34AC →.即CD →＝34AB →－34AC →.方法归纳(1)依据平面对量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)要留意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．2．(1)已知AM 为△ABC 的BC 边上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝( ) A.12(a －b ) B ．－12(a －b ) C ．－12(a ＋b ) D ．12(a ＋b )(2)假如3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1＝________，e 2＝________(用a ，b 表示)．(3)已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.解：(1)选D.由于BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BM →＝12BC →＝12(b －a )，所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .故填3a －4b 和3b －2a . (3)如图，连接FD ，由于DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， 所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形． 所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝⎛⎭⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .平面对量基本定理的应用且AB →＝a ，AC →＝如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心G ，b ，AP →＝m a ，AQ →＝n b (m >0，n >0)，试问m ，n 的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．[解] 由于AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，所以AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，由于P 、G 、Q 三点共线，则PG →∥GQ →⇔PG →＝λGQ →(λ为正实数)，由于PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 可得⎝⎛⎭⎫13－m ＋13λa ＋⎝⎛⎭⎫13－λn ＋13λb ＝0， 由于a ，b 不共线， 则必有13－m ＋13λ＝13－λn ＋13λ＝0，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ， 所以1m ＋1n ＝3为定值．方法归纳用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面对量作为基底．(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量学问进行向量运算，得出向量问题的解． (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．3．(1)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．(2)已知，在△AOB 中，点P 在直线AB 上，且满足OP →＝2tP A →＋tOB →(t ∈R )，求|P A →||PB →|的值．解：(1)在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →， OC →＝λOE →＋μOF →＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ(OA →＋13OB →)＋μ⎝⎛⎭⎫OB →＋13OA → ＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →， 所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.(2)P A →＝OA →－OP →，所以OP →＝2t (OA →－OP →)＋tOB →，即(1＋2t )OP →＝2tOA →＋tOB →，得OP →＝2t 1＋2t OA →＋t 1＋2tOB →.而P ，A ，B 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以2t 1＋2t ＋t 1＋2t ＝1，解得t ＝1，所以OP →＝2P A →＋OB →，得OP →－OB →＝2P A →，即BP →＝2P A →，有|P A →||PB →|＝12.易错警示对平面对量基本定理理解不精确 致误如图，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC .AM 与BN 相交于点P ，则AP ∶PM ＝( )A ．1∶4B ．4∶1C ．4∶5D ．5∶4[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2.由于A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ，使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面对量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1.[答案] B[错因与防范] (1)解答本题，经常由于对平面对量基本定理理解不精确 ，而导致不能正确地表示出BA →，进而得出AP ∶PM 的错误结果．(2)为避开可能消灭上述错误，应留意以下两点：①充分挖掘题目中的有利条件，利用等量关系列出方程(组)，如本例中由AM 与BN 相交，得到相应三点共线，即A ，P ，M 与B ，P ，N 分别共线．由共线定理得两个方程，然后求解．②用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应依据条件机敏应用，通常以与待求向量亲密相关的两个不共线向量作为基底．4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.答案：121．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 解析：选B.由于a ＋b ＝3e 1－e 2，所以c ＝2(a ＋b )． 所以a ＋b 与c 共线．2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________．解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23.答案：233.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ＝________(用a ，b 表示)．解析：OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA →＝13(OB →－OA →)＋OA →＝13OB →＋23OA →＝13b ＋23a ， OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23()OB →－OA →＋OA →＝23OB →＋13OA →＝13a ＋23b . 答案：13b ＋23a 13a ＋23b, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．设e 1，e 2是平面内全部向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.由于B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12b B.a2－bC ．b ＋a2 D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( ) A ．λ1＝1 B ．λ1＝2 C ．λ1＝3 D ．λ1＝4 解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，由于a ，b 共线，所以λ1＝2.4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB → B.OP →＝2OA →＋OB → C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：选C.由于△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn ＝( )A.32B ． 3C.233D ．32解析：选B.如图，过点C 作CM ∥OB ，CN ∥OA ，则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ， 则|OM →|＝2x ，OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB →|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3.6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________．解析：AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .答案：b ＋12a7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：由于CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b .由于A 、B 、D 三点共线，所以AB →＝λBD →，所以2a ＋k b ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－4 8.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμ·OA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，且m ＋n＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0) 9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.[B.力量提升]1．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19 B ．13 C ．1 D ．3解析：选B.由于AN →＝12NC →，所以BN →－BA →＝12(BC →－BN →)，则BN →＝23BA →＋13BC →；由于AP →＝mAB →＋29AC →，所以BP →－BA →＝－mBA →＋29(BC →－BA →)，即BP →＝(79－m )BA →＋29BC →；由于P 是BN 上的一点，所以BN →＝λBP →，所以79－m＝49，即m ＝13. 2．如图，在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A.12 B ．23C.67D ．1解析：选C.由题意可得AP →＝2QP →，QB →＝2QR →，由于AB →＝a ＝AQ →＋QB →＝12AP →＋2QR →，①AC →＝AP →＋PC →＝AP →＋RP →＝AP →＋QP →－QR → ＝AP →＋12AP →－QR →＝32AP →－QR →＝b ，②由①②解方程求得AP →＝27a ＋47b .再由AP →＝m a ＋n b 可得m ＝27，n ＝47，m ＋n ＝67.3．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，由于|OC →|＝23，∠COD ＝30°， ∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 答案：64．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________． 解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →，所以OM →＝－OC →，故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：1 5.已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1两部分的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由于A 为BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)由于OE →＝λOA →，所以CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b .由于CE →与CD →共线，所以存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m (－2a ＋53b )，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m )b ＝0.由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.6．(选做题)如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →.(1)求x 的取值范围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值范围．解：(1)由于OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值范围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上，当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，32.。
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
优化方案高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基
【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基本定理应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.因为B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－bC ．b ＋a2D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( )A ．λ1＝1B ．λ1＝2C ．λ1＝3D ．λ1＝4解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，因为a ，b 共线，所以λ1＝2.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，若实数λ满足AB →＋AC →＝λAP →，则λ的值为( )A ．3 B.23 C ．2D ．8解析：选A.AB →＋AC →＝(AP →＋PB →)＋(AP →＋PC →)＝2AP →＋(PB →＋PC →)＝2AP →－PA →＝3AP →.所以λ＝3.5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选D.由已知BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.6.如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．解析：以a ，c 为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：因为CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， 所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . 因为A 、B 、D 三点共线， 所以AB →＝λBD →，所以2a ＋kb ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－48．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________．解析：因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12. 答案：129.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 能力提升]1．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线解析：选A.因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，所以BM →＝λBA →， 故点M 在线段AB 上．2．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知， OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →， 所以OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：13．已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解：如图所示，连接FD ，因为DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形．所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a－12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a . 4．(选做题)如图所示，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →，设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则， 得CG →＝λ(CB →＋CD →) ＝2λCE →＋2λCF →， 由于E ，G ，F 三点共线， 则2λ＋2λ＝1，故λ＝14.从而CG →＝14CA →，AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．。
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§2.2向量的减法 Word版含答案
2．2 向量的减法1．问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →对吗？ (3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？ 2．例题导读P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模． 试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？向量的减法向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：①－(－a )＝a ， ②a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0，③假如a 与b 互为相反向量， 则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝01．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的差向量不行能与这两个向量共线．( )(2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误． (2)正确．由于两个向量的差仍旧是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．依据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√2．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；依据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误． 3.OC →－OA →＋CD →＝________．解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.答案：AD →4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.解析：由于a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2. 答案： 21．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”供应依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义a －b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系a －b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．已知向量作差向量如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .(链接教材P 79例4)[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .(2)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． (链接教材P 81习题2－2A 组T 5)[解] (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 方法归纳 (1)(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，留意观看是否有这两种形式的向量消灭．同时留意向量加法、减法法则的逆向运用．2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋b ＝c B ．a －b ＝d C ．b －a ＝d D ．c －a ＝b (2)化简下列各式： ①OP →－OQ →＋PM →－QM →； ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．解：(1)选B.依据向量加法的平行四边形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →＝b ，故选B.(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →＝0. ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.用已知向量表示其他向量设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.[解] 由题意可知四边形OADB 为平行四边形，所以OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .所以DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )． 又四边形ODHC 为平行四边形，所以OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b .所以BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →？解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c . 方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)留意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)留意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．且AB →＝a ，AC →＝(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解：(1)由于BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD→＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .(2)由于四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B .BD →－CF →＋DF →＝0 C .AD →＋CE →－CF →＝0 D .BD →－BE →－FC →＝0[解析] 由于D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立， AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． [答案] A[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母挨次出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量学问与平面几何学问的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形供应依据．其次，要记准向量减法的几何意义，依据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．4．(1)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a 等于( )A.OA → B ．OB →C.OD →D ．OA →＋b(2)如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：(1)法一：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.由于DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ，所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b .所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.(2)BE →－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，由于BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0. 答案：(1)A (2)01．若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( ) A ．0 B ．a ＋b C ．b －a D ．a －b解析：选D.CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .3．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________． ①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同； ②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反； ③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模； ④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同． 解析：当a 、b 方向相同时有 |a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a 、b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |， 因此①②④为真命题． 答案：①②④, [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B.依据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C .依据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；由于AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；依据向量加法的多边形法则，D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A .CB → B ．BC → C .CD → D ．DC →解析：选C .在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 4.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF →＋EF →＝( ) A .AB → B .AB →＋DC → C .DC → D ．AD →＋BC →解析：选B .由于EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13] D ．(3，13) 解析：选C .当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)， 由三角形三边的不等关系可知8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13， 当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13； 当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA → ＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________．(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →.答案：(1)AD → (2)PQ →8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________．解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2. 答案： 2 9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF . 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.所以|a －b ＋c |＝2. [B.力量提升]1．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →＋OA →； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选A .①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0； ②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的外形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形解析：选B .由于OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →， 即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形．3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：由于菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案：24．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：由于四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →， DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →， CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →， CA →－CD →＝DA →，由于四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④. 答案：①④5．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：由于m －p ＋n －q －r＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r ) ＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →，所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．6．(选做题)如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ， 所以AH ∥DC .又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ， 所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH →＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →.又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →，所以DC →＝OB →＋OC →.所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章章末优化总结 Word版含答案
章末优化总结, )平面对量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念．突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提．关于平面对量a ，b ，c 有下列三个命题： ①若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a·b ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出全部真命题的序号)[解析] ①由于b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ；②a ∥b ，且a ≠0⇒b ＝λa ⇒1－2＝k6⇒k ＝－3；③|a|＝|b|＝|a －b|⇒a ，b ，a －b 构成等边三角形，a 与a ＋b 的夹角应为30°. 所以真命题为①②. [答案] ①②平面对量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面对量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义，并能机敏应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算问题的基础．如图，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)假如AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置．[解] (1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →，又AR →＝13AB →，所以CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →.(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →，代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →， 即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →.所以⎩⎨⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝45μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)，知AI →＝15AB →＋25AC →，所以BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝⎛⎭⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5AC →＋⎝⎛⎭⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →，所以⎩⎨⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎨⎧m ＝23，n ＝53.所以BP →＝23BC →，即BP PC＝2.即点P 是BC 上靠近点C 的三等分点．平面对量的数量积求平面对量的数量积的方法有两个：一个是依据数量积的定义，另一个是依据坐标．定义法是a·b ＝|a||b|·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；坐标法是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.利用数量积可以求长度，也可推断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决．(1)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________． (2)已知两个单位向量a ，b 的夹角θ为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________．[解析] (1)由于单位向量m ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1.① 若m ⊥b ，则m·b ＝0，即2x －y ＝0.②由①②解得x 2＝15，所以|x |＝55，|x ＋2y |＝5|x |＝ 5.(2)法一：由于b·c ＝0， 所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0， 即t a·b ＋(1－t )b 2＝0. 又由于|a |＝|b |＝1，θ＝60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.法二：由t ＋(1－t )＝1知向量a ，b ，c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则c ＝⎝⎛⎭⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.[答案] (1)5 (2)2平面对量的应用平面对量的应用主要体现在两个方面，一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和平行，数乘向量和相像，距离、夹角和数量积之间有着亲密联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．二是在物理中的应用，主要是解决力、位移、速度等问题．如图所示，G 为△AOB 的中线OM 的中点，过点G 作直线分别交OA ，OB 于点P ，Q ，设OPOA＝m ，OQ OB ＝n ，试推断1m ＋1n是否为定值．[解] 设OA →＝a ，OB →＝b ， 则OG →＝12OM →＝14(OA →＋OB →)＝14a ＋14b . 所以PG →＝OG →－OP →＝14a ＋14b －m a＝⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b . PQ →＝OQ →－OP →＝nOB →－mOA →＝n b －m a .由于PG →与PQ →共线，所以PG →＝λPQ →(λ∈R )， 即⎝⎛⎭⎫14－m a ＋14b ＝λ(n b －m a )． 所以⎩⎨⎧14－m ＝－λm ，14＝λn .消去λ得14－m ＝－m 4n ⇒14m －1＝－14n .所以1m ＋1n＝4为定值．质量m ＝2.0 kg 的木块在平行于斜面对上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿斜面角θ＝30°的光滑斜面对上滑行|s |＝2.0 m 的距离，如图所示(g 取9.8m/s 2)．(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．[解] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如题图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F||s |cos 0°＝20(J)．支持力对木块所做的功为W F N ＝F N ·s ＝0. 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)． (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W F N ＋W G ＝0.4(J)．(3)物体所受合外力的大小为|F 合|＝|F |－|G |sin 30°＝0.2(N)． 所以，物体所受合外力对物体所做的功为W ＝F 合·s ＝0.4(J)．所以，物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和相等．1．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形解析：选B.由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝0，如图所示，其中AB →＋AC →＝2AD →(点D 为线段BC 的中点)，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．故选B.2．已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角为23π，则a 在e 方向上的投影为________．解析：依据定义知a 在e 方向上的投影为|a |cos 2π3＝－2.答案：－23．已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________． 解析：设B (x ，y )为l 上任意一点，则AB →＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6，2)＋2⎝⎛⎭⎫－4，12＝(－2，3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝04．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |的值；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角．解：(1)由于|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2 ＝4－4a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝0.由于|2a －3b |2＝4a 2＋9b 2＝4＋9＝13， 所以|2a －3b |＝13.(2)设3a －b 与a －2b 的夹角为θ，则cos θ＝（3a －b ）·（a －2b ）|3a －b |·|a －2b |＝3a 2＋2b 210·5＝552＝22，又由于θ∈[0，π]，所以θ＝π4为所求．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，BC 上一点F 使BF ＝13BC .(1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.解：(1)由已知得AM →＝AD →＋DM →＝12a ＋b .HF →＝HD →＋DC →＋CF →＝12b ＋a ＋(－23b )＝a －16b .(2)由已知得a·b ＝|a||b|cos 120°＝3×4×(－12)＝－6，从而AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12|a |2＋1112a·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113., [同学用书单独成册])(时间：100分钟，分数：120分)一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．共线向量的方向相同 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选B.对A ，共线向量的方向相同或相反，错误；对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知A 、B 、D 三点共线，存在点C ，满足CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．13C ．－13D ．－23解析：选C.由于A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA→＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2解析：选B.a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心B ．重心，内心C ．外心，重心D ．外心，内心解析：选C.由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得AN →＝NB →＋NC →，取BC边的中点D ，则AN →＝NB →＋NC →＝2ND →，知A 、N 、D 三点共线，且AN ＝2ND ，故点N 是△ABC 的重心．5．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角等于( )A ．θ－π2B ．π2＋θC.3π2－θ D ．θ解析：选C.设a 与b 的夹角为α，a ·b ＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a |＝1，|b |＝1，所以cos α＝a ·b|a ||b |＝－sin θ＝cos(3π2－θ)，由于θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α∈[0，π]， y ＝cos x 在[0，π]上是递减的，所以α＝3π2－θ，故选C.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b －b ·c －c·a 等于( )A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析：选D.由平面对量的数量积的定义知，a·b －b·c －c·a ＝|a||b|cos(π－C )－|b||c|cos(π－A )－|c||a|cos(π－B )＝cos(π－C )－cos(π－A )－cos(π－B )＝－cos C ＋cos A ＋cos B ＝cos 60°＝12.故选D.7．已知平面对量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( ) A.π2 B ．π3 C.π6 D ．π解析：选B.由于|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， 所以4＋4a·b ＋3＝7，a·b ＝0，所以a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，由于tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，所以∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.8．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.53 B ．54 C.109 D ．158解析：选A.依题意，不妨设BE →＝12EC →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →；AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.所以AE →·AF →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，故选A. 9．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝|a |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.由于a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2cos 60°＝3，所以|c |＝ 3.又c·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a·b ＝－1－cos 60°＝－32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a ||c |＝－323×1＝－32，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.10．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，则动点P 的轨迹所掩盖的面积为( )A.103 6 B ．53 6 C.103 D ．203解析：选A.如图，由于OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1，0≤y ≤1，所以动点P 的轨迹所掩盖的区域是以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAMB ，则动点P 的轨迹所掩盖的面积S ＝AB ×r ，r 为△ABC 的内切圆的半径．在△ABC 中，由向量的减法法则得BC →＝AC →－AB →，所以BC →2＝(AC →－AB →)2，即|BC →|2＝|AC →|2＋|AB →|2－2|AC →||AB →|cos A ，由已知得72＝62＋|AB →|2－12·|AB →|×15，所以5|AB →|2－12|AB →|－65＝0，所以|AB →|＝5.所以S △ABC ＝12×6×5×sin A ＝66，又O 为△ABC 的内心，故O 到△ABC 各边的距离均为r ，此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，所以S △ABC ＝12(6＋5＋7)×r ，即12(6＋5＋7)×r ＝66， 所以r ＝263，故所求的面积S ＝AB ×r ＝5×236＝1036.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于m a ＋4b 与a －2b 共线， 所以－1(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2. 答案：－212．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．解析：由于AO →＝μAC →＝μ(AD →＋DC →)＝μ⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝μa ＋μ2b . 由于μ＋μ2＝1，解得μ＝23.所以AO →＝23a ＋13b .答案：23a ＋13b13．已知两点A (－1，0)，B (－1，3)，O 为坐标原点，点C 在第一象限，且∠AOC ＝120°.设 OC →＝－3OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ＝________．解析：由题意，得OC →＝－3(－1，0)＋λ(－1，3)＝(3－λ，3λ)，由于∠AOC ＝120°，所以OA →·OC →|OA →||OC →|＝－12，即λ－3（3－λ）2＋3λ2＝－12，解得λ＝32.答案：3214．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：由于AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(AD →＋1λAB →)＝1λAB →2＋1＋3λ3λAD →·AB →＋13AD →2＝4λ＋1＋3λ3λ×2×2×cos 120°＋43＝10－2λ3λ＝1.解得λ＝2.答案：215．若将向量a ＝(1，2)绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则b 的坐标是________．解析：如图，设b ＝(x ，y )， 则|b |＝|a |＝5，a·b ＝|a||b |·cos π4＝5×5×22＝522，又x 2＋y 2＝5，a·b ＝x ＋2y ，得x ＋2y ＝522，解得x ＝－22，y ＝322(舍去x ＝322，y ＝22)．故b ＝⎝⎛⎭⎫－22，322.答案：⎝⎛⎭⎫－22，322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)由a ＝(1，2)，得|a |＝12＋22＝5，又|c |＝25，所以|c |＝2|a |. 又由于c ∥a ，所以c ＝±2a ，所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)由于a ＋2b 与2a －b 垂直，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，将|a |＝5，|b |＝52代入，得a·b ＝－52. 所以cos θ＝a·b|a|·|b |＝－1，又由θ∈[0，π]，得θ＝π，即a 与b 的夹角为π.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．(1)求AB →，AC →及|AB →＋AC →|；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)⊥OC →，求t 的值．解： (1)由于A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)．所以AB →＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，AB →＋AC →＝(－2，－6)， |AB →＋AC →|＝（－2）2＋（－6）2＝210.(2)由于(AB →－tOC →)⊥OC →，所以(AB →－tOC →)·OC →＝0， 即AB →·OC →－tOC →2＝0，由于AB →·OC →＝－3×2＋(－1)×(－1)＝－5， OC →2＝22＋(－1)2＝5，所以－5－5t ＝0，所以t ＝－1.18．(本小题满分10分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°.所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3. 故△P 1P 2P 3是等边三角形．19．(本小题满分12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (1，2)，F (0，1)． (1)BE →＝OE →－OB →＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)， CF →＝OF →－OC →＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，由于BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)，由于FP →∥CF →，所以－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.解得x ＝65，所以y ＝85，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. 所以AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2，所以|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .若OA →＝a ，OB →20．(本小题满分13分)(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并推断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系．(2)受(1)的启示，假如点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b .OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)结论：OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，所以OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1→＝1n a ＋n －1nb ，所以OA 1→＋OA n －1→＝a ＋b ＝OA →＋OB →. 又OA 2＝n －2n a ＋2nb ，OA n －2→＝2n a ＋n －2n b ，所以OA 2→＋OA n －2→＝a ＋b ＝OA →＋OB →，…，因此有OA 1→＋OA n －1→＝OA 2→＋OA n －2→＝…＝OA →＋OB →.。
人教A版高中数学必修四课件第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示(共30张)
(D )
前置学习
2．已知 a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若 a∥b，则 y 的值是 ( D )
A．1
B．－1
C．4
D．－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
前置学习
3．若点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使A→B＝λB→C
成立的实数 λ 的值为
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴2λmλ＝－12，λ＝2.
⇒λ＝12， m＝6.
即 m＝6 时，A，B，C 三点共线．
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
解 设 P 点坐标为(x，y)． ∵|A→P|＝2|P→B|，∴A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B. 当A→P＝2P→B时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴D 为 BC 的中点， ∴A→G＝23A→D＝2312A→B＋12A→C ＝13A→B＋13A→C， ∴ ＝OO→→GA＋＝13O→(AO→＋B－A→GO→＝A)O＋→A13＋(O→13CA→－B＋O→A13A)→＝C 13(O→A＋O→B＋O→C) ＝x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3.
探究点三 共线向量与线段分点坐标
＝1 时，P 为线段 P1P2 的中点；
当 λ∈ (－∞，－1)
时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；
当 λ∈ (－1,0)
时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.
探究点一 平面向量共线的坐标表示 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
高中数学人教A版必修4：第二章 2.3 2.3(1).1 平面向量基本定理
答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量 AB，BC 的夹角
为______．
答案：135°
2019年8月10日
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6
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设
对角线 AC ＝a， BD ＝b，试用基底a，b表示
AB， BC [解]
2019年8月10日
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9
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，
F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝
3AD， BA ＝a， BC ＝b.试以a，b为基底表
示 EF ， DF ，CD. 解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴ AD＝13 BC ＝13b. ∵E为AD的中点，
[解] 设 BM ＝e1，CN ＝e2， 则 AM ＝ AC ＋CM ＝－3e2－e1， BN ＝ BC ＋CN ＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 AP＝λ AM
＝－λe1－3λe2，
2019年8月10日
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2．3.1 平面向量基本定理
预习课本P93～94，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？
2019年8月10日
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1
[新知初探]
1．平面向量基本定理
条件 结论
2019年8月10日
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算