空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a ba b a b⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ⋅=⇔⊥． （3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a 对应的有向线段的起点是A ，终点是B ，则向量a 可以记为AB ，其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到． 5、相等向量 长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a 与向量b 相等，记为a =b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a 的相反向量记为－a 二、共面向量 1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理若两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,使得p =xa yb +。
3、空间平面的表达式空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使MP xMA yMB =+或对空间任一定点O,有或OP xOA yOB zOM =++（其中1x y z ++=）这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理 1、定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa yb +zc +2、注意以下问题（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面。
那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R=++∈,这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{},,a b c称为空间的一个基底。
a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．3、向量的坐标表示（1）单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k表示．（2）空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{},,i j k以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O－xyz,点O叫原点，向量i、j、k都叫坐标向量．（3）空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、j、k为坐标向量，存在唯一有序数组（x，y，z）使a xi y j zk=++，有序数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记为a=() ,,x y z。
对坐标系中任一点A，对应一个向量OA，则OA=a xi y j zk=++。
在单位正交基底i、j、k中与向量OA对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z）.四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法则（注意首尾相连）、平行四边形法则，加法的运算律：交换律a b b a+=+结合律()() a b c a b c++=++2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-，即从b 的终点指向a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 3、空间向量的数乘运算 （1）定义实数λ与a 的积是一个向量，记为a λ，它的模与方向规定如下： ①a aλλ=⋅② 当0λ>时，a λ与a 同向；当0λ<时，a λ与a 异向；当0λ=时．0a λ= 注意：① 关于实数与空间向量的积a λ的理解：我们可以把a 的模扩大（当λ>1时），也可以缩小（λ< 1 时），同时，我们可以不改变向量a 的方向（当0λ>时），也可以改变向量a 的方向（当0λ<时）。
.② 注意实数与向量的积的特殊情况，当0λ=时，0a λ=；当0λ≠，若0a =时，有0a λ=。
③ 注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．比如a λ+，a λ-无法运算。
（2）实数与空间向量的积满足的运算律 设λ、μ是实数，则有()()a aλμλμ= （结合律）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）()a b a bλλλ+=+ （第二分配律）实数与向量的积也叫数乘向量． 4、共线向量（1）共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也叫做平行向量。
若a 与b 是共线向量，则记为a b a b b 0a b a b a =+OP OA ta a AB a=(),(1)OP OA t AB OP OA t OB OA t OA tOB=+∴=+-=-+12t =1122OP OA OB =+AB λ111OP OA OB λλλ=+++11112222(,,),(,,)P x y z P x yz 12PP =222z y x |OP |++=→→→→><b a b ,a 与为性质若→→b a 、是非零向量，→e 是与→b 方向相同的单位向量，θ是→→e a 与的夹角，则 （1）θcos |a |e a a e →→→→→=⋅=⋅ （2）0b a b a =⋅⇔⊥→→→→（3）若→→b a 与同向，则|b ||a |b a →→→→⋅=⋅； 若→→b a 与反向，则|b ||a |b a →→→→⋅-=⋅；特别地：→→→→→→⋅==⋅a a |a ||a |a a 2或（4）若θ为|b ||a |ba cosb a →→→→→→⋅⋅=θ的夹角，则、（5）|b ||a ||b a |→→→→≤⋅2. 运算律 （1）结合律)b a (b )a (→→→→⋅=⋅λλ（2）交换律→→→→⋅=⋅a b b a（3）分配律→→→→→→→⋅+⋅=+⋅c a b a )c b (a 不满足消去律和结合律即： 【典型例题】例1. 已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量是数学中的两个重要分支，它们都涉及到三维空间的计算和处理。
下面是它们的知识梳理：
一、立体几何
1. 立体几何基本概念：点、线、面、立体、平行、垂直、角度、投影等。
2. 立体图形的性质：体积、表面积、对称性、切割等。
3. 立体几何基本公式：立方体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积公式。
4. 立体几何运用：解决物体体积和表面积的计算问题，如容器的容积、房间的面积等。
二、空间向量
1. 空间向量定义及表示：三维空间中的有向线段，可以用起点坐标和终点坐标表示。
2. 空间向量的运算：加、减、数乘、点乘、叉乘等。
3. 空间向量的性质：模长、模长计算公式、向量方向，空间向量的平行性、垂直性等。
4. 空间向量的应用：用向量来表示物理量，如力、速度、加速
度等。
总结
立体几何和空间向量是数学中两个重要的分支，它们在三维空间中进行计算和处理。
在应用方面，立体几何可以解决物体的体积和表面积计算问题，而空间向量则可以用来表示和处理物理量。
在学习过程中，要注意掌握基本概念和公式，熟练掌握基本运算和性质，逐渐深入到应用层面。
选择性必修一第一章空间向量与立体几何知识梳理
第一章空间向量与立体几何知识梳理㈠、空间向量与平面向量类比 x 三点共线定理：若A,B,C OC xOA =+122122x y 2a x =+a =——————————。
cos x θ=cos x θ=、㈡、空间向量解决立体几何问题1. 空间向量解决立体几何的平行垂直问题 ⑴平行①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ∥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ∥α⇔———————；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α∥β⇔———————。
⑵垂直①两直线12,l l 的方向向量分别为12,u u ，则1l ⊥2l ⇔———————；②直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l ⊥α⇔———————。
；③平面α，β的法向量分别为n ，m ，则α⊥β⇔———————。
2.空间向量求角、距离。
⑴求距离 ①点P 到直线l 的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为直线l 上任一点，u 为直线l 的单位方向向量。
②点P 到平面α的距离d =———————，其中向量a PA =,点A 为平面α内任一点，向量n 平面α的法向量。
⑵求角 ①异面直线所成的角θ 0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦异面直线所成的角θ与两直线方向向量所成的角———————，故12cos cos ,u u θ=<>，其中12,u u 为两直线的方向向量。
②直线l 与平面α所成的角0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦直线l 与平面α所成的角θ与方向向量u 与法向量n 所成的角———————，故sin cos ,u n θ=<>。
③二面角[]0,θπ∈二面角θ与两半平面的法向量,n m 所成的角———————，。
高中数学空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点和知识题(含答案解析)
§1－3 空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b a·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律： (a )·b ＝(a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；a ＝(a 1，a 2，a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝b ⇔a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 3＝b 3(∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a ba b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面，的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥⊥⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，直线a 与平面的夹角为，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l －在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB叫做二面角－l －的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角－l －的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角－l －的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2PA 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ， ∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试． 例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵PA ＝AC ＝1，PA ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设PA ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， ∴∠DAE 是直线AD 与平面PAC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE 即直线AD 与平面PAC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∠PAC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3． 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，⊥，∩＝l ，A ∈，B ∈，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与，所成的角分别是和ϕ，AB 在，内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)＞ϕ，m ＞n (B)＞ϕ，m ＜n (C)＜ϕ，m ＜n(D)＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP ＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是( )(A)若a ∥b ，b ⊂，则a ∥ (B)若a ∥，b ⊂，则a ∥b (C)若a ∥，b ∥，则a ∥b(D)若a ⊥，b ⊥，则a ∥b2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38 (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3(D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______．8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形； ③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ； (Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M 为PC的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ． ∵⊥，∩＝PQ ，∴CO ⊥．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥，∴∠CAO 是CA 和平面所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9 9．5 10．①、②、③三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ．∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ． ∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)． 同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面PAC ，故AB ⊥PC ．∵PA ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ． (Ⅱ)Rt △PAB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △PAC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△PAB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ． ∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得＝1．∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 (2) 向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下⑵加法结合律：(a b) a (b c) ⑶数乘分配律：(a b^ a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 工0 ) , a // b 存在实数 入使a = Xb 。
(3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> AB 二’AC<=> OC xOA yOB 其中X 厂 1)(4) 与a 共线的单位向量为土 —a4. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实(如图)运算律：⑴加法交换律：a b a一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使p 二xa • yb zc 。
4^4 彳"呻H 4若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个 基底，a,b,c 叫做基向 量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O ,A ,B ,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 T T T Tx, y, z ，使 OP 二 xOA yOB zOC 。
6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组（x,y,z ）， 使OA =xi yi zk ，有序实数组（x,y,z ）叫作向量A 在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标， 记作A （x, y,z ）， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
高中数学必修2--空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
第01讲 空间向量与立体几何-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第01讲 空间向量与立体几何知识点1 空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 3．几类特殊的空间向量 名称 定义表示法 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位模为1的向量叫做单位向量|a|＝1或【考点目录】【知识梳理】知识点2 空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和共起点，连终点，方向指向被减向量a＋b＝b＋aλa的长度是a的长度的|λ|倍μa)＝(λμ)a知识点3 共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别 //0a b b ≠（）使得a b λ=；（2）存在唯一实数λ，使得0a b b λ≠=（），则//a b ．注意：0b ≠不可丢掉，否则实数就不唯一．―→―→―→1、空间一点实数对→数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点(OP xOA yOB zOC x+=++其中共面向量定理的用途：⇒λ利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
2.直线l 的方向向量如图O ∥l ，在直线l 上取非零向量a ，设P 为l 上的任意一点，则∥λ∥R 使得OP ―→＝λa. 定义：把与a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．知识点4 空间向量的夹角定义如图，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∥AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ∥b知识点5 空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a ＝0.注：a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos a,b 〈〉的乘积．(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∥R交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图∥，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图∥)．(2)如图∥，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′——→，向量A ′B ′——→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′——→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．知识点6 空间向量数量积运算律及性质1、数量乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅； ()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．2、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1e a a e a cos a,e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅；()4a b cos a,b a b ⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．知识点7 空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa+yb+zc .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =xa+yb+zc ，则称xa+yb+zc 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式. 2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk ，使a ＝xi ＋yj ＋zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．知识点8 空间向量基本定理应用1、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .(3)直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. (2)若a ，b 是非零向量，则a ∥b ∥a ·b ＝0. 3、求距离(长度)问题 ||a ＝a ·a ( ||AB →＝AB →·AB→ )．知识点9 空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 注意点：(1)基向量：|i |＝|j |＝|k |＝1，i ·j ＝i ·k ＝j ·k ＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∥xOy ＝135°(或45°)，∥yOz ＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标、向量的坐标 （1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝xi ＋yj ＋zk .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点（2）空间点的对称问题∥空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．∥对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝xi ＋yj ＋zk .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，可简记作a ＝(x ，y ，z )．知识点10 空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∥R ，那么(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有(1)平行关系：当b ≠0时，a ∥b ∥a ＝λb ∥a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∥R)； (2)垂直关系：a ∥b ∥a ·b ＝0∥a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(3)|a|＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23.(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)． (1)P 1P 2――→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)P 1P 2＝|P 1P 2――→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. (3)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.知识点11 空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点， (1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta . (3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.2．空间平面的向量表示式∥如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb .∥如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．∥由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ∥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．知识点12 空间平行、垂直关系的向量表示知识点13 空间距离及向量求法设u 为直线l 的单位方向向量，A ∥l ，P ∉l ，AP―→＝a ，向量AP ―→在直线l 上的投影向量为AQ ―→（AQ ―→＝(a ·u )u .）， 则PQ ＝|AP ―→|2－|AQ ―→|2＝a 2－a ·u2―→知识点14 空间角及向量求法成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于π2的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|(1)两个平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．考点一 空间向量及其线性运算1．（2022·重庆·高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，1BA BC CC ++=（ ） A ．11D BB ．1D BC ．1DBD ．1BD2．（2022·湖南益阳·高二期末）在四面体OABC 中，,,,OA a OB b OC c M ===为OA 的中点，N 为棱BC 上的点，且2BN NC =，则MN =（ ）A ．112233a b c -++B ．112233a b c --C ．121233a b c -++D ．111222a b c -++3．（2022·陕西商洛·高二期末（理））在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，且1114A P AC =，若1AP xAA yAB zAD =++，则x y z ++=（ ）A ．34B ．1C ．54D ．744．（2022·福建师大附中高二期末）如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.【考点剖析】A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+考点二 共线问题5．（2022·全国·高二期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．、、A B CB ．BCD 、、C ．A BD 、、D ．A C D 、、6．（2022·山西吕梁·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上，若1311444AP AA AB AD =++，则11A PAC =（ ） A ．13B ．34C ．14D ．237．（2022·上海松江·高二期末）设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为（ ）A ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭考点三 共面问题8．【多选】（2022·广东江门·高二期末）若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+D ．,,a b a b c c +++9．（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有623OP OA OB OC =++，则（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE 平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2022·福建厦门·高二期末）已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量()2,1,a m =-，()1,1,2b =-，()1,2,2c t =-，若a ，b ，c 共面，则m ＋2t ＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．－613．（2022·全国·高二期末）已知(2,1,3)PA =-，(1,2,3)PB =-，(7,6,)PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=___________.考点四 空间向量基本定理14．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+15．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）A ．131222a b c ++B ．111222a b c --C ．131222a b c -+D ．131222a b c +-16．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12c a b -- B ．()12b ac -- C ．()12a cb -- D ．()12c a b ++ 17．（2022·江苏无锡·高二期末）定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称有序实数组(),,x y z 为向量p 在基底{}123,,a a a 下的坐标．已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，{},,2a b a b a c +-+是空间的另一个基底，若向量p 在基底{},,2a b a b a c +-+下的坐标为()1,2,3．(1)求向量p 在基底{},,a b c 下的坐标； (2)求向量p 在基底{},,a b c 下的模．考点五 空间向量的数量积及其性质的应用18．（2022·广西钦州·高二期末（理））如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，AB 是它的一条侧棱，128,,P P P ⋯是它的上底面上其余的八个点，则集合{},1,2,,8i x x AB AP i =⋅=⋯的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．819．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，2BAD π∠=，3BAC π∠=，则AB CD ⋅=______．20．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．21．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2,3AB AC π=，则AB BC ⋅=（ ）A ．5B 5C ．5D 522．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥-P ABC 的底面ABC 的边长为2，M 是空间中任意一点，则()MA MB MC ⋅+的最小值为（ ）A ．32-B ．1-C ．D ．12-23．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为（ ）AB C D ．24．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体ABCD 中，2,90,2===∠=︒⋅=-AB AC AD BAD AB CD ，则BAC ∠=（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒25．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=︒，则OB 与AC 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°26．（2022·全国·高二期末）已知()0,0,0O ，()1,2,3A ，()2,1,2B ，()1,1,2P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标是______27．【多选】（2022·湖北黄冈·高二期末）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（ ）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC AD ==+，则 1123E B P A⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=-考点六 空间向量的运算的坐标表示（一）空间向量坐标的基本运算28．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量()()2,1,3,1,1,2a b =-=-，则2a b +=（ ）A ．B ．()4,1,1-C ．()5,1,4-D29．（2022·重庆九龙坡·高二期末）在空间直角坐标系中，若(1,1,0)A ，1(2,0,1)2AB =--，则点B 的坐标为（ ） A ．（3，1，﹣2）B ．（-3，1，2）C ．（-3，1，-2）D ．（3，-1，2）30．（2022·福建宁德·高二期末）已知()1,2,3A ，()4,5,9B ，13AC AB =，则AC 的坐标为______． 31．（2020·陕西·绥德中学高二期末（理））若(1,1,0)a =,(1,0,2)b =- ,则与a b +同方向的单位向量是_______. 32．【多选】（2022·福建三明·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（ ）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1） D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）（二）空间向量平行的坐标运算33．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量()2,1,1a x =---，()2,,2b x x =-，且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．1C ．1-或2D ．1或2-34．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量()1,1,0a =-，()1,0,2b =，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-35．（2022·北京昌平·高二期末）已知(,2,6)a x =-是直线1l 的方向向量，(1,,3)b y =-是直线2l 的方向向量．若直线12l l ∥，则x y +=________．36．（2022·重庆长寿·高二期末）已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l α⊥，则y 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．14D ．4（三）空间向量垂直的坐标运算37．（2022·广东广州·高二期末）已知向量(1,3,2)a →=-，(2,,4)b m →=--，若a b →→⊥，则实数m 的值是___________. 38．【多选】（2022·福建福州·高二期末）已知空间向量()()1,,2,2,1,2a k k b =+-=-，且a b ⊥，则 （ ） A ．6k =-B ．6k =C ．3b =D ．9b =39．（2022·河北保定·高二期末）已知()2,1,3a =-，()1,2,1b =-，若()b a b λ⊥+，则实数λ=______．40．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知向量a →=(1，1，k)，b →=(−1，0，−1)，c →=(0，2，1)，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．2- C ．3- D ．4-（四）空间向量模长的坐标运算41．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期末）若点(1,1,2)A -，(0,3,0)B ，(1,0,1)C -点D 在z 轴上，且AD BC ⊥则||=AD ______.42．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=___________.43．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =-，且a c ⊥，//b c ，则2a b +=______.44．（2022·江苏·沭阳如东中学高二期末）已知(1,21,0),(3,,)a t t b t t =--=，则||b a -的最小值（ ）A B C ．143D （五）空间向量夹角的坐标运算45．（2022·吉林辽源·高二期末）已知空间向量(3,22)a =-，b 是单位向量，1213a b -=，则向量a 与b 的夹角为______.46．（2022·全国·高二期末）若向量(1,,)a λλ=，(2,1,1)b =-，a ，b 夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 47．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 为PC 上一动点，PM tPC =，若⊥BMD 为钝角，则实数t 可能为（ ）A ．15B ．14 C ．13D ．1248．（2022·广东江门·高二期末）若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.（六）空间向量投影的坐标运算49．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系O xyz - 中，已知向量()1,0,3a =，则a 在x 轴上的投影向量为________.50．（2022·天津天津·高二期末）已知空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是__________．51．（2022·广东惠州·高二期末）已知()0,1,1a =，()0,1,0b =，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．1B C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭考点七 空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用（一）平行问题52．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．53．（2022·安徽滁州·高二期末）如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABC ，AD //BE //CF ，且AD ＝1，BE ＝5，CF ＝3，⊥ABC 是边长为2的正三角形，G 是AB 的中点．(1)求证：CG //平面DEF ；(2)求二面角E DF A --的余弦值．（二）垂直问题54．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）如图，边长为2的等边PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点.(1)证明：AM PM ⊥；(2)求平面P AM 与平面ABCD 的夹角的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离.55．（2022·福建福州·高二期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：(2)求点B 到平面ACF 的距离．56．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AB =BC =C 1C =2A 1B 1，O 为AC 的中点，P 是C 1C 的中点.(1)证明：平面A 1BC ⊥平面POB ；(2)求二面角B 1－A 1B －C 的余弦值.（三）综合问题57．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知平面β法向量为()3,1,5m =-，直线l 的方向向量为()6,2,10n =--，则（ ）A ．l 与β平行B ．l 与β垂直C ．l 与β相交但不垂直D ．以上都不对58．【多选】（2022·广东深圳·高二期末）直三棱柱111ABC A B C 中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥59．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D CB ．直线PB 与直线1DC 平行，直线PB ⊥平面11AC DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC BD ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC考点八 空间角的计算60．（2022·广东江门·高二期末）在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ）A B ．12 C D 61．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：⊥BM 与ED 平行⊥BM 与CE 垂直⊥CE 与平面ABCD ⊥CN 与BM 所成角为60︒以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥62．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD 中点(1)求证：CF 面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小.63．【多选】（2022·山东·巨野县第一中学高二期末）已知在直三棱柱111ABC A B C 中，底面是一个等腰直角三角形，且1AB BC BB ==，E 、F 、G 、M 分别为1111B C A B AB BC ，，，的中点．则（ ）A ．1GB 与平面11ACC A B ．1AB 与1BC 所成角为3π C ．1//A M 平面EFBD ．平面1AB C ⊥平面1A MC64．（2022·河南南阳·高二期末（理））如图，四边形ABEF 为直角梯形，//AF BE 且BE EF ⊥，CDFE 为正方形，且平面CEFD ⊥平面ABEF ，22EF AF BE ===，13AP AB =，23DQ DC =，则PQ =______，直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为______．65．（2022·福建省仙游县度尾中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，2,AC BC PB ===D 是AB 的中点．(1)证明：AC PD ⊥；(2)求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．66．（2022·甘肃·测试·编辑教研五高二期末（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA ，1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.(1)求证：11C M B D ⊥；(2)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.67．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD F EA D --的余弦值.（三）平面与平面所成的角（二面角）68．（2022·青海玉树·高二期末（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2PA AB =,正方形ABCD 的对角线交于点O ．(1)求证:BD ⊥平面P AC ;(2)求二面角P BD C --的余弦值．69．（2022·云南曲靖·高二期末）如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，,BC AD BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====.(1)求证：CF ⊥平面ADE ；(2)求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值.70．（2022·广东中山·高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，π2DAB ∠=，π3ABC ∠=，22AB DC ==，PD PA =CD PD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求平面APB 和平面PBC 的夹角大小.71．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，BM BC λ=，且二面角M PA C --为30°，求λ的值.考点九 空间距离的计算（一）点到直线的距离72．（2022·吉林白山·高二期末）已知(3,1,0)A ，(5,2,2)B ，(2,0,3)C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3BC ．D73．（2022·安徽省宿州市第二中学高二期末）已知直线l 经过点()211A ，，，且()101n =，，是l 的方向向量，则点()432P ，，到l 的距离为（ ）A ．12BCD 74．（2022·青海海东·高二期末（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，6,3,,AB AB AE PF ==分别是线段11,A C BB 的中点，则点P 到直线EF 的距离是（ ）A B ．125 C D ．185（二）点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离75．（2022·上海市奉贤中学高二期末）经过原点的平面α的一个法向量为(3,1,2)n =，点A 坐标为(0,1,0)，则点A 到平面α的距离为______.76．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则点1C 到平面1A BD 的距离是（ ）A B C D77．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD 中，2==AD AB E 是线段AD 的中点，将⊥ABE 沿BE 折起到⊥PBE 位置（如图），点F 是线段CP 的中点．(1)求证：DF ⊥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离． 78．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）若两平行平面α、β分别经过坐标原点O 和点()2,1,1A ，且两平面的一个法向量为()1,0,1n =-，则两平面间的距离是______．（三）异面直线的距离79．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，M ，N 分别是棱AB ，1CC 的中点，E 是BD 的中点，则异面直线1D M ，EN 间的距离为______.80．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．81．（2022·全国·高二期末）在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是___________．考点十 空间向量与立体几何的综合问题82．【多选】（2022·广东茂名·高二期末）（多选）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==E 是侧面11AA D D 的中心，F 是底面ABCD 的中心，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则（ ）A ．EF 是单位向量B ．三棱锥1A BCD -外接球的表面积为7πC ．直线EF 与1A CD ．//EF 平面1A BC83．【多选】（2022·辽宁辽阳·高二期末）在空间直角坐标系O xyz -中，(1,0,0),(1,2,2),(0,0,2)---A B C ，则（ ）A ．3⋅=OC ABB ．点B 到平面AOC 的距离是2C ．异面直线OC 与ABD ．点O 到直线AB 84．【多选】（2022·江苏南通·高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，1160A AB A AD DAB ∠∠∠===，点P 在线段1BC 上，则（ ） A ．1AP B C ⊥B ．P 到11A B 和CD 的距离相等C ．AP 与11A BD ．AP 与平面ABCD所成角的正弦值最大为13 一、单选题 1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（ ）A ．1122-+a b cB ．1122a b c +- C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c 2．（2022·河北·石家庄二十三中高二阶段练习）设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =-B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =-C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =3．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，空间四边形ABCD 中，点G 为BCD △的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，则1132AG BE CA ++的化简结果为（ ）A ．AFB ．AHC ．AED ．CF4．（2021·全国·高考真题（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角【过关检测】为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．（2022·湖北·武汉市第十七中学高二期中）在正四面体D ABC -中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点，则（ ）A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得π4FDB ∠= C ．存在某个位置，使得直线DE 与平面DBFD ．存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC二、多选题 6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11111A C B D O ⋂=，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160BAD DAA BAA ∠=∠=∠=︒，则下列结论正确的是（ ）A．1BD B ．1//CO 平面1BDA C ．1AA 与平面ABCDD ．四棱锥1B ABCD -7．（2022·全国·高二专题练习）已知直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，O 为1A C 的中点.点P 满足1BP BC λ=，其中[0,1]λ∈，则（ ）A ．对[0,1]λ∀∈时，都有11A P OB ⊥B ．当13λ=时，直线1A P 与AB 所成的角是30° C ．当12λ=时，直线1A P 与平面111A B CD ．当12λ=时，直线1A P 与1OB 相交于一点Q ，则112PQ QA = 三、填空题8．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，用向量AB ，AD ，1AA 表示1D B =______．9．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段BC ，AD 的中点，点G 是线段CD 上靠近D 的四等分点，则直线EF 与AG 所成角的余弦值为______．四、解答题10．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，1BC E 为11A C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求点A 到平面BCE 的距离.11．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA =，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．12．（2022·广东·顺德一中高二阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，,,D E F 分别为111,,AA AC A C 的中点，AB BC ==12AC AA ==.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角1B CD C 的余弦值； 13．（2022·天津·静海一中高二阶段练习）如图，⊥AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，2AE BC ==，1AB AD ==，87CF =，则（1）求BD 与EC 所成角的余弦值；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求平面EBD 与平面BDF 的夹角的余弦值.。