2020-2021学年重庆市南岸区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年重庆市南岸区九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=√3
2，则α等于（）
A．70°B．60°C．50°D．30°
2．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换（）
A．相似变换B．平移变换C．旋转变换D．对称变换
3．如图所示的四棱柱的主视图为（）
A．B．C．D．
4．如图，△ABC∽△ACP，若∠A＝75°，∠APC＝65°，则∠B的大小为（）
A．40°B．50°C．65°D．75°
5．若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则代数式4m﹣m2的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22
6．矩形不具备的性质是（）
A．对角线相等B．四条边一定相等
C．是轴对称图形D．是中心对称图形
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐
标是（3，4），则点B 的坐标为（ ）
A ．（5，4）
B ．（8，4）
C ．（5，3）
D ．（8，3）
8．如图，直线l 1∥l 2∥l 3两条直线分别与l 1、l 2、l 3，相交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，已知
AB BC =12，则下列等式不成立（ ）
A ．DE EF =12
B ．DE DF =13
C ．FE E
D =12 D ．FD F
E =32 9．若点A （1，m ），B （4，n ）都在反比例函数y =−8x 的图象上，则m 与n 的大小关系是
（ ）
A ．m ＜n
B ．m ＞n
C ．m ＝n
D ．无法确定
10．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距
离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）
A ．6cm
B ．12cm
C ．18cm
D ．24cm
11．如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m 的地方，手臂向前伸
直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm 的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm ，则电线杆的高是（ ）。
2021-2022学年重庆市南岸区初二数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年重庆市南岸区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．4的平方根是( )A ．2B ．2-C ．16D ．2±2．计算263⨯的结果是( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．43．如图，12//l l ，34//l l ，与α∠互补的是( )A ．1∠B ．2∠C ．3∠D ．4∠4．在平面直角坐标系中，下列各点与点(2,3)关于x 轴对称的是( ) A ．(2,3)- B ．(3,2) C ．(2,3)-- D ．(2,3)-5．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是20.63S =甲，2 2.56S =乙，20.49S =丙，20.46S =丁，则射箭成绩最稳定的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁6．如图，某汽车离开某城市的距离()y km 与行驶时间()t h 之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为( )A ．30/km hB ．60/km hC ．70/km hD ．90/km h7．若21x y =⎧⎨=⎩和10x y =-⎧⎨=⎩都是方程1ax by +=的解，则a b +的值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．38．如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：应聘者项目甲乙丙丁学历8976经验6488工作态度7765如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为()A．2100y x=-+B．240y x=-+C．2220y x=-+D．260y x=-+11．如图，Aα∠=，3DBC DBA∠=∠，3DCB DCA∠=∠，则BDC∠的大小为()A．3454α+︒B．2603α+︒C．3454α-︒D．2603α-︒12．某数码商店一周年店庆，推出三种优惠券：满299元减50元，满499元减80元，满799元减120元；同时推出满600元享受9折的折扣、满700元享受8.5折的折扣、满800元享受8折的折扣活动．顾客可先选择其中一种优惠券，再选择其中一种折扣．例如：购买700元的商品，可选满700元8.5折，实际付款595元；也可选满499元减80元，再享受620元的9折，实际付款为558元．请通过计算，原价是810元的商品，采用优惠组合后的最低价是()A．直接选满800元享受8折的折扣B．先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣C．先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣D．先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．化简：327=．14．如果一个等腰三角形的底为8，腰长为5，则它的面积是．15．如图，直角三角形AOB的直角边OA在数轴上，AB与数轴垂直，点O与数轴原点重合，点A表示的实数是2，2BA=以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点C，则点C对应的数是．16．如图，直线1:l y kx b=+与直线2:4l y x=-+相交于点P，若点(1,)P n，则方程组4y kx by x=+⎧⎨=-+⎩的解是．17．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为m．18．如图①，在ABC∆中，90ACB∠=︒，:4:3AC BC=，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为．三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．计算：（1）1(8)182（2）(2712155)3 20．解方程组：（1）524x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）2(1)1 341x yy x--=⎧⎨=-⎩．21．如图，是单位为1的方格．（1）在方格中建立直角坐标系，满足A，B两点的坐标分别是(0,2)，(0,2)-，并描出点(2,2)C-，(3,0)D，(2,2)E，连接AB，BC，CD，DE，EA．（2）作出（1）中五边形ABCDE关于y轴的对称图形．（3）求（2）中所作的五边形ABCDE的周长和面积．22．某小区有500户居民，从中随机抽取了100户，调查了他们11月的用水量（单位：吨）．整理抽取的这100户的月用水量，其中小于等于15吨的户数有60户．按月用水量（单位：吨）0~5，5~10，10~15，15~20，25~30，30~35进行分组，绘制了频数分布直方图．（1）直接写出直方图中x，y的值，以及这100户居民月用水量的中位数所在的组别；（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0~5的中间值为2.5)来代替，估计该小区11月的用水总量．说明：0~5是指大于等于0且小于等于5，5~10是指大于5且小于等于10，以此类推，30~35是指大于30且小于等于35．23．已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间()x h之间的函数关系，且OC 与EF 相交于点P ．（1）求y 乙与x 的函数关系式以及两人相遇地点P 与A 地的路程；（2）求线段OC 对应的y 甲与x 的函数关系式；（3）求经过多少h ，甲、乙两人相距的路程为6km ．24．为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤）鲢鱼a 6 草鱼 b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分 9 8.5 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．（1）求a ，b 的值；（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x 斤（销售过程中损耗不计）．①求出每天销售获利y （元)与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m 元(0)m >，草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m 的值．25．如图，已知ABC ∆．（1）请用尺规完成以下作图：延长线段BC ，并在线段BC 的延长线上截取CD AC =，连接AD ；在BD 下方，作DBE ADB ∠=∠；（2）若AB AC =，利用（1）完成的图形，猜想ABE ∠与DBE ∠存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若3AB AC==，4BC=，利用（1）完成的图形，计算AD的长度．26．如图，在直角坐标系内，把12y x=的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求BD的长；（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且ABE∆为等腰三角形．答案与解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．解：2(2)4±=，4∴的平方根是2±，故选：D ．2．解：263⨯ 263=⨯ 4=2=，故选：B ．3．解：12//l l ，34//l l ，45180∴∠+∠=︒，3α∠=∠，35∠=∠， 5α∴∠=∠，4180α∴∠+∠=︒，∴图中与α∠互补的角有：4∠．故选：D ．4．解：点(2,3)关于x 轴对称的点的坐标是(2,3)-，故选：A ．5．解：20.63S =甲，2 2.56S =乙，20.49S =丙，20.46S =丁， 2222S S S S ∴<<<乙丁丙甲，∴射箭成绩最稳定的是丁，故选：D ．6．解：由图象知，汽车第一小时到第2小时行驶的路程为1509060()km -=，故选：B ．7．解：把21x y =⎧⎨=⎩和10x y =-⎧⎨=⎩代入方程1ax by +=得： 211a b a +=⎧⎨-=⎩①②， 由②解得：1a =-，把1a =-代入①得：21b -+=，解得：3b =，则132a b +=-+=．故选：C ．8．解：观察图形可知①是直角三角形；②22131910+=+=，222441620+=+=，101020+=，∴②是直角三角形；③2222448+=+=，22339918+=+=，225125126+=+=，81826+=，∴③是直角三角形；④2212145+=+=，222441620+=+=，2525=，52025+=，∴④是直角三角形．故选：D ．9．解：根据题意得：甲得分为：830%630%740% 2.4 1.8 2.87⨯+⨯+⨯=++=（分)；乙得分为：930%430%740% 2.7 1.2 2.8 6.7⨯+⨯+⨯=++=（分)；丙得分为：730%830%640% 2.1 2.4 2.4 6.9⨯+⨯+⨯=++=（分)；丁得分为：630%830%540% 1.8 2.42 6.2⨯+⨯+⨯=++=（分)，7 6.9 6.7 6.2>>>，∴甲得分最高．故选：A ．10．解：由题意，得：1002(60)2220y x x =--=-+，2220y x ∴=-+．故选：C ．11．解：A α∠=，3DBC DBA ∠=∠，3DCB DCA ∠=∠，设ABD β∠=，ACD θ∠=，3DBC β∴∠=，3DCB θ∠=，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，44180αβθ∴++=︒，454αβθ∴+=︒-，31803()1803(45)4544BDC αβθα∴∠=︒-+=︒-⨯︒-=︒+， 故选：A ．12．解：A 、直接选满800元享受8折的折扣后的金额为：8100.8648⨯=（元)，B 、先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：(81050)0.85646-⨯=（元)，C 、先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：(81080)0.85620.5-⨯=（元)，D 、先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣后的金额为：(810120)0.9621-⨯=（元)， 则648646621620.5>>>，故采用先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣组合后为最低价，故选：C ．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．解：3327=，∴3273=；故答案为：3．14．解：如图，作AD BC ⊥于D ，AB AC =，AD BC ⊥，142BD BC ∴==， 在Rt ABD ∆中，由勾股定理得，3AD =，11831222ABC S BC AD ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：12．15．解：由勾股定理知：==OC ∴=∴点C 对应的数是故答案为：16．解：（1）直线2:4l y x =-+经过点(1,)P n ，143n ∴=-+=，∴直线1:l y kx b =+与直线2:4l y x =-+的交点(1,3)P ，∴方程组4y kx b y x =+⎧⎨=-+⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩； 故答案为：13x y =⎧⎨=⎩； 17．解：设AD x =m ，则(0.8)AE x m =+，根据勾股定理得，22222.4(0.8)2x x +=++，解得0.7x =，0.7AD m ∴=，2.5()AB m ∴=，答：梯子的长度为2.5m ，故答案为：2.5．18．解：90ACB ∠=︒，:4:3AC BC =，设4AC x =，3BC x =，根据勾股定理得，5AB x =，34512x x x ++=，1x ∴=，5AB ∴=，3BC =，4AC =，∴图①中正方形的面积和为：222345252522550++=+=⨯=，图②中所有正方形的面积和为，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：22222343452525252550++++=++=+，图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中的所有正方形的面积和为：222222234343452525252522550++++++=+++=⨯+，......，n ∴次操作后的图形中所有正方形的面积和为2550n +，故答案为：2550n +．三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．解：（1）原式=⨯=9=；（2）原式=0=0=．20．解：（1）524x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：39x =，解得：3x =，把3x =代入①得：35y +=，解得：2y =，则方程组的解为32x y =⎧⎨=⎩； （2）方程组整理得：23431x y x y -=⎧⎨-=⎩①②， ①2⨯-②得：5y =，把5y =代入①得：253x -=，解得：4x =，则方程组的解为45x y =⎧⎨=⎩． 21．解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）五边形ABCDE 的周长25524825=+=+五边形ABCDE 的面积2322102+=⨯⨯=． 22．解：（1）60(303)27x =-+=，100(6018126)4y =-+++=，由于一共100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这两个数据均落在10~15这一组， 所以这100户居民月用水量的中位数在10~15这一组；（2）1500(2.537.52712.53017.51822.51227.5632.54)100⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 51465=⨯7325=（吨)， 答：估计该小区11月的用水总量为7325吨．23．解：（1）设y 乙与x 的函数关系式是y kx b =+乙，点(0,12)E ，(2,0)F 在函数y kx b =+乙的图象上，∴1220b k b =⎧⎨+=⎩，解得612k b =-⎧⎨=⎩，即y 乙与x 的函数关系式是612y x =-+乙，当0.5x =时，60.5129y =-⨯+=乙，即两人相遇地点与A 地的距离是9km ；（2）设线段OC 对应的y 甲与x 的函数关系式是y ax =甲， 点(0.5,9)在函数y ax =甲的图象上，90.5a ∴=，解得18a =，即线段OC 对应的y 甲与x 的函数关系式是18y x =甲；（3）①令|18(612)|6x x --+=， 解得，134x =（甲23h 已到B 地，故不合题意，舍去），214x =， ②当甲到达B 地时，乙离B 地6千米所走时间为：6(122)1÷÷=（小时）， 综上所述，经过14小时或1小时时，甲、乙两人相距6km ． 24．解：（1）根据题意得：10201602010140a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得46a b =⎧⎨=⎩； （2）①由题意得，销售鲢鱼获利1(64)2(80120)y x x x =-=，（Ⅰ）当300200x -时，100120x ，销售草鱼获利2(96)(300)3900y x x =-⨯-=-+； ∴当100120x 时，每天销售获利122(3900)900y y y x x x =+=+-+=-+， （Ⅱ）当300200x ->时，80100x <，销售草鱼获利2(96)200(8.56)(300200) 2.5850y x x =-⨯+-⨯--=-+；∴当80100x <时，每天销售获利122( 2.5850)0.5850y y y x x x =+=+-+=-+，综上所述，900(100120)0.5850(80100)x x y x x -+⎧=⎨-+<⎩； ②设销售获利W 元，由题意得：(64)(8.56)(300)(0.5)750W m x x m x =--+-⨯-=--+，其中80120x ，当0.50m --时，(0.5)750750W m x =--+，不合题意， 0.50m ∴--<，W ∴随x 的增大而减小，∴当120x =时，W 的值最小， 由题意得：(0.5)120750630m --⨯+=， 解得0.5m =，m ∴的值为0.5．25．解：（1）如图，线段AD ，CD 即为所求；（2）如图，射线BE 即为所求．结论：3ABE DBE ∠=∠．理由：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，CA CD =，CAD ADC ∴∠=∠，ACB CAD ADC ∴∠=∠+∠，ADC DBE ∠=∠，2ABC DBE ∴∠=∠，3ABE DBE ∴∠=∠．（3）过点A 作AH BC ⊥于点H ， 3AB AC ==，4BC =，AH BC ⊥， 2BH CH ∴==，2222325AH AB BH ∴--= 3AC CD ==，235DH CH CD ∴=+=+=，AD∴==26．解：（1）把12y x=的图象向下平移1个单位，112y x∴=-，当0x=时，1y=-，(0,1)B∴-，当0y=时，2x=，(2,0)A∴；（2）(2,0)A，(0,1)B-，AB∴C为线段AB的中点，1(1,)2C∴-，CD AB⊥，BDC BAO∴∠=∠，sinBCBAOBD∴∠=，52BD∴=；（3）52BD=，3(0,)2D∴，设直线CD的解析式为y kx b=+，∴1232k bb⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴232kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，322y x∴=-+，当BE AE=时，E点在AB的垂直平分线上，E∴点与D点重合或E点是CD与x轴的交点，3(0,)2E∴或3(4E，0)；当BA BE =时，5BE =， (0,15)E ∴-+或(0,15)--或(2,0)-； 当AB AE =时，(25E +，0)或(0,1)或(25-，0)；综上所述：E 点坐标为3(0,)2或3(4，0)或(0,15)-+或(0,15)--或(2,0)-或(25+，0)或(0,1)或(25-，0)．。
山西省太原市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
太原2020-2021学年第一学期九年级期末考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1. 方程280x -=的解为（ ）A. 14x =，24x =-B. 1x =2x =-C.10x =，2x = D. x =【答案】B【解析】【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：x =±即12x x ==-故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键．2. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A. x y 3= B. 5y x = C. 21y x = D. 1y 2x=+ 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的定义判断即可．【详解】A 、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；B 、符合反比例函数的定义，选项符合题意；C 、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意；D 、不符合反比例函数的定义，选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式kyx=(0k≠)．3. 如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上边看是一个大矩形，大矩形里面是两个相邻的小矩形，故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键．4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A. ∠ABC＝90°B. AC＝BDC. AD=ABD. ∠BAD＝∠ADC【答案】C【解析】【分析】直接根据矩形的判定进行解答.【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形，A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误；B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误；C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确；D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180︒，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90︒，是矩形，不符合题意，该选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别.5. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )A. 23B.29C.13D.19【答案】B【解析】【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．【详解】画“树形图”如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，∴一辆向右转，一辆向左转的概率为29；故选B．【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解6. 如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A. 3B. ﹣3C. 6D. ﹣6【答案】D【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k ＜0，∴k=﹣6．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．7. 已知ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得DEF，则下列说法正确的个数是（）①ABC与DEF是位似图形；②ABC与DEF是相似图形；③ABC与DEF的周长比为1:2；④ABC与DEF的面积比为4:1．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据位似图形的定义和性质，相似三角形的判定定理和性质定理，即可得到答案．【详解】根据位似图形的性质得：①ABC与DEF是位似图形，②ABC与DEF是相似图形，故①②正确；∵DEF的三边长分别为ABC的三边长的12，∴ABC与DEF的周长比为2:1，故③错误；∵相似三角形面积比等于相似比的平方，∴ABC 与DEF 的面积比为4:1，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查位似图形的定义和性质，掌握位似图形定义和相似三角形的 性质和判定定理，是解题的关键．8. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m ，宽为4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）A. 26mB. 27mC. 28mD. 29m【答案】B【解析】【分析】 本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】假设不规则图案面积为x ，由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：20x ， 当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：0.3520x =，解得7x =． 故选：B ．【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．9. 如图，将边长2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC 沿着AD 方向平移，得到A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积为21cm ，则它移动的距离AA '等于（ ）A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm【答案】B【解析】【分析】 根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H 与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A′D=2-x ，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【详解】解：设AC 交A′B′于H ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠A=45°，∠D=90°，∴△A′HA 是等腰直角三角形，设AA′=x ，则阴影部分的底A′H=x ，高A′D=2-x ，∴x•(2-x)=1，即2210x x -+=，解得：121x x ==，即AA′=1cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．10. 如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A. 3：2：1B. 5：3：1C. 25：12：5D. 51：24：10 【答案】D【解析】【分析】【详解】连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣35）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=512K，∴BH：HG：GM=512k：12k：5k=51：24：10故选：D．二、填空题（本大题共5道小题，共10分）11. 若关于x的方程220x x m+-=有两个相等的实数根，则实数m的值等于________．【答案】18-【解析】【分析】根据根的判别式得出△=b 2-4ac=12-4×2×（-m ）=0，即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程2x 2+x-m=0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=12-4×2×（-m ）=0，解得：m=18-， 故答案为：18-．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．12. 在函数4y x=-的图象上有三点（﹣3，y 1）、（﹣2，y 2）、（1，y 3），则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系为_____． 【答案】y 3＜y 1＜y 2【解析】【分析】分别计算自变量为-3、-2、1代入的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】解：当x=-3时，y 1=-443x =, 当x=-2时，y 242x =-= 当x=1时，y 3=44x-=- 所以，y 3＜y 1＜y 2．故答案为：y 3＜y 1＜y 2【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．13. 如图，平面内直线1234//////l l l l ，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为________．【答案】5 【解析】【分析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF=1，BF=2．根据勾股定理可求BC2得正方形的面积．【详解】解：过C点作EF⊥l1，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED=∠BFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD=90°．∴∠DCE+∠BCF=90°．又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCF．在△CDE和△BCF中，90CED BFCCDE BCFBC CD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF=CE=2．∵CF=1，∴BC2=12+22=5，即正方形ABCD 的面积为5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键． 14. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，24BC =，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF AC ⊥于点F ，EG EF ⊥交AB 于点G ．若EF EG =，则CD 的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据题意和相似三角形的判定和性质，作DH ∥EG 交AB 于点H ，可以证出△AEF ∽△ADC ，则AE EG EF AD DH CD ==，由EF=EG 得CD=DH ，设DH=CD=x ，证出△BDH ∽△BCA ，从而DH BD AC BC =，用含x 的式子表示出BD ，再代入便可求出x ，即CD 的长度．【详解】作DH ∥EG 交AB 于点H ，则△AEG ∽△ADH ， ∴AE EG AD DH=， ∵EF ⊥AC ，∠C=90°，∴EF//DC ，∴△AEF ∽△ADC ， ∴AE EF AD CD=， ∴EG EF DH CD =， ∵EF=EG ，∴CD=DH ，设DH=CD=x ，∵BC=24，AC=12，∴BD=24-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH//EG，∴EG//AC//DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即241224x x-=，解得x=8，∴CD=8，故答案是：8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，明确题意、正确作出辅助线是解题的关键．15. 如图,菱形ABCD顶点A在例函数y=3x(x>0)的图象上，函数y=kx(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为______.【答案】3【解析】【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【详解】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，∵函数y ＝k x （k ＞3，x ＞0）的图象关于直线AC 对称， ∴O 、A 、C 三点在同一直线上，且∠COE ＝45°，∴OE ＝AE ，不妨设OE ＝AE ＝a ，则A （a ，a ），∵点A 在在反比例函数y ＝3x （x ＞0）的图象上， ∴a 2＝3，∴a ＝3，∴AE ＝OE ＝3，∵∠BAD ＝30°，∴∠OAF ＝∠CAD ＝12∠BAD ＝15°， ∵∠OAE ＝∠AOE ＝45°，∴∠EAF ＝30°，∴AF ＝cos30AE ︒＝2，EF ＝AEtan30°＝1， ∵AB ＝AD ＝2，AE ∥DG ，∴EF ＝EG ＝1，DG ＝2AE ＝23，∴OG ＝OE ＋EG ＝3＋1，∴D （3＋1，23），∴k=(31)23623+⨯=+故答案为623+．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A 点第一象限的角平分线上．三、解答题（本大题共8道小题，共60分）16. 解下列过程：（1）2220x x --=；（2）(23)(32)(23)x x x x -=+-．【答案】（1）11x =21x =（2）1 1.5x =，21x =-【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）移项，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）2220x x --=，222x x -=，配方得：22121x x -+=+，2(1)3x -=，开方得：1-=x ，解得：11x =21x =；（2）(23)(32)(23)x x x x -=+-，(23)(32)(23)0x x x x --+-=，(23)[(32)]0x x x --+=，230x -=，(32)0x x -+=，解得：1 1.5x =，21x =-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点正确选择合适的方法是解题的关键．17. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A 、B 、C 、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【答案】（1）14；（2）16【解析】【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，故答案为：14；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=21 126=．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18. 在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数kyx=（0k>）图象的一部分．（1）求出当12x ≥时对应的y 与x 的函数关系式；（2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间是多长？【答案】（1）216y x =(12x ≥)；（2）17.5小时 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得函数关系式；（2）先求出0≤x≤2时的函数解析式，然后观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且AB 段是恒温阶段，y=18，所以计算AD 和BC 两段当y=12时对应的x 值，相减就是结论．【详解】解：（1）把(12,18)B 代入函数(0)k y k x =>中得：1218216k =⨯=， ∴12x ≥时，216y x=；（2）设0≤x≤2时的解析式为：y=kx+b ，把A(2，18)和D(0，10)代入得：21810k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：410k b =⎧⎨=⎩，∴0≤x≤2时，y=4x+10；当41012x +=时，0.5x =， 当21612x=，18x =， 180.517.5-=，答：这天该种蘑菇适宜生长的时间17.5小时．【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． 19. 如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母O 表示）（2）在图中画出路灯灯杆（用线段OC 表示）；（3）若左边树AB 的高度是4米，影长是3米，树根B 离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）灯杆的高度是163米 【解析】【分析】（1）直接利用中心投影的性质得出O 点位置；（2）利用O 点位置得出OC 的位置；（3）直接利用相似三角形的性质得出灯杆的高度．【详解】解：（1）如图所示：O 即为所求；（2）如图所示：CO 即为所求；（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，则EB AB EC CO=，∵EB=3m，BC=1m，AB=4m，∴344CO=，解得：CO=163，答：灯杆的高度是163米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出O点位置是解题关键．20. 如图，ABC中，AB AC=，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE OD，连接AE，CE．求证：四边形ADCE是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形AECD是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形便可证出．【详解】证明：∵点O是AC中点，∴AO CO=，又∵OE OD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AD是BC边上的高，∴AD DC⊥，∴90ADC∠=︒，∴四边形ADCE矩形【点睛】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，能综合运用定理进行推理是解题的关键．21. 如图，某小区规划在一个长30m ，宽20m 的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为256m .应如何设计道路的宽度？【答案】道路的宽度应设计为1m.【解析】【分析】设道路的宽度为x m ，横、竖道路分别有2条，所以草坪的宽为：（20-2x ）m ，长为：（30-2x ）m ，草坪的总面积为56×9，根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：设道路的宽度为x m.由题意得：()()302202569x x --=⨯化简得：225240x x -+=()()1240x x --=解得：11x =，224x =（舍）答：道路的宽度应设计为1m ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目条件进行设未知数，列出方程并且求解是解题的关键．22. 综合与实践—四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．问题情境：如图1，在矩形ABCD 中，=AB 6，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG ．特例分析：（1）请直接写出CG 的长是________．（2）如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（比如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，请计算DF 与CG 的长，通过计算，试猜想DF 与CG 之间的数量关系．深入探究：（3）请从下面A 、B 两题中任选一题作答．我选择________题A ．当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（2）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？请说明理由．B ．“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在ABCD 中，60B ∠=︒，=AB 6，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．“智慧”数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．如图5，当AEGF 绕点A 旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，DF 与CG 是否还存在着第（2）问中特定的数量关系？请说明理由．【答案】（1）5；（2）45DF CG =；（3）A ．成立，理由见解析；B ．存在，理由见解析 【解析】分析】（1）如图1中，延长EG 交CD 于H ，则四边形FGHD 是矩形，利用勾股定理计算即可；（2）如图2中，作FP AD ⊥于P ，根据1BG AB AG =-=，利用勾股定理求出228165CG +证明APF AEG ∽△△，得到AP PF AF AE EG AG ==，计算得到1228855DP AD AP =-=-=，利用勾股定理求出22655DF PD PF =+=，即可得到45DF CG =； （3）A ．连接AG 、AC ，利用勾股定理求出2210AC AD CD =+=， 根据DAF CAG ∠=∠，AD AF AC AG =证明ADF ACG ∽，即可得到45DF CG =； B ．存在，如图4中，延长EG 交CD 于H ，作CK GH ⊥于K ，根据四边形FGHD 是平行四边形，四边形AEGF 是平行四边形，得到4DF GH ==，3CH =，60CHG D ∠=∠=︒， 32HK =，33CK =，利用勾股定理求出CG ，即可得到134CG DF =；（在图5中，连接AG 、AC ．同法可证：ACG ADF ∽△△，可得13==CG AC DF AD ，可得134CG DF =）． 【详解】解：（1）如图1中，延长EG 交CD 于H ，则四边形FGHD 是矩形． 在Rt CGH △中，4GH DF ==，3CH DH AE ===，∴225CG CH GH =+=．故答案为：5；（2）如图2中，作FP AD ⊥于P ．在矩形AEGF 中，∵3AE =，4EG =，∴5AG =，1BG AB AG =-=，在Rt CBG △中，228165CG +=∵∠E=∠EAF=∠BAD=∠APF=90︒，∴∠EAG+∠GAF=∠FAP+∠GAF=90︒，∴∠EAG=∠FAP ，∴APF AEG ∽△△，∴AP PF AF AE EG AG==， ∴4345AP PF ==， ∴125AP =，165PF =，1228855DP AD AP =-=-=，在Rt PDF 中，224655DF PD PF =+=， ∴45DF CG =．（3）A ．成立．理由如下：连接AG 、AC ．由旋转可知：DAF CAG ∠=∠，由勾股定理可知：2210AC AD CD =+=，5AG =， ∵84105AD AC ==，45AF AG =， ∴AD AF AC AG=， ∴ADF ACG ∽， ∴45DF AD CG AC ==， ∴45DF CG =．B ．存在，如图4中，延长EG 交CD 于H ，作CK GH ⊥于K ．由题意可知四边形FGHD 是平行四边形，四边形AEGF 是平行四边形，∴4DF GH ==，3DH FG AE ===，3CH =，60CHG D ∠=∠=︒ ，在Rt CHK △中，3cos602HK CH =⋅︒=，33sin 602CK CH =⋅︒=52GK GH KH =-=，在Rt CGK △中，225331322CG ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴134CG DF =．在图5中，连接AG 、AC ．同法可证：ACG ADF ∽△△，可得134==CG AC DF AD ，可得134CG DF =． ．【点睛】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行四边形的判定及性质，这是一道几何图形的综合题，掌握各部分知识并熟练运用是解题的关键．23. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线2y x =+和双曲线8y x=相交于A 、B 两点． （1）连结AO 、BO ，求出AOB 的面积．（2）已知点E 在双曲线8y x=上且横坐标为1，作EF 垂直于x 轴垂足为F ，点H 是x 轴上一点，连结EH 交双曲线于点I ，连结IF 并延长交y 轴于点G ，若点G 坐标为80,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，请求出H 点的坐标．（3）已知点M在x轴上，点N是平面内一点，以点O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出N 点的坐标．【答案】（1）6；（2）213,02H⎛⎫+⎪⎪⎝⎭；（3）(1,8)-或(165,8)+或(165,8)-或63(,8)2-【解析】【分析】（1）根据S△AOB=S△AOC+S△OCB，求解即可解决问题．（2）求出直线FG的解析式，构建方程组求出点I的坐标，求出直线EH的解析式即可解决问题．（3）分三种情形：当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x轴对称，可得N1（1，-8）．当OM为菱形的边时，可得N2（1+65，8），N4（1-65，8）．当OE为菱形的对角线时，求出点M3的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，设AB交y轴于C．由82yxy x⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得24xy=⎧⎨=⎩或42xy=-⎧⎨=-⎩，∴(2,4)A，(4,2)B--，∵直线AB交y轴于(0,2)C，∴112224622AOB AOC OCB S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△． （2）如图2中，由题意(1,8)E ，(1,0)F ，∵80,5⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，∴直线FG 的解析式为8855=-y x ， 由88855y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12144215x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或12144215x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩， ∴1214421,25I ⎛-+ ⎝⎭， ∴直线EH 的解析式为44213642155y x -+=+ 令0y =，解得2132x =， ∴213H ⎫+⎪⎪⎝⎭． （3）如图3中，∵(1,8)E ，∴221865OE =+，当1OM 是菱形的对角线时，E ，1N 关于x 轴对称，可得1(1,8)N -．当OM 为菱形的边时，可得2(165,8)N +，4(165,8)N -．当OE 为菱形的对角线时，连接33M N 交OE 于T ，3EN 交y 轴于P ．∵33M N OE ⊥，∴390OTM ∠=︒，∵3POE TM O ∠=∠， ∴3sin sin POE OM T ∠=∠，365265OM =，∴3652OM =， ∴365,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵33TN TM =，1,42T ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴可得363,82N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，满足条件点N 的坐标为(1,8)-或(165,8)+或(165,8)或63(,8)2-． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会根据一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
四川省自贡市2020-2021学年上学期九年级期末统一考试 数学试卷 (解析版)
自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 1页（共 6页） 第 2页 （共6页）秘密★启用前〖考试时间：2021年1月19日上午9：00－11：00〗自贡市2020－2021学年九年级上学期期末考试数 学 试 题重新制版 赵化中学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分.考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时.须将答案答在答题卡对应的框内，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，本试题卷学生自己保留，只将答题卡交回.第Ⅰ卷 （选择题 共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号.一.选择题（每小题4分，共48分） 1.下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）2.用配方法解一元二次方程--=2x 4x 20，下列变形正确的的是（ ）A.()-=-+2x 4216 B.()-=+2x 4216 C.()-=-+2x 224 D.()-=+2x 224 3.如图，∠=O 30,C 为OB 上一点，⊥CD OA 于点D ,且=OC 6,以点C 为圆心，半径为2的圆与OA 的位置关系是 （ ） A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能4.关于x 的一元二次方程-+=2x 2x a 0有两个相等的实数根，则a 的值为 （ ）A.1B.-1C.4D.-45.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为13，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明（ ）A.能中奖一次B.能中奖二次C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定6.若将抛物线=-+2y x 2x 3平移后得到抛物线=2y x ，下列平移方法正确的是 （ ） A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7.如图AB 是⊙O 的切线，以点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ,点D 在⊙O 上，连接AD ,CD,OA ;若∠=B 20,则∠ADC 的度数为（ ）A.40°B.35°C.30° D .20°8.已知抛物线=+2y ax bx 和直线=-y ax b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（9.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD 内概率是（ ） A.12π B.2π C.2πD.2π10.距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，请问该A.4人 B.5人 C.6人 D.7人 11.如图，P 为等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP',使点P'在△ABC 内；已知∠=AP'B 135,连接P'C,P'A ,若=P'C 5P'A ,则P'A:P'B =（ ）A.1:6B.1:26C.1:3D.1:2312.抛物线=++2y ax bx c 的顶点坐标为 ()-1,4a ，其大致图象如图所示，下列结论： ①.>abc 0 ；②.++<4a 2b c 0；③.若方程()()+-=a x 1x 31有两个根12x ,x ，且<12x x ；D A O B C B CDBCOADx y O x y O x y O C x y O D OC DA B P A B CP'自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 3页（共 6页） 第 4页 （共6页）则-<<<121x x 3；③.若方程++=2ax bx c m 有四个根，则这四个根的和为4. 其中正确的结论有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二.填空题(本大题共6个小题，每题4分，共24分)13.儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有 万个.14.抛物线()()=+-y x 2x 1的对称轴是 .15.若()--+-=2m2m 2xx 30是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 .16.用半径为10cm 的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为 8cm ，则扇形的圆心角的度数是 .17.如图在半径为R 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 为AC 的中点，AC 与BD 交于点E ;若点E 是BD 的中点，则AC 的长 为 .18.如图，将边长为4的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，得到正方形AB'C'D'，连接BB',BC'，在旋转角从 0°到180°的整个旋转过程中，当=BB'BC'时，△''BB C 的面积为 . 三.解答题(共8个小题，共78分)19.（8分）解方程：()()-=-22x 142x 1x20.（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片背的面朝上，洗匀. ⑴.若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ； ⑵.若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率.（请用“画树状图”或 “列表”等方法写出分析过程）21.（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相等，设AE 的长度是x 米，矩形区域AEFD 的面积为y 平方米.⑴.求y 与x 之间的函数关系式 ，并注明自变量x 的取值范围； ⑵.x 取何值时，y 有最大值？最大值为多少？22.（8分）如图，点O 是△ABC 的内心，AO 的延长线交△ABC 的外接圆于D . 求证：=OD CD .y1OEDOACD'C'B'CBA D①②区域区域堤岸G E H D A FO CB A自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 5页（共 6页） 第 6页 （共6页） 23.（10分）将关于x 的一元二次方程-+=2x px q 0变形为=-2x px q ，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如()=⋅=-=32x x x x px q ，该方程变形为-=-2x px q ，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：--=2x 2x 10，且>x 0，求--43x 2x 3x 的值.90,点O 为=AC DC ;30, ⊙O25.（12分）综合与实践 动手操作：利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴含的数学方法.如图⑴，将矩形ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合,折痕为EF ,=AB 4展平后，将矩形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使A 点的对应点A' 落在EF 上，点G 在AD 边上，折痕为BG ,连接A'C . 思考探究：⑴.①.当矩形ABCD 为正方形时，△'A BC 为 三角形； ②.当AD = 时，△'A BF 为等腰直角三角形. 请证明你的结论. 开放拓展：26.（14分）在平面直角坐标系中，抛物线=-+-2y x kx 2k 的顶点为N . ⑴.若此抛物线过点()-A 3,1，求抛物线的解析式；⑵.在⑴的条件下，若抛物线与y 轴交于点B ,连接AB ，C 为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过点C 作CD 垂直于x 轴于点D ,CD 交AB 于点E ；若=CE ED ,求点C 的坐标；⑶.无论k 取何值，抛物线都经过定点H ,当直线HN 与y 轴的交角为45°时，求k 的值.注：后面几页有参考解析.F EG ⑴⑵自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 1页（共 14页） 第 2页 （共14页） 自贡市2020－2021学年上学期九年级期末统考 数学试题考点分析及解答分析： 郑宗平一.选择题（每小题4分，共48分）1.下列图形中，是中心对称图形的是 （ ）考点：中心对称图形.2.用配方法解一元二次方程--=2x 4x 20，下列变形正确的的是（ ）A.()-=-+2x 4216 B.()-=+2x 4216 C.()-=-+2x 224 D.()-=+2x 224 考点：一元二次方程的配方法.分析：当二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，由--=2x 4x 20 可得-+=+2x 4x 424 ，即()-=+2x 224；故选D .3.如图，∠=O 30,C 为OB 上一点，⊥CD OA 于点D ,且=OC 6,以点C 为圆心，半径为2的圆与OA 的位置关系是 （ ） A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能考点：直线和圆的的位置关系，等边三角形性质的推论. 分析：由⊥CD OA 可得∠=CDO 90,又∠=O 30；∴==⨯=11CD OC 6322;∵>32 ∴以点C 为圆心，半径为2的圆与OA 相离. 故选A .4.关于x 的一元二次方程-+=2x 2x a 0有两个相等的实数根，则a 的值为 （ ） A.1 B.-1 C.4 D.-4 考点：一元二次方程根的判别式，解不等式.分析：由题意：△ = ()--⨯⨯=-=2241a 44a 0 ，解得=a 1；故选A .5.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为13，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明 （ ）A.能中奖一次B.能中奖二次C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定考点：随机事件的概率.分析：概率只是反映一个随机事件可能性大小的数值，“中奖的概率为13”表示有13中奖的机会和可能性，并不能确定六次抽奖中一定中奖的次数. 故选D .6.若将抛物线=-+2y x 2x 3平移后得到抛物线=2y x ，下列平移方法正确的是 （ ）A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位 考点：抛物线的平移规律.分析：配方后按自变量“左加右减”，函数值“上加下减”的平移规律分析. 把=-+2y x 2x 3配方后为：()=-+2y x 12平移到抛物线=2y x 实际上是通过“向左平移1个单位，再向下平移2个单位”得到的. 故选B . 7.如图AB 是⊙O 的切线，以点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ,点D 在⊙O 上，连接AD ,CD,OA ;若∠=B 20,则∠ADC 的度数为（ ）A.40°B.35°C.30°D .20°考点：圆的切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理.分析：由“AB 是⊙O 的切线，以点A 为切点”可得：⊥OA BA ,∴∠=BAO 90 ,∴∠=O 70∴∠=∠=⨯=11ADC O 703522（注：若点D 是⊙O 上动点，则有两解）.故选B . 8.已知抛物线=+2y ax bx 和直线=-y ax b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）考点：二次函数和一次函数的图象及其性质，图象特征与函数系数之间的关系.分析：B 选项：抛物线开口向下，则<a 0 ；抛物线的对称轴在y 轴的右侧，“左同右异”，则>b 0；故直线 =-y ax b 过二、四象限，且交y 轴于其负半轴.符合.本题也可以用矛盾法，将图象产生矛盾的选项A 、C 、D.排除；故选B .9.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD 内概率是（ ） D A O B C B A CDx y O B x y O x y O C x y O D BCOAD自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 3页（共 14页） 第 4页 （共14页）他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，请问该学习小组共有学生 （ ） A.4人 B.5人 C.6人 D.7人 考点：一元二次方程的应用，解一元二次方程.分析：设该小组有x 名学生，则有：()-=x x 130 ；解得：=1x 6，=-2x 5（不合题意，舍去）.故选C . ABC 外一点，把135,连接P' C.顺时针旋转90 A45，则∠90 )--PA P'5P'A P'=2P'点评：本题可以看作是手拉手模型，实际上只要把大小手牵起来（见图中辅助线）就容易破题了；通过一对全等三角形的对应边转换，在两个直角三角形的基础上利用勾股定理可以解决问题.自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 5页（共 14页） 第 6页 （共14页）点评：本题的①②利用利用函数图象与系数a,b,c 之间的关系容易判断，本题的③④都是一元二次方程的根借用二次函数图象来判断，“二次综合”也是中考的考试热点.二.填空题(本大题共6个小题，每题4分，共24分)13.儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有 万个. 考点：频率，样本估计总体.0.15，则30万个中红球的频率也是0.15，则⨯=300.15 4.5万. 故应填：4.5.14.抛物线)=+-y x 2x 1的对称轴是 . 分析：用=-b x 2a 或+=12x x x 2计算均可.-+==-211x 22；故应填： 直线=-1x 2.15.若()--+-=2m 2m 2xx 30是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 .考点：一元二次方程的定义.分析：根据一元二次方程的定义有⎧-≠⎪⎨-=⎪⎩2m 20m 22解得：=-m 2.故应填：=-m 2.16.用半径为10cm 的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为8cm ，则扇形的圆心角的度数是 .考点：圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理.分析：利用勾股定理可以把圆锥的底圆半径算出来，圆锥的侧面展开 图是扇形，扇形的弧长就是圆锥底圆的周长，再利用弧长公式可以求出扇形的圆心角.解析：∵在Rt △AOB 中，∠=AOB 90,==OA 8,AB 10∴=-=-=2222OB AB OA 1086∴ 底圆的周长为：⋅=2OB 12ππ ,即为圆锥侧面展开图的弧长为12π. 设扇形的圆心角的度数为n . ∴⋅=n 1012180ππ ，解得：=n 216；故应填：216.17.如图在半径为R 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 为AC 的中点，AC 与BD 交于点E ;若点E 是BD 的中点，则AC 的长为 .考点：垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线等. 解析：如图，连接OD ,交AC 于点F . ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠=ACB 90 ∵D 为AC 的中点 ∴⊥OD AC ,=FA FC又点O 是AB 的中点 ∴=1OF BC 2. ∵E 是BD 的中点 ∴=DE BE ,又∠=∠DEF BEC , ∠=∠DFE BCE∴△DEF ≌△DEC （AAS ） ∴=BC DF∵⊙O 的半径为R ∴=AB 2R设=BC x ，则==3OD x R 2 ，解得：=2x R 3.∴()⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2222242AC AB BC 2R R R 33. 故应填：42R 3.点评：有弦弧的中点，容易作中点的半径，利用垂径定理提供的结论为后续提供条件.本题关键利用全等三角形和三角形中位线把问题归结到圆的半径上，然后通过方程和勾股定理解决问题.18.如图，将边长为4的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，得到正方形AB'C'D'，连接BB',BC'，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当=BB'BC'时，△''BB C的面积为 .考点：正方形的性质，等腰等边三角形的性质，直角三角形的性质， 分析：当正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向逆时针旋转30°或150°（旋转角从0°到180°），得到正方形AB'C'D'时，此时=BB'BC'.此时△''BB C 的面积为：上的高⨯1B'C'B'C'2，即为上的高⨯2B'C' .分析：按下面正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向逆时针旋转30°或150°（其它辅助线见图）E DOABCD'C'B'C B A D AOBn 1E F D'B'B A图2：逆时针旋转150°321F EC'B'C B A图1：逆时针旋转30°自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 7页（共 14页） 第 8页 （共14页） ⑴.正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向逆时针旋转30°时，易证=BB'BC'.在Rt △AFB 中，∠=BFA 90,()∠=-∠=--∠=39029090130,=AB 4. ∴ ==1AF AB 22∴=-=-=2222BF AB AF 4223; 又===EF AB'AB 4∴=-=-BE EF BF 423 ∴()=⨯-=-BB'CS2423843 .⑵.正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向逆时针旋转150°时，易证=BB'BC'. 仿照⑴的方法易求=BF 23 ，又===EF AB'AB 4 ∴=+=+BE EF BF 423 ∴()=⨯+=+BB'CS 2423843综上故应填：或+-843843. 19.（8分）解方程：()()-=-22x 142x 1x考点：解一元二次方程.分析：本题把右边整体移到左边，可提取公因式-2x 1 来解比较简便.略解：()()---=22x 142x 1x 0 ································································ 2分 ()()---=2x 12x 14x 0 ·································································· 4分 ∴ -=2x 10 或--=2x 14x 0 ∴==1211x ,x 22. ·············································································· 8分20.（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片背的面朝上，洗匀. ⑴.若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ； ⑵.若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率.（请用“画树状图”或 “列表”等方法写出分析过程） 考点：概率，列举法求概率.分析：⑴问直接根据概率计算，⑵问先用“画树状图”或 “列表”等方法列出所有情况，再把关注的结果数得出来，在根据概率计算公式计算. 略解.⑴.14； ···························································································· 2分 ⑵.画树状图为： ················································································· 6分共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为5的结果为4种； ··· 7分 所以抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率为：=41123. ····························· 8分21.（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相等，设AE 的长度是x 米，矩形区域AEFD 的面积为y 平方米. ⑴.求y 与x 之间的函数关系式 ，并注明自变量x 的取值范围； ⑵.x 取何值时，y 有最大值？最大值为多少？ 考点：二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，数学建模思想.分析：⑴问由矩形的面积根据所设可以列出，自变量取值范围根据 总长可以确定出来.⑵问根据最值公式或配方可以解决. 略解：⑴.由题意得：=-EF 603x ·················································· 1分 ∴()=⋅=-y AE EFx 603x ，即=-+2y 3x 60x （<<0x 20 ） 4分注：没有写自变量取值范围扣1分.⑵. ∵()=-+=--+22y 3x 60x 3x 10300 ································ 7分∴当=x 10时，y 有最大值，最大值是300平方米. ············· 8分22.（8分）如图，点O 是△ABC 的内心，AO 的延长线交△ABC 的外接圆于D .求证：=OD CD .考点：三角形的内心，圆周角定理的推论，三角形内角和定理推论. 分析：连接OC 后要证明的=OD CD 可以化归在⊿ODC 中利用等角 对等边来解决；由 “内心”、“圆周角定理推论”以及三角形的外角定 理来解决. 略证： 连接OC . ········································································· 1分 ∵点O 是△ABC 的内心 ∴12∠=∠ ，∠=∠34 ···················································· 3分 ∵=BD BD ∴∠=∠BCD 2 ∴∠=∠BCD 1 ·································································· 4分 又∠=∠+∠DOC 14 , ∠=∠+∠DCO 3BCD ∴∠=∠DOC DCO ···························································· 7分 ∴=OD CD ····································································· 8分23.（10分）将关于x 的一元二次方程-+=2x px q 0变形为=-2x px q ，就可以将2x 表示①②区域区域堤岸G EHD AF D O C BA 开 始113432自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 9页（共 14页） 第 10页 （共14页） 为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如()=⋅=-=32x x x x px q ，该方程变形为-=-2x px q ，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：--=2x 2x 10，且>x 0，求--43x 2x 3x 的值.考点：阅读理解，降次转化，整体思想，解一元二次方程，求代数式的值.分析：本题求解代入求值比较困难，若将--43x 2x 3x 仿照阅读材料的依次降次转化的办法，就可以化难为易. 略解：∵--=2x 2x 10∴△=()()--⨯⨯-=>2241180∴()--±±===±⨯28222x 12212·················································· 3分∵--=2x 2x 10 ∴-=2x 2x 1∴()()--=--=-=--=-432222x 2x 3x x x 2x 3x x 3x x 2x x 1x ········· 8分∵=±x 12，且>x 0 ∴=+x 12 ··················································· 9分 ∴原式=()-=-+=-1x 1122 ······················································ 10分 24.（10分）如图，在△ABC 中，∠=ACB 90,点O 为BC 边上一点，以OB 为半径的⊙O 与边AB,BC 交于点D,E ，连接DC,DE ，且CD 为⊙O 的切线.⑴.求证：=AC DC ;⑵.若∠=B 30, ⊙O 的半径为1，求阴影部分的面积.考点：切线的性质，圆的有关性质，等腰三角形的性质和判定， 直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积等. 分析：本题的⑴问从切线切入，以等腰三角形和直角三角形为桥梁， 通过“等角的余角相等”可以得到可以得到∠=∠A ADC ,问 题解决；⑵阴影部分的面积可以通过三角形的面积减去扇形的 面积. 略解：⑴.连接OD . ································································ 1分 ∵CD 为⊙O 的切线∴⊥OD DC ，则∠=ODC 90∴∠+∠=ADC BDO 90 ·············································· 2分∵∠=ACB 90 ∴∠+∠=A B 90 ··································· 3分 又=OB OD ∴∠=∠B BDO ························································································ 4分∴∠=∠A ADC ∴=AC DC ····························································································· 5分 ⑵.∵=OB OD∴∠=∠=ODB B 30∴∠=∠+∠=DOE ODB B 60 ··································································· 6分 由⑴问可知∠=ODC 90 ∴∠=DCO 30 ∴==OC 2OD 2∴=-=22CD 213 ············································································ 8分 ∴⨯=-=⨯⨯-=-2ODC ODE16013S S S 13236026ππ···································· 10分25.（12分）综合与实践 动手操作：利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴含的数学方法.如图⑴，将矩形ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合,折痕为EF ,=AB 4展平后，将矩形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使A 点的对应点A' 落在EF 上，点G 在AD 边上，折痕为BG ,连接A'C . 思考探究：⑴.①.当矩形ABCD 为正方形时，△'A BC 为 三角形； ②.当AD = 时，△'A BF 为等腰直角三角形. 请证明你的结论. 开放拓展：⑵.如图⑵，若矩形ABCD 沿过点B 的直线折叠，点G 在AD 上，折痕为BG ,点A 的对应点A'落在矩形ABCD 内部，==AB 4,AD 23,连接A'D .①.在此过程中，点A 翻折到点A' 所走过路径长的范围是 ； ②.A'D 的最小值为 .EO DA B CA'F EBDC A G ⑴A'BDCA G⑵自贡市20 —21上统考 九年级数学试卷 参考解析 11页（共 14页） 第 12页 （共14页）30 ∴∠-=903060 填写：大于 . 图（2）②图（2）①以上考点、分析、解答、点评仅供参考！2021.1.30、自贡市20 —21上统考九年级数学试卷参考解析 13页（共 14页）第 14页（共14页）。
2020-2021学年河南省平顶山市九年级(上)期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年河南省平顶山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知α为锐角，且sinα=√3，则α的度数为()2A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°2.如图所示，该几何体的俯视图是()A.B.C.D.3.用配方法解方程x2−4x+2=0，配方正确的是()A. (x+2)2=2B. (x−2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=64.下列说法不正确的是()A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D. 一个角是直角的四边形是矩形5.如图，已知AB//CD//EF，BD：DF=1：2，那么下列结论中，正确的是()A. AC：AE=1：3B. CE：EA=1：3C. CD：EF=1：2D. AB：EF=1：26.如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面，则路宽x m应满足的方程是()积的17A. (40−x)(70−x)=400B. (40−2x)(70−3x)=400C. (40−x)(70−x)=2400D. (40−2x)(70−3x)=24007.根据表格对应值：x 1.1 1.2 1.3 1.4ax2+bx+c−0.590.84 2.29 3.76判断关于x的方程ax2+bx+c=3的一个解x的范围是()A. 1.1<x<1.2B. 1.2<x<1.3C. 1.3<x<1.4D. 无法判定8.如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 19.为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是()A. 4月份的利润为50万元B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D. 9月份该厂利润达到200万元10.如图一段抛物线：y=−x(x−3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P(28,m)在第10段抛物线C10上，则m的值为()A. 1B. −1C. 2D. −2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）×√6−tan45°=______．11.计算：√1212.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为______．13.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有______个．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(2a,a)是反比例函数y=2的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的x面积是______ ．15.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上.其中正确的是______ ．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.用适当的方法解下列方程：(1)3x2−6x+1=0；(2)(2x−1)2=(x−1)2；(3)1x2−x=−1．417.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共抽查了______人．(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．18.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小明从绳子末端C处拿起绳子放在头顶，后退至E点，此时绳子末端D与旗杆的顶端A成45°仰角，已知小明身高DE=1.5m.求旗杆AB 的高度．(结果保留到根号)20.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)每千克涨价x元，那么销售量表示为______千克，涨价后每千克利润为______元(用含x的代数式表示．)(2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？21.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1；(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(−3,1)、B(m,3)两点，(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；(3)连接AO、BO，求△ABO的面积．23.如图，函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)两点，m，n分别是方程x2−2x−3=0的两个实数根，且m<n．(1)求m，n的值以及函数的解析式；(2)对于(1)中所求的函数y=−x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；(3)设抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，求证：△BCD∽△OBA．答案和解析1.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了特殊角度的三角函数，根据sin60°=√32解答即可．【解答】解：∵α为锐角，sinα=√32，sin60°=√32，∴α=60°．故选：C．2.【答案】B【解析】解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．故选：B．根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．3.【答案】B【解析】解：∵x2−4x+2=0，∴x2−4x+4=2，∴(x−2)2=2，故选：B．根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意；D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意；故选：D．由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解．本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练运用这些判定是本题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵AB//CD//EF，BD：DF=1：2，∴AC：AE=1：3，故A选项正确；CE：EA=2：3，故B选项错误；CD：EF≠1：2，故C选项错误；AB：EF≠1：2，故D选项错误；故选：A．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.【答案】D【解析】解：由图可得，)，(40−2x)(70−3x)=40×70×(1−17即(40−2x)(70−3x)=2400，故选：D．根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程．7.【答案】C【解析】解：当x=1.3时，ax2+bx+c=2.29，当x=1.4时，ax2+bx+c=3.76，所以方程的解的范围为1.3<x<1.4．故选：C．利用表中数据得到x=1.3和x=1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3<x <1.4时，代数式ax 2+bx +c 的值为3．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．8.【答案】A【解析】解：第一个图形中的位似中心为A 点，第二个图形中的位似中心为A 点，第三个图形中的位似中心为O 点，第四个图形中的位似中心为O 点．故选：A ．根据位似变换的定义对各选项进行判断．本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．9.【答案】C【解析】解：A 、设反比例函数的解析式为y =k x ， 把(1,200)代入得，k =200，∴反比例函数的解析式为：y =200x ， 当x =4时，y =50，∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；B 、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；C 、当y =100时，则100=200x ， 解得：x =2，设一次函数解析式为：y =kx +b ，则{4k +b =506k +b =110， 解得：{k =30b =−70， 故一次函数解析式为：y =30x −70，当y =100时，则x =173，则只有3月，4月，5月，共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．D、一次函数解析式为：y=30x−70，故y=200时，200=30x−70，解得：x=9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．故选：C．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．10.【答案】D【解析】解：令y=0，则−x(x−3)=0，解得x1=0，x2=3，∴A1(3,0)，由图可知，抛物线C10在x轴下方，相当于抛物线C1向右平移3×9=27个单位，再沿x轴翻折得到，∴抛物线C10的解析式为y=(x−27)(x−27−3)=(x−27)(x−30)，∵P(28,m)在第10段抛物线C10上，∴m=(28−27)×(28−30)=−2．故选：D．求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．11.【答案】√3−1【解析】解：√12×√6−tan45°=√12×6−1=√3−1，故答案为：√3−1．根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．12.【答案】0【解析】解：由判别式可知：△=4−4(k−1)>0，∴k<2，∵k−1≠0，∴k<2且k≠1，∴k的最大整数值为0，故答案为：0根据判别式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．13.【答案】7【解析】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：x3+x=0.7，解得：x=7，经检验：x=7是分式方程的解，所以袋中红球有7个，故答案为：7．根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．14.【答案】4【解析】解：把P(2a,a)代入y=2x得2a⋅a=2，解得a=1或−1，∵点P在第一象限，∴a=1，∴P点坐标为(2,1)，∴正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积=14S正方形=4．故答案为4．先利用反比例函数解析式y=2x确定P点坐标为(2,1)，由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的14．本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=−x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．15.【答案】①②③⑤【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵PM⊥AC，∴∠AEP=∠AEM=90°，在△APE和△AME中，{∠BAC=∠DAC AE=AE∠AEP=∠AEM，∴△APE≌△AME(ASA)，故①正确；②∵△APE≌△AME，∴PE=EM=12PM，同理，FP=FN=12NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴AE=PE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=12PM，FP=FN=12NP，OA=12AC，∴PM+PN=AC，故②正确；③∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确；④∵△APE≌△AME，∴AP=AM△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；⑤∵△APE≌△AME，∴ME=PE，∴AE是MP是中垂线，∴MO=OP，又∵OE⊥MP，∴∠MOE=∠POE，同理可证∠POF=∠NOF，∵∠POE+∠POF=∠EOF=90°，∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF=180°，∴点M，点O，点N三点共线，故⑤正确，故答案为①②③⑤．①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；②根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=12PM，同理，FP=FN=12NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF=OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+ PF=OA，即可得到PM+PN=AC；③根据矩形的性质可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2=PO2；④判断出△POF 不一定等腰直角三角形，△BNF 是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；⑤由线段垂直平分线的性质可得MO =PO ，由等腰三角形的性质可得∠MOE =∠POE ，同理可证∠POF =∠NOF ，即可证点M ，点O ，点N 三点共线．本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理的综合应用，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键． 16.【答案】解：(1)∵a =3，b =−6，c =1，∴△=(−6)2−4×3×1=24>0，则x =−b±√b2−4ac 2a =6±2√46=3±√43， 即x 1=3+√63，x 2=3−√63；(2)∵(2x −1)2=(x −1)2，∴2x −1=x −1或2x −1=1−x ，解得x 1=0，x 2=23；(3)方程整理，得：x 2−4x +4=0，则(x −2)2=0，∴x −2=0，则x 1=x 2=2．【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开平方法求解即可；(3)先整理方程，再利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.【答案】200【解析】解：(1)这次活动共抽查的学生人数为80÷40%=200(人)；故答案为：200；(2)“不合格”的学生人数为200−40−80−60=20(人)，将条形统计图补充完整如图：学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×60200=108°；(3)把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率=212=16．(1)由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；(2)求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；(3)画出树状图，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法或画树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN．∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°．∴四边形ADCE为矩形．【解析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：过点D作DFEB交AB于点F，则BF=DE=1.5.设AB=x．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=ABsin∠ACB=√32=2√3x3，在Rt△ADF中，∠AFD=90°，AF=x−1.5，AD=AFsin∠ADF=√2(x−32)，又AD=AC，∴2√3x3=√2(x−32)，解得：x=9+3√62，即旗杆AB的高为9+3√62m.【解析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB=AC⋅sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF=DF=x⋅sin45°，由AB−AF=BF=1.5得出方程，解方程求出x，得出AB．本题考查了解直角三角形的应用−仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．20.【答案】(500−10x)(10+x)【解析】解：(1)由题意可知：销售量为(500−10x)千克，涨价后每千克利润为：50+x−40=10+x(千克)故答案是：(500−10x)；(10+x)；(2)由题意可列方程：(10+x)(500−10x)=8000，整理，得：x2−40x+300=0解得：x1=10，x2=30，因为又要“薄利多销”所以x=30不符合题意，舍去．x=10符合题意．此时500−10x=400．答：销售单价应涨价10元，这时应进货400千克．(1)根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；(2)利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键．21.【答案】证明：(1)由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90°，∴∠BFC1+∠BC1F=90°，∠AC1G+∠BC1F=90°，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3．∵∠B=90°，∴BF2+32=(9−BF)2，∴BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得，AG=94．【解析】(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．22.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，反比例函数的解析式为y=ax(a≠0)，把A(−3,1)代入y=ax得：a=−3，即反比例函数的解析式为y=−3x，把B(m,3)代入y=−3x 得：3=−3m，解得：m=−1，即B的坐标为(−1,3)，把A 、B 的坐标代入y =kx +b 得：{−3k +b =1−k +b =3， 解得：k =1，b =4，即一次函数的解析式为y =x +4；(2)∵函数y =−3x 和y =x +4的交点为A(−3,1)、B(−1,3)，∴使一次函数的值大于反比例函数的x 的取值范围是−3<x <−1或x >0；(3)设一次函数y =x +4和x 轴的交点为N ，和y 轴的交点为M ，当x =0时，y =4，当y =0时，x =−4，即OM =4，ON =4，∵A(−3,1)、B(−1,3)，∴△ABO 的面积为S △MON −S △BOM −S △AON =12×4×4−12×4×1−12×4×1=4．【解析】(1)设一次函数的解析式为y =kx +b(k ≠0)，反比例函数的解析式为y =a x (a ≠0)，把A(−3,1)代入y =a x 即可求出反比例函数的解析式，把B(m,3)代入y =−3x 求出B 的坐标，把A 、B 的坐标代入y =kx +b 求出k 、b ，即可求出一次函数的解析式；(2)根据A 、B 的坐标和图象得出即可；(3)求出一次函数和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题等知识点，能够求出函数的解析式是解此题的关键．23.【答案】解：(1)∵m ，n 分别是方程x2−2x −3=0的两个实数根，且m <n ， 用因式分解法解方程：(x +1)(x −3)=0，∴x 1=−1，x 2=3，∴m =−1，n =3，∴A (−1,0)，B (0,3)，把(−1,0)，(0,3)代入得，{−1−b +c =0c =3， 解得，{b =2c =3； ∴函数解析式为y =−x 2+2x +3．综上所述，m =−1，n =3，函数解析式为：y =−x 2+2x +3．(2)解：抛物线y =−x 2+2x +3的对称轴为x =1，顶点为D(1,4)，在0≤x ≤3范围内，当x =1时，y 最大值=4；当x =3时，y 最小值=0；(3)证明：由y =−x 2+2x +3，易得，A(−1,0)，B(0,3)，C(3,0)，D(1,4)则BC =√32+32=3√2，BD =√12+12=√2，DC =√42+42=2√5，∵CD 2=DB 2+CB 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠DBC =90°，∴∠AOB =∠DBC ，在Rt △AOB 和Rt △DBC 中，AO BD=√2=√22，OB BC =3√2=√22， ∴AO BD =OB BC ，∴△BCD∽△OBA ．【解析】(1)首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；(2)由抛物线y =−x2+2x +3解析式，可得对称轴为x =1，根据增减性可知：x =1时，y 有最大值，当x =3时，y 有最小值；(3)根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标根据勾股定理的逆定理可得∠DBC =90°，根据边长可得△AOB 和△DBC 两直角边的比相等，则两直角三角形相似．本题是二次函数的综合题型，其中考查的知识点有：利用待定系数法求抛物线的解析式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识．。
2020年重庆市南岸区春招数学试卷和参考答案
概率为
．
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16．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．分别以点 B，A 为圆心，以 BC 长为
半径画弧，交 AB 于点 D，E，交 AC 于点 F，则图中的阴影部分的面积为
．（用
含 π 的代数式表示）
17．在一段长为 1000m 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运动员分别从 A，B 两地出发进行往
2．计算（2x）3 的结果是（ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．8x3
B．8x
C．6x3
D．2x3
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是中心对称图形 B．等腰三角形是轴对称图形
C．等腰直角三角形是中心对称图形 D．直角三角形是轴对称图形
4．如图，小树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 BC．若树高 AB＝2m，树影 BC＝3m，树与
算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19．计算：
（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；（2）（a﹣
）÷
．
20．如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，AF 平分∠BAD，交 BC 于点 F，交 CD 的延长 线于点 G． （1）若∠G＝29°，求∠ADC 的度数； （2）若点 F 是 BC 的中点，求证：AB＝AD+CD．
C．16.9m
D．18.1m
11．如图，把△ABC 纸片沿 DE，EF，DG 折叠后，A，B，C 三点都与 BC 边上的点 M 重
合，得到矩形 DEFG，连接 DF，若△DGM 和△DMF 均是等腰三角形，DG＝1，则△
ABC 的周长为（ ）
2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8 2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥34．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝3896．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝12．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处米．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．2020-2021学年湖南省怀化市鹤城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8B．3、﹣6、﹣8C．3、﹣6、8D．3、6、﹣8【解答】解：将方程3x2＝﹣7x+8化为一元二次方程的一般形式为：3x2+6x﹣8＝7，其二次项系数、常数项分别为3、6．故选：D．2．（4分）已知反比例函数y＝的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（2，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜5，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（4分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣3×3×m＞0，解得m＜6．故选：A．4．（4分）若A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y1＜y3＜y2D．无法确定【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，y随x的增大而增大，∵2＞0，∴y1＜4，∵﹣2＜﹣1＜8，∴0＜y2＜y6，∴y1＜y2＜y2，故选：A．5．（4分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，则下面列出的方程中正确的是（）A．438（1+x）2＝389B．389（1+x）2＝438C．389（1+2x）＝438D．438（1+2x）＝389【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元2元，由题意，得：389（6+x）2＝438．故选：B．6．（4分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间（每组的时间值包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）A．50%B．55%C．60%D．65%【解答】解：该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数是：×100%＝60%；故选：C．7．（4分）如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC的有（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．＝D．＝【解答】解：∵∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC．故选：D．8．（4分）正方形网格中，△ABC如图放置，其中点A、B、C均在格点上，则（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin B＝D．sin B＝【解答】解：由图可知，AC＝2；AB＝＝；根据三角函数的定义，A、tan B＝＝；B、cos B＝＝＝；C、sin B＝＝＝；D、sin B＝＝＝．故选：D．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故选：A．10．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6B．1：9C．2：13D．2：15【解答】解：∵AE：ED＝2：1，∴AE：AD＝6：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD＝4：7，∴S△ACD＝S△ABE，∵AE：ED＝5：1，∴S△ABE：S△BED＝2：4，∴S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，∵S△ABC＝S△ABE+S△ACD+S△BED＝8S△BED+S△BED+S△BED＝S△BED，∴S△BDE：S△ABC＝2：15，故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为＝13，，s甲2＝3.6，s乙2＝4.2，则小麦长势比较整齐的是甲．【解答】解：∵s甲2＝3.3，s乙2＝4.8，∴s甲2＜s乙2，∴小麦长势比较整齐的是甲，故答案为：甲．12．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且，则k的值为﹣2．【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣4，x12+x42﹣x1x2＝（x1+x2）7﹣3x1x7＝4﹣3（k﹣7）＝13，∴k＝﹣2，经检验，k＝﹣2符合题意，故答案为：﹣5．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，则AB的长为3+．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．14．（4分）如图所示，AB⊥BD，CD⊥BD，BO＝4，BD＝1210．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠D＝∠B＝90o，∵∠DOC＝∠BOA，∴△AOB∽△COD，∴，∵AB＝3，BO＝4，∴，∴CD＝5，在Rt△DOC中，OC＝＝＝10，故答案为：10．15．（4分）如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B 处时，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处2米．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP＝4，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED＝5，故答案为：2．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，∠AOB＝30°，AB＝BO（x ＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为﹣3．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵∠AOB＝30°，AD⊥OD，∴＝cot∠AOB＝，∵∠AOB＝30°，AB＝BO，∴∠AOB＝∠BAO＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝cot∠ABD＝，∵OB＝OD﹣BD，∴＝，∴＝，∵S△ABO＝，∴S△ADO＝|k|＝，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣8故答案为：﹣3．三、解答题（本大题8个小题，共计86分）17．（10分）解一元二次方程：（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣2）（x﹣4）＝5．【解答】解：（1）4x2﹣121＝5，x2＝，所以x8＝﹣，x2＝；（2）整理得，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+3＝﹣3+9，即（x﹣7）2＝6，x﹣4＝±，所以x1＝5+，x2＝8﹣．18．（10分）计算：（1）cos30°﹣cos60°+sin245°；（2）（2020﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+3tan30°．【解答】解：（1）原式＝﹣×+×（）5＝﹣+＝；（2）原式＝3﹣3+2﹣+3×＝﹣2+2﹣+＝0．19．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，2），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入，∴反比例函数解析式为；把B（n，﹣6）代入，解得n＝5，∴B点坐标为（1，﹣6），把A（﹣7，2），﹣6）代入y4＝kx+b，得，解方程组得，∴一次函数解析式为y＝﹣5x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣7x﹣4＝﹣4，﹣4），∴△AOB的面积＝．20．（10分）钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：根据题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴CA＝CB，∵CB＝50×2＝100（海里），∴CA＝100（海里），在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，∴CD＝AC cos60°＝100×＝50（海里），答：船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．21．（10分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．（1）说明：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB2＝DB•CE∴∴∴△ADB∽△EAC．（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°，∴∠D+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．22．（10分）某校为了解九年级男同学的中考体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣4＝8，合格所占百分比：5÷40×100%＝20%，优秀人数：12÷40×100%＝30%，如图所示：（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：20%+10%＝30%，所以估计成绩未达到良好有600×30%＝180（名）．23．（12分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（4＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（8﹣x）cm，由，得，整理得：x5﹣5x+4＝4，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：8秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于2＝BP2+BQ7，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或4．则3秒后，PQ的长度为；（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于5cm2，即，，整理得：t2﹣7t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜8，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．24．（14分）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，且点G在线段AB的左侧，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x①求y与x的函数关系式；②当时，求x的值；（3）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S1，当时，求DC：DE的值．【解答】（1）证明：∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，∴∠F AB＝∠DAE，∵∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ABF；（2）①如图1，过点G作GH⊥BF于H，∵∠GHF＝∠C＝90°，∴GH∥EC，∵点G为EF的中点，∴FG＝GE，∴FH＝HC，∴EC＝2GH＝7y，∵DE+EC＝CD＝AB＝20，∴x+2y＝20，∴；②∵，∴设EC＝8k，BG＝5k，∵EC＝6GH，∴GH＝4k，由勾股定理得：BH＝3k，∴FH＝CH＝4k+10，∴FB＝6k+10，∵△ADE∽△ABF，∴，∵，x＝20﹣8k，∴，∴，∴；（3）如图2，连接BE，CD＝BC＝b．∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DE＝a，CD＝BC＝b，∵∠F AB＝∠EAD，AD＝AB，∴△ADE≌△ABF，∴BF＝DE＝a，∴，∵S＝b2，S＝5S1，∴b2＝4b2﹣a2﹣ab，∴b3﹣ab﹣a2＝0，∴，解得：，∴．。
内江市2020-2021学年度九年级第一学期期末考试数学试题(word版,有解答)
内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数 学第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 2. 下列计算正确的是( )A.2)2(-=-2 B. 532=+ C. 2332=⨯ D. 22223=-3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=44. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=265. 下列时间中是不可能事件的是( ) A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) A. 27 B. 6 C. 8 D. 107. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定10.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+a a a a 的结果是( ) C A B A D B CD C A BEFGH OA. a 2-B. -2aC. 2aD. a2 11.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF=140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ；④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上， 且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 15. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3).18.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.A F DB EC F E O B E CF A DF CG E A B D D E A F B C P19.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 A C B 30% D E α A B F 30° M C D21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？22.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，垂足为D.(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB为轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系(如图2)，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.CA D B图1yCA OB x图2内江市2020—2021学年度第一学期九年级期末考试数学解析第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是( ) A. 3与18 B. 63与28 C 5.0与32 D.12与72 解析：考查二次根式的化简及同类二次根式的定义. 难度：★A. 2318=；B. 7363=，7228=；C. 2215.0=，63132=；D. 3212=，2672=. 故选B . 2. 下列计算正确的是( ) A.2)2(-=-2 B. 532=+ C.2332=⨯ D. 22223=- 解析：考查二次根式的有关运算. 难度：★ A. 2)2(2=-；B. 2与3不是同类二次根式，不能加减；C. 632=⨯；故选D .3. 用配方法解方程x 2+6x+4=0时，原方程变形为( )A. (x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=4解析：考查配方法解方程. 难度：★根据等式性质，得x 2+6x+9=5，(x+3)2=5. 故选C .4. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD 上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度. 设道路 宽度为x 米，则根据题意可列方程为( )A. (80-2x )(36-x )=260×6B. 36×80-2×36x -80x =260×6C. (36-2x )(80-x )=260D. (80-2x )(36-x )=26 解析：考查列一元二次方程解应用题. 难度：★★由题意，用平移的思路(如右图)得到长(80-2x )米、宽(36-x )米的矩形草坪，选A .5. 下列时间中是不可能事件的是( )A. 抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次B. 从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球C. 抛掷一枚质地均匀的普通正方体骰子两次，出现点数之和等于13D. 从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K解析：考查“统计与概率”的事件分类. 难度：★A.“抛掷一枚硬币50次，出现正面的次数为40次”是随机事件；B.“从一个装有30只黑球的不透明袋子中摸出一个球为黑球”是必然事件；D.“从一副没有大小王的扑克牌中任意抽出一张牌恰为黑桃K ”是随机事件；质地均匀的普通正方体骰子点数最大是6，所以C.“抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，出现点数之和等于13”是不可能事件. 故选C .6. 在△ABC 中，∠C=90º，AB=10，tanA=43，则BC 的长为( ) AD B CA. 27B. 6C. 8D. 10 解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★ 如图，因为在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠A=43， 设BC=3k ，AC=4k ，则由勾股定理得AB=5k =10，解得k =2，则BC=3×2=6，故选B .7. 如图，商用手扶梯AB 的坡比为1:3，已知扶梯的长 AB 为12米，则小明乘坐扶梯从B 处到A 处上升的高度AC 为( ) A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米解析：考查对直角三角形性质的综合应用. 难度：★★由题意得在Rt △ACB 中，∠C=90º，tan ∠ABC=33，则∠ABC=30º. 而AB=12米，则AC=21AB=21×12=6米. 故选A . 8. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点 是O ，OE:EA=32，则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =( ) A. 94 B. 254 C. 32 D. 52 解析：主要考查“位似图形的面积比等于位似比的平方”. 难度：★由OE:EA=32，得OE:OA=52. 而四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， 则S 四边形EFGH : S 四边形ABCD =254)52(2=，故选B . 9. 当b -c =3时，关于的一元二次方程2x 2-bx+c =0的根的情况为( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定解析：主要考查等式性质、代数式的变形及一元二次方程根的判别式. 难度：★★由b -c =3变形得b =3+c ，代入Δ=(-b )2-8c=(3+c )2-8c=c 2-2c +9=(c -1)2+8.无论c 为何实数，(c -1)2≥0，则(c -1)2+8恒为正数，即Δ＞0. 故选A .10.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点， 点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠EPF =140º，∠EFP=( ) A. 50º B. 40º C. 30º D. 20º解析：考查三角形的中位线性质、等边对等角及三角形内角和定理. 难度：★★由E 、F 、P 分别是AB 、CD 、BD 的中点，得PE 、PF 分别是BC 、AD 的中位线，则PE=0.5BC ，PF=0.5AD. 又AD=BC ，则PE=PF. 而∠EPF=140º，则∠EFP=(180º-140º)÷2=20º. 故选D .11.已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+---+aa a a 的结果是( ) A. a 2- B. -2a C. 2a D. a2 B C A C A B D C A B E F G H O D EA FBC P解析：考查实数的比较、代数式的恒等变形及二次根式的化简. 难度：★★★由-1＜a ＜0，得-1＜a 1＜0且a 1＜a ，得a+a 1＜0，a -a 1＞0. 则.211)1()1(4)1(4)1(2222a a a a a a a a a a a a a =++-=+--=+---+故选C . 12.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ， DF ⊥AE 于点F ，连接CF ，FG ⊥CF 于点G ，下列结论：①CF=CD ；②G 为AD 中点；③△DCF ∽△AGF ； ④AF:EF=2:3. 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：考查图形综合应用，主要有相似三角形、全等三角形、 直角三角形、等腰三角形、正方形的有关知识. 难度：★★★由已知，依次可得Rt △ABE 中，BE:AB:AE=1:2:5；△DFA ∽△ABE ；AF:DF:AD=1:2:5；过点C 作CH ⊥DF 于点H ，易得△CHD ≌△DFA ，进而得DH=FH ，故①CF=CD 成立；又FG ⊥CF ，则∠CFH=∠GFA ，而∠CFH=∠CDH ，∠CDH=∠GAF ，所以∠GFA=∠GAF ，得GA=GF ，同理得GD=GF ，则GA=GD ，故②G 为AD 中点成立；得③△DCF ∽△AGF 成立；设正方形的边长为2，则AE=5，AF=55252=，EF=AE -AF=553， 故④AF:EF=2:3成立. 故选D .第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请讲最后答案直接填在题中的横线上.）13.二次根式21-x 中x 的取值范围是_______. 解析：考查二次根式的存在性. 难度：★.由21-x ≥0且x -2≠0，得x -2＞0，即x ＞2. 14.如图，点O 为正方形的中心，点E 、F 分别在正方形的边上，且∠EOF=90º，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_________. 解析：考查正方形的中心对称性及概率问题. 难度：★. 如图，米粒落在图中阴影部分的概率为25%.15.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=______. 解析：主要考查相似多边形的性质及一元二次方程的求解. 难度：★★★.由题意得四边形ABEF 为正方形.设FD=x ，则AD=(1+x ).由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，得AD:AB=CD:DF ，即(1+x ):1=1:x ，整理得x 2+x -1=0，解得x =251±-(251--舍去)，则AD=2511251+=++-. A F D B E CF CG EA B DH F O16.观察下列一组方程：①x 2-x =0；②x 2-3x +2=0；③x 2-5x +6=0；④x 2-7x +12=0；·······它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数.我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”. 若x 2+kx +56=0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为______，第n 个方程为 . 解析：考查阅读理解能力. 难度：★★★由“连根一元二次方程”的定义k 的值为-7-8=-15；一次项系数依次为：-1=-(1+0)；-3=-(2+1)；-5=-(3+2)；-7=-(4+3)；·······；常数项依次为：0=1×0；2=2×1；6=3×2；12=4×3；·······；所以第n 个方程为x 2-(n +n -1)x +n (n -1)=0，即x 2-(2n -1)x +n 2-n =0.三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.）17.(本小题满分10分)(1)计算：.30tan 6)20213(212745sin 02︒+-+-︒ (2)解方程：(x -3)2=2(x -3). 解：原式=33612133)22(2⨯+⨯+- 解：(x -3)2-2(x -3)=0 =32213321++- (x -3)(x -3-2)=0 =31- x -3=0，x -5=0x 1=3，x 2=518.（本小题满分8分）某数学小组为调查某学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A(乘坐电动车)、B(乘坐普通公交车或地铁)、C(乘坐学校的定制公交车)、D(乘坐家庭汽车)、E(步行或其他)”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的扇形统计图和条形统计图，请结合统计图回答下列问题：(1)本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E 选项对应的圆心角是 度；(2)请将条形统计图补充完整；(3)若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率.解：（1）总人数是60÷30%=200人，E 选项对应的圆心角是360×40÷200=72度；（2）C(乘坐学校的定制公交车)有200-20-60-30-40=50人，如图；（3）画树状图如右图： 开始共有9个等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种 交通工具回家的结果有3个， 甲 A B C∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率为93，即31. 乙 A B C A B C A B C A C B 30% D E 选项 30 A B C D E 60 20 100 80 60 40 20 0 人数 40 5019.（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED 交AB 于点G 、交DA 的延长线于点F. (1)求证：△ECD ∽△DEF ；(2)若CD=4，求AF 的长.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，EF ⊥ED ，∴∠C=∠FED=90º. ∵BC ∥AD ，∴∠CED=∠EDF,∴△ECD ∽△DEF.(2)解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠C=90º，AD=BC=CD=4.∵E 为BC 的中点，∴CE=0.5BC=2. 在Rt △DCE 中，由勾股定理得DE=.5242CD CE 2222=+=+∵△ECD ∽△DEF ，∴CE:DE=DE:DF ，∴DF :5252:2=，解得DF=10.∵AD=4，∴AF=DF -AD=10-4=6.20.（本小题满分9分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流的右岸D 处的俯角为30°. 线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一直线上. 其中tan α=2，MC=503米.(1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点B 作BN ⊥MD 于点N.由题意可知，∠ACM=α，∠BDM=30°，AB=MN=50. (1)在Rt △AMC 中，tan ∠ACM=tan α=2，MC=503，∴AM=2MC=1003，即BN=1003.答：无人机的飞行高度AM 为1003米.(2)在Rt △BND 中，∵tan ∠BDN=tan30°=DN BN ， ∴DN=1003÷33=300，∴DM=DN+MN=300+50=350， ∴CD=DM -MC=350-503≈264.答：河流的宽度CD 约为264米.21.（本小题满分9分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.B E CF A D α A B F 30° M N C D(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯. 2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？解：(1)设年平均增长率为x ，由题意得20(1+x )2=28.8，解得x 1=20%，x 2=-2.2(舍去).答：华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%.(2)设每杯售价定为a 元，由题意得(a -6)[300+30(25-a )]=6300，解得a 1=21，a 2=20∴为了让顾客获得最大优惠，a 应取20.答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.22.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D.(1)图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 ；(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD 的长；(3)在(2)的情况下，如果以AB 为轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒，是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)3；△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD .(2)∵在Rt △ACB 中，∠ACB=90º，AB=5，AC=4， ∴BC=.345AC AB 2222=-=-∵S △ABC =21AB·CD=21AC·BC ， ∴CD=512AB BC AC =⋅. (3)存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ 理由如下：在△BOC 中，∵∠COB=90º，BC=3，OC=2.4，∴OB=1.8 分两种情况：①当∠BQP=90º时，如图2①，此时△PQB ∽△，∴BC BQ AB BP =, ∴353t t =-， 解得t =89，即BQ=CP=89， ∴BP=BC -CP=3-89=815. A O B x 图2① C A D B 图1 C y P Q在△BPQ 中，由勾股定理得PQ=，23)89()815(BQ BP 2222=-=- OQ=OB -BQ=-5989=4027. ∴点P 的坐标为(4027，23)； ②当∠BPQ=90º时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ， ∴AB BQ BC BP =, ∴533t t =-， 解得t =815，即BQ=CP=815， ∴BP=BC -CP=3-815=89. 过点P 作PE ⊥x 轴于点E.∵△QPB ∽△ACB ，∴AB BQ CO PE =, 即PE:512=815:5，∴PE=109. 在△BPE 中，BE=，4027)109()89(PE PB 2222=-=- ∴OE=OB -BE=-594027=89, ∴点P 的坐标为(89，109), 综上可得，点P 的坐标为(4027，23)；(89，109). A O B x图2② C y P Q E。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题(21)
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（21）考试时间：120分钟试卷满分：150分考试范围：第1章-第8章一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1C．x2++5＝0D．x2+5x﹣6＝x22．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（）A．1B．﹣1C．﹣3D．33．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（）A．3B．5C．6D．77．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（）A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣68．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是．10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝．11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是．12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是．13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是．14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是．15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是．（填序号）16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n 个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为l n，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝．三．解答题（共11小题，满分102分）17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．（1）当m取何值时，该方程有实数根？（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩889290869096（1）小明6次成绩的众数是分；中位数是分；（2）计算小明平时成绩的平均分；（3）计算小明平时成绩的方差；（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．（1）求证：∠CAG＝∠AGC；（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．（1）求该抛物线的表达式；（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•宜州区期中）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1C．x2++5＝0D．x2+5x﹣6＝x2解：A．ax2+3x+1＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项不合题意；B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；C．是分式方程，故本选项不合题意；D．x2+5x﹣6＝x2，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不合题意；故选：B．2．（3分）（2021•惠城区一模）若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n的值为（）A．1B．﹣1C．﹣3D．3解：∵m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝3．故选：D．3．（3分）（2020•渝中区校级模拟）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°解：∵AC为⊙O的直径，∴++的度数是180°，∴∠A+∠B+∠C＝90°，故选：C．4．（3分）（2019秋•南通期中）已知点A与⊙O在同一平面内，⊙O的半径是3，且点A到圆心O的距离是4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O外B．点A在⊙O内C．点A在⊙O上D．不能确定解：∵点A到圆心O的距离d＝4，⊙O的半径r＝3，∴d＞r，则点A在⊙O外，故选：A．5．（3分）（2020•龙湾区二模）若20件外观相同的产品中有3件不合格产品，现从这20件产品中任意抽取1件进行检测，则抽到合格产品的概率是（）A．B．C．D．解：根据题意抽到合格产品的概率是＝，故选：D．6．（3分）（2022春•雨花区校级期末）一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，则x的值为（）A．3B．5C．6D．7解：∵一组数据2，1，4，x，6的平均值是4，∴（2+1+4+x+6）÷5＝4，解得x＝7，故选：D．7．（3分）（2022•雁塔区校级模拟）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（）A．2或﹣6B．﹣2或6C．2或6D．﹣2或﹣6解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m﹣4），∴关于y轴对称的抛物线的顶点（﹣2，m﹣4），∵它们的顶点与原点的连线互相垂直，∴2×[22+（m﹣4）2]＝42，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，∴m的值是2或6．故选：C．8．（3分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为解：由表格可得，，解得，∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，∵当x＝﹣2时，y＝0，∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）（2021秋•崆峒区校级月考）请任写一个二次函数解析式，使这个函数的图象具备以下两个特点：①开口向上；②对称轴为y轴．这个函数可以是y＝2x2﹣1（答案不唯一）．解：∵抛物线的对称轴为y轴，∴该抛武线的解析式为y＝ax2+c，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，故答案为：y＝2x2﹣1（答案不唯一）．10．（3分）（2022•牡丹区三模）已知方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，分解因式2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2）．解：∵方程2x2+bx+c＝0的两根为2和﹣2，∴2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣2），故答案为：2（x+2）（x﹣2）．11．（3分）（2021春•两江新区期末）重庆市6月1号至6月7号，每天的最高温度的数值分别是22，18，25，27，30，32，34，则这几天最高气温温度数值的中位数是27．解：将这组数据从小到大排列为：18，22，25，27，30，32，34，处在中间位置的一个数是27，因此中位数是27，故答案为：27．12．（3分）（2022秋•射阳县校级月考）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是7．解：设圆锥的母线长为l，设由题意得，14π＝πl×2，解得，l＝7，故答案为：7．13．（3分）（2022秋•通榆县月考）抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，则此抛物线的顶点坐标是（1，4）．解：把（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k，3＝﹣1+kk＝4，∴抛物线的顶点坐标是（1，4）．故答案为：（1，4）．14．（3分）（2022春•青岛期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在阴影区域的概率是．解：根据题意可得：指针落在阴影区域的概率是＝．故答案为：．15．（3分）（2020秋•赤峰期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴方程为x＝1．下列结论；①a＜0；②c＜0；③＝﹣1；④b2﹣4ac＜0；⑤图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）；⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的是①③．（填序号）解：由图象可知：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，故①正确，②错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴＝﹣1，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④错误；∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），故⑤错误；当x＞1时，由图象可知y随x的增大而减小，故⑥错误；正确的是①③．故答案为①③．16．（3分）（2020•浙江自主招生）将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1））每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n 个图形为“雪花曲线（n）”，其周长为l n，若“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，则l2013＝2684．解：设图（1）中等边三角形的边长为a，∴第一个三角形的周长＝3a，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个在第二个的基础上，多了其周长的．第二个周长：×3a，第三个周长：＝×3a；第四个周长：＝×3a；…故第n个图形的周长是第一个周长的（）n﹣1倍，即周长是3a×，∵“雪花曲线（2012）”的周长为l2012＝2013，即2013＝3a×，则l2013＝3a×＝2013×＝2684，故答案为：2684．三．解答题（共11小题，满分102分）17．（6分）（2021秋•娄星区校级月考）（1）用直接开平方法解下列方程：9x2﹣81＝0；（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0．解：（1）9x2﹣81＝0，x2＝9，∴x＝±3，∴x1＝3，x2＝﹣3；（2）x2﹣6x﹣9＝0，x2﹣6x＝9，x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，∴x﹣3＝±3，∴x1＝3+3，x2＝3﹣3．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．解：（1）∵方程x2﹣4x+m＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m≥0，∴m≤4．（2）∵方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝4．∵5x1+2x2＝2，x1+x2＝4，∴x1＝﹣2，x2＝6，∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣6|＝8．19．（8分）（2017秋•交城县期中）已知二次函数．（1）将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当y＜0时x的取值范围；（3）当0≤x≤4时，求出y的最小值及最大值．解：（1）＝，开口向上，顶点为（3，），对称轴为：直线x＝3，（2）如图所示，由图可知，当2＜x＜4时，y＜0；（3）当x＝0时，y有最大值4，当x＝3时，y有最小值﹣．20．（8分）（2021秋•中宁县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0．（1）当m取何值时，该方程有实数根？（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解．解：（1）△＝（2m﹣3）2﹣4m2≥0，整理得﹣12m+9≥0，解得，所以，当时，方程有实数根；（2）当m＝0时，方程为x2+3x＝0，∴x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3．21．（8分）（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．22．（10分）（2021秋•聊城期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．考试类别平时期中考试期末考试第一单元第二单元第三单元第四单元成绩889290869096（1）小明6次成绩的众数是90分；中位数是90分；（2）计算小明平时成绩的平均分；（3）计算小明平时成绩的方差；（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．解：（1）成绩从大到小排列为96，92，90，90，88，86，则中位数是：＝90分，众数是90分，故答案是：90，90；（2）小明平时成绩的平均分为＝89（分）；（3）小明平时成绩的方差为×[（88﹣89）2+（92﹣89）2+（90﹣89）2+（86﹣89）2]＝5；（4）89×10%+90×30%+96×60%＝93.5（分）．答：小明的总评分应该是93.5分．23．（10分）（2022•岳池县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）．（1）证明：连接OC，∵CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵，∴∠ABC＝∠CBD，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠OCF＝∠CFD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CBD＝30°，∴∠ABC＝∠CBD＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AO＝AC＝5，∴BC＝AC tan60°＝5，∴△ABC的面积＝AC•BC＝×5×5＝，∵OA＝OB，∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝，∴阴影部分面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积＝﹣＝，答：阴影部分面积为：．24．（10分）（2020•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴当2＜t＜3时，ON﹣OM＝OC；当t＞3时，OM﹣ON＝OC．当t＝3时，OM＝ON．25．（12分）（2022•双峰县一模）为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？解：（1）由题意得，w与x之间的函数关系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，∵，解得：40＜x＜100，∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）；（2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∴当x＝70时，w取得最大值1800，答：当售价定为70元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；（3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000，解得x1＝50，x2＝90，∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000，∴50≤x≤90，答：至少获得1000元的销售利润，销售价应在50≤x≤90这个范围内．26．（12分）（2022•丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．（1）求证：∠CAG＝∠AGC；（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值；（3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．（1）证明：∵AH是⊙O的切线，∴AH⊥AB，∴∠GAB＝90°，∵A，E关于CD对称，AB⊥CD，∴点E在AB上，CE＝CA，∴∠CEA＝∠CAE，∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°，∴∠CAG＝∠AGC；（2）解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECD，∴∠ADC＝∠ECD，∴CF∥AD，∴＝，∵CE＝AC＝AD，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝；（3）解：如图1中，当OC∥AF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，则∠CAG＝∠ACD＝∠DCF＝∠AFG＝α，∵OC∥AF，∴∠OCF＝∠AFC＝α，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝3α，∵∠OAG＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，∵OC＝OF，OA＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFC＝22.5°，∴∠OF A＝∠OAF＝45°，∴AF＝OF＝OC，∵OC∥AF，∴＝＝，∵OA＝1，∴AE＝×1＝2﹣．如图2中，当OC∥AF时，连接OC，AD，设CD交AE点M．设∠OAC＝α，∵OC∥AF，∴∠F AC＝∠OCA＝α，∴∠COE＝∠F AE＝2α，∵∠AFG＝∠D，∠AGF＝∠D，∴∠AGC＝∠AFG＝∠AEC+∠F AE＝3α，∵∠AGC+∠AEC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，2α＝45°，∴△COM是等腰直角三角形，∴OC＝OM，∴OM＝，AM＝+1，∴AE＝2AM＝2+；如图3中，当AC∥OF时，连接OC，OF．设∠AGF＝α，∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2α，∵AC∥OF，∴∠CFO＝∠ACF＝2α，∴∠CAO＝∠ACO＝4α，∵∠AOC+∠OAC+∠ACO＝180°，∴10α＝180°，∴α＝18°，∴∠COE＝∠ECO＝∠CFO＝36°，∴△OCE∽△FCO，∴OC2＝CE×CF，∴1＝CE（CE+1），∴CE＝AC＝OE＝，∴AE＝OA﹣OE＝．如图4中，当AC∥OF时，连接OC，OF，BF．设∠F AO＝α，∵AC∥OF，∴∠CAF＝∠OF A＝α，∴∠COF＝∠BOF＝2α，∵AC＝CE，∴∠AEC＝∠CAE＝∠EFB，∴BF＝BE，由△OCF≌△OBF，∴CF＝BF＝BE，∵∠BEF＝∠COF，∴△COF∽△CEO，∴OC2＝CE•CF，∴BE＝CF＝，∴AE＝AB+BE＝．综上所述，满足条件的AE的长为2﹣或2+或或，27．（12分）（2021•烟台模拟）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC＝．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．（1）求该抛物线的表达式；（2）试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；（3）如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3，∴OC＝3．∵sin∠OBC＝，∴∠OBC＝45°．∴OB＝OC＝3．∴B（3，0）．∵A（1，0），∴，∴．∴y＝﹣x2+4x﹣3．（2）相交．证明：∵BD⊥BC，∴∠OBE＝45°．∴OE＝OB＝3．∴E（0，3 ）．设直线BE为y＝kx+t，∴．∴，∴y＝﹣x+3，联立．解得，．∴D（2，1）．∴AD＝＝，∵AD＞OA，∴以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴相交．（3）存在，如图，过A点作OM的垂线交⊙A于第一象限内点P，垂足为H．此时，△OPM的面积最大．由，得．∴M（﹣2，5）．OM＝，∵∠ONM＝∠OHA＝90°，∠MON＝∠AOH，∴△ONM∽△OHA．∴．∴AH＝．∵AP＝，∴PH＝+，∴S△OPM＝OM⋅PH＝××（+）＝．。
2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3 2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．1510．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为cm2．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球试验次100100050001000050000100000数36387201940091997040008“摸出黑球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是．（结果保留小数点后一位）14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3【解答】解：A、∵x2＝0是一元二次方程，∴选项A符合题意；B、∵x2﹣2y＝0含有两个未知数，∴x2﹣2y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C、∵2x﹣3＝0的未知数的最高次数是1，∴2x﹣3＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；D、∵x2+＝﹣3不是整式方程，∴x2+＝﹣3不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：A．2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣【解答】解：∵x（x+5）＝0，∴x＝0或x+5＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣5，故选：B．3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【解答】解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选：C．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球【解答】解：A、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；D、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，符合题意；故选：D．5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，共8个，摸到红球的概率为：＝．故选：A．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，连接OE，OD，OF，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE＝OD＝OF，∴O是△ABC的三角的平分线的交点，故选：D．7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图，得∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，∴实际这样的机会是．故选：B．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°【解答】解：根据旋转的定义可知∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠AOD＝90°，∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．10．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当0＜t≤2时，S ＝t2，当2＜t≤4时，S ＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm 的圆锥的侧面积为15πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×5×3÷2＝15πcm2．故答案为：15π．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：100100050001000050000100000摸球试验次数“摸出黑36387201940091997040008球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4．（结果保留小数点后一位）【解答】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到黑球的概率估计值为0.4；故答案为：0.4．14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝110°或30°．【解答】解：①如图1，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°，同理：∠BOC＝40°，∴∠BAC＝20°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，②如图2，∵∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∠ABC＝AOC＝30°故答案为110°或30°．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤3．【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，又∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴x≤1．∵二次函数的解析式为y＝x2﹣（m﹣1）x+1，∴抛物线的对称轴为x＝≤1，解得：m≤3．故答案为m≤3．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个地板中所占的比值＝＝，∴小球最终停留在黑色区域的概率是；故答案为：．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交．【解答】解：由图案可知，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交，故答案为相外离和相交．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是1010π．【解答】解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2019＝504×4+3，2020＝505×4，∴A2019的坐标为（﹣2019，1），A2020的坐标为（1，2021），∴弧A2019A2020的半径为2020．∴弧A2019A2020＝＝1010π，故答案为：1010π．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）；（3）OB＝＝，OC＝＝，所以△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积＝π×（）2﹣π×（）2＝12π．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．【解答】解：（1）画树状图：由树状图知共有6种等可能结果；（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OAC+∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACE＝∠ODA＝∠CDE，∴ED＝EC；（2）解：∵∠A＝30°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝∠CDE＝∠ACE＝60°，∴∠CED＝60°，∠EOC＝30°，∵∠OCE＝90°，∴OC＝CE•tan60°＝1×＝，∴图中阴影部分的面积＝S△COE﹣S扇形COD＝×OC×CE﹣＝．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，则P（小球上写的数字不小于2）＝；故答案为：；（2）根据题意列表得：1234 1﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）＝＝．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．【解答】（1）DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，又∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵四边形GDEC为平行四边形，∴DG＝CE＝13，CG＝DE＝17，∵∠DOG＝90°∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（17﹣r）2＝132，解得r1＝5，r2＝12，当r＝5时，OG＝12，点G在⊙O外，∴r＝5不成立，舍去，∴r＝12．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），＝﹣20x2+3600x﹣130000，w＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴，解得，50≤x≤75，∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是等边三角形；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠PFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．（2）设P的纵坐标为y．∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．∴（32+y2）＝××3×|y|．解得：y＝±或＝±6．∴点P的坐标为：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．∵四边形AMPN是正方形，∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，∵A（﹣3，0），P（0，m），∴T（﹣，m），∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，∴∠PTE＝∠TNF，∴△PET≌△TFN（AAS），∴ET＝FN，PE＝TF，同法可证△PET≌△TGM，∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），当点M在抛物线上时，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，解得m＝±，当点N在抛物线上时，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，解得m＝2±∴满足条件的点P的坐标是：（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．。
2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年重庆市沙坪坝区九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1B．2C．0D．﹣32．（4分）在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（）A．对我校七年级一班学生出生日期的调查B．对全国中学生节水意识的调查C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查D．对某批次灯泡使用寿命的调查4．（4分）下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，摆第1个图案需要4个圆点，摆第2个图案需要7个圆点，摆第3个图案需要10个圆点，摆第4个图案需要13个圆点，按照这个规律继续摆放，第12个图摆放圆点的个数为（）A．21B．35C．37D．435．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（）A．2：3B．9：4C．3：2D．4：96．（4分）下列命题错误的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．正方形的对角线互相垂直平分且相等D．对角线相等的四边形是矩形7．（4分）估计5√5−√20的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间第1 页共24 页第 2 页 共 24 页8．（4分）按如图的程序计算，若开始输入x 的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x 值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（4分）如图，AB 是⊙O 的直径，DB ，DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝20°，则∠D 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°10．（4分）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C 地测得旗杆顶部A 的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D 点处再测得旗杆顶部A 点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD 坡度i ＝1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB 所在旗台高度EF 为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB 为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A ．10.2B ．9.8C ．11.2D ．10.811．（4分）如图，双曲线y =k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB =12，与BC 交于点D ，S △BOD ＝4，则k 的值为（ ）。