高中数学人教版选修2-1教案：2.3.1 双曲线及其标准方程
三 里 屯 一 中 教 案
项目 内容
课题
2.3.1 双曲线及其标准方程
修改与
创新
教学 目标 知识与技能：使学生理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程。 过程与方法：了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过
程，感受双曲线定义在解决实际问题中的作用。
情感、态度与价值观：通过对双曲线的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的
思想，启发我们在研究问题时，抓住问题的本质。
教学
重、
难点
重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
难点：双曲线的标准方程的推导．
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教
师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a
＞| F1F2||．
2．椭圆的标准方程？
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是
怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且
穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由
|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于| F1F2||，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．
2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线
左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点
的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方
程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引
起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分
别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
说明：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么
焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴
上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)例题讲解：
1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹
方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
解：由定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)课时小结
1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点
的轨迹．
3．图形：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2
五、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．
板书
设计
2.3.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
2. 双曲线的标准方程 例
（1）焦点在x轴上
（2）焦点在y轴上
教学
反思
1.为让学生更深刻地理解双曲线的定义，在给出定义后，让学生分析：平面内到两定点
F1、F2的距离之和等于| F1F2|)的点的轨迹是什么？大于| F1F2|)的点的轨迹是什么？
2.标准方程的推导，在老师的指导下，让学生自己推导，以提高学生的运算能力。
高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共17张PPT)
例2 已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 2 PF2 ,
则cosF1PF2 ________
变1：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，F1PF2 60,
则△F1PF2的面积为_________.
变2：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 • PF2 0,
F1(c,0), F2 (c,0)
F1(0, c), F2 (0,c)
c2 a2 b2
练习：
1.若a＝2，一个焦点为(4，0)，则该双曲线的标准方程为________.
2.双曲线 x2 y2 1的焦距为10，则m _________. 9m
3.已知椭圆
x2 a2
y2 4
1与双曲线
x2 9
2.3.1双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线. 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.
虽然我们有缘，能够生在同一个平面. 然而我们又无缘，漫漫长路无交点.
为何看不见，等式成立要条件. 难道正如书上说的，无限接近不能达到.
为何看不见，明月也有阴晴圆缺. 此时古难全，但愿千里共婵娟.
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF1| -|MF2|=-2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面两条合起来叫Βιβλιοθήκη 双曲线双曲线的定义把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于
y2 3
1有相同的焦点，则
a
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.1-1 双曲线及其标准方程课件(共16张PPT)
一、知识回顾
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M
F1
F2
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢？
二、新知探究
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
M
F1
F2
三、双曲线的定义
如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响？
表示双曲线的一支
如果把定义中的“差的绝对值”和 “常数”变为下列情况，轨迹是什么？
①2a = 2c：两条射线 ②2a > 2c: 不表示任何轨迹
F1 F2
③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1 F2
四、双曲线的标准方程
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
五、精典例题
变式1 已知点 F1(-5,0)、F2(5,0), 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, 求动点P的轨迹方程.
四、双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
F1 O
F2 x
焦点在y轴上
y M
F2 x
O
F1
四、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程的特点：
y
M
F1 O F2 x
高中数学(人教A版选修2-1)课件：2-3-1 双曲线及其标准方程
栏目 导引
第一章
三角函数
(2)∵焦点在x轴上，c＝ 6， x2 y2 ∴设所求双曲线的方程为 λ － ＝1(0＜λ＜6). 6－λ ∵双曲线过点(－5,2)， 25 4 ∴ λ － ＝1， 6－λ 解得λ＝5或λ＝30(舍去)， x2 2 ∴所求双曲线的方程为 5 －y ＝1.
栏目 导引
第一章
三角函数
第一章
三角函数
阶 段 一
阶 段 三
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
栏目 导引
第一章
三角函数
1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点) 3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)
栏目 导引
第一章
第一章
三角函数
栏目 导引
第一章
三角函数
求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出 |PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出 1 |PF1|· |PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝2×|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2求得面积. 1 (2)利用公式S△PF1F2＝2×|F1F2|×|yP|求得面积.
三角函数
[基础· 初探] 教材整理1 双曲线的定义 阅读教材P52～P53“探究”以上部分，完成下列问题. 把平面内与两个定点F1，F2距离的________等于非零常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦 距.
【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离
高中数学《双曲线及其标准方程》学案 新人教版选修2-1
2.3.1双曲线及其标准方程【课标要求】了解双曲线的定义和标准方程。
【学习目标】1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。
2、掌握双曲线的标准方程。
3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。
【自主学习】1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=101652、若将定义中的2a<21F F 改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？4、求双曲线常用方法有哪些？【典型例题】 例1．（1） 已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到 点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. （2））的双曲线。
，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html方程。
的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例C C B A AB ABC ,sin sin 2sin 28.3=-∆【拓展提高】： 设双曲线在双曲线上。
是其两个焦点，点M F F yx2122,,194=-的面积。
时，求）当（的面积。
时，求）当（212121*********MF F MF F MF F MF F ∆=∠∆=∠【课堂练习】表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122=+-->∈k yk xk R k （ ）A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 充要条件 D 既不充分又不必要条件 的焦距为双曲线1210.222=-yx（ ）A 23B 24 Ｃ 33 D 34到坐标原点的距离是点时，的纵坐标是，当点满足动点已知点P P PF PF P F F 212),0,2(),0,2(.32121=--A26 B23 C 3 D 2===-212221121625,.4PF PF yxF F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点A 2B 22C 4或22D 2或22__________60,13.521212122的面积等于，则是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线PF F PF F P F F yx ∆=∠=-6.已知双曲线 ，A 、B 为过左焦点F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B 的周长为＿＿＿.22194xy-=。
2.3.1《双曲线及其标准方程》课件(人教A版选修2-1)
5.（2010·厦门高二检测）经过双曲线 x2 -y2 =1 的左焦点，
3
且与直线x+y=0垂直的直线方程是________. 【解析】由双曲线方程可知a= 3,b=1, ∴c= 3+=12, ∴左焦点为（-2，0）, 又∵直线与x+y=0垂直,∴斜率k=1. ∴所求方程为y=x+2，即x-y+2=0. 答案：x-y+2=0
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P 满足|PF1|-|PF2|=4. 求动点P的轨迹E的方程.
【解析】由椭圆的方程可化为
x2 32
+
1y得62 =|1F1F2|=2c=
=8,
2 32-16
|PF1|-|PF2|=4<8. ∴动点P的轨迹E是以F1（-4，0），F2（4，0）为焦点， 2a=4,a=2的双曲线的右支，
∴a=1,b= 2,得c=
2
a2 +b2 = 12 +( 2 )2 = 6 , 22
∴它的右焦点坐标为 ( 6,,故0)C正确.
2
2.（2010·豫东高二检测）若双曲线
x2 m2 -4
-
y2 m+1
=1的焦点在y
轴上，则m的取值范围是( )
（A）（-2，2）
（B）（-2，-1）
（C）（1，2）
（D）（-1，2）
答案：x2 - y2(=x1≥2)
45
45
4.（15分）如图，圆x2+y2=4与x轴相交于 A、B两点，以AB为焦点，坐标轴为对称 轴的双曲线与圆在x轴上方相交于C、D两 点，当梯形ABCD的周长最大时，求此双 曲线方程.
人教A版高中数学选修2-1教案双曲线及其标准方程(2)
则a2＝16，b2＝9．
∴所求双曲线的标准方程为
变式
2．P55面练习2题
【讲授新课】例ຫໍສະໝຸດ 练习1.已知椭圆的方程为 ，以此椭圆的顶点为焦点的双曲线过椭圆的顶点，
求此双曲线的的标准方程。
2．P55面练习3题
例2
解：
例3一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s．
(1)爆炸点应在怎样的曲线上？
科目
数学
课题
2.3.1双曲线及其标准方程（二）
教学班级中级班
三
维
目
标
知识与
技能
双曲线的有关概念.
过程与
方法
通过双曲线的定义及标准方程的探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法上午运用，提高学生的观察与探究能力
情感态度与价值观
通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题
焦点在x轴上，焦点是F1(－c, 0)、F2(c, 0).焦点在y轴上，焦点是F1(0,－c)、F2(0,c).
练习
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
解：(1)因为所求双曲线的焦点在y轴上，
设其标准方程为 (a＞0,b＞0)①
∵点P1、P2在双曲线上，∴点P1、P2的坐标适合方程①，
①中，得方程组
【课堂小结】
1.双曲线的定义；
2.双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上： (a＞b＞0)．
(2)焦点在y轴上： (a＞b＞0)．
3.双曲线的简单应用.
【课后作业】
教师安排同步练习
教学后记：
教学用具
教学重点
双曲线的有关概念
教学难点
高中数学选修2-1 第二章第三节《2.3双曲线》全套教案
2. 3 双曲线课时分配:1.第一课双曲线及其标准方程1个课时2.第二课或双曲线的简单几何性质1个课时2. 3.1 双曲线及其标准方程【学情分析】再此学习之前学生已经学习了椭圆，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。
本节课教学对象是普通班学生，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过程不在课堂完成，而是设计为课前以小组为单位在导学案中完成。
【教学目标】1、类比椭圆，用规范的术语说出双曲线定义，并推导出标准方程；2、记忆方程形式，识别焦点所在的轴，区分椭圆与双曲线；3、利用所给条件写出双曲线的标准方程。
4、在交流探索活动中，体验类比及数形结合思想方法的运用，养成用联系的观点认识问题的习惯。
【教学重难点】双曲线的定义及其标准方程，对双曲线定义中“绝对值”的理解【学前准备】：多媒体，预习例题（3）定义在此基础时，无轨迹．2．双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导．（1）建系设点取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段F F 1的垂直平分线为y 轴建立在直角坐标系（如图）．设()y x M ，为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为()02>c c ，则()01，c F -、()02，c F ，又设点M 与1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数()c a a 222<． （2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的集合是{a MF MF M P 221=-=2.3．2双曲线的简单几何性质【教学目标】1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。
2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义。
3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题。
【教学重难点】教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程。
高中数学选修2-1学案：2.3.1 双曲线及其标准方程
2．3.1 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程[思考](1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[答案](1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程． 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4，又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1，②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝22<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2)．反思与感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M 与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32)．1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．不存在 D ．一条射线[答案] B[解析] 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．2．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9[答案] B[解析] 由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________.[答案] 210[解析] 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.4．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________．[答案]x225－y224＝1或y225－x224＝1[解析]当焦点在x轴上时，方程为x225－y224＝1，当焦点在y轴上时，方程为y225－x224＝1.5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________. [答案]－8[解析]将x2－y2＝16化为标准形式为x216－y216＝1，所以a2＝16,2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如高中数学选修2-1学案mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解．11。
人教版高中数学选修2-1《2.3.1双曲线及其标准方程》课件
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
变式训练 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：
∵ F1F2 10 ,
PF1 PF2 10
∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
变式训练 2:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a2 a (x c)2 y2
(c a ) x a y a (c a )
F1 o
M
F2
思考： （1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？(2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？(3)线段F F 的垂直平分线
1 2
练一练:
已知F1(-4,0)，F2(4,0),︱MF1︱－︱MF2︱=2a, 当a=3和4时，点M轨迹分别为（ ） A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
人教A版数学选修2-1《231双曲线及其标准方程》教案.doc
2. 2. 1双曲线及其标准方程♦知识少技能口标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会川双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《儿 何画板》的制作或操作方法.♦过程与方法H 标（1） 预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平血与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥 的截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截而与圆 锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件示，提出两个问题：第一、你 能理解为什么此时的截口川1线是双Illi 线而不是两条抛物线；第二、伤〈能举出现实生活川双Illi 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，耍引导学生一起思考为探究P 込页上的问题 （同桌的两位同学准备无弹性的细细了两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一 个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, —•端结个套，另-•端是活动的），图钉两个）.当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子 的另一端重合在一起，拉紧绳了，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过 程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ K 板书』§2. 2. 1双曲线及 其标准方程.（2） 新课讲授过程（i ） 由上述探究过程容易得到双I11J 线的定义.K 板书』把平而内与两个定点人，九的距离的差的绝对值等于常数（小于同耳|）的 点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）.其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫 做双Illi 线的焦距.即当动点设为M 时，双曲线即为点集P= 歼—|MFj| = 2d}.（ii ） 双Illi 线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学 生來建立直角处标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学主实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程.类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c 的关系 有明显的儿何意义.2类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程朱 （iii ）例题讲解、引中为补充例1已知双曲线两个焦点分别为斥（—5,0）,鬥（5,0）,双曲线上一点P 到斥，瑪距 离差的绝对值等于6 ,求双Illi 线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求W\a^c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与OC ： （X + 2）2+/=2内切，且过r 2 —= l （Q 〉0"〉0）cr点4(2,0)；②与0C,： x2+(y-l)2 =1 和OC?： x2+(y-l)2 =4 都外切；③与OC,： (x + 3)2+y2 =9外切，且与OC2： (%-3)2+/ = 1 内切.解题剖析：这表而上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为厂.①VOC与OM内切，点A在OC外，:.\MC\ = r-y[2 f \MA\ = r ,因此有\MA\-\MC\ = y/2 f:.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2兀2 —弓一=1(兀--近)；②O M与OC?均外切，A |MCj = r + l , \MC2\ = r + 2，因此有|MC2|-|MC,| = 1, A点M的轨迹是以C?、G为焦点的双曲线的上支，・・・M的轨迹方程③ VO M 与口G外切，RDM 与口C?内切，.*. |MCj = r + 3, |MC2| = r-l,因此|MCj-|MC2| = 4, A点M的轨迹是以C「C<为焦点的双曲线的右支，・・・M的轨迹方程是J£_£= I(X>2).4 5 '丿例2已知A , B两地相距800加，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/5 ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A, B两地听到爆炸声的时间差，即可知A, B两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4$ •已知各观察点到该中心的距离都是1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声咅传播的速度为340m/5 ；相关点均在同一平而内).解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发主在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s、，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双Ilh线上.如图，以接报中心为原点O,疋东、疋北方向分别为兀轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A(-1020,0),5(1020,0), C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点‘TA、C同时听到巨响,・・・OP所在直线为y = -x……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，.\ \PB\ -\PA\ = 4 x 340 = 1360(m).由双曲线定义知,tz = 680 , c=1020 ,・・・b = 340^5 ,・・・P点在双曲线方程为7 7命一為"（Q68。