无理数与实数(提高)知识讲解
初中实数性质知识点总结
初中实数性质知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。
2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。
3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。
4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。
5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。
6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。
7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。
二、实数的代数性质1. 实数的加法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。
2. 实数的减法性质：减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。
3. 实数的乘法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a；（4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。
4. 实数的除法性质：（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。
实数完整版课件
实数完整版课件一、教学内容1. 实数的定义与分类：有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数的加法、减法、乘法、除法运算规则。
3. 实数的运算律：交换律、结合律、分配律。
4. 实数与数的比较：实数的大小比较、实数的绝对值。
二、教学目标1. 让学生掌握实数的定义与分类，理解实数的概念。
2. 让学生掌握实数的性质和运算律，能够熟练进行实数的运算。
3. 培养学生运用实数解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的分类，特别是无理数的概念。
2. 教学重点：实数的性质，实数的运算律。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活实例，如购物时找零钱，引入实数的概念。
2. 知识讲解：讲解实数的定义与分类，重点讲解无理数的概念。
3. 例题讲解：举例子说明实数的性质和运算律的应用。
4. 随堂练习：让学生现场进行实数的运算，巩固所学知识。
5. 板书设计：列出实数的性质和运算律，方便学生记忆。
6. 作业设计：布置有关实数的运算题目，巩固所学知识。
六、作业设计（1）2 + 3 × (4) ÷ 2（2）( 3 )^2 × 3 ÷ ( 6 )（3）√9 √162. 答案：（1）2 + 3 × (4) ÷ 2 = 8（2）( 3 )^2 × 3 ÷ ( 6 ) = 3（3）√9 √16 = 3 4 = 1七、板书设计实数的性质与运算律：性质：1. 加法交换律2. 加法结合律3. 乘法交换律4. 乘法结合律5. 分配律运算律：1. 交换律2. 结合律3. 分配律八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活实例引入实数的概念，让学生能够理解实数的重要性。
通过讲解实数的性质和运算律，让学生能够熟练进行实数的运算。
在作业设计中，布置了有关实数的运算题目，让学生能够巩固所学知识。
初二数学无理数知识点总结
初二数学无理数知识点总结初二数学无理数知识点总结知识要领：无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
无理数概念无理数是无限不循环小数。
如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)。
除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。
无理数与有理数的区别区别1把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8，1/3=0.33333……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
区别2无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2。
”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。
毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。
其中，他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。
他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。
然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。
《实数》数学教学课件
《实数》数学教学课件一、教学内容本节课选自《数学》教材第七章第四节“实数”。
详细内容包括实数的定义、分类及性质，特别是无理数的理解与运算规则。
着重讲解教材第7.4节中关于实数的性质，包括实数的封闭性、有序性以及运算法则。
二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。
2. 能够运用实数的性质解决实际问题，特别是涉及无理数的运算问题。
3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，形成对数学严谨性的认识。
三、教学难点与重点教学难点：实数的性质理解，特别是无理数的运算规则。
教学重点：实数的定义及其在数学运算中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：数学教材、练习本、计算器（含无理数计算功能）。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中遇到的无理数（如π的近似计算），引发学生对实数学习的兴趣。
2. 知识讲解（15分钟）详细讲解实数的定义、分类及性质，特别强调无理数的特点及运算规则。
3. 例题讲解（10分钟）选取典型例题，如无理数的开方运算、实数的混合运算等，讲解解题思路和步骤。
4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识，教师巡回指导。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论实数在实际生活中的应用，培养学生的实际应用能力。
六、板书设计1. 实数的定义2. 实数的分类3. 实数的性质4. 无理数的运算规则5. 例题解析七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：√3 + √2，(√5 √3)²（2）判断题：实数可以分为有理数和无理数两大类。
（3）应用题：某班有30名学生，将他们按照身高从矮到高排序，假设每个学生的身高都是一个实数，求他们身高的平均数。
2. 答案：（1）√3 + √2 = 1.732 + 1.414 ≈ 3.146(√5 √3)² = (2.236 1.732)² ≈ 0.728（2）正确（3）平均数≈ (1+30)/2 = 15.5八、课后反思及拓展延伸本节课学生对实数的定义和性质有了较深入的理解，但对无理数的运算还需加强练习。
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
例如，π（圆周率）约等于 31415926就是一个无理数，因为它的小数部分是无限不循环的。
再比如√2（根号 2）约等于 141421356也是无理数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。
有理数又可以分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。
无理数就是无限不循环小数。
2、按正负分类实数可以分为正实数、0、负实数。
正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数。
负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数。
三、实数的性质1、实数的相反数实数 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。
例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。
2、实数的绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
例如，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5 ，｜0| ＝ 0 。
3、实数的倒数若实数 a 不为 0，则 a 的倒数为 1/a 。
例如，5 的倒数是 1/5 ，－2 的倒数是－1/2 。
4、实数的运算实数的运算遵循加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：ab ＝ ba乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac在进行实数运算时，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。
四、实数的大小比较1、数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2、差值比较法设 a、b 是两个实数，若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b 。
实数的概念和运算基础知识讲解
实数的概念和运算（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数及无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.实数及数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点及之对应.要点三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；及准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数及准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π--- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案及解析】有理数有3222,9,8,0,,73-- 无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较250.5的大小． 【答案及解析】解：作商，得．51>，即，所以．【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1a b<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--7___523___3232 9___0－3___10--|43|___(7)---【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ，∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误；B 、∵a ＜b ，∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误；C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误；D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确．故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数及数轴，熟知数轴上各点及实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案及解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－=|74+7|－=274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值． 【答案】解：由已知得，解得．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.类型四、近似数和有效数字6、下列各数有几个有效数字，分别是什么？（1）0.01020 ；（2）1.50万；（3）15000； （4）42.3010-⨯【答案及解析】解：由有效数字的定义可得：（1）0.01020有4个有效数字，分别为：1，0，2，0；（2）1.50万有3个有效数字，分别为：1，5，0；（3）15000有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0；（4）42.3010-⨯有3个有效数字，分别是：2，3，0【总结升华】带有文字单位或用科学记数法10n a ⨯表示的数，有效数字的个数及文字单位或10n 没有关系.。
数学七年级下册6.3.1 实数 无理数概念 教案-【经典教育教学资料】
6.3.1 实数 无理数概念【教学目标】 知识与技能：① 了解无理数和实数的概念； ② 会对实数按照一定的标准进行分类；③ 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：在按不同标准给实数分类的过程中，培养学生的分类的能力；知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，进一步掌握“数形结合”的思想方法。
情感态度与价值观：① 通过了解数系扩充体会数系扩充的意义与作用；② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：① 了解无理数和实数的概念；② 知道实数与数轴上的点是一一对应的关系； ③ 对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
【教学过程】 复习引入：问题：请给下列各数分类,并说明分类标准：（设计意图：自然引入有理数，让学生回忆有理数的分类，为引入实数的分类做好铺垫，从而建立新旧知识的联系。
）探究新知：问题1：有理数包括整数和分数，如果将下列分数119,911,427,53,25-写成小数的形式，你有什么发现？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：18.01192.191175.64276.0535.225. ===-=-=，，，，归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
（设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。
）问题2：你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型？通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数或者无限循环小数，是一类不同于有理数的数。
于是，把无限不循环小数叫做无理数。
比如。
， 7099759.15442249.13,7320508.13,414213.1233==-=-=等都是无理数。
14159265.3=π…也是无理数。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
第一课时实数的概念和特征
2.有限小数与无限循环小Байду номын сангаас 3.绝对值的意义、性质 4.有理数的运算律和法则。 5.算术平方根有关知识。
讲解点1： 无理数
学习过程
定义：无限不循环小数叫做无理数。
理解：（1）它是一个小数；（2）它的小数位数是无限 的；（3）它是不循环的。 初中阶段的表现形式：（1）无限不循环小数；如果 0.010010001……（两个1之间依次多一个0）；（2）
以后要注意了，数轴称为“实数轴”，它上面的点表 示的是全体实数，而不只是有理数了。
[典例] 判断下列说法是否正确，如果不正确，举例说明。
（1）无理数是实数。（ ） （2）实数都是无理数。（ ）
（3）无限小数都是无理数。（ ） （4）在1和2之间的无理数的个数是有限的。（ ） 解：（1）是正确的；（2）是错误的。例如0，1，-1 等都是实数，但它们不是无理数；（3）是错误的。例 如0.33333……是无限小数，但它不是无理数；（4） 是错误的。由于无理数是无限不循环小数，故可在1— 2之间随意构造出无理数来，如：1.2121121112…， 1.010010001…等，因而在1—2之间无理数有无数个。
， 3 , 0.1·7· , 3 8 , | 3 |,
2
27
8, 1 , 2 5, 16, 3.1415926,
53
0.01001000100001...... 0，-8
整数 16, 0，-8
分数
3, 2
0.1·7· , 3
8, 27
1, 5
3.1415926,
， 正数 0.1·7· , 3 8 , | 3 |,
4.
2
（3）数轴上的每一个点都表示有理数。（ 不是（ ）
第四讲实数(教案)
1.教学重点
-实数的概念：理解实数的定义，区分有理数和无理数，掌握实数的分类。
-举例：解释为什么π和√2是无理数，与有理数的区别。
-实数的运算：熟练进行实数的加减乘除运算，掌握混合运算的法则。
-举例：讲解π+2、(√3-√2)×√6等运算，强调运算规则。
-实数与数轴的关系：理解实数在数轴上的表示，掌握数轴上实数的大小比较。
第四讲实数（教案）
பைடு நூலகம்一、教学内容
本讲主要依据人教版数学八年级下册第十章《实数》的内容展开。教学内容包括：
1.实数的概念：有理数和无理数的定义，实数的分类。
2.无理数的性质：无理数的表示方法，如π和√2，以及它们与有理数的运算规律。
3.实数的运算：实数的加减乘除，以及混合运算的法则。
4.实数与数轴：实数与数轴的关系，实数在数轴上的表示。
五、教学反思
在今天实数的教学中，我发现学生们对于实数的概念和分类掌握得还不错，但无理数的理解上存在一些困难。尤其是无理数的运算和大小比较，这些部分明显感觉到学生们的困惑。这也让我意识到，无理数作为实数中的一个特殊部分，需要我们更加深入和直观地去讲解。
在讲授过程中，我尝试通过数轴和实际案例来帮助学生理解无理数。例如，用π的例子来说明无理数在实际生活中的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。但我也发现，仅仅依靠理论讲解和案例分析还不够，需要更多实际操作来加深学生的印象。
-解决方法：设计实际情境题目，让学生体会实数在生活中的应用，提高数学建模能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用分数表示的数？”（如圆周率π）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索实数的奥秘。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
无理数与实数（提高）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，
如5.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集
通常用字母R表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数
按与0的大小关系分：
实数0正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、
乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行
实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
3
2，14，7，π，52，2
，203，5，38，49，0，0.3737737773……
（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
【答案与解析】
解：有理数有：14， 52，38，49，0，
无理数有：32，7，π， 2，203，5， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如32，7， 2，203，5.
举一反三：
【变式】（2015春•聊城校级月考）已知下列结论：
①任何一个无理数都能用数轴上的点表示；
②每个实数都对应数轴上一个点；
③在数轴上的点只能表示无理数；
④有理数有无限个，无理数有有限个；
⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数；
⑥﹣3是（﹣3）2的算术平方根．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤
【答案】A．
解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确；
②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确；
③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数
这种说法不正确，∴③不正确；
④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确；
…
有理数集合
…
无理数集合
⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带
根号，但是它是无理数，∴⑤不正确；
⑥∵3是（﹣3）2的算术平方根，∴⑥不正确．
综上，可得①②．
故选：A．
类型二、实数大小的比较
2、比较20101与19491的大小．
【思路点拨】根据ab，bc，则ac来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为201012025145144，194911849143144．
所以20101＜19491
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、
倒数法等.
举一反三：
【变式】解：已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，试化简：
||||||||xzxyyzxzxz
．
【答案】由图知0xy，0z，0xz．
∴ 0xy，0yz，0xz，0xz．
∴ ||||||||xzxyyzxzxz
()()()()1xzxyyzxzxz．
类型三、实数的运算
3、（2016•安徽模拟）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点
对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为 ．
【思路点拨】根据中点的性质得到AC=AB，可得答案．
【答案与解析】
解：AC=﹣1，
AB=1﹣（﹣1）=2﹣，
点B对应的数是2﹣．
【总结升华】本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出AB=1﹣（﹣1）是解题关键．
举一反三：
【变式】若a的两个平方根是方程322xy的一组解．
（1）求a的值；
（2）求2a的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ a的平方根是322xy的一组解，则设a的平方根为1a，2a，
则根据题意得：1212322,0,aaaa解得122,2.aa
∴ a为2(2)4．
（2）∵ 22416a．
∴ 2a的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
4、已知2(21)30abb，且34c，求333abc的值．
【答案与解析】
解：∵ 2(21)30abb，且2(21)0ab，30b．
∴ 2(21)0,30abb且，即210ab，30b．
解得 b＝3，a＝5，34c得c＝64．
∴ 333333353642166abc．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210ab，30b可
求a、b，又34c，所以c＝64，则333abc可求．
举一反三：
【变式】已知223|9|0(3)xyxx，求xy的值．
【答案】
解：知条件得2309030xyxx①②③，
由②得29x，3x，∵ 30x，∴ 3x，则3x．
把3x代入①得330y，y＝1．
∴ 331xy．