高中数学第一章数列2.2等差数列的前n项和(一)课件北师大版必修5
2021_2022学年高中数学第一章数列2.2.1等差数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
五等差数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知解得所以S8=8a1+d=32.2.在等差数列{a n}和{b n}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列{a n+b n}的前100项的和为( )A.0B.4475C.8950D.10000【解析】选C.设=a n+b n,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{}是等差数列,所以前100项和S100===8 950.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列, 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( )A. B.C.D.【解析】选A.设S3=m,因为=,所以S6=3m,所以S6-S3=2m.由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,所以S12=10m.所以=.5.(2019·高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,S n=na1+d=,当n=4或5时,S n最小,为-10.答案:0 -106.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+×(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质,知当n=13时,S n有最大值169.方法二:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.因为a1=25>0,由解得≤n≤,所以当n=13时,S n有最大值,S13=25×13+=169.【补偿训练】设数列{a n}是公差不为零的等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,且=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由S n=na1+d及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d),①4a1+6d=4(2a1+d).②由②得d=2a1,代入①,有=a1,解得a1=0或a1=.当a1=0时,d=0(舍去),因此a1=,d=.故数列{a n}的通项公式为a n=+(n-1)×=(2n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5=7,S10=21,则S15等于( )A.35B.42C.49D.63【解析】选B.在等差数列{a n}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12【解析】选 B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.3.(2020·某某高一检测)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是( )A. B. C.D.【解题指南】由题意可得中间部分的为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,可得到a1和d 的方程,即可求解.【解析】选D.由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.4.(2020·仙游高一检测)记S n为等差数列的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n【解析】选A.由题知,解得,所以a n=2n-5.所以S n==n2-4n.【光速解题】选 A.本题还可用排除法,对B,a5=5,S4==-10≠0,排除B;对C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C;对D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=≠5,排除D.5.等差数列{a n}的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.由题意知a1+a2+a3+a4=124,a n+a n-1+a n-2+a n-3=156,所以4(a1+a n)=280,所以a1+a n=70.又S==×70=210,所以n=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·某某高考)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:167.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2020=.【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 019d=-2 018+2 019=1,所以S2 020=1×2 020=2 020.答案:2 0208.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中.(1)a1=105,a n=994,d=7,求S n;(2)d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】(1)d====7,解得n=128.所以S n===70 336.(2)由得解方程组得或10.设等差数列的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列的通项公式及前n项和公式.(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9.所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=,若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以=+,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t===1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.即当t=5时,b1,b2,b4成等差数列;当t=3时,b1,b2,b5成等差数列;当t=2时,b1,b2,b7成等差数列.1.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.a n=120+5(n-1)=5n+115,由a n<180得n<13且n∈N+,由n边形内角和定理得,(n-2)×180=n×120+×5.解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.2.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根?共堆了多少层?【解析】设最下面一层放n根,则最多可堆n层,则1+2+3+…+n=≥600,所以n2+n-1 200≥0,记ƒ(n)=n2+n-1 200,因为当n∈N+时,f(n)单调递增,而f(35)=60>0,f(34)=-10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根.因为1+2+3+…+35=630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1+2+3+…+7=28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层.故最下面一层放35根,共堆了28层.高考- 11 - / 11。
【数学】1.1《数列》课件(北师大版必修5)
−n
7 −n an = ×(1−10 ), n∈N* 9
小结： 小结： 1．数列的有关概念; 数列的有关概念; 2．观察法求数列的通项公式. 观察法求数列的通项公式. 目的: 目的: 1.理解数列的概念; 1.理解数列的概念; 理解数列的概念 2.理解数列的通项公式， 2.理解数列的通项公式，给出一些数 理解数列的通项公式 列能够写出其通项公式， 列能够写出其通项公式，已知通项公 式能够求数列的项.
n ; （1） an = ） n+1
(2)an = (−1) ⋅ n
n
1 2 3 4 5 a 解：（1） 1 = ;a2 = ;a3 = ;a4 = ;a5 = ; 2 3 4 5 6
1 ; 3 ; 5 (2) a1 = ;a2 = 2 a3 = − ;a4 = 4 a5 = − ; 数：
4，5，6，7，8，9，10 . ， ， ， ， ， ，
① ② ③ ④ ⑤
1 1 1 1 1 , , , ,...... , 2 3 4 5
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …… -1，1，-1，1，-1，1, …… ， ， ， ， ， 2，2，2，2，2, …… ， ， ， ，
1，2，3，4，5，6， …. ， ， ， ， ， ，
4，5，6，7，8，9， ， ， ， ， ， ，
an = n(n≥1) ≥ an=n+3(1≤n≤6)
1 an = (n ≥ 1 ) n
1 1，0.1，0.01，0.001，…. an = 10n−1 (n ≥1) ， ， ， ，
1 1 1 1 1 , , , ,L , . 2 3 4 5
a1 , a2 , a3 , ⋅⋅⋅, an , ⋅⋅⋅
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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必修5数列等差
题型二 等差数列前n项和公式的灵活运用 例2:等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,
求S28.
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分析:(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组,解出a1和d,进 而求得S28; (2)因为数列不是常数列,因此Sn是关于n的一元二次函数且常
第7页 共 51 页
2.等差数列前n项和的一些性质 (1)Sn=a1+an+„+an, S2n-Sn=an+1+an+2+„+a2n,
S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+„+a3n,
则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列,有Sn+S3nS2n=2(S2n-Sn).
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课前热身
(学生用书P34)
第3页 共 51 页
1.数列的前n项和 对于数列{an},一般地称a1+a2+a3+„+an为数列{an}的前n项 a1+a2+„+a 和,用S 表示,即S =________. n
n n
n(a1 an ) 2 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=____________
2 若项数为2n, 则
S偶 S奇 a 2 a 4 a 6 a 2n a1 a 3 a 5 a 2n 1 d d d nd, n (a1 a2 n 1 ) 2a S奇 an n 2 . n S偶 (a2 a2 n ) 2an 1 an 1 2
n(n 1) d. 2
第23页 共 51 页
新教材2023版高中数学章末复习课1第一章数列课件北师大版选择性必修第二册
考点一 传统文化中的数列问题 1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题． 2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素 养．
例1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，
一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，
项公式要分段表示． (3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相
消法、错位相减法、分组求和法． (4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学
运算素养．
例4 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ an − 1 2an.求数列{bn}的前n项和Tn.
于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一
个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织
布( )
A．3尺
B．4尺
C．5尺
D．6尺
答案：C
解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其
21 公差为d.则ቐ390 =
= a1 30a1
2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q
为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数
高中数学必修5第2章 第3节 第1课时等差数列的前n项和
【答案】 C
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2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则 Sn＝
.
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【解析】 因为 a1＝1，d＝1， nn－1 所以 Sn＝n＋ 2 ×1 2n＋n2－n ＝ 2 n2＋n nn＋1 ＝ 2 ＝ 2 .
【答案】 nn＋1 2
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已知等差数列{an}中， (1)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d； (2)S5＝24，求 a2＋a4.
【精彩点拨】 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程组求解即可， 同时注意等差数列性质的应用．
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【自主解答】
na1＋an n－512＋1 (1)由 Sn＝ ＝ ＝－1 022，解之得 n＝4. 2 2
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5a1＋a5 48 法二 由 S5＝ ＝24，得 a1＋a5＝ 5 . 2 48 ∴a2＋a4＝a1＋a5＝ 5 .
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1．在等差数列的通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量：a1，d，n，an， Sn，其中首项 a1 和公差 d 为基本量，且“知三求二”． 2．求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解 过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
【提示】
在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管
数分别记为 a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以 a1＝4 为首项，以 d＝1 为公 差的等差数列，设此时钢管总数为 S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管 每层有 a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)， 此时钢管总数为 2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)， a1＋a6 原来钢管总数为 S6＝ 2 ×6＝39(根)．
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.1.1 数列的概念
-14-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
探究三
首页 思维辨析
自主预习
合作学习
当堂检测
(5)数列给出前 6 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,所以通项公式
所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项.
②假设{an}中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得
m=10. 所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与第11项相等.
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1.1 数列的概念
探究一
探究二
答案:②④
-12-
1.1 数列的概念
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探究三
思维辨析
探究二 根据数列的前几项写数列的一个通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,3,7,15,…
(2)√23
,
4 √5
,
6 √7
,
√89,…
(3)-2,54,-190 , 1176,…
(4)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…
探究三
首页 思维辨析
自主预习
合作学习
当堂检测
忽略了相邻正方形的公共边而致误 【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方 形组成.
通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为 错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4;
高中数学第一章数列1.3.2.1等比数列的前n项和课件北师大版必修0
解析： (1)由 Sn＝a11－－aqnq＝3－ 1－9q6q＝189，解得 q＝2. 又 an＝a1qn－1， ∴96＝3·2n－1，即 2n－1＝32， ∴n－1＝5，即 n＝6.
(2)已知 S6≠2S3，则 q≠1， 又∵S3＝72，S6＝623，
即aa111111－－－－qqqq63＝＝67223 ②
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54，
即,1＋q2≠0，
∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1，
S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
(3)方法一：设首项为 a1， ∵q＝2，S4＝1，∴a111－－224＝1，即 a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 方法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且 q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4)＝S4·(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17.
[问题2] 怎样理解等比数列前n项和公式？ [提示] 等比数列(q≠1)的前 n 项和公式有两种形式，即 Sn ＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)，与通项公式 an＝a1qn－1 中，共涉及 a1，q，an，n，Sn 五个量，已知其中的三个量，通过解方程组， 就可以求出其余的两个量．
(1)与等差数列类似．在等比数列中，利用通 项公式和前 n 项和公式同样可以在五个基本量 a1、q、an、Sn、 和 n 中“知三求二”．
(2)运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意公比 q 是否为 1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元．
1．在等比数列{an}中， (1)已知 a1＝3，an＝96，Sn＝189，求 n； (2)已知 S3＝72，S6＝623，求 an； (3)a3＝－12，前 3 项和 S3＝－9，求公比 q. (4)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 n 和 q.
人教版高中数学必修五等差数列的前n项和课件 (1)
解析： 数列{an}的公差d＝a1177－－a11＝－121－7－－1 60＝3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0得3n－63<0，解得n<21. ∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负 数． 设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和， 当n≤20时，S′n＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n；
可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值，但应注意
n∈N*. ,
2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取 得最小值时，n＝( )
A．26
B．25
C．24 D．23
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝ 29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．
解析： (1)由an＝2n－49知a1＝－47，d＝2>0. Sn＝na1＋nn2－1d＝－47·n＋nn2－1×2 ＝n2－48n＝(n－24)2－242 ∴当n＝24时，Sn取得最小值．
解析： 利用等差数列的性质求解． ∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，∴a3＝3， ∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5a3＝5×3＝15.
答案： B
3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其 前n项和Sn＝100，则n＝____________.
解析： ∵a3＋a5＝a1＋a7＝14，∴a7＝13. 又a7＝a1＋(7－1)d，∴d＝13－ 6 1＝2. Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴n×1＋nn2－1×2＝100. 解得n＝10或n＝－10(舍)．
2a1＋5d＝19， (2)由题设可得5a1＋552－1d＝40， 即a21a＋1＋2d5＝d＝8，19， 解得da＝1＝32，， 故 a10＝2＋3×(10－1)＝29.
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
可设为｛an｝且a1=5,d=1,an=80
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出ห้องสมุดไป่ตู้0-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
合作探究
解：
所以
=
= × +
解：
得
整理，得
解得 n=12，或n=-5（舍去）
所以 n=12
练习
思考：上述四道题分别选择哪种公式更方便计算
n（n 1)
n（a1 an )
d
公式2 Sn na1
公式1 Sn
2
2
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80