2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4_6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文20180724338
(全国通用)高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图
§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象．2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 以考查函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径知识拓展1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( √ ) 题组二 教材改编2．[P55T2]为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 A3．[P58A 组T3]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.4．[P62例4]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．题组三 易错自纠5．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度． 6．(2016·全国Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度， 所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 故选D.7．(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π， 所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换典例 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练 (1)(2018·石家庄调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2 B.32 C.23 D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值．(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．答案 y ＝cos 2x解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位长度得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x .题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z解析 根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练 (2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案 D解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象，又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z )．令k ＝2，则m ＝7π12.题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由题干图得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y 1＝m 2和y 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数图象性质的综合典例 (2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3 (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解 (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， 可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π6.当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)(2018·兰州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为__________． 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ. 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.(2)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ，∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，∴π6≤T 4≤π2－π6，∴2π3≤T ≤4π3， ∴2π3≤π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，∴－112≤k ≤16， 又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 －sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，[10分]∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 答案 D解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.2．(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )84C.3π8D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3．(2017·衡水中学模拟)若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π3答案 A解析 由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故选A.4．(2018·湖南四校联考)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( )23C.π3D.π4答案 B解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．5．(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，故选B.6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值－32. 7．(2017·青岛质检)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 解析 y ＝sin x ――――――――――――→向右平移π10个单位长度 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10―――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 8．(2017·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6解析 由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)．9．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象如图所示．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18.10．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4， 所以ω＝π2.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．12．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时， f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期为T ＝π， ∴2ω＝2πT＝2，ω＝1. (2)∵x ∈[0，π]，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6. 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，f (x )单调递减， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________． 答案 5π6 解析 g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2， 所以θ＝π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3， 所以π3－2φ＝－4π3. 即φ＝5π6. 14．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为________．答案 34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π， 所以f (x )＝12cos πx ， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34. 16．(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
三角函数的图象与性质(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 27 —
(4)三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性 质，如在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值， 则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函 数，则φ＝2π＋kπ(k∈Z)．
A．y＝fx－π4为奇函数 B．y＝fx－4π为偶函数 C．y＝fx＋4π－1为奇函数 D．y＝fx＋π4－1为偶函数
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin
ωx＋π4
＋b(ω>0)的最小正周期为T.若
2π 3
<T<π，且y＝f(x)的图象关于点32π，2中心对称，则fπ2＝( A )
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
2．(易错题)(2023·宜昌检测)下列函数中，在其定义域上是偶函数的是( B )
A．y＝sin x
B．y＝sin x
C．y＝tan x
D．y＝cosx－π2
解析 对于A，∵y＝sin x的定义域为R，sin(－x)＝－sin x，∴y＝sin x为奇函
数，A错误；对于B，∵y＝
sin
x
的定义域为R，
sin－x
＝
－sin
x
＝
sin
x
，∴y＝
sin x为偶函数，B正确；对于C，∵y＝tan x的定义域为kπ－π2，kπ＋2π(k∈Z)，即定 义域关于原点对称，tan(－x)＝－tan x，∴y＝tan x为奇函数，C错误；对于D，∵y＝
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
高考数学第一轮复习第四章 §4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
解 因为 x∈[0，π]，所以 2x＋π6∈π6，136π，
列表如下：
2x＋6π
ππ 62
π
3π 2
2π
13π 6
x
π 5π 2π 11π
0 6 12 3
12
π
f(x) 1 2 0 －2 0
1
描点、连线得图像：
训练1 函数y 2cos(2x )的部分图像大致是
6
例2 若将函数y 2sin(2x )的图像向右平移 1 个周期后，所得
6
4
图像对应的函数为
训练2 若把函数y 2sin(x- )的图像向左平移 个单位长度，所得
6
3
的图像与函数y 2 cosx的图像重合，则的一个可能取值是
思维升华
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代 换z＝ωx＋φ计算五点坐标. (2)由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像有两条途 径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
x ωx＋φ
0－φ ω
0
π2－φ ω
π 2
π－φ ω
π
32π－φ ω
3π 2
2π－φ ω
2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
例:如何由 y sin x变换得 y 3 sin(2 x ) 的图象？
3
方法1:(按 , ω, A顺序变换)
y
3
y 3sin(2x )
2
y
3 sin(2
12
12
A.k2π＋56π，0(k∈Z) C.k2π＋π6，0(k∈Z)
B.kπ＋56π，0(k∈Z) D.kπ＋π6，0(k∈Z)
高考数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asinwx+φ的图象及应用课件
的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数 y＝sin
8π 3
11π 3
y
2
0
－2
0
描点、连线作图如下：
将函数 y＝2sin 2x＋π6，x∈－3π，113π的图象不断向左、向右平移(每次移 动 4π 个单位长度)，就可以得到函数 y＝2sin 2x＋π6，x∈R 的图象．
考向二 三角函数的图象变换
例 2 (2021·全国乙卷)把函数 y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来
列表如下： 2x＋π3 x y
描点作图．
－π3 －π3 －3
0
π 2
π
3π 2
5π 3
－π6
π 12
π 3
7π 12
2π 3
0
2 0 －2 － 3
用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤 (1)将原函数化为 y＝A sin (ωx＋φ)或 y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形 式； (2)确定周期； (3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点； (4)选出一个周期内与 x 轴的三个交点； (5)列表； (6)描点．
3．函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤
1．对函数 y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基 本变换有：
(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由 A 的变化引起的，A>1 时伸长，A<1 时缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由 ω 的变化引起的，ω>1 时缩短，ω<1 时伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由 φ 引起的，φ>0 时左移，φ<0 时右移．
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用[最新考纲] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ) 0 A 0 －A03.由y＝sin x的图像变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像[常用结论]1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减〞．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩〞与“先伸缩，后平移〞中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位得到的．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3C [由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.]2．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度A [y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.]3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，那么这段曲线的函数解析式为________．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] [从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期．所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．]4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．y ＝6－cos π2x [设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .]考点1 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可用“五点法〞作简图得到，可通过变量代换z＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)用“五点法〞作出它在一个周期内的图像；(2)[一题多解]说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到．[解] (1)描点画出图像，如下图：(2)法一：把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．法二：将y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图像；再将y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像． 三角函数图像变换中的3个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，假设不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数． (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向．(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位．1.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4的图像，只需将函数y ＝cos 5x 的图像( )A ．向左平移3π20个单位B ．向右平移3π20个单位C ．向左平移3π4个单位D ．向右平移3π4个单位B [函数y ＝cos 5x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π2＝sin 5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π4＝sin 5⎝⎛⎭⎪⎫x －π20，设平移φ个单位， 那么π10＋φ＝－π20，解得φ＝－3π20，故把函数y ＝cos 5x 的图像向右平移3π20个单位，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π4的图像．]2．假设把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y＝cos ωx 的图像重合，那么ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值．]3．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图像关于直线x ＝π12对称，那么φ的最小值为________．524π [把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像向左平移φ(φ＞0)个单位后， 可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋φ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4φ＋π3的图像，∵所得图像关于直线x ＝π12对称，∴4×π12＋4φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴φ＝k π4－π24(k ∈Z )，∵φ＞0，∴φmin ＝5π24.]考点2 由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，那么A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，那么ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法〞中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点〞(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点〞(即图像的“峰点〞)为ωx ＋φ＝π2；“第三点〞(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点〞(即图像的“谷点〞)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点〞(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图①所示，那么f (x )＝________.图① 图②(2)(2019·某某六校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图②所示，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝________.(1)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 (2)－62 [(1)由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由函数的图像可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，那么2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－62.](1)一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，如果求出的φ的值不在指定X 围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的．(2)在用“零点〞求φ时，务必关注三角函数在该点附近的图像变化趋势．1.(2019·某某模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx＋φ)的图像如下图(图像经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos 2(ωx ＋φ)，所以函数f (x )的最小正周期T＝2π2ω＝πω，由题图知T 2＜1，且3T 4＞1，即43＜T ＜2，又ω为正整数，所以ω的值为2，应选B.]2.(2019·某某模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2的图像如下图，那么以下说法正确的选项是( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，13π6上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，13π6上单调递增 B [由题意得，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2.当x ＝π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，且|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，5π2，又由正弦函数y ＝sinx 的图像与性质可知，函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，5π2上单调递增，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12上单调递增．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，13π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π3，14π3，由函数y ＝sinx 的图像与性质知此区间上不单调，应选B.]3.函数f (x )＝sin(πx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的部分图像如下图，且f (0)＝－12，那么图中m的值为________．43 [因为f (0)＝sin θ＝－12，且|θ|＜π2，所以θ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π6，所以f (m )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－π6＝－12，所以m π－π6＝2k π＋7π6，k ∈Z ，所以m ＝2k ＋43，k ∈Z .又周期T ＝2，所以0＜m ＜2，所以m ＝43.]考点3 三角函数图像与性质的综合应用函数零点(方程根)问题关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，那么m 的取值X 围是________．(－2，－1) [方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，那么t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，所以题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．所以y 1＝m 2和y 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，m 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值X 围是(－2，－1)．][母题探究] (变条件)将本例中“有两个不同的实数根〞改为“有实根〞，那么m 的取值X 围为________．[－2,1) [由例题可知，m 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m ＜1，即m 的取值X 围为[)－2，1.]本例在求解中，通过换元，令t ＝2x ＋π6，把原问题等价转化为函数y ＝m2与y＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎪⎫7π6，13π6图像交点个数问题，从而化繁为简，提高了解题效率．三角函数图像与性质的综合问题函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图像与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)假设将f (x )的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图像恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图像与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋m ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图像，根据g (x )的图像恰好经过点⎝⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π6.当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．1.(2019·某某高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g (x )．假设g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ．2D ．2C [∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f (x )＝A sin ωx ，那么g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x .由g (x )的最小正周期T ＝2π，得ω2＝2πT ＝1，∴ω＝2.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，应选C.]2．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③ C ．①②③D ．①③④D [如图，根据题意知，x A ≤2π＜x B ，根据图像可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π＜x B ，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，所以③正确．]课外素养提升⑤ 逻辑推理与数学运算——三角函数中ω的确定方法数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．三角函数的周期T 与ω的关系[例1] 为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，那么ω的最小值为( )A ．98πB ．1972πC ．1992π D ．100πB [由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.][评析] 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系．三角函数的单调性与ω的关系[例2] 假设f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，那么ω的取值X 围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 [法一：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3(ω＞0)，所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≥－π2，2π3ω≤π2，ω＞0，故0＜ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的图像如下图．要使f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，需⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω(ω＞0)，即0＜ω≤34.法三：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )，由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z ，ω＞0)， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0＜ω≤34.][评析] 根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f (x )的单调递增区间，根据函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值X 围．[例3] (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎪⎫ω＞23，假设函数f (x )图像的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，那么ω的取值X 围是________．(结果用区间表示)(2)函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，那么ω的取值X 围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧ω⎪⎪⎪⎭⎬⎫ω≤－2或ω≥32 [(1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z )．当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：假设ω＞0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω.因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.假设ω＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.][评析] 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
第5讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)常用结论1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标．二、习题改编1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案：A2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φx ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)搞不清ω的值对图象变换的影响； (2)确定不了函数解析式中φ的值．1．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62．(2020·某某市模拟考试)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )＝．解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题图可知，T 2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6五点法作图及图象变换(典例迁移)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ，其最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象． 【解】 (1)f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2， 所以a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表： x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6π2π3π22π13π6f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 12－21画图如下：【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到．答案：π6【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变 换法由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是ωx 加减多少值．1．(2020·某某市调研测试)由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π12 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π6 解析：选 A.由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6的图象向左平移π3个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋2π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，故所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6，选A.2．(2020·某某模拟改编)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则所得函数的最小正周期为，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4的值为． 解析：由题知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度， 可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π3＝2sin 2x 的图象， 再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )＝2sin 2x ＋1的图象， 则T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋1＝3.答案：π 3由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3C ．g (x )＝sin 2xD ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 【解析】 根据题图有A ＝1，34T ＝5π6－π12＝3π4⇒T ＝π＝2πω⇒ω＝2(T 为f (x )的最小正周期)，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z .因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x .故选C. 【答案】 C确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，则f (x )＝．解析：因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62．(2020·某某实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3.答案：－ 3三角函数模型的简单应用(师生共研)(2020·某某省八所重点中学4月联考)如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B 0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动．记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2.(1)求t ＝π4时，A ，B 两点间的距离；(2)若y ＝y 1＋y 2，求y 关于时间t (t ＞0)的函数关系式，并求当t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，y 的取值X 围．【解】 (1)连接AB ，OA ，OB ，当t ＝π4时，∠xOA ＝π2＋π3＝5π6，∠xOB ＝π2，所以∠AOB＝2π3. 又OA ＝1，OB ＝2，所以AB 2＝12＋22－2×1×2cos 2π3＝7，即A ，B 两点间的距离为7.(2)依题意，y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，y 2＝－2sin 2t ， 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3－2sin 2t ＝32cos 2t －32sin 2t ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，即函数关系式为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3(t ＞0)，当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，2t ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，故当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32.三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为℃.解析：因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 答案：4思想方法系列7 数形结合思想在三角函数中的应用(2020·某某乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值X 围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)【解析】 关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝m －12. 易知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2.作出y ＝sin t ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜t ≤9π4的图象，如图所示，由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12＜22， 故0≤m A. 【答案】 A本题是将方程根的问题转化为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4与y ＝m －12的图象的交点，利用数形结合进行求解，可提升学生的直观想象能力．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 的交点个数，如图，函数y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.令x ＝π6，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.3．已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝3C ．ω＝π3D ．ω＝3π解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g (x )＝A 2cos ωx ，即A2＝1，Af (x )＝A sin ωx .由f (x )的图象可知，T ＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.4．(2020·某某五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度解析：选B.因为y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2， y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π2，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选B. 5．(2019·高考某某卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2D ． 2解析：选C.因为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f (x )＝A sin 2x ，得g (x )＝A sin x ．又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，故f (x )＝2sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C.6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是．解析：y ＝sin x 错误!y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 7．已知函数f (x )＝2sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则ω＝，函数f (x )的单调递增区间为．解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )8．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝．解析：依题意，当x ＝π6＋π32＝π4时，f (x )有最小值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，所以π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：1439．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)， 所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.10．(2020·某某市第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，设函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数h (x )的单调递增区间； (2)若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，求h (α)的值． 解：(1)由已知可得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则h (x )＝sin 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以函数h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝13， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－13，即h (α)＝－13.[综合题组练]1．(2020·某某市统一模拟考试)已知P (1，2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝34，则f (x )图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析：选D.如图，连接BC ，设BC 的中点为D ，E ，F 为与点P 最近的函数f (x )的图象与x 轴的交点，即函数f (x )图象的两个对称中心，连接PD ，则由题意知|PD |＝4，∠BPD ＝∠CPD ＝θ2，PD ⊥BC ，所以tan ∠BPD ＝tan θ2＝|BD ||PD |＝|BD |4＝34，所以|BDf (x )图象的对称性知x E ＝1－32＝－12，x F ＝1＋32＝52，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以函数f (x )图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，故选D.2．(2020·某某市质量监测(一))设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 则下列结论正确的是．(写出所有正确结论的序号) ①函数y ＝f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )；②函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到；③函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π8；④若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2，则f (x )的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.解析：对于①，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，①正确；对于②，y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，②错误；对于③，令2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋3π8，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－π8，当k ＝0时，x ＝3π8，③错误；对于④，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2，则2x－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，④正确．答案：①④3．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ωf ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-高考数学复习
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 因为 y＝2sin3x＋π5＝2sin3x＋1π5，所以要得到函数 y＝2sin 3x 的图象，只要把函数 y＝2sin3x＋π5的图象上所有的点向右平移1π5个单 位长度．故选 D．
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函数y＝As·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[27]
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知识梳理 · 双基自测
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知识梳理 知识点一 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用 五 点 法 画 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 一 个 周 期 内 的 简 图 时 ， 要 找 五 个 关 键 点，如下表所示．
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4．(必修 1P241T4 改编)函数 y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是 ( A)
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 令 x＝0 得 y＝sin－π3＝－ 23，排除 B，D；由 x＝－π3时，y ＝0，x＝π6时，y＝0，排除 C．故选 A．
第四章 三角函数、解三角形
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2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2. 3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 确定； 对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 确定其横坐标．
第四章 三角函数、解三角形
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知识点二 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的 步骤如下