人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)3
【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：运用两角和的余弦公式时需要注意什么？
问题2：两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗？能不能是角 的组合？
【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆， 即cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.
【题型探究】 类型一 给角求值
【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ) sin 20cos 10 cos 160sin 10=(
A. 3 2 B.
3 21 C. 2 1 2 Nhomakorabea)
D.
2.求下列各式的值. (1) 7 ° 2)cos(18 ° 2-x)-sin(63 (2)sin(x+27 °-x)·sin(x-18°). sin cos sin sin . 18 9 9 9 (3)
cos 10 (tan 10 3) . sin 50
【解题探究】1.典例1中cos160°如何处理？ 提示：利用诱导公式将cos160°转化为-cos20°. 2.(1)典例2(1)中当代数式中的结构不满足公式S(α ±β )时，常借助什 么工具给予变形？ 提示：当代数式中的结构不满足公式S(α〒β)时，常借助诱导公式给予 变形，之后再求值.
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
【知识提炼】 1.两角和的余弦公式 cos(α +β )=______________________，简记为______，其中α ，β 都是_______.
cosαcosβ-sinαsinβ 任意角 C(α+β)
2.两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦： sin(α +β )=______________________，简记为______，其中α ，β 都是_______. (2)两角差的正弦： S(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ sin(α -β )=______________________，简记为______，其中α ，β 都是_______. 任意角
4 cos ， 5 1 3 1 3 3 4 答案： sin( ) sin cos sin cos sin cos ( ) 3 3 3 2 2 2 5 2 5 3 4 3 . 10 3 4 3 . 10 3 5 ( ，)， 2
问题1：两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同？ 问题2：在计算两角的和与差时，如何利用两角和与差的正弦公式？
【总结提升】 1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点 (1)公式中的α ，β 均为任意角. (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公 式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例. (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和 与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”.
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________. 【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= . 答案：
3 2 3 2
5.若 则 ________. 5 cos ， ( ， )， cos( ) 【解析】因为 6 13 2 5 所以 cos ， ( ，)， 13 2 所以
2.两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把sin(α ±β )，从左向右展开. (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要 用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变用；二是角的变 用，也称为角的拆分变换，如β =(α +β )-α ，2α =(α +β )+(α -β ).
sinαcosβ-cosαsinβ
任意角
S(α-β)
【即时小测】 1.思考下列问题 (1)sin(α +β )=sinα +sinβ 一定不成立吗？ 提示：一般情况下上面式子是不成立的，但在特殊情况下如当α=0， β∈R，或α∈R，β=0时，sin(α+β)=sinα+sinβ成立.
(2)S(α +β )与S(β +α )有什么关系？S(β -α )与S(α -β )相等吗？ 在利用S(α -β )时需要注意什么？ 提示：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(β+α) =sinβcosα+cosβsinα观察可得S(α+β)与S(β+α)相等. sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα，可知一般情况下sin(α-β) ≠sin(β-α)，在利用公式时要注意做差顺序.
2.计算sin40°sin80°-cos40°cos80°的值为( A.0 B. C. D. 1 3 3 【解析】选C. 2 ° 2 3 sin40°sin80°-cos40 °cos80 =-cos(80°+40°)=cos60°= .
)
1 2
3.设 等于________. 3 则 ( ，)，若sin ， sin( ) 2α+cos2α=1， 【解析】因为 α是第二象限内的角，根据 sin 2 5 3 sinα= ，其中cosα<0可得 又根据两角和的正弦公式得
5 2 12 sin 1 cos 1 ( ) ， 13 13 答案： cos( ) coscos sinsin 6 6 6 5 3 12 1 5 3 12 . 13 2 13 2 26 5 3 12 26
2
2.两角和的余弦公式的适用条件 公式中的α ，β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”， 如 中的“ ”相当于公式中的角α ，“ ” 相当于公式中的角β .
cos( ) 2 2 2 2
知识点2 两角和与差的正弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
合集下载
最新-人教A版高中数学必修四课件：312 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一3 精品
2
3
cos 4，
5
5
s答in(案 ： ) sincos sin cos 1 sin 3 cos 1 3 3 ( 4)
3
33
2
2
25 2 5
34 3. 10
34 3. 10
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________. 【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= . 答案：
【变式训练】设 cos( ) 1，
29
【 可sin解 知( 2题指)南 】32，由其已中知角 (
，)， 2
与(0，所 )求，角求cos
2
建 立. 关系，
2
，
22
2
( ) ( ).
2
22
【解析】因为 因为
(
，)， 2
(0， 2
)，所以
2
(
，)， 42
(
， 42
)，
所以
【题型探究】
类型一 给角求值
【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ) sin 20cos 10 cos 160sin 10=( )
A. 3
2
B. 3
2
C1.
1 D.
2
2
2.求下列各式的值. (1) ((23))ssiinn(17x8+c2o7s°29)cosisn(91s8i°n 29-x.)-sin(63°-x)·sin(x-18°).
2.两角和的余弦公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，
如
中的“ ”相当于公式中的角α，“ ”
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件 新人教A版必修4
sin()sin [()]
s ic no )s c ( o ss i n ) (
第十一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin()sin [()]
s ic no )s c ( o ss i n ) (
sic no s c ossin
第十二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
1tan15o (3) 1tan15o .
第二十八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算以下各式的值.
(1 )s7 io n c 24 oo 2 s c7 oos 2 s4 io n ;2 (2 )c2 ooc 0 s7 oo 0 s s2 io n s 07 io n ;0
3.1.2两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
第一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
第二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
1tan15o (3) 1tan15o .
练习.教材P.131第5题.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课堂小结
本节我们学习了两角和与差正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
学会灵活运用.
第三十页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2.2. ?习案?作业三十.
5
求sin ,cos ,tan
4 4 4 的值.
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
s ic no )s c ( o ss i n ) (
第十一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin()sin [()]
s ic no )s c ( o ss i n ) (
sic no s c ossin
第十二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
1tan15o (3) 1tan15o .
第二十八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算以下各式的值.
(1 )s7 io n c 24 oo 2 s c7 oos 2 s4 io n ;2 (2 )c2 ooc 0 s7 oo 0 s s2 io n s 07 io n ;0
3.1.2两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
第一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
第二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
1tan15o (3) 1tan15o .
练习.教材P.131第5题.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课堂小结
本节我们学习了两角和与差正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
学会灵活运用.
第三十页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2.2. ?习案?作业三十.
5
求sin ,cos ,tan
4 4 4 的值.
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
2
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)2
=cos[( -α)-β+=cos( -α)cos β+sin( -α)sin β β+cos αsin β. =sin αcos 2
2 2 (2)记忆：对于公式 S ， S 可记为“正余余正，符号相同” . (α-β) (α+β) 2 2 2
2
2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
【微思考】 (1)将公式S(α-β)，S(α+β)进行对比，两个公式有什么区别和联系？ 提示：两个公式的共同特点是“异名相乘，符号相同”，不同点是中间的连 接符号不同.
(2)sin(α－β)与sin(β－α)相等吗？在利用公式S(α－β)时要注意什么？ 提示：sin(α－β)≠sin(β－α).在利用公式S(α－β)时要注意作差顺序.
2
3 2
3 2
(3)因为cos θ= 5 － , ( , )， 所以sin θ= 13 －sin 2 θsin 所以cos(θ+ )=cos θcos
5 12 1 －cos 2 1 －(－ )2 , 13 13 答案： 6 6 5 3 12 1 5 3 12 － － － . 13 2 13 2 26 5 3 12 － 26
6
知识点1 两角和的余弦公式 公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ的推导及记忆 (1)推导：在公式C(α-β)中，将β用-β来代替，并且注意到cos(-β)=cosβ，sin(-β)=sinβ，于是cos(α+β)= cos*α-(-β)+=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ -sinαsinβ. (2)记忆：对于公式C(α+β)，可记为“余余正正，符号相反”.
人教A版高中数学必修四课件第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
S(α＋β)：sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
.
S(α－β)：sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
.
前置学习
3．两角互余或互补 π
(1)若 α＋β＝ 2 ，其 α、β 为任意角，我们就称 α、β 互余．例 如：π4－α 与 π4＋α 互余，π6＋α 与 π3－α 互余．
解 ∵α∈0，2π，β∈－2π，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.
∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－ 102＝
解析
f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－3π.
∴f(x)∈[－2,2]．
前置学习
4．已知锐角
α、β
满足
sin
α＝2 5 5，cos
β＝
1100，则
3π α＋β＝__4___.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
∴cos α＝ 55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
B．－2 5 5
C．
5 5
D．－
5 5
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝
2 2 (cos
B＋
1－cos2B)
＝
22×
1100＋3
10 10
＝2
2018学年高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 精品
＝ 22× 23－ 22×21＝
6－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
2 .
(3)∵α，β为锐角，且 sin α＝255，sin(α＋β)＝35，
∴cos α＝ 55，
且由
sin
α＝2
5
5 >
23，得
π α> 3 .
又21<sin(α＋β)＝35< 23， ∴α＋β>π2 ，∴cos(α＋β)＝－45.
∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
x－
2π 3sin 3 sin x
＝3cosπ3 －
2π
3sin
3
sin
x－sinπ3 ＋
2π
3cos
3
cos x
＝3×12－
3×
23sin
x－
23－
3×12cos x＝0.
(3)∵tan 60°＝tan(23°＋37°)
＝1t－antan23°23＋°ttaann 3377°°＝ 3， ∴tan 23°＋tan 37°＝ 3－ 3tan 23°tan 37°， 故得 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
＝－54× 55＋35×25 5＝2255.
题型3 利用公式解决给值求角问题
例 3 已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，
且 0<β<α<π2 .
(1)求 tan α的值；
(2)求 β.
分析：本题中 β＝α－(α－β).
解析：(1)∵cos α＝17，0<β<α<π2 ，
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2(一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共30张PPT)
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 能够摄取必要营养的人要比吃得很多的人更健康，同样地，真正的学者往往不是读了很多书的人，而是读了有用的书的人。 失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 驾驭命运的舵是奋斗。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 如果缺少破土面出并与风雪拚搏的气，种子的前途并不比落叶美妙一分。 你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马ห้องสมุดไป่ตู้被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！ 获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 生活中若没有朋友，就像生活中没有阳光一样。
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式, 化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行 约分,解题时要逆用或变用公式. 提醒:在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先 要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要 求.
【变式训练】若tanα=2tan
5
=( )
cos( 3 )
2( 22sin1522cos15)sin(30) 3.
2( 2sin15 2cos15) sin60 3
答案:
2
3
2
3
【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着 先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形 式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
4
4 452521 0
2.选B.因为 s in (x 9 )c o s c o s (x 9 )s in 1 ,
1 4 7
1 4 73
所以 s in (x 9 ) s in (x ) c o sx 1 ,
1 47
2
3
所以cosx=-1 .
3
3.
c o s7 5 c o s1 5 sin1 5 c o s1 5 sin1 5 sin7 5 sin1 5 c o s1 5
【自我检测】
1.cos57°cos12°+sin57°sin12°的值为 ( )
A .0
B .1 2
C . 3 2
D . 2 2
【解析】选D.原式=cos(57°-12°)=cos45°=
2.
2
2.sin75°=________.
【解析】sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45° = 1 2 3 2 26.
高中数学人教版必修4课件3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式1
题型三 给值(式)求角问题
[例 3] 已知△ABC 中 B＝60°，且co1s A＋co1s C＝－
cos2B，若 A>C，求 A 的值． [解] 由已知 B＝60°，A＋C＝120°， 设A－2 C＝α，∵A>C，则 α>0， 故 A＝A＋2 C＋A－2 C＝60°＋α，
C＝A＋2 C－A－2 C＝60°－α，
[活学活用] 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°.
解：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°
＝2sin 50°＋sin 10°1＋
sin 3cos
10° 10°·
2cos210°
＝2sin
50°＋2sin
出所求角的三角函数值，从而求出角．
[活学活用]
已知α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求α－ β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
人教版 必修4
第三章 三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
教材新知
知识点一 两角和的余弦公式
[提出问题] 问题1：把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
利用单调性及最值建立关于 a，b 的 方程组→求得 a，b 的值