人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题PDF.pdf
高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.5知识点总结含同步练习题及答案
S n = an + an−1 + ⋯ + a2 + a1
n(a1 + an ) ． 2
x2 ，求 x2 + 1 1 1 1 1 ． f( )+f( ) + ⋯ + f ( ) + f ( ) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2013) + f (2014) 2014 2013 3 2 1 2 ( ) x 1 1 x2 解：因为 f (x) = ，所以 f ( ) = ．故 = 2 2 2 x + 1 x x +1 1 ( ) +1 x 1 f (x) + f ( ) = 1. x
四、课后作业
1. 数列 1
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1 1 1 1 ,2 ,3 ,4 , ⋯ 前 n 项的和为 ( 2 4 8 16 1 n2 + n A． n + 2 2 1 n2 + n C．− n + 2 2
答案： B
) 1 n2 + n + +1 2 2n 2 1 n −n D．− + n+1 2 2
1 ，求数列{b n }的前项和 S n ． nan 解：（1）设等差数列{an }的公差为 d ，因为 a7 = 4 ，a19 = 2a9 ，所以 + 6d = 4, { a1 a1 + 18d = 2(a1 + 8d).
解方程组，得
⎧ a1 = 1, ⎨ ⎩d = 1 . 2
所以数列{an }的通项公式为
a2 + a4 = 2(a3 + 1),
整理，得
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数学必修5（数列、不等式）复习知识提纲参考答案1、答案：A 解析：S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝55，∴a 3＝11，∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝a 4－a 3＝15－11＝4.2、答案：D 解析：由等差数列{a n }的通项公式得a 1＝－1，所以其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－1＋1－2n )2＝－n 2. 则S n n ＝－n .所以数列{S n n}是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以其前11项的和为S 11＝11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66.3.D2lg2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-∴+=-22(2)4250,25,log 5x x x x ∴-⋅-=∴=∴=4、答案：D 解析：数列{a n }是递增数列，且a n ＝n 2＋λn ，则a n ＋1－a n ＝2n ＋1＋λ>0在n ≥1时恒成立，只需要λ>(－2n －1)max ＝－3，故λ>－ 3. 5、 19559559199()229929239114()2a a a a Sb b T b b +=====++ 6、答案：D 解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列； ②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.7、答案：C 解析：不妨设数列{a n }的公比为q ，则4a 1,2a 2，a 3成等差数列可转化为2(2q )＝4＋q 2，得q ＝2. S 4＝1－241－2＝15. 8．413n- 解析：1121,21,n n n n S S --=-=- 112n n n n a S S --∴=-=214,n n a -∴= {}22'1141414nn n a a q S -∴==∴=-是以为首项，的等比数列，9、B 解析564756562=18=9a a a a a a a a +=∴，551031323103121035633log log ...log log (...)log ()log 9log 310a a a a a a a a ∴+++=====10、答案：12 解析：由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12.11、解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++时两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+，当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列； 12、解：（1）由⇒-+=n n a S λλ)1()2()1(11≥-+=--n a S n n λλ，……2分相减得：1-+-=n n n a a a λλ，∴λλ+=-11n n a a )2(≥n ，∴数列}{n a 是等比数列…4分 （2）λλλ+=1)(f ，∴111111111111=-+=-⇒+=------n n n n n n n n b b b b b b b b ，……6分∴}1{nb 是首项为211=b ，公差为1的等差数列；……7分（3）由（2）可知：1)1(21+=-+=n n b n,∴11+=n b n……9分 1=λ时，1)21(-=n n a ，∴n b a C n n n n 1)21()11(-=-=，……10分∴12)21()21(3)21(21-++++=n n n T ， ①n n n T )21()21(3)21(2)21(2132++++= ② ②-①得：nn n n T )21()21()21()21()21(121132-+++++=- ，……11分∴nn n n n n n T )21())21(1(2)21()21()21()21()21(121132--=-+++++=- ，……13分 所以：1)21)(2(4)21(2))21(1(4-+-=--=n n n n n n T…………14分13、解析：由220ax x c ++>的解集为11(,)32-知0a <,11,32-为方程220ax x c ++=的两个根,由韦达定理得11211,3232c a a-+=--⨯=,解得12,2a c =-=,∴220cx x a -+->即222120x x --<,2(2)(3)0x x ∴+-< 其解集为(2,3)-.14、【答案】C 【解析】利用数轴穿根法得-2＜x ＜1或x ＞3，故选 C 15、A 1()()0x a x a--<不等式化为，11()()0x a x a a a --=对应方程的解为和，1101a a a x a a<<∴<∴<<解为 16、解析：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a -->（1）当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}3x x a x <>或； （2）当3a =时，不等式为()230x ->，解集为{}3x x R x ∈≠且； （3）当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}3x x x a <>或17、解法1224244202x x x x a x x x++>∴=+≥=∴< 即的最小值为解法222042,2400x x ax x ax x >∴+>-+>>即当时恒成立0∆<（注：此时不能用去解） 2()240f x x ax =-+应讨论的最小值大于去解18、（1）()01=-f 01=+-b a 即1+=a b 又()0≥x f 时，任意x 成立. 显然，当0=a 时()1+=x x f 不满足题意 0>∴a 且042≤-a b 即()0412≤-+a a 即()012≤-a 1=∴a2=∴b ()122++=x x x f （2）由题意()kx x x x g -++=122 即()1)2(2+-+=x k x x g ()x g 在[]2,2-时为单调函数. 222-≤--∴k 或222≥--k 即2-≤k 或6≥k ∴所求k 的范围是][()+∞-∞-,62,19、答：②③⑥⑦⑧ 20、C 解析：对于B：不能保证1sin sin xx=，对比C 、D 两个选项要注意不等号要改变 E 中虽然 222y =≥但是等号成立的条件是x 无解，所以最小值取不到2 另解（用单调性求最值）在中令则t ≥12<t t ≤,证明12<y y -0）证明1y t t=+在)t ∈∞上是增函数， 所以当=2t 时y的最小值为52, 即2y =的最小值为5222、23、解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+∙+x x -1=1.当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号.∴f(x)min =1. 24、11112()(2)1+2y xx y x y x y x y +=++=++≥25.答案①，③，⑤【解析】令1a b ==，排除②；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确。
高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)
数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
人教A版高中数学必修五高二复习(六) 等比数列.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二复习（六）等比数列知识回顾：1.等比数列的通项公式：．2.等比中项：a，A，b成等比数列，A为a,b等比中项．即．3.在等比数列中，若()*∈+=+Nq,p,n,mqpnm，则．4.等比数列求和公式：，练习巩固：1．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A．3 B．4 C．5D．62.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0 C．12 D．243．在等比数列{a n}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3等于() A．4 B．8 C．－4或4 D．－8或84．等比数列{an}的公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()A．1 B.12 C.14 D.185．在由正数组成的等比数列{a n}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为()A.43 B.34C．2 D．3436．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________. 7．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2的值是________．8．等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.9.三个数a,b,c 成等比数列,公比q=3,又a,b+8,c 成等差数列,则这三个数依次为 .10.三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列,则此三个数为 .11．23+和23-的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．212.设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n13．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．19214．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若633S S =，则96S S ＝( ) A ．2 B.73C.83 D ．3 15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－1116．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.17．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．18．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.19．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________.20．等比数列中S n＝48，S2n＝60，则S3n等于________．。
高中数学(人教版必修5)配套课件：第二章 数列 章末复习提升
(4) 作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差 数列或等比数列来求通项. (5)归纳、猜想、证明法.
明目标、知重点
3.等差、等比数列的性质 项目 等差数列 如果一个数列从第二项起，第一 项与它的前一项的差都等于同一 定义 个常数，那么这个数列叫做等差 数列，这个常数叫做公差，常用 等比数列 如果一个数列从第二项起，
n＝1 n≥2
.
明目标、知重点
解析答案
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四、思想方法总结
1.转化与化归思想求数列通项 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数 列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化 为等差数列或等比数列，再采用公式求出.
故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.
明目标、知重点
解析答案
(2)求数列{an}的表达式.
解 由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5， 当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，
1 ， 故 a n＝ 2 n －5 ，
(5)倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导；
(6)并项求和法：适用于正负相间的数列.
明目标、知重点
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三、题型探究
题型一 数列的实际应用
例1 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的 信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平 均每个鸡场出产2万只鸡，乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年 10个.
每一项与它的前一项的比
都等于同一个常数，那么
这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做公比，常用 字母q表示
人教A版高中数学必修五第二章 数列 (2).docx
第二章 数列一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )．A ．310B ．13C ．18D ．192．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0484．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列， ∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝( )． A ．231+ B ．1＋3C ．232+ D ．2＋35．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ，，则k 的取值不可能是( )． A ．4B ．5C ．6D ．76．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15B ．30C ．31D ．647．在等差数列{a n}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为()．A．26 B．13 C．52 D．1568．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()．A．160 B．180 C．200 D．2209．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )．A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －110．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n ) 二、填空题11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 .12．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝_____.13．已知数列{a n }中，a n ＝ 1221－n n 则a 9＝ (用数字作答)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝ (用数字作答).14．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 15．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .16．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ ．三、解答题17．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且21S ＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．(n 为正奇数) (n 为正偶数)18．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.19．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列．已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项k n ．20．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝n na 2，求证数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式.参考答案一、选择题 1．A解析：由等差数列的求和公式可得63S S ＝da da 1563311＋＋＝31，可得a 1＝2d 且d ≠0所以126S S ＝d a da 661215611＋＋＝d d 9027＝103． 2．B解析：解法1：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，由a 6＝b 7，即a 1q 5＝b 7． ∵ b 4＋b 10＝2b 7，∴ (a 3＋a 9)－(b 4＋b 10)＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2b 7 ＝(a 1q 2＋a 1q 8)－2a 1q 5 ＝a 1q 2(q 6－2q 3＋1) ＝a 1q 2(q 3－1)2≥0． ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 解法2：∵ a 3·a 9＝a 26，b 4＋b 10＝2b 7，∴ a 3＋a 9－(b 4＋b 10)＝a 3＋a 9－2b 7．又a 3＋a 9－293a a ⋅＝(3a －9a )2≥0， ∴ a 3＋a 9≥293 a a ·．∵ a 3＋a 9－2b 7≥293a a ⋅－2b 7＝2a 6－2a 6＝0， ∴ a 3＋a 9≥b 4＋b 10． 3．C解析：∵ a 1＋a 2 008＝a 1 003＋a 1 006＝a 1 004＋a 1 005， 而a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，a 1＋a 2 008＝9， ∴ S 2 008＝21(a 1＋a 2 008)×2 008＝9 036，故选C ． 4．B解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c ， 又S △ABC ＝21ac sin 30°＝23，∴ ac ＝6， ∴ 4b 2＝a 2＋c 2＋12，a 2＋c 2＝4b 2－12， 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4b 2－12－63， ∴ 3b 2＝12＋63，b 2＝4＋23＝(1＋3)2． ∴ b ＝3＋1．5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ a k －a 1＝2，即(k －1)d ＝2，k ＝d2＋1∈[5，7]， ∴ k ≠4． 6．A解析：∵ a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，a 4＝1，∴ a 12＝15． 7．A解析：∵ a 2＋a 6＝2a 4，a 5＋a 10＋a 15＝3a 10， ∴ 6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4， ∴ S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝26．8．B解析：∵ ⎩⎨⎧78＝＋＋24＝－＋＋209118321a a a a a a∴ (a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54， 即3(a 1＋a 20)＝54， ∴ a 1＋a 20＝18， ∴ S 20＝2＋20201)(a a ＝180． 9．C解析： 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1．因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒21＋n a ＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒(q －1)2＝0⇒q ＝1．由a 1＝2得a n ＝2，所以S n ＝2n ． 10．C解析：依题意a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝41，两式相除可求得q ＝21，a 1＝4，又因为数列{a n }是等比数列，所以{a n ·a n ＋1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式可得222111qq a a n－)－(＝332(1－4－n )．二、填空题 11．－2．解析：当q ＝1时，S n +1＋S n +2＝(2n ＋3)a 1≠2na 1＝2S n ，∴ q ≠1． 由题意2S n ＝S n +1＋S n +2⇒S n +2－S n ＝S n －S n +1， 即－a n +1＝a n +2＋a n +1，a n +2＝－2a n +1，故q ＝－2． 12．1．解析：方法一 ∵ S n －S n －1＝a n ，又S n 为等差数列，∴ a n 为定值． ∴ {a n }为常数列，q ＝1-n n a a ＝1．方法二：a n 为等比数列，设a n ＝a 1q n －1，且S n 为等差数列，∴ 2S 2＝S 1＋S 3，2a 1q ＋2a 1＝2a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，q 2－q ＝0，q ＝0(舍)q ＝1. 所以答案为1． 13．256，377． 解析：a 9＝28＝256，S 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8) ＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15) ＝341＋36 ＝377． 14．74．解析：由{a n }是等比数列，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20＝q 10S 10，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 20S 10，即S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等比数列，得(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，得(56－32)2＝32(S 30－56)，∴ S 30＝3232－562)(＋56＝74．15．21，211．解析：将a 1＋a 2＋a 3＝8， ① a 4＋a 5＋a 6＝－4．②两式相除得q 3＝－21，∴ a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3) q 12＝8·421－⎪⎭⎫ ⎝⎛＝21，S 15＝21＋121－－185⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＝211． 16．152．解析：由a n +2＋a n +1＝6a n 得q n +1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝21，S 4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和的概念及已知条件得a 21＝9(2a 1＋d )，① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有21a ＝36a 1，解得a 1＝0或a 1＝36． 将a 1＝0舍去． 因此a 1＝36，d ＝72，故数列{a n }的通项公式a n ＝36＋(n －1)·72＝72n －36＝36(2n －1)．18．解析：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列，故22a ＝a 1a 4，而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即21a ＋2a 1d ＋d 2＝21a ＋3a 1d ． d ≠0，化简得a 1＝d ．(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋d 2910⨯，得到10a 1＋45d ＝110， 由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a ＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴ a 1＝d ．又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n a k ，…，成等比数列， ∴ 该数列的公比为q ＝13a a ＝dd3＝3， ∴ n a k ＝a 1·3n +1．又n a k ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1， ∴ k n ＝3n +1为数列{k n }的通项公式． 20．解析：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2 ①，则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2． ② ②－①得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1．∴ {b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． ∴ b n ＝3×2 n －1．(2)∵ c n ＝n n a 2，∴ c n ＋1－c n ＝112++n n a －n n a 2＝1122++-n n n a a ＝12+n nb ＝11223+-⨯n n ＝43，c 1＝21a ＝21，∴ {c n }是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是首项为21，公差为43的等差数列． ∴nn a 2＝21＋(n －1)43＝43n －41，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2． S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n ＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1．∴ 数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1．。
人教版高中数学【必修五】[知识点整理及重点题型梳理]_数列的概念与简单表示法_提高
人教版高中数学必修五知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
人教版高中数学必修五第二章 数列求和专题复习教学课件共17页含视频
1 1 1 ( ) k n nk
1 1 1 1 ( ) 2 2n 1 2n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 ( n k n) nk n k
（四）错位相减法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的 数列的前n项和，常用错位相减法。
常见类型：
bn 是等差数列，数列 cn 是等比数列 其中数列
an bn cn
三．课内探究
（一）分组求和法
• 例1.
已知函数f ( x) 2 x 3 x 1, 点（n,a n）n N*在f (x)的图像上， 求数列an 的前n项和S n
变式1 • 求数列
1,1 2,1 2 4,...,1 2 4 ... 2 ,... 的前 n 项和Sn
四.课堂小结 • 这节课你都学到了什么？
五.当堂检测
1.数列an 的通项公式为a n 2n 1, 前 n 项和为 Sn , Sn 75 则数列 的前10项和为：_____________ n
n 1 n 1 则数列 , n N 的前n项和S n ___________
（二）分组求和法:
一个数列的通项公式是由若干个等差数列 或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可 用分组求和法，分别求和后再相加减. 常见类型：
an bn cn , bn ， cn 可用公式法求和
（三）裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间 的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
小结：对于不能由等差数列、等比数列 的前n项和公式直接求和的问题，一般需 要将数列通项的结构进行合理拆分，转 化成若干个等差数列、等比数列的求和。
人教A版数学必修5第二章数列章节复习
{bn}为等比数列，可用“拆项分组求和”法．
倒序相加法
如果一个数列{an}与首末两项等距的两项之和等于首末两
项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就 得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．
[例 5] 已知函数 f(x)＝4x＋ 1 m(m>0)，当 x1、x2∈R，且 x1＋x2＝ 1 时，总有 f(x1)＋f(x2)＝12.(1)求 m 的值． (2)设 Sn＝f(n0)＋f(n1)＋f(2n)＋…＋f(nn)，求 Sn.
解： (1)设数列{an}的公比为q,由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=
1.
9
由条件可知an>0,故q=
1 3
,由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所
以a1=
1 3
.
故数列{an}的通项公式为an=
1 3n
.
练一练
3.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, a32=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 { 1 } 的前n项和.
1 5
)
+…+
(1 1) n 1 n 1
1
+（n
n
1
2
）］
1 2
(1
1 2
1 n 1
n
1
) 2
3 4
2n
2n 3
1n
2
.
归纳总结
数列求和的常用方法
(1)公式法.
新课标(新增2页)高中数学人教A版必修五全册课件第二章数列复习
n
项和记作
Sn
，满足
3．已知实数列{aS，n =n2}an是+3n−1等2 比数列，其中
a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，
证明：Sn＜128(n＝1,2,3,…).
练习
4．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}
第二章数列复习
知识结构
定义
数 通项 列 前 n 项和
等差数列 等比数列
与函数的关系
知识纲要
⑴数列的概念 ，通项公式，数列的 分类，用函数的观点看数列．
⑵等差、等比数列的定义．
⑶等差、等比数列的通项公式．
⑷等差中项、等比中项． ⑸等差、等比数列的前 n 项和公式及
其推导的方法．
知识归纳
一、等差数列
是等差数列； ④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …
组成的数列仍是等差数列.
二、等比数列 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式
an = a1 qn−1(a1, q 0)
3. 等比中项
二、等比数列
4. 等比数列的判定方法
(1) an＝an－1·q (n≥2)，q是不为零的常数， an－1≠0 {an}是等比数列.
cd 的最小值是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2
D. 4
2．数列
{an }
的前
练习
n
项和记作
Sn
，满足
2. 数列{an}的前Sn，n = 项2an +3n和−12 记作Sn，满足
Sn＝2an＋3n－12(n∈N*)．
(1)证明数列{an－3}为等比数列；