2021年福建省中考数学模拟试题(含答案)
2021年福建省中考数学模拟预测试卷(二)(附答案详解)
2021年福建省中考数学模拟预测试卷（二）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若实数a的相反数是4，则实数a等于()A. −4B. ±4C. −14D. 142.期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是()A. 众数和平均数B. 平均数和中位数C. 众数和方差D. 众数和中位数3.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.4.在下列实数中，无理数是()A. sin45°B. 13C. 0.3D. tan45°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为()A. 44°B. 40°C. 39°D. 38°6.我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则不足4钱，问有多少人？物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为()A. x+38=x−47B. y−38=y+47C. {8x−3=y7x+4=yD. {8x+3=y7x−4=y7.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP是()A. 3.5海里B. 4海里C. 7海里D. 14海里8.若点A(−4,y1)、B(−2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−1x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y2>y1>y3D. y1>y3>y29.已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB⏜上的点D处，折痕交OA于点C，则AD⏜的长为()A. 5πB. 4πC. 3πD. 2π10.如图，四边形ABCD为矩形，点E，F是边BC，CD边上的两点，连接AE，EF.将△ABE，△ECF分别沿AE，EF翻折，点B恰好落在EC1的中点B1处，点C落在AD边上C1处，若S△ABE=√3，则四边形C1EFD周长为()A. 5+3√3B. 3√2+5√63C. 3+5√33D. 3√3+13二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：2x2−8x+8=______．12.某市今年参加中考的学生人数大约3.90×104人，这个近似数精确到______位．13.定义新运算：a∗b=a(m−b).若方程x2−mx+4=0有两个相等正实数根，且b∗b=a∗a(其中a≠b)，则a+b的值为______．14.如图，从一块直径为2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则用剪成的这个扇形围成圆锥的底面圆的半径为______.(剪成的扇形的面积正好等于围成的圆锥的侧面积)15.如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，小宇操作机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，他将机器人运行的时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到的函数图象如图2．通过观察函数图象，可以得到下列推断：①机器人一定经过点D；②机器人一定经过点E；③当t=3时，机器人一定位于点O；④存在符合图2的运行路线，使机器人能够恰好经过六边形的全部6个顶点；其中正确的是______(填序号)．16.已知如图，直线y=23x分别与双曲线y=mx(m>0,x>0)、双曲线y=nx(n>0,x>0)交于点A，点B，且BAOA =23，将直线y=23x向左平移6个单位长度后，与双曲线y=nx交于点C，若S△ABC=4，则mn的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解不等式组{1+2x≤3+x4x−1<5x．18.已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，求证：AE=CF．19.先化简，再求值：(2x−3x−2−1)÷x2−2x+1x−2，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．20.为弘扬开州传统文化，某校开展“言子儿进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对言子儿的喜欢情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)这次共抽取______ 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的度数为______ ；(2)将条形统计图补充完整；(3)若调查的A类学生中有2名男生，其余为女生，现从中抽2人进行采访，请画树状图或列表法求刚好选中2名恰好是1男1女的概率．21.如图，在▱ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，MN的长为半交AB于点M.交BC于点N；②再分别以点M和点N为圆心，大于12径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；⑤连接EF，PD．(1)请画出图形并证明：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求DP的长．22.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O，B重合)，过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，BC⏜于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)当点E是BC⏜的中点时，①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC=3，且AB=20，求DE的长．423.网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中10<x≤30)．(1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．(2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？(3)设每天销售该特产的利润为W元，若14<x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？24.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，在PC上截取PF=PE，连接EF，点O为EF的中点．(1)若AP=1，求AE的长；(2)求证：点O在∠BAD的平分线上；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，当DE的长度最小时，求cos∠APE的值．25.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是)和(m−b,m2−mb+n)，其中a、b、c、m、n为常数，且a、m不为0．(0,−12(Ⅰ)求c和n的值；(Ⅱ)判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数，并说明理由；(Ⅲ)当−1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0)，(y0>0)，求y0的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵实数a的相反数是4，∴a=−4．故选：A．直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，分析即可．此题主要考查了实数的性质，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：D．根据中位数和众数的定义回答即可．本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．3.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【解析】解：A ．sin45°=√22，是无理数，故本选项符合题意；B .13是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C .0.3是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； D .tan45°=1，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：A ．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．5.【答案】C【解析】解：∵∠A =54°，∠B =48°， ∴∠ACB =180°−54°−48°=78°， ∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ， ∴∠DCB =12×78°=39°，∵DE//BC ，∴∠CDE =∠DCB =39°， 故选：C ．根据三角形内角和得出∠ACB ，利用角平分线得出∠DCB ，再利用平行线的性质解答即可．此题考查三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．6.【答案】C【解析】解：设有x 人，物品的价格为y 元， 根据题意得：{8x −3=y7x +4=y ，故选：C ．根据“每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱”列出方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图，过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°−60°=30°，且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90−75=15°，∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7(海里)．解法二：由题意，∠PAB=90°−75°=15°，∠ABP=150°，∴∠APB=180°−15°−150°=15°，∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7(海里)．故选：C．先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB 是等腰三角形，即可求解．此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵点A(−4,y1)、B(−2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−1x的图象上，∴y1=−1−4=14，y2=−1−2=12，y3=−12，又∵−12<14<12，∴y3<y1<y2．故选：C．根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=100°，∴∠AOD=∠AOB−∠DOB=40°，=4π．∴AD⏜的长为40π⋅18180故选：B．如图，连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD= 100°−∠DOB=40°，然后由弧长公式弧长的公式l=nπr来求AD⏜的长．180本题考查了翻折变换(折叠问题)，弧长的计算．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．10.【答案】B【解析】解：∵将△ABE，△ECF分别沿AE，EF翻折，点B恰好落在EC1的中点B1处，∴EC=EC1，AB=AB1，∠B=∠AB1E=90°，EB1=B1C1，∠AEB=∠AEB1，∠FEC=∠C1EF，∴AC1=AE，∠AEF=90°，∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB=∠AEB1，∴AC1=C1E=AE，∴△AEC 1是等边三角形， ∴∠EAD =60°=∠AEC 1， ∴∠BAE =30°，∠AEB =60°， ∴AB =√3BE ，∵S △ABE =√3=12×BE ×AB ，∴BE =√2，∴AB =√6，EC 1=2BE =2√2， ∴EC =2√2=AC 1， ∴C 1D =AD −AC 1=√2∵∠CEF =180°−∠AEB −∠AEF =30°， ∴EC =√3CF ，EF =2CF ， ∴CF =2√63，EF =4√63， ∴DF =CD −CF =√63， ∴四边形C 1EFD 周长=EF +DF +C 1D +EC 1=4√63+√63+2√2+√2=3√2+5√63，故选：B ．由折叠的性质可得EC =EC 1，AB =AB 1，∠B =∠AB 1E =90°，EB 1=B 1C 1，∠AEB =∠AEB 1，∠FEC =∠C 1EF ，可证△AEC 1是等边三角形，可得∠EAD =60°=∠AEC 1，由面积公式可求BE =√2，AB =√6，EC 1=2BE =2√2，进而可求CF =2√63，EF =4√63，即可求解．本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．11.【答案】2(x −2)2【解析】解：原式=2(x 2−4x +4) =2(x −2)2． 故答案为2(x −2)2．先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．12.【答案】百【解析】解：3.90×104=39000，这个近似数精确到百位，故答案为：百．将原数字还原后，看数字0在哪一位即可．此题考查了科学记数法与有效数字，将数还原再进行判断是解题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵方程x2−mx+4=0有两个相等实数根，∴Δ=(−m)2−4×4=0，解得m1=4，m2=−4，当m=−4时方程有两个相等的负实数解，∴m=4，∴a∗b=a(4−b)，∵b∗b=a∗a，∴b(4−b)=a(4−a)，整理得a2−b2−4a+4b=0，(a−b)(a+b−4)=0，而a≠b，∴a+b−4=0，即a+b=4．故答案为：4．根据判别式的意义得到Δ=(−m)2−4×4=0，解得m1=4，m2=−4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m=4，则a∗b=a(4−b).利用新定义得到b(4−b)=a(4−a)，然后整理后利用因式分解得到(a−b)(a+b−4)=0，从而得到a+b的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．14.【答案】√24【解析】解：连接AB，∵∠ACB=90°，∴AB为圆的直径，∴AC=BC=√2，∴AB⏜的长=90π×√2180=√2π2，设圆锥的底面圆的半径为r，由题意得，2πr=√2π2，解得，r=√24，即圆锥的底面圆的半径为√24，故答案为：√24．连接AB，根据圆周角定理得到AB为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出AB⏜的长，根据圆锥的侧面展开图计算．本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.【答案】①②③【解析】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1.故①正确；观察图象t在3−4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t=3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．故答案为：①②③．根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．16.【答案】100【解析】解：直线y =23x 向左平移6个单位长度后的解析式为y =23(x +6)，即y =23x +4， ∴直线y =23x +4交y 轴于E(0,4)，作EF ⊥OB 于F ． 可得直线EF 的解析式为y =−32x +4， 由{y =23x y =−32x +4，解得{x =2413y =1613，即F(2413,1613). ∴EF =√(2413)2+(1613−4)2=12√1313， ∵S △ABC =4， ∴12⋅AB ⋅EF =4， ∴AB =2√133， ∵BAOA =23，∴OA =32AB =√13， ∴A(3,2)，B(5,103)， ∴m =6，n =503，∴mn =100． 故答案为100．先求出直线y =23x 向左平移6个单位长度后的解析式为y =23x +4，那么直线y =23x +4交y 轴于E(0,4)，作EF ⊥OB 于F.根据互相垂直的两直线斜率之积为−1得出直线EF 的解析式为y =−32x +4，再求出F(2413,1613)，EF =√(2413)2+(1613−4)2=12√1313，根据S △ABC =4，求出AB =2√133，那么OA =32AB =√13，进而求出A 、B 两点坐标，求出m 、n 即可解决问题．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：解不等式组{1+2x ≤3+x ①4x −1<5x ②， 解不等式①，得：x ≤2，解不等式②，得：x>−1，∴不等式组的解集为：−1<x≤2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△DCF中，{AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ，∴△ABE≌△DCF(SAS)．∴AE=CF．【解析】根据已知条件利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．此题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】解：原式=(2x−3x−2−x−2x−2)÷(x−1)2x−2=x−1x−2⋅x−2(x−1)2=1x−1，∵x−2≠0，且x−1≠0，∴x≠2，且x≠1，∴x=0，当x=0时，原式=−1．【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．20.【答案】50 72°【解析】解：(1)这次共抽取学生：12÷24%=50(名)，D类所对应的扇形圆心角的大小360°×1050=72°，故答案为：50，72°；(2)A类学生：50−23−12−10=5(名)，条形统计图补充如下：(3)A类学生中有2名男生，则女生为3名，画树状图如图：共有20个等可能的结果，刚好选中2名恰好是1男1女的结果有12个，∴刚好选中2名恰好是1男1女的概率为1220=35．(1)与C类学生人数和所占百分比求出共抽取的学生人数，：12÷24%=50(人)，再由360°乘以D类所占的比例即可；(2)求出A类学生人数，补充条形统计图即可；(3)画树状图，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．21.【答案】(1)证明：如图，由作法得BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵AE⊥BF，∴BP=FP，在△ABP和△EBP中，{∠ABP=∠EBP BP=BP∠APB=∠EPB，∴△ABP≌△EBP(SAS)，∴AP=EP，∴AE与BF互相垂直平分，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：过P点作PH⊥AD于H，如图，∵四边形ABEF是菱形，∴BA=BE=AF=EF，∵∠ABE=60°，∴△ABE和△AEF都为等边三角形，∴AE=AB=4，∠EAF=60°，∴AP=2，∴AH=12AP=1，∴PH=√3AH=√3，∵DH=AD−AH=6−1=5，∴PD=√PH2+DH2=√(√3)2+52=2√7．【解析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形，由作法得BF平分∠ABC，再证明∠ABF=∠AFB得到AB=AF，则BP=FP，接着证明△ABP≌△EBP得到AP=EP，然后根据菱形的判定方法得到结论；(2)过P点作PH⊥AD于H，如图，理由菱形的性质可判断△ABE和△AEF都为等边三角形，则AE=AB=4，∠EAF=60°，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AH、PH，然后利用勾股定理计算PD的长．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．22.【答案】解：(1)证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°，∴∠OBC+∠BDP=90°，∵FC=FD∴∠FCD=∠FDC∵∠FDC=∠BDP∴∠OCB+∠FCD=90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．(2)如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵点E是BC⏜的中点，∴∠BOE=∠COE=60°，∵OB=OE=OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB=BE=CE=OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC=34，且AB=20，求DE的长．∵ACBC =tan∠ABC=34，设AC=3k，BC=4k(k>0)，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(3k)2+(4k)2=202，解得k=4，∴AC=12，BC=16，∵点E 是BC⏜的中点， ∴OE ⊥BC ，BH =CH =8，∴OE ×BH =OB ×PE ，即10×8=10PE ，解得：PE =8，由勾股定理得OP =√OE 2−PE 2=√102−82=6，∴BP =OB −OP =10−6=4，∵DP BP =tan∠ABC =34，即DP =34BP =34×4=3∴DE =PE −DP =8−3=5．【解析】(1)连接OC ，证明OC ⊥CF 即可；(2)①四边形BOCE 是菱形，可以先证明四边形BOCE 是平行四边形，再结合半径相等得证四边形BOCE 是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE 是菱形； ②由三角函数概念得AC BC =tan∠ABC =34，可求得AC =12，BC =16，由垂径定理可求出BH ；利用三角形面积公式求得PE =BH =8，再利用勾股定理或三角函数求得OP ，BP ，DP ，由DE =PE −PD 求出DE 的长．本题主要考查了圆的切线的判定定理、垂径定理的应用、等边三角形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握性质定理和判定定理． 23.【答案】解：(1)y ={640(10<x ≤14)−20x +920(14<x ≤30)；(2)(14−10)×640=2560，∵2560<3100，∴x >14，∴(x −10)(−20x +920)=3100，解得：x 1=41(不合题意舍去)，x 2=15，答：销售单价x 应定为15元；(3)当14<x ≤30时，W =(x −10)(−20x +920)=−20(x −28)2+6480，∵−20<0，14<x ≤30，∴当x =28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．(1)由图象知，当10<x ≤14时，y =640；当14<x ≤30时，设y =kx +b ，将(14,640)，(30,320)解方程组即可得到结论；(2)根据题意列方程，解方程即可得到结论；(3)当14<x ≤30时，求得函数解析式为W =(x −10)(−20x +920)=−20(x −28)2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】(1)由图象知，当10<x ≤14时，y =640；当14<x ≤30时，设y =kx +b ，将(14,640)，(30,320)代入得{14k +b =64030k +b =320, 解得{k =−20b =920, ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−20x +920；综上所述，y ={640(10<x ≤14)−20x +920(14<x ≤30)； (2)见答案；(3)见答案．24.【答案】解：(1)由题意得∠A =∠B =90°，又∵EP ⊥CP ，∴∠EPA +∠CPB =90°，而在Rt △CPB 中，∠CPB +∠PCB =90°，∴∠EPA =∠PCB ，∴△EPA ～△PCB ，∴AP BC =AE BP ，又∵四边形ABCD 是正方形，AB =BC =3，AP =1，∴BP =AB −AP =3−1=2，∴13=AE 2，∴AE =23；(2)过点O 作OG ⊥AB 于点G ，作OH ⊥DA 于点H ，由题意可知，四边形OHAG 为矩形，∵点O 为EF 的中点且EP ⊥CP ，PE =PF ，∴△EPF 为等腰直角三角形中，∴OE =OP ，又∵∠HOE +∠EOG =90°，∠GOP +∠EOG =90°，∴∠HOE =∠GOP ，在△HOE 和△GOP 中，{∠HOE =∠GOP ∠OHE =∠OGP OE =OP，∴△HOE≌△GOP(AAS)∴OH =OG ，∴矩形OHAG 为正方形，∴点O 在∠BAD 的平分线上；(3)设AP =x ，则BP =3−x ，∵△EPA ～△PCB ，∴AE BP =AP BC ，即AE 3−x =x 3，∴AE =−13x 2+x =−13(x −32)2+34，又∵−13<0，∴当AP =32时，AE 取得最大值34，此时DE 的长度最小，在Rt △APE 中，PE =√AE 2+AP 2=√(34)2+(32)2=3√54， ∴cos∠APE =AP PE =323√54=2√55．【解析】(1)根据题意证明△EPA ～△PCB ，再由相似比即可计算出AE 的长；(2)过点O 作OG ⊥AB 于点G ，作OH ⊥DA 于点H ，通过△HOE≌△GOP 求正四边形OHAG 为正方形即可证明点O 在∠BAD 的平分线上；(3)设AP =x ，则BP =3−x ，通过△EPA 与△PCB 相似利用相似比，结合二次函数最值问题即可求出AE 的最大值，即此时DE 为最小值，再求出cos∠APE 的值即可．本题属于四边形综合应用大题，考查了相似三角形判定与性质，正方形的判定和性质以及二次函数最值问题和锐角三角函数，本题根据已知条件熟练灵活应用相关性质以及根据题意正确作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：(1)把点(0,−12)代入y =ax 2+bx +c 得c =−12；把点(0,−12)代入y =mx +n 得n =−12；(Ⅱ)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有2个公共点．理由如下：把点(m −b,m 2−mb −12)代入y =ax 2+bx −12得a(m −b)2+b(m −b)−12=m 2−mb −12，所以(m −b)2(a −1)=0，当m −b =0时，点(0,−12)与点(m −b,m 2−mb +n)重合，所以m −b ≠0，所以a −1=0，解得a =1，此时抛物线解析式为y =x 2+bx −12，因为△=b 2−4×1×(−12)=b 2+2>0，所以抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有2个公共点；(Ⅲ)抛物线y =x 2+bx −12的对称轴为直线x =−b 2，①当−b 2<−1，即b >2时，在x 轴上方，抛物线y =ax 2+bx +c 上与x 轴距离最大的点为P(1,y 0)，此时y 0=1+b −12=b +12>52，所以此时y 0的最小值大于52；②当−1≤−b 2≤0，即0≤b ≤2时，在x 轴上方，抛物线y =ax 2+bx +c 上与x 轴距离最大的点为P(1,y 0)，此时y 0=1+b −12=b +12≥12(b =0时取等号)，所以此时y 0的最小值为12；③当0<−b 2≤1，即−2≤b <0时，在x 轴上方，抛物线y =ax 2+bx +c 上与x 轴距离最大的点为P(−1,y 0)，此时y 0=1−b −12=12−b >12所以此时y 0的最小值大于12；④当−b 2>1，即b <−2时，在x 轴上方，抛物线y =ax 2+bx +c 上与x 轴距离最大的点为P(−1,y 0)，此时y 0=1−b −12=12−b >52，所以此时y 0的最小值大于52，综上所述，当b =0，x 0=1时，y 0的最小值为12．【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；利用判别式的意义判断抛物线与x 轴的交点个数；运用数形结合和分类讨论的思想解决(3)小题．(1)把点(0,−12)分别代入y =ax 2+bx +c 和y =mx +n 中可得到c 和n ；(Ⅱ)把点(m −b,m 2−mb −12)代入y =ax 2+bx −12整理得到(m −b)2(a −1)=0，判断m −b ≠0，则a −1=0，于是得抛物线解析式为y =x 2+bx −12，然后利用判别式的意义判断抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有2个公共点；(Ⅲ)先确定抛物线y =x 2+bx −12的对称轴为直线x =−b 2，利用二次函数的图象与性质，分类讨论：①当−b 2<−1，即b >2时，易得抛物线上与x 轴距离最大的点为P(1,y 0)，此时y 0>52；②当−1≤−b 2≤0，即0≤b ≤2时，易得抛物线与x 轴距离最大的点为P(1,y 0)，此时y 0≥12(b =0时取等号)；③当0<−b 2≤1，即−2≤b <0时，易得抛物线上与x 轴距离最大的点为P(−1,y 0)，此时y 0>12；④当−b 2>1，即b <−2时，易得抛物线上与x 轴距离最大的点为P(−1,y 0)，此时y 0>52，综上所述，当b =0，x 0=1时，y 0的最小值为12．。
2021年福建省中考模拟测试卷(一)(含答案)
2021年福建中考模拟测试卷（一）一、选择题(每题4分，共40分)1．13-的绝对值是( )A ．13B ． 3C ．－3D ．13-2．如图所示的几何体的俯视图是 ( )(第2题)A B C D 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A B C D4.某市常住人口约为2 510 000人，2 510 000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．425110⨯ B ．525.110⨯ C ．62.5110⨯ D ．70.25110⨯ 5.下列计算正确的是 （ ）A.523a a a =+ B.a a a =÷45 C.44a a a =⋅D ．632)(ab ab =6．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 （ ）(第6题)A ．13B ．14C ．16D ．187．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是 （ ）(第7题)A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°8.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案. 该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态. 该高铁站建设初期需要运送大量土石方，某运输公司承担了运送总量为36m 10土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v （单位：/m 3天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间的函数关系式是 （ ）A ．610v t=B ．610v =C ．26110v t =D ．6210v t =9．如图，已知OT 是Rt △ABO 斜边AB 上的高线，AO =BO ．以O 为圆心，OT 为半径的圆交OA 于点C ，过点C 作⊙O 的切线CD ，交AB 于点D ．则下列结论中错误的是 （ ）(第9题)A ．DC =DTB ．AD =2C ．BD =BOD ．2OC =5AC10．已知二次函数22224y x bx b c =-+-（其中x 是自变量）的图象经过不同两点(1,)A b m -，(2,)B b c m +，且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则b c +的值是 （ ） A ．1-B ．2C ．3D ．4二、填空题(每题4分，共24分)11.因式分解：x （x ﹣2）﹣x +2＝___________．12.）（a a -+11÷aa -21＝___________． 13.已知一个正多边形的内角和为1 440°，则它的一个外角的度数为_______度． 14.盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是_________．15.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，以点O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）(第15题)16.如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝ax（a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝bx（b ＜0）的图象上，AB∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为___________，ba的值为_________．（第16题）三、解答题(共86分)17.解不等式组：⎩⎨⎧-<++≥-.145212x x x x ，18.如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，EA =FB ，AB =CD ，EC =FD . 求证：(1)△AEC ≌△BFD ;(2)EA ∥FB .（第18题）19. 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中6x =.20.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．（第20题）21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C 作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB 45.（1）求证：CE=EF；（2）求EG的长.（第21题）22.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”的号召. 为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种的平均亩产量高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21 600元．（1）A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了小麦的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．23.为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成如下所示统计表，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成如图所示的统计图.请你根据以上信息，解答下列问题：（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是元；（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替食用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？种类数量（份）A 1 800B 2 400C800（第23题）24.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO 并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．（第24题）25.已知抛物线的解析式为y＝ax2（a＞0），点P是抛物线上任意一点．（1）我们称F（0，）为抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点，直线l：y＝﹣为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF＝PH；（2）已知抛物线y＝ax2过点M（﹣4，4）．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M（﹣4，4）绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线p：y＝kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．答案一、1. A 2.C 3.C 4.C 5.B 6. B 7.B 8.A 9.D 10. C二、11.（x ﹣2）（x ﹣1） 12.-a 13.36 14.15. 3﹣π16.24；﹣13三、17.解：⎩⎨⎧-<++≥-②145①212，，x x x x解不等式①，得x ≥3, 解不等式②，得x>2, ∴不等式组的解集为x ≥3．18.证明：（1）∵AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=BD, 在△A EC 和△BFD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，FD EC FB EA BD AC∴△AEC ≌△BFD （SSS ）.（2）由（1）知△AEC ≌△BFD ，∴∠EAC=∠FBD ， ∴EA ∥FB .19.解：原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-.当6x ()2624=-=．20.（1）解：如图即为所作图形.（第20题）（2）证明：∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC ，∴∠BAP =∠ABC ，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC ，∴PD ∥AB.21.（1）证明：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAE=∠FAE.又∵AE ⊥CF ，∴∠CEA=∠FEA=90°.又∵AE=AE ，∴△ACE ≌△AFE.∴CE=EF.（2）解：∵∠ACB=90°，CE ⊥AD ，∠CAE=∠DAC ，∴△CAE ∽△DAC.∴AC AD AE AC=. ∴AC AE AD 216==·.在Rt △ACB 中，BC AB AC 2222451664=-=-=()，∴BC =8.又∵CE=EF ，EG ∥BC ，∴FG=GB.∴EG 是△FBC 的中位线.∴EG BC ==124. 22.解：（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克.根据题意，得⎩⎨⎧=+⨯=-,21600)(4.210,100y x x y 解得⎩⎨⎧==.500,400y x 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克.（2）根据题意，得2.4×400×10（1+a %）+2.4（1+a %）×500×10（1+2a %）＝21 600（1+a %），解得a ＝0.1，0,1021==a a （舍去）.答：a 的值为10．23.解：（1）10．（2）树状图如图所示：根据树状图能够得到6种等可能结果：AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB ．其中“AB ”组合共有2种结果， ∴．（3）①根据条形统计图可知，上周A 种午餐的利润为2元，B 种午餐的利润为4元，C 种午餐的利润为3元，因此总利润为1 800×2+4×2 400+3×800＝15 600（元）， 平均利润为15 600÷（1800+2400+800）＝3.12（元），∵3.12＞3，∴应调低午餐单价．②假设调低A 种午餐单价1元，平均每份午餐的利润为76.280024001800800324004180012=++⨯+⨯+⨯-）（（元）， 调低B 种午餐单价1元，平均每份午餐的利润为64.280024001800800324001418002=++⨯+⨯-+⨯）（（元）， 调低C 种午餐单价1元，平均每份午餐的利润为96.25000800132400418002=⨯-+⨯+⨯）（（元）， ∵当A ，B ，C 种午餐单价调的越低，利润就越低，∴距离3元的利润就会越远.综上，应该调低C 种午餐1元，即C 种的午餐的单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．24.（1）证明：如图，连接OC .∵CE 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCE ＝90°.∵∠ABC ＝45°，∴∠AOC ＝90°，∴∠AOC +∠OCE ＝180°，∴AD ∥EC.（第24题）（2）解：如图，过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F.∵∠BAC ＝75°，∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝60°，∴∠D ＝∠ACB ＝60°，由题易知△ABD 是直角三角形.∴sin ∠ADB ＝23AD AB =， ∴AD ＝3212⨯＝8，∴OA ＝OC ＝4，∵AF ⊥EC ，∠OCE ＝90°，∠AOC ＝90°，∴四边形OAFC 是矩形，又∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形，∴CF ＝AF ＝OA=4，∵∠BAD ＝90°﹣∠D ＝30°，∴∠EAF ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴tan ∠EAF ＝， ∴EF ＝AF ＝12，∴CE ＝EF +CF ＝12+4．25.（1）证明：如图①，设点P 的坐标为 （m ，am 2），根据题意得PF 2＝m 2+（am 2﹣）2＝（am 2+）2，PH ＝am 2+，∵PF >0,∴PF=am 2+,∴PF=PH.（2）①将点M 的坐标代入2ax y =,得4＝a （﹣4）2，解得a ＝，∴抛物线的解析式为y ＝x 2，∴点F 的坐标为（0，1）；②如图②，由题意得点N 的坐标为（3，5），由（1）知，PF ＝PH ，而FN 为常数，故当N ，P ，H 三点共线时，PF +NP ＝NH 为最小， 此时△PNF 周长最小值＝FN +PF +NP ＝NH +FN ＝（4+1）+＝10.③如图③，整理⎪⎩⎪⎨⎧=+=,41,2x y m kx y 得：x 2﹣4kx ﹣4m ＝0，∴x A x B ＝﹣4m ， 过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∵∠AOM +∠BON ＝90°，∠BON +∠OBN ＝90°，∴∠AOM ＝∠OBN ，∴tan ∠AOM ＝tan ∠OBN ，即，则，即，整理，得x A x B＝﹣16. 又∵x A x B=-4m，-4m=-16. 解得m＝4，∴直线p的解析式为y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，∴直线p过定点（0，4）．。
2021-2022学年福建省南平市浦城县中考三模数学试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是（）A．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好3．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示．其中阅读时间是8~10小时的频数和频率分别是（）A ．15，0.125B ．15，0.25C ．30，0.125D ．30，0.254．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m 个小球，其中 5 个黑球， 从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为依次摸球试验，之后把它放回袋 中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数46487250650082499650007根据列表，可以估计出 m 的值是（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．若分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为（ ） A ．0B ．-1C ．0或-1D ．1或-16．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．﹣2 与2B ．2与2C ．3与13D ．3与37．如图，半⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，PT 切⊙O 于点T ，M 是OP 的中点，射线TM 与半⊙O 交于点C ．若∠P ＝20°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．1+3πB ．1+6π C ．2sin20°+29πD ．23π 8．下列算式的运算结果正确的是（ ） A ．m 3•m 2=m 6 B ．m 5÷m 3=m 2（m≠0）C ．（m ﹣2）3=m ﹣5D ．m 4﹣m 2=m 29．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AEDB EC= B ．AB ACAD AE= C ．AC ECAB DB= D ．AD DEDB BC= 10．如果2a b -=，那么22b a a ba a-+÷的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．小明用一个半径为30cm 且圆心角为240°的扇形纸片做成一个圆锥形纸帽（粘合部分忽略不计），那么这个圆锥形纸帽的底面半径为_____cm ．12．如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B ，C 重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α=，有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）.13．正多边形的一个外角是60°，边长是2，则这个正多边形的面积为___________ .14．如图，在扇形OAB 中，∠O =60°，OA =43，四边形OECF 是扇形OAB 中最大的菱形，其中点E ，C ，F 分别在OA ，AB ，OB 上，则图中阴影部分的面积为__________．15．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 16．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4，则S 阴影=_____．17．如图，▱ABCD 中，AC ⊥CD ，以C 为圆心，CA 为半径作圆弧交BC 于E ，交CD 的延长线于点F ，以AC 上一点O 为圆心OA 为半径的圆与BC 相切于点M ，交AD 于点N ．若AC=9cm ，OA=3cm ，则图中阴影部分的面积为_____cm 1．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）． 19．（5分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （8，0）、点B （0，4），点C 、D 分别是边OA 、AB 的中点．将△ACD 绕点A 顺时针方向旋转，得△AC ′D ′，记旋转角为α．（I ）如图①，连接BD ′，当BD ′∥OA 时，求点D ′的坐标； （II ）如图②，当α＝60°时，求点C ′的坐标；（III ）当点B ，D ′，C ′共线时，求点C ′的坐标（直接写出结果即可）．20．（8分）一次函数()y kx b k 0=+≠的图象经过点()A 11-，和点()B 15，，求一次函数的解析式．21．（10分）如图1，抛物线y =ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线交y 轴于点E （0，2）． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A 作BE 的平行线交抛物线于另一点D ，点P 是抛物线上位于线段AD 下方的一个动点，连结PA ，EA ，ED ，PD ，求四边形EAPD 面积的最大值；（3）如图3，连结AC ，将△AOC 绕点O 逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A ′OC ′，在旋转过程中，直线OC ′与直线BE 交于点Q ，若△BOQ 为等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标．22．（10分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和1．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣1和﹣2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（1）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率．23．（12分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是0x≠的全体实数，如表是y与x的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）在画出的函数图象上标出2x=时所对应的点，并写出m=．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．24．（14分）（1）|﹣327（2018﹣π）0-（15）-1（2）先化简，再求值：（2xx x +﹣1）÷22121xx x-++，其中x的值从不等式组23241xx-≤⎧⎨-⎩＜的整数解中选取．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．2、C【解析】分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可求解．详解：平均数=（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）÷10=149.6(min),故这组样本数据的平均数超过130，A正确，C错误；因为表中是按从小到大的顺序排列的，一共10名选手，中位数为第五位和第六位的平均数，故中位数是（146+148）÷2=147(min),故B正确，D正确.故选C.点睛：本题考查的是平均数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．3、D【解析】分析：根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.详解：由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125，而组距为2，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125×2=0.25，又∵被调查学生总数为120人，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120×0.25=30.综上所述，选项D中数据正确.故选D.点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频数、频率和总数之间的关系.4、B【解析】由概率公式可知摸出黑球的概率为，分析表格数据可知的值总是在0.5左右，据此可求解m值.【详解】解：分析表格数据可知的值总是在0.5左右，则由题意可得，解得m=10,故选择B.【点睛】本题考查了概率公式的应用.5、D【解析】试题分析：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)，整理得：x(1－a)＝2a，当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，解得：a＝－1，故选D．点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．6、A【解析】根据只有符号不同的两数互为相反数，可直接判断.【详解】-2与2互为相反数，故正确；2与2相等，符号相同，故不是相反数；3与13互为倒数，故不正确；3与3相同，故不是相反数.故选：A.【点睛】此题主要考查了相反数，关键是观察特点是否只有符号不同，比较简单.7、A【解析】连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．【详解】连接OT、OC，∵PT切⊙O于点T，∴∠OTP=90°，∵∠P=20°，∴∠POT=70°，∵M是OP的中点，∴TM=OM=PM，∴∠MTO=∠POT=70°，∵OT=OC，∴∠MTO=∠OCT=70°，∴∠OCT=180°-2×70°=40°，∴∠COM=30°，作CH ⊥AP ，垂足为H ，则CH=12OC=1， S 阴影=S △AOC +S 扇形OCB =12OA•CH+2302360π⨯=1+3π，故选A. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系． 8、B 【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A 、m 3•m 2=m 5，故此选项错误；B 、m 5÷m 3=m 2（m≠0），故此选项正确；C 、（m -2）3=m -6，故此选项错误；D 、m 4-m 2，无法计算，故此选项错误； 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 9、D 【解析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论. 【详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB ACAD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ． 【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质． 10、D【解析】先对原分式进行化简，再寻找化简结果与已知之间的关系即可得出答案． 【详解】22()()=b a a b b a b a b a a a baa a -++-÷⨯=-+ 2ab -=()2b a a b ∴-=--=-故选：D ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、20 【解析】先求出半径为30cm 且圆心角为240°的扇形纸片的弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得． 【详解】24030180π⨯=40π．设这个圆锥形纸帽的底面半径为r ． 根据题意，得40π=2πr ， 解得r=20cm ． 故答案是：20. 【点睛】解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 12、②③． 【解析】试题解析：①∵∠ADE=∠B ，∠DAE=∠BAD ， ∴△ADE ∽△ABD ； 故①错误；②作AG ⊥BC 于G ，∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，∴，∴，∴cosα=，∵AB=AC=15，∴BG=1，∴BC=24，∵CD=9，∴BD=15，∴AC=BD．∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，∴∠EDB=∠DAC，在△ACD与△DBE中，，∴△ACD≌△BDE（ASA）．故②正确；③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，∴∠ADB=∠AED，∵∠BED=90°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，∴∴BD=1．当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，∵∠BDE=90°，∴∠CAD=90°，∵∠C=α且cosα=，AC=15，∴cosC=，∴CD=．∵BC=24，∴BD=24-=即当△DCE为直角三角形时，BD=1或．故③正确；④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，设CD=y，BE=x，∴，∴，整理得：y2-24y+144=144-15x，即（y-1）2=144-15x，∴0＜x≤，∴0＜BE≤．故④错误．故正确的结论为：②③．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．13、3【解析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【详解】正多边形的边数是：360°÷60°=6. 正六边形的边长为2cm ，由于正六边形可分成六个全等的等边三角形，且等边三角形的边长与正六边形的边长相等， 所以正六边形的面积2216sin 602=63cm 2=⨯⨯︒⨯. 故答案是：63【点睛】本题考查了正多边形的外角和以及正多边形的计算，正六边形可分成六个全等的等边三角形，转化为等边三角形的计算.14、8π﹣3【解析】连接EF 、OC 交于点H ，根据正切的概念求出FH ，根据菱形的面积公式求出菱形FOEC 的面积，根据扇形面积公式求出扇形OAB 的面积，计算即可．【详解】连接EF 、OC 交于点H ，则3∴FH=OH×tan30°=2，∴菱形FOEC 的面积=12×33 扇形OAB 的面积=(26043360π⨯=8π，则阴影部分的面积为8π﹣83，故答案为8π﹣83．【点睛】本题考查了扇形面积的计算、菱形的性质，熟练掌握扇形的面积公式、菱形的性质、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．15、8【解析】解：设边数为n，由题意得，180（n-2）=360 3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.16、【解析】根据垂径定理求得然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC．【详解】如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是O的直径,弦CD⊥AB,∴又∵∴∴∴S 阴影=S 扇形ODB −S △DOE +S △BEC故答案为:.【点睛】考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.17、11π﹣6334． 【解析】阴影部分的面积=扇形ECF 的面积-△ACD 的面积-△OCM 的面积-扇形AOM 的面积-弓形AN 的面积．【详解】解：连接OM ，ON .∴OM =3，OC =6，∴30ACM ∠=， ∴33CD AB ==，∴扇形ECF 的面积2120π927π360⋅==； △ACD 的面积2732AC CD =⨯÷= 扇形AOM 的面积2120π33π360⋅==； 弓形AN 的面积2120π31393333π36022⋅=-⨯⨯=-△OCM 的面积132=⨯⨯= ∴阴影部分的面积=扇形ECF 的面积−△ACD 的面积−△OCM 的面积−扇形AOM 的面积−弓形AN 的面积2(21π.4=-故答案为21π4-． 【点睛】考查不规则图形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为1元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．【解析】（1）若设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程．（2）利用乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可；（3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可．【详解】（1）设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元，根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x ）-500=67，解得：x=300，500-x=1．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为1元．（2）∵乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设每件乙服装进价的平均增长率为y ，则 22001y 242（）+=， 解得：1y =0.1=10%，2y =-2.1（不合题意，舍去）．答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元）∵商场仍按9折出售，设定价为a元时0.9a-266.2＞0解得：a＞2662295.8 9故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题19、（I）（10，4）或（6，4）（II）C′（6，23）（III）①C′（8，4）②C′（245，﹣125）【解析】（I）如图①，当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，只要证明B、C′、D′共线即可解决问题，再根据对称性确定D″的坐标；（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解决问题；（III）分两种情形分别求解即可解决问题；【详解】解:（I）如图①，∵A（8，0），B（0，4），∴OB=4，OA=8，∵AC=OC=AC′=4，∴当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，∵∠AOB=90°，∴四边形OBC′A是矩形，∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，∴B、C′、D′共线，∴BD′∥OA，∵AC=CO，BD=AD，∴CD=C′D′=12OB=2，∴D′（10，4），根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，∴AK=2，C′K=23，∴OK=6，∴C′（6，23）．（III）①如图③中，当B、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如图④中，当B、C′、D′共线时，BD′交OA于F，易证△BOF≌△AC′F，∴OF=FC′，设OF=FC′=x ，在Rt △ABC′中，BC′=22AB AC -'=8，在RT △BOF 中，OB=4，OF=x ，BF=8﹣x ，∴（8﹣x ）2=42+x 2，解得x=3，∴OF=F C′=3，BF=5，作C′K ⊥OA 于K ， ∵OB ∥KC′，∴KC OB '=FK OF =FC BF'， ∴4KC '=3FK =35， ∴KC′=125，KF=95， ∴OK=245， ∴C′（245，﹣125）． 【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、矩形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．20、y=2x+1．【解析】直接把点A （﹣1，1），B （1，5）代入一次函数y =kx +b （k ≠0），求出k 、b 的值即可．【详解】∵一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象经过点A （﹣1，1）和点B （1，5），∴15k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩． 故一次函数的解析式为y =2x +1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解答此题的关键．21、（1）y=12x 2﹣32x ﹣2；（2）9；（3）Q 坐标为（﹣121655，）或（4﹣55，）或（2，1）或（4+5，﹣5）． 【解析】试题分析：()1把点()()1040A B -，，，代入抛物线22y ax bx =+-，求出,a b 的值即可.()2先用待定系数法求出直线BE 的解析式，进而求得直线AD 的解析式，设11,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PG ,用配方法求出它的最大值， 联立方程2132221122y x xy x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，求出点D 的坐标，ADP S最大值=12D A PG x x ⨯⨯-，进而计算四边形EAPD 面积的最大值；()3分两种情况进行讨论即可.试题解析：（1）∵()()1040A B -，，，在抛物线22y ax bx =+-上，∴2016420,a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得123.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x ．=--（2）过点P 作PG x ⊥轴交AD 于点G ，∵()()4002B E ，，，，∴直线BE 的解析式为122y x =-+， ∵AD ∥BE ，设直线AD 的解析式为12y x b =-+， 代入()10A ，-，可得12b =-， ∴直线AD 的解析式为1122y x ，=-- 设11,22G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则213,222P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则()221113*********PG m m m m ⎛⎫⎛⎫=-----=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当x =1时，PG 的值最大，最大值为2， 由2132221122y x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得10,x y =-⎧⎨=⎩ 或32.x y =⎧⎨=-⎩ ∴()3,2D -，∴ADP S 最大值=1124422D A PG x x ⨯⨯-=⨯⨯=， 15252ADB S =⨯⨯=， ∵AD ∥BE ，∴5ADE ADB S S ==，∴S 四边形APDE 最大=S △ADP 最大+459ADB S ．=+=（3）①如图3﹣1中，当OQ OB =时，作OT BE ⊥于T ．∵42OB OE ==，， ∴4525525OE OB BE OT BE ⋅====， ∴855BT TQ == ∴1655BQ = 可得1216,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②如图3﹣2中，当1BO BQ =时,185454.Q ⎛⎝⎭， 当22OQ BQ =时，()221Q ，，当3BO BQ =时，Q 385454.⎛ ⎝⎭ 综上所述，满足条件点点Q 坐标为1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或85454，⎛ ⎝⎭或()21，或85454.⎛+ ⎝⎭22、 (1)见解析;(1)13【解析】试题分析：先用列表法写出点Q 的所有可能坐标，再根据概率公式求解即可.（1）由题意得1 1（1）共有6种等可能情况，符合条件的有1种P （点Q 在直线y=−x−1上）=13. 考点：概率公式点评：解题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值.23、（1）32；（2）见解析；（3）72；（4）当01x <<时，y 随x 的增大而减小． 【解析】（1）根据表中x ，y 的对应值即可得到结论；（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（3）在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；（4）利用函数图象的图象求解．【详解】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是32； 故答案为：32. （2）该函数的图象如图所示；（3）当2x =时所对应的点 如图所示，且72m =； 故答案为：72； （4）函数的性质：当01x <<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：当01x <<时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．24、（13（1）-1【解析】（1）先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，然后按照实数的运算法则计算即可；（1）把括号里通分，把22121x x x -++的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可.【详解】（1）原式=1+3×3﹣5 3﹣5 31；（1）原式=()()()()()2211111x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()2111x x x x x --÷++ =111x x x x -++- =﹣1x x -，解不等式组23241xx-≤⎧⎨-<⎩得：-1≤x52<则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1，∵x（x+1）≠0且x﹣1≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x=1，则原式=﹣221-=﹣1．【点睛】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件.。
2021年福建省中考数学模拟试卷(六)
2021中考数学模拟试卷(六)(全卷共6页.满分:150分.考试时间:120分钟)一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.下列实数中,无理数的是( ) A .2021B .12021CD .2.0212.如图,过△ABC 的顶点A ,作BC 边上的高,以下作法正确的是( )3.我市纺织业主动调结构、转方式,产业水平提升实现了历史性的突破,2021年完成工业总产值1140亿元,成为全省少有的超千亿产业集群,1140亿用科学记数法表示为( ) A .31.1410⨯B .101.1410⨯C .111.1410⨯D .121.1410⨯4.下列图形中,不是轴对称图形的是( )5.在算式()(的中填上运算符号,使计算结果最大,这个运算符号是( ) 6.下列运算正确的是( ) A .222()xy x y =B .33x x x =⋅C .326x x x =÷D .523)(x x =7.为了解居民节约用水的情况,增强居民的节水意识 右表是某个单元的住户当月用水量的调查结果：则 关于这12户居民月用水量,下列说法正确的是( ) A .中位数是5方B .众数是6方C .平均数是3方D .平均数是5.5方8.将△ABC 平移得到△A B C ''',若80A AC '∠=,则A C C ''∠的度数是( ) A .10B .80C .100D .1609.正六边形的边长为2,则该正六边形的边心距是( ) AB .1C .2D.10.在平面直角坐标系中,二次函数2()y a x h =-(0a ≠)的图象可能是( )A .＋B .－C .×D .÷B DC ABC A BCCD DD AA BDBA BCD11.将一正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最 后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位线) 剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开, 得到的图形是( )12.在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.若一次函数y kx k =-(k 为整数) 与3y x =-的图象的交点是整点,则k 的不同取值的个数是( )A .3B .4C .5D .6二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分) 13.因式分解:24m m -=_________．14.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是45,则n = .15.化简1(1)(1)1m m +-+的结果是 ． 16.点(3,4)A -关于直线y x =对称的点的坐标是 ． 17.如图, △ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上, 则sin BAC ∠= ．18.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△OAB 的斜边OB 在x 轴上, 且4OB =,反比例函数k y x =(x ＞0)的图象经过OA 的中点C ,交AB 于点D ,则点D 坐标是 .三、解答题（满分90分)19.(7分)计算:308)25(3--+-20.(7分)化简:35(2)22x x x x -÷+---ABC第17题第11题CABD21.(8分)如图,点D 、C 在BF 上,AB ∥EF ,A E ∠=∠,BD CF =,求证:AB EF =.22.(8分)某商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台,很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇,因每台价格提高30元,进货量减少了10台．这两次各购进电风扇多少台?23.(10分)某校九年级举行了“中国梦”时政演讲比赛活动,学校团委根据学生的成绩划分为A ,B ,C ,D 四个等级,并绘制了如下两个不完整的两种统计图.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)参加演讲比赛的学生共有 人,并把条形图补充完整；(2)扇形统计图中,m = ,n = ；C 等级对应扇形的圆心角为 度；(3)学校准备从获得A 等级的学生中随机选取2人,参加全市举办的演讲比赛,请利用列 表法或树状图法,求获得A 等级的小明参加市比赛的概率.等级24.(12分)如图,ABC △中,90BAC ∠=o ,AD ⊥BC ,垂足为D .求作:∠ABC 的平分线,分别交AD ,AC 于P ,Q 两点,并证明APQ △是等腰三角形. (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)25.(12分)如图,AB 是⊙O 的直径,点P 是⊙O 外一点,P A 切⊙O 于点A ,连接OP ,过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ,点E 是AB 的中点． (1)求证:PC 是⊙O 的切线；(2)若10,6AB BC ==,求CE 的长.C D26.(13分)如图1,在边长为3的等边△ABC中,过点A作AC的垂线交CB延长线于点D.点P,Q分别在线段BD,AC上,且BP AQ=.设BP x=.(1)求BD的长；(2)过点Q作QH⊥BC,垂足为H,当以P,Q,H为顶点的三角形与△CDA相似时,求x 的值；(3)如图2,PQ交AB于点E,过点E作EF∥BD交AD于点F.设EF m=,求m与x之间的函数关系式.AB C D PQH图1ABDEFQP图2图1图227.(13分)在平面直角坐标系中,抛物线2(1)y x k x k =+--与直线1y kx =+交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧.(1)如图1,当1k =时,直接写出A ,B 两点的坐标；(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2,抛物线2(1)y x k x k =+--(0)k >与x 轴交于C ,D 两点(点C 在点D 的左侧). 当以OC 为直径的⊙E 与直线AB 相切于点Q 时,请求出此时k 的值.2021年中考数学模拟试卷(六)参考答案一、选择题(每题3分,共36分)1.C2.A3.C4.A5.D6.A7.B8.B9.A 10.D 11.B 12.B 二、填空题(每题4分,共24分)13.(41)m m - 14.8 15.m 16.(4,3)- 17.3518.(2三、解答题(共90分)19.解:032)-+-=312+- =220.解: 35(2)22x x x x -÷+---= 2345()222x x x x x --÷---- =23922x x x x --÷-- =322(3)(3)x x x x x --⨯-+-=13x + 21.证明:∵AB ∥EF∴B F ∠=∠ ∵BD CF =∴BD DC CF DC +=+ ∴BC FD = 又∵A E ∠=∠ ∴△ABC ≌△EFD∴AB EF =． 22.解:设第一次购进了x 台,根据题意得 150(15030)(10)x x =+-解得60x = 这时1050x -= 答:第一次购进了60台,第二次购进了50台. 23.(1)40,补全条形图如图； (2)10, 40；144；(3)解:设A 等级的小明用a 表示,其他的几个学生用b 、c 、d 表示,画树状图如下:由树状图可知,出现的结果共有12种,并且它们出现的可能性相等,其中小明参加 的情况有6种∴P (小明参加比赛)61122==.24.如图所示,射线BQ 就是所求作的； 证明:∵90BAC ∠=o ,AD ⊥BC∴90CDA BAC ∠=∠=o ∴90C DAC ∠+∠=o , 90BAP DAC ∠+∠=o∴C BAP ∠=∠ ∵BQ 平分∠ABCa b c d b c d a c d a b d a b c∴CBQ ABP ∠=∠ ∵APQ ABP BAP ∠=∠+∠, AQP C CBQ ∠=∠+∠∴APQ AQP ∠=∠ ∴AP AQ =∴APQ △是等腰三角形.25.(1)证明:如图,连接OC∵P A 切⊙O 于A ∴90PAO ∠= ∵OP ∥BC∴∠AOP =∠OBC ,∠COP =∠OCB ∵OC =OB∴∠OBC =∠OCB ∴∠AOP =∠COP 又∵OA =OC ,OP =OP ∴△P AO ≌△PCO ∴∠P AO =∠PCO =90 º 又∵OC 是⊙O 的半径 ∴PC 是⊙O 的切线(2)解:连接AE ,BE ,过点B 作BM ⊥CE 于点M∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90º又∵点E 是AB 的中点∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45º CM =MB =32 BE =AB cos45º=52 ∴EM 22=42BE BM - ∴CE =CM +EM =72 答:CE 的长为7226.解:(1)在Rt △ACD 中,60C ∠=∴26CD AC == ∴3BD CD BC =-=(2)在Rt △CQH 中,3CQ x =-,60ACD ∠=∴3sin 60)2QH CQ x =⋅=-11(3)22CH CQ x ==-∴3313(3)222PH PC HC x x x =-=+--=+当△PQH ∽△CDA 时,有60QPH ∠=∴3QH PH =333)3()22x x -=+解得0x =当△QPH ∽△CDA 时,有60PQH ∠=∴3PH QH3333)()22x x -=+解得1x = ∴0x =或1OCEM(3)过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ,可得△CQN 为等边三角形3NQ NC QC x ===-,BN x =,2PN x = ∵BE ∥QN∴△PBE ∽△PNQ ∴BE PB QN PN= ∴31(3)222x PB BE QN x x PN x =⋅=⨯-=- ∵EF ∥BD ∴30AFE D ∠=∠= ∴30AFE FAE ∠=∠= ∴EF AE =∴33113()2222m AB BE x x =-=--=+．27.解:(1)(10)(23)A B -,,,(2)如图1,过点P 作PM //y 轴,交AB 于点M设点2(1)P a a -,,其中12a -<<则(1)M a a +, ∴22(1)(12PM a a a a =+--=-++）∴132APB S MP =⨯△23(2)2a a =-++23271()228a =--+∴当12a =时,APB S △的最大值为278∴P (12,34-)(3)如图2当0y =时,2(1)0x k x k +--= 解得121x k x =-=, ∴C (k -,0),即OC =k则⊙E 的半径:OE =CE =2k =QE设直线1y kx =+与x ,y 轴交于H 点和F 点则F (0,1),H (1k -,0)∴OF =1,OH =1k∴EH=12kk -∵AB 为⊙E 的切线 ∴EQ ⊥AB ∴∠EQH =90°∴90EQH FOH ∠=∠=o 又∵QHE OHF ∠=∠ ∴△FOH ∽△EQH ∴FO HO EQ HQ =∴FO HQ HO EQ ⋅=⋅ADQEF图2图1∴1122k HQ k =⋅=在Rt △EQH 中,EH =12k k -,QH =12,QE =2k根据勾股定理,得22211()()()222k k k +=-解得k =．。
2021年福建省龙岩市部分学校中考数学第一次适应性试卷(解析版)
2021年福建省龙岩市部分学校中考数学第一次适应性试卷（一）一．选择题（共10小题）.1．3倒数等于（）A．3B．C．﹣3D．﹣2．计算：a2•a的结果是（）A．a B．a2C．a3D．2a23．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（）A．ab＜0B．a+b＞0C．＜﹣1D．|a|＞b5．比值为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计介于（）A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间6．如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是（）A．B．C．D．7．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2﹣∠3＝90°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°C．∠1+∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°8．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．2949．如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．610．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣6二．填空题（满分24分，每小题4分）11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝．12．截止香港时间2020年11月17日14时04分，全球新冠肺炎确诊病例超过55350000例，把55350000用科学记数法表示为．13．已知实数x，y满足下面关系式：y＝﹣x+2，则x y的值．14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cos C＝．15．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是．16．函数的最小值是．三．解答题17．计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．18．化简求值：（﹣x+1）÷，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求值．19．证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．20．如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明．）21．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．身高分组频数频率152≤x＜15530.06155≤x＜15870.14158≤x＜161m0.28161≤x＜16413n164≤x＜16790.18167≤x＜17030.06170≤x＜17310.02根据以上统计图表完成下列问题：（1）统计表中m＝，n＝，并将频数分布直方图补充完整；（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：范围内；（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．22．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．23．为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？24．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．25．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．参考答案一．选择题（每小题4分，满分40分）1．3倒数等于（）A．3B．C．﹣3D．﹣【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．解：3倒数等于，故选：B．2．计算：a2•a的结果是（）A．a B．a2C．a3D．2a2【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：a2•a＝a3．故选：C．3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：该立体图形主视图的第1列有1个正方形、第2列有1个正方形、第3列有2个正方形，故选：C．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（）A．ab＜0B．a+b＞0C．＜﹣1D．|a|＞b【分析】先由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，则分别根据异号两数相乘得负、两数相加，取绝对值较大的加数的符号、异号两数相除得负，且商的大小与a，b两数的绝对值大小的关系作出判断．解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|∴A：ab＜0，正确；B：a+b＞0，正确；C：＜﹣1，正确；D：|a|＞b，错误．故只有D错误．故选：D．5．比值为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计介于（）A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间【分析】把的近似值代入黄金分割的比值进行计算即可．解：≈＝0.618，故选：C．6．如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．解：由图可得，摇奖人中一等奖的概率是：＝＝＝，故选：B．7．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2﹣∠3＝90°B．∠1﹣∠2+∠3＝90°C．∠1+∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可找到关系式．解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，即∠2+∠3﹣∠1＝180°，故选：D．8．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．294【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，故选：D．9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．6【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO＝30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC即可求出阴影部分的面积．解：如图，连接OD，BD，∵点C为OB的中点，∴OC＝OB＝OD，∵CD⊥OB，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝12，OC＝CB＝6，∴CD＝，6，∴S扇形BOD＝＝24π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）＝﹣﹣（24π﹣×6×6）＝18+6π．或S阴＝S扇形OAD+S△ODC﹣S扇形OEC＝18+6π．故选：C．10．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣6【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．解法二：过点B作BM⊥DE于M，设A（a，），则B（，）．由题意，OE＝﹣a，DE＝﹣a，ME＝﹣a，BM＝，DM＝﹣a，∵S△ABE＝S梯形ADMB+S△BEM﹣S△ADE＝7，∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×（）﹣××（﹣a）＝7，解得k＝﹣12．故选：A．二．填空题（满分24分，每小题4分）11．因式分解：x2﹣6xy+9y2＝（x﹣3y）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝x2﹣2•x•3y+（3y）2＝（x﹣3y）2，故答案为：（x﹣3y）212．截止香港时间2020年11月17日14时04分，全球新冠肺炎确诊病例超过55350000例，把55350000用科学记数法表示为 5.535×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：55 350 000用科学记数法表示5.535×107，故答案是：5.535×107．13．已知实数x，y满足下面关系式：y＝﹣x+2，则x y的值﹣1．【分析】依据二次根式及分式有意义的条件，即可得到x的值，进而得到y的值，最后代入计算即可．解：由题可得，，解得x2＝1，即x＝±1，又∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝0﹣（﹣1）+2＝3，∴x y的值﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE＝9，BC＝12，则cos C＝．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE＝BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD＝BD，从而得出CD：CE，即为cos C．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE＝BE，∴CD＝BD，∵BE＝9，BC＝12，∴CD＝6，CE＝9，∴cos C＝＝＝，故答案为．15．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．【分析】设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），根据中点坐标公式即可得出x的值，进而得出结论．解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则＝﹣1，解得x＝1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．16．函数的最小值是．【分析】先将两个根式调整成两点间的距离公式形式，然后就可以看出y表示的就是两条线段之和，根据两点之间最短原理即可求解．解：∵y＝+，∴y表示的几何含义为抛物线y＝x2上的一点P（x，x2）到点A（2，1）和点B（0，2）的距离之和，即y＝AP+PB≥AB，如图，当且仅当A、P、B三点共线时，y取得最小值AB＝＝．故答案为：．三．解答题17．计算：+|﹣2|﹣（）﹣2．【分析】直接利用二次根式的性质结合负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝2+2﹣﹣4＝﹣2．18．化简求值：（﹣x+1）÷，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求值．【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．解：（﹣x+1）÷＝•＝•＝﹣，∵从分式知：x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2，取x＝0，当x＝0时，原式＝﹣＝1．19．证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【分析】根据命题画出图形，写出已知，求证，证明过程，用邻边相等的平行四边形是菱形这个判定定理即可．【解答】已知：如图，在⊂ABCD中，AC，BD为对角线，且AC⊥BD，求证：⊂ABCD是菱形，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，∵AC⊥BD，∴AB＝CB，∴⊂ABCD是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）20．如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明．）【分析】过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：如图所示，AD即为所求，已知：△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求证：＝．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∵AD是角平分线，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E，∴AC＝AE，又∵AD∥CE，．∴＝．21．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．身高分组频数频率152≤x＜15530.06155≤x＜15870.14158≤x＜161m0.28161≤x＜16413n164≤x＜16790.18167≤x＜17030.06170≤x＜17310.02根据以上统计图表完成下列问题：（1）统计表中m＝14，n＝0.26，并将频数分布直方图补充完整；（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：161≤x＜164范围内；（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．【分析】（1）设总人数为x人，则有＝0.06，解得x＝50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；（2）根据中位数的定义即可判断；（3）画出树状图即可解决问题；解：（1）设总人数为x人，则有＝0.06，解得x＝50，∴m＝50×0.28＝14，n＝＝0.26．故答案为14，0.26．频数分布直方图：（2）观察表格可知中位数在161≤x＜164内，故答案为161≤x＜164．（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：所以P（两学生来自同一所班级）＝＝．22．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD＝90°，即可证明BD 是⊙O的切线；（2）过点D作DG⊥BE于点G，先判断出△ACE∽△DGE得出比例式，从而得到AC＝•DG＝，求出AF，利用相似三角形的性质求解即可．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵＝，∴AC＝，AE＝＝，∴AB＝BE+AE＝，∵OF⊥AB，∴AF＝FB＝，∵△ACE∽△AOF∴＝，∴＝，∴AO＝∴⊙O的直径为2OA＝．23．为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？【分析】（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据“两种款型的单车共100辆，总价值36800元”列方程组求解可得；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式，解之求得a的范围，进一步求解可得．解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：，解得：，答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．24．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．结合∠ABD+∠ADB＝90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即可得∠BHD＝90°．从而得证；（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB＝CD，从而得∠HBC+∠HCB＝90°，根据三个中点知，，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．由∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°可得答案；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由及可得答案．解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即∠EBD+∠BDG＝90°，∴∠BHD＝90°．∴BE⊥DG．又∵BE＝DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”．（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB＝CD，∴∠HBC+∠HCB＝90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴，，EG∥AB，GF∥DC，∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．∴△EFG是等腰直角三角形．（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则，由（2）可知．∴AB最小值为．25．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（1）若等腰△ABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，△ABC中，AB＝3，AC＝8，BC＝9．小明发现这个△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD．（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连接AC，AD与BE相交于点F，G，＝＝，△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”．①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF＝1，设AB＝x，y＝，求y关于x的函数关系式．【分析】（1）分两种情况，利用“差倍角三角形”的意义，建立方程求解，即可得出结论；（2）先判断出∠C＝∠BAD，进而判断出∠CAD＝∠ADC，即可得出结论；（3）①先判断出∠CAD＝∠ABE，进而得出AC∥DE，即可得出结论；②先判断出△ABF∽△EBA，得出BE＝x2进而得出CD＝x2﹣1，AE＝x2﹣1，AF＝，再判断出＝，即可得出结论．解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°﹣x，∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，∴90°﹣x﹣2x＝2•（90°﹣x）或2x﹣（90°﹣x）＝2（90°﹣x），∴x＝﹣90°（舍）或x＝54°，∴∠A＝2x＝108°，∴顶角∠A的度数为108°；（2）如图1，在BC上取点D，使得BD＝1，连接AD，∴CD＝BC﹣BD＝8，∵AC＝8，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠ADC，∵AB＝3，AC＝8，BC＝9，∴＝＝，＝，∴，∵∠ABD∽△CBA，∴∠ADC＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD＝∠ADC，∴∠BAC﹣∠C＝∠ADC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠C，∴∠BAC﹣∠C＝B+∠C，∴∠BAC﹣∠B＝2∠C，∴△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”；（3）①∵＝＝，∴∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝∠AEB＝∠ACB＝∠DAE＝α，∵△ABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”，∴∠BAE﹣∠ABE＝2∠AEB，∴α+∠CAD+α﹣∠ABE＝2α，∴∠CAD＝∠ABE，∴，∴DE∥AC，∵，∴CD∥BE，∴四边形CDEF是平行四边形；②∵∠BAF＝∠AEB，∠ABF＝∠EBA，∴△ABF∽△EBA，∴＝＝，∴BE＝＝＝x2，∴EF＝BE﹣BF＝x2﹣1，∵四边形CDEF是平行四边形，∵，∴AE＝CD＝x2﹣1，∴AF＝＝＝，过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，∴BM∥EN，∴△BFM∽△EFN，∴＝，∴BM＝EN，过点G作GH⊥AE于H，∵∠BAC＝ACB＝∠AEG＝∠EAG，∴△ABC∽△AGE，∴，∴＝＝，∴＝，∴y＝＝＝•＝•＝．。
【中考冲刺】2021年福建省南平市中考数学模拟试卷(附答案)
A． B． C． D．
10．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB= ，则AB的长是（）
A．4B．2 C．8D．4
二、填空题
11．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于_____度．
A． B． C． D．
7．如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（）
A． B． C． D．
8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．115°D．135°
∴当两根木杆距离点灯距离相等时它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形相似，否则不相似，
故答案为：可能．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是了解中心投影是由点光源发出的光线形成的投影．
13．8π
【详解】
解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC， ，即 ，
∴AE= ，
∴tan∠CAD=tan∠AEC= = = ．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
23．
【分析】
过点B作BF⊥AC于点F，根据题意得出BC，FC，AF的长，进而利用速度与路程之间的关系得出答案．
【详解】
解：过点B作BF⊥AC于点F．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．