数理方程笔记

第一章教材五章 傅里叶变换第一节 傅里叶级数从矢量的正交分解谈起 定义矢量点积（内积）F = x F i +y F j S =x S i +y S jF ⋅S =F S cos θ= (x F i +y F j ).(x S i +y S j )=x F x S +y F y S =x y F F ⎡⎤⎣⎦x y S S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内积为零，则垂直（正交）分解方法F = x F i +y F jx F =F cos θyF =Fsin θF = x F i +y F j F ⋅i =x F i ⋅i +y F j ⋅ix F =F ⋅i =F cos θ 分解需要什么i j 基 i ⋅j =0(90o ) 系数 x F yF 要研究的量F = x F i +y F j内积这种运算 222x y F F F =+勾股定理（一）周期函数的傅里叶展开①要研究的对象(x)f ，以2l 为周期②基 1, cos x l π,2cos x l π,3cos x l π……cos k x l π……sin x l π,2sin x l π,3sin x l π……sin k x l π……③展开为01212221cos cos ......sin sin ....(x ..)x x x xa a ab l l l lf b ππππ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= ④F = x F i +y F j函数的长度如何表示？两个函数内积定义为(x)*(x)dx ll f g +-⎰ 共轭⑤“基”要求正交11cosdx sin|0ll l lxxllπππ++--⋅==⎰1cosdx 0(k 0)2(k 0)llk xll π+-⋅=≠==⎰1sindx 0llk xlπ+-⋅=⎰coscos dx 0(k )(k )llk x n xn l ll n ππ+-⋅=≠==⎰sinsin dx 0(k )(k )llk x n xn l ll n ππ+-⋅=≠==⎰cossin dx 0llk x n xl lππ+-⋅=⎰证明正交性sinsin dx 0(k )1(k n)x (k n)x cos cos 2(k n)x (k n)x sin |sin |2(k n)2(k n)0lll l l l l l k x n xn l l dx l l l l l l ππππππππ+-+-++--⋅=≠+-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-+-=++-=⎰⎰ 2(sin)dx 012(1cos )212k x sin |22k lll l l lk x l k x dx l l l l lππππ+-+-+-==-=-⋅=⎰⎰ 长度不是1，是()()()()()()()()()()221sin cos sin sin 21cos sin sin sin 21cos cos cos cos 21sin sin cos cos 21cos 1cos 221sin 1cos 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβθθθθ=++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦=+=- ⑥如何求系数F = x F i +y F j 与i 做内积01212221coscos......sin sin ....(x ..)xx x xa a ab ll l l f b ππππ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=求0a 左右两边乘以1，并积分 与1做内积求1a 左右两边乘以cosxl π，并积分0121102(x)cosdx 2cos (cos )cos cos ............1(x)cos dx 1(x)dx 21(x)cos dx1(x)sin dxk k lll l l l l l l l ll l l l l xf l x x x x a dx a dx a dx l l l l a lx a f l l a f l k x a f l l k x b f l lππππππππ+-+++---+-+-+-+-⋅=⋅+⋅+⋅++=⋅=⋅==⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑦222x y F F F =+勾股定理同样满足[]2222k k 011111(x)dx +222l l k k f a b a l ∞∞+-===+∑∑⎰功率守恒 用数学分析0122012112121222222222120122coscos......sin sin ......)22cos c (x)(x)(os ......sin sin ......22cos 2cos ......2cos sin ......xx x xa a ab b l l l lx x x xa a ab b l l l l x x x xa a a f a ab l l l l f ππππππππππππ+⋅+⋅++⋅+⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅⋅+⋅=做积分可得勾股定理为什么有12l12 12这些系数？介绍频谱例：以2l 为周期的脉冲电流函数f （t ）在[]0,2l 表示为0(t)02tt l f l t l≤≤⎧=⎨<≤⎩展开为傅里叶级数0k k 11(t)cos +sink k k t k t f a a b l l ππ∞∞===+∑∑0011(t)dt t dt 224l l l la f l l +-===⎰⎰ 0000202201(t)cos dt 1t cos dt1td(sin )1sin t sindt cos ()(1)1()02-k ()k l l l l lll kk k ta f l lk t l l l k t l k l t k t k tk l k ll k t k l l k k l k ππππππππππππ+-+++≠=⋅=⋅=⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为偶数为奇数2000001(t)sin dt1t sin dt 1cos cosdt 0(1)(k 1,2,3......)k l l llk k k t b f l l k t l l t k t k tk l k l lk πππππππ++≠=⋅=⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦↵=--=⎰⎰⎰22112(21)(t)cos +(1)sin 4(2k 1)kk k l l k t l k x f l k l ππππ∞∞==--=+---∑∑狄里希利定理：f(x)满足（1）处处连续或者每个周期中只有有限个第一类间断点（2）每个周期只有有限个极值点，则展开式收敛 级数和[](x)1(x 0)(x 0)2f f f ⎧⎪=⎨++-⎪⎩连续点间断点（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开01(x)dx21(x)cos dx1(x)sin dxk k ll l l l l a f l k x a f l l k xb f l l ππ+-+-+-==⋅=⋅⎰⎰⎰ （1） f(x)是奇函数00002(x)sin dxk k l a a k xb f l lπ+===⋅⎰k 1sin=0k k xb l lπ∞=±=∑展开式（x=0,）（2） f(x)是偶函数0001(x)dx 2(x)cos dx0k k ll a f l k x a f l l b π++==⋅=⎰⎰0k 1cosk k x a a l lπ∞==+±∑（展x=0,开式）'k1sin =0k k k x a l l lππ∞==±-∑(展开式（x=0,)）（三）定义在有限区间上的函数的傅里叶展开奇函数()(0)0f f l ==做奇延拓 偶函数()''(0)0f f l ==做偶延拓 （四）复数形式的傅里叶级数（四版，72页） 欧拉公式1cos (e e )21sin (e e )2ix ix ix ixx x i --=+=-1cosk (e e )2sink (e e )2ik x ik x ik x ik x lx ix ωωωωπωωω--==+=-+00000k k 111111(x)(cos sin )11(e e e e )222211()e ()e 22c ec e c e 1()k 02c 01(2k ik x ik x ik x ik x k k k k k ik xik xk k k k k k ik xik xk kk k ik xkk k k k f a a k x b k x i ia a ab b a a ib a ib a a ib a k ωωωωωωωωωωω∞=∞--=∞∞-==∞-==-∞+∞=-∞=++=++-+=+-++=++=->==∑∑∑∑∑∑∑)0k k a ib k --⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+<⎪⎩0001111(x)cosk xdx (x)sink xdx (x)e dx 2201111(x)cos(k x)dx (x)sin(k x)dx (x)e dx2211(x)dx (x)e dx 22l l l ik xk l l l l l lik x k l l l l l i xl l k c f i f f l l lk c f i f f l l l c f f l lωωωωωωω+++----+++----++--->⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦<⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰作业：三版：42页，3,5（2），6（2） 四版：72页，3,5（2），73页6（2）第一章 教材五章 傅里叶变换第二节 傅里叶积分与傅里叶变换（一）实数形式的傅里叶变换0k k 1g(x)(cos+sin )k k x k xa ab l lππ∞==+∑令123231k kk k l lll l l ππππωωωωωπωπ====∆∆==0k k 1g(x)(cos sin )k k k a a x b x ωω∞==++∑11111g(x)g(x)dx g(x)cos dx cos )g(x)sin dx sin )2l l lk k k k l l l k k x x x x l l lωωωω∞∞+++---===+⋅+⋅∑∑⎰⎰⎰研究l →∞1lim g(x)dx 02lll l +-→∞=⎰ g (x )d xl l +-⎰要求有限 111;;;1lim g(x)cos dx cos 1lim g(x)cos dx)cos 1f(x)cos dx cos k k k k l k k l l k l k k k l l k dw l lx xlx x x xd ωπωωωωπωωωωωπωωωπ∞+-→∞=∞+-→∞=∞+∞-∞∆=∆=→∆→⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰∑⎰⎰⎰同理正弦部分的极限是：1f(x)sin dx sin x xd ωωωπ∞+∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰1()f(x)cos dx 1B()f(x)sin dxA x x ωωωπωωωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰为偶数为奇数(x)()cos d B()sin d f A x x ωωωωωω∞∞=+⎰⎰PPT 傅里叶积分定理 变换的应用举例1.23 5.67lg lg1.23lg 5.670.24350.08990.75366.9743A A A =⨯=+↓↓↓=查对数表查反对数表[]00(x)()cos d B()sin d =()cos +B()sin d =C()cos(())d C()()=arctan(B()())f A x x A x x x A ωωωωωωωωωωωωωϕωωωϕωωω∞∞∞∞=+-=⎰⎰⎰⎰振幅（谱）相位（谱）00002(x)-(x)()0;(0)0(x)B()sin d 2B()f()sin d (x)(x)B()0;(0)0(x)A()cos d 2A()f()cos d 2=f f A f f x f f f f x ωωωωωξωξξπωωωωωξωξξππ∞∞∞∞=-=====-====⎰⎰⎰⎰’奇函数傅里叶正弦变换偶函数对称形式例111|x |2rect 10|x |2x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩00(t)h rect()2(t)A()cos d 22A()f()cos d h rect()cos d 222sin h os d Ttf Tf t tTh Tc ωωωωξωξξωξξππωωξξππω∞∞∞=⋅===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰将展开为傅里叶积分 例20002sin |t |2N 20|t |A t N N πωωπω⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩个正弦波f(t) 00020002200(t)()sin d 2B()f(t)sin d 2sin sin d 2sin(N 2)()N f B t t t A t t t A πωωωωωωπωωπωωππωωω∞∞====-⎰⎰⎰ （二）复数形式的傅里叶积分1cos (e e )21sin (e e )2i x i x i x i x x x i ωωωωωω--=+=-代入实数形式的傅里叶积分00(x)()cos dx B()sin dx f A x x ωωωω∞∞=+⎰⎰[][][]00000011(x)()(e e )d B()(e e )d 221111()B()e d ()B()e d 222211()B()e d ()B()e d 221()B()e d 21()()2i x i x i x i x i x i x i x i x i x f A iA A i i A i A i A i F A i ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω∞∞--∞∞-∞-∞+∞-∞=++-⎡⎤⎡⎤=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→-=-+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰[][]B()(x)()e d 1()(x)cos sin dx 21(x)e dx 2i x i x f F F f x i x f ωωωωωωωωππ+∞-∞+∞-∞+∞--∞==-=⎰⎰⎰傅里叶积分（逆变换）傅里叶变换[][]1()=F (x)(x)F ()F f f F ωω-=表示方法复数形式的傅里叶变换例3(t)h rect()2t f T=⋅求的傅里叶变换 1F h rect()=h rect()e d t 222e d t 2=e |2sin i t T i t T i t T T t t T T h h i h T ωωωπππωωπω+∞--∞+---+-⎡⎤⋅⋅⎢⎥⎣⎦=-=⎰⎰ ω可以为负，正负对称，所以少了系数21sin (e e )21cos (e e )2ix ix ix ix x ix --=-=+作业：三版104页2,4四版81页2,82页4参考三版81页四版63页例题结果（三） 傅里叶变换的性质（1） 导数定理(x)i F()f ωω→’ '''11(x)(x)e d e d (x)2211(x)e (x)e dx 22lim (x)01(i )(x)e dx 21i (x)e dx 2()i x i x i x i x x i x i x F f f f f f f f f i F ωωωωωωωππππωπωπωω+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞→±∞+∞--∞+∞--∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰（2） 积分定理(x)(x)F()1()d ()f f F i ωξξωω→→⎰ 与导数定理相反（3） 相似性定理1(ax)F()||(ax)F()f a af aωω→以a>1为例，说明一下意义，形状变窄，变宽[][]01F (ax)=(ax)e dx (ax y)211(y)e d 211(y)e d 21F()||01F (ax)=-F()||i x y i a yi aa f f f ya f ya a a a f a a ωωωπππωω+∞--∞-+∞-∞-+∞-∞>→===<⎰⎰⎰时时（4） 延迟定理00(x x )e F()i xf ωω--→00000(y )y1(x -x )e dx (x x y)21()e dy21e ()e dy2e F()i xi x i x i i x f f y f y ωωωωωπππω+∞--∞+∞-+-∞+∞---∞--→===⎰⎰⎰（5） 位移定理（调制定理）（6） 00e (x)()i x f f ωωω→-(t)sin f t ω证明 00()01e (x)e dx21(x)e dx 2F()i xi x i x f f ωωωωππωω+∞--∞+∞---∞==-⎰⎰（6）卷积定理12121212(x)(x)f ()f (x )d (x)(x)2()()f f f f F F ξξξπωω+∞-∞*=-*→⋅⎰在信号与系统和数字信号处理中有用，在课程中也有涉及举例有热辐射源分布，1f ()ξ表示热源强度，如果只有一个热源，那越接近温度越高1212f ()f (x )(x)f ()f (x )d x u ξξξξξ+∞-∞-=-⎰点温度所有ξ点对x 的影响都加在一起（四）多重傅里叶变换（简单介绍）12312311212113123212()1233(x,y,z)1(x,y,z)e dx 21e dy 21e dz 21(x,y,z)e (z)e dz (2)i x i y i z i x y z i z f f f dxdydz f ωωωωωωωωπωωωπωωωωωπωωωπ+∞--∞+∞--∞+∞--∞-++-∞=⎰⎰⎰⎰⎰⎰对x:F(,y,z)=对y:F (,,z)=F(,y,z)对z:F(,,)=F (,,z)F(,,)=反变123()123123123123123123(x,y,z)=e e i x y z i z f d d d d d d d d d d ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω++∞∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰换F(,,)F(,,)F(,,)F()第一章 第三节δ 函数（一）δ 函数引1一根钢管5m ，20kg ，均匀，线密度为4kg/m ，如果长0.2m ，线密度？0(x)0(x)l l dx mρρ+-⎧=⎨≠⎩=⎰很大x=0x 0引2 概率密度定义0000000(x)0(x)(x)=11lim ()(x)(x )x 0;x ,l dx dx x rect l lx x x x δδδδδ+∞+-∞-→∞⎧=⎨≠⎩==--==∞⎰⎰x=0x 0且那么位于，质量为m 的质点的线密度为m 有 第一个用处：表示点电荷质点的线密度（二）δ（x ）的性质（量纲上说：密度）（1）是偶函数(x)(x)δδ-=如果奇函数0(x)01lim ()(x)l dx x rect l lδδ+∞-∞→==⎰ 导数''(x)(x)δδ-=-是奇函数（2）0((x)(t)1(t),H(t),(x)(x)(x)x H dt u H dH dxδδ-∞⎧==⎨⎩=⎰x<0）（x>0)都可以，单位阶跃函数（3） 对于连续函数()f τ00000000000()()()()(t )()(t )(t )()()(t)()()t t t t f t d f t d f t d f f f t d f f t d εεεετδτττδττδτττδτττδττ+∞-∞+-+-+∞-∞+∞-∞-=-=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰一个函数等于它与δ函数的卷积第二个用处，连续量表示为脉冲量的积分（三）δ（x ）是一种广义函数只要满足(x)()()f f x d ξδξξ+∞-∞=-⎰的δ（x ）都可以叫做δ函数（四）δ（x ）的傅里叶变换0111()(x)e dx e 222i x i c ωωωδπππ+∞---∞===⎰ 逆变换：1(x)e dx 21(x)e d 2i x i x ωωδπδωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰δ（x ）的傅里叶变换，另外求法001lim ()(x)11sin(/2)F(())=2/21sin(/2)1lim 2/22l l x rect l lx l rect l l l l l δωπωωπωπ→→== 例2 (x)1f =的傅里叶变换11e dx ()()2i x ωδωδωπ+∞--∞⋅=-=⎰1(x)e d 21()e dx 2i x i x ωωδωπδωπ+∞-∞+∞-∞==⎰⎰（五）多维δ（x ）函数三维δδδδ（r ）=（x ）（y ）（z ）第二章 教材七章 定解问题第二章（教材七）物学物理定解问题 定解问题由方程、边界条件、初始条件构成（1） 方程静电势20(u 0)u ∇=∆=稳定温度20(u 0)u ∇=∆=稳恒温度场为(x,y)u温度梯度u ∇散度20u u ∇∇=∇=（2） 边界条件0|100c o x u ==（3） 初始条件0|?f(x,y)(x,y)100c t o u ==点的温度然后边界处于，各个点温度随时间变化的规律例子：一维稳恒温度分布2220(x)10000|0|100100x x l xu luu x u u uc u cx D u xx l ==⎧=⎪⎪∂⎪∇=⇒=⎨∂⎪=⎪⎪=⎩∂==+=∂第一节 数学物理方程的导出方法：（1）确定研究哪一个物理量 温度，位移，电势(x ,t )u （2）空间上划分出一小部分 ,,dx ds dv（3）研究一个短时间内的变化dt（一）弦的微小横振动例 琴弦的振动假设：A 弦是柔软的，力沿切线方向，法向不能提供力（板擦） B12353524,sin ......3!5!2tan ......3!15cos 1 (1)2!4!ααααααααααααααα=-++≈=+++≈=-++≈很小忽略重力影响水平方向：21(x dx)cos (x)cos 0(x dx)(x)T T T T αα+-=+=垂直方向：ρ为线密度 kg/m22122221222222222sin sin (x,t)dx (x dx,t)sin tan (x,t)sin (x dx,t)(x,t)(x,t)dx (x dx,t)(x,t)(x,t)(x,t)(u dx T T F tm au xu xu u u dx T F t x x dxu u u T F t x dx u u T F t xT a f ρααααααρρρρ∂=-+∂∂+=∂∂∂∂∂+∂⎡⎤=-+⎢⎥∂∂∂⎣⎦÷∂∂+-⎡⎤=+⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂=+∂∂=令2222222(x,t)x,t)(x,t)u u (x,t)u u 0()u u(x,t)tt xx tt xx F u u a f t xa f a ρ=∂∂=+∂∂-=-==无外力（二）均匀杆的纵振动定义相对伸长为“应变” (x dx,t)u(x,t)(x,t)u u dx x+-∂=∂ 胡克定律(x,t)(x,t)Y u P x∂=∂ (x,t)P ：作用于物体的“应力”（单位面积上的力），压强单位 Y 杨氏模量作用在（x,x+dx ）上小段的合外力为 [][]22P(x dx,t)(x,t)(x dx,t)(x,t)(x dx,t)(x,t)(x,t)F S P u u SY x x SY u u xu SY dx x=+-∂+∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦∂=+-∂∂=∂ 作业：三版152页2,3；四版121页2,3222222,(x,t)(x,t)=t u u 0tt xx sdx s u u SY dx s dxx Y a a ρρρρ∂∂∂∂=-=设细杆密度为，m=为截面积以上两种属于波动方程，二维，三维的方程22u (u u )0u (u u u )0tt xx yy tt xx yy zz a a -+=-++=（四）扩散方程传输线方程金和铝压在一起四年，互相扩散物理量是浓度u ，起源是浓度不均匀，浓度随空间变化 用浓度梯度表示u ∇扩散运动的强弱用单位时间通过单位截面积的质量表示q （扩散流强度） 扩散定律x y z q D u u q Dx u q Dy uq Dz =-∇∂=-∂∂=-∂∂=-∂研究三维空间中的扩散定律，单位时间沿X 方向净流入为x x dx q dydz q dydz +-(x,y,z,t)(x dx,y,z,t)(x dx,y,z,t)(x,y,z,t)():()z :()u u Ddydz D dydz x xu u D D dydz x x uD dxdydz x x uy D dxdydz y y uD dxdydz z z ∂∂+=-+∂∂∂+∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2222()()()()u (u u u )0u 0u =t xx yy zz t t u u u u dxdydz D D D dxdydz t x x y y z z dxdydza D a a u a u⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦=-++=-∆=∆粒子数守恒约掉令均匀，常数如果单位时间单位体积产生的质量为(x,y,z,t)F2u =(x,y,z,t)t F a u +∆四版111页（三）传输线方程（电报方程）单位长度 电阻R ，电漏G ，电容C ，电感L()()x tx tdj vGdx vCdx t dv jRdx jLdx t dxjv Gv C j Gv Cv x t v j v Rj Lj Rj L xt ∂⎧=--⎪⎪∂⎨∂⎪=--⎪∂⎩÷∂∂⎧=--⎪=--⎧⎪∂∂⇔⎨⎨∂∂=--⎩⎪=--⎪∂∂⎩()0......(1)()0......(2)()0....................................(3)()()()0......(4)()xx jG C v x t v R L j t x j G C v x t x G C R L j G C v G C t t x t t ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩∂∂∂⎧++=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂∂∂⎪++++=+⎪∂∂∂∂∂⎩用作用于（1）用作用于（2）222-()0()v 0R=0G=0010001tt xx t tt xx t tt xx tt xx tt xx tt xx LCj j LG RC j RGj LCv v LG RC RGv LCj j j j LCv a v j a j a a LC-+++=-+++=-=-=-=-==（4）（3）同理如果，，无电阻，无电漏则表示电磁波的速度三维空间中的电磁波（真空） 222233222222300010tt tt v E j HE a E x y z H a H a c με→→∂∂∂-∆=∆=++∂∂∂-∆===（五）热传导方程（三版146页，四版117页）热流强度q单位时间 内垂直通过等温面单位面积的热量||dQ q dSdt=A ：傅里叶定律q K u =-∇B ：牛顿冷却定律 单位时间，从物体内部通过单位表面积流到周围介质的热量跟物体表面与外界的温差成正比，即()()()()()0012,H ,,,|Q Q ,y,z,t ,y,z,t s ssvvq s t u x y z t u u v qd s K ud s K u dvv F x dvF x ∆∆=-⎡⎤⎣⎦∆=-=∇=∇∇∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰环境温度位于内的介质吸收的热量来自热传导的热源单位时间流入的热量单位时间内热源释放的热量热源密度单位时间单位体积释放的热量()()()1222222222Q +Q ,y,z,t =+F ,0v v v v t t t t xx v u c dv t u c dv K u dv F x dv t v u c K u tK FK a f c c c u a u f u a u ff u a uu a u ρρρρρρ∆∆∆∆∆∂=∂∂=∇∇+∂∆∂∇∇∂==÷=∇+-∇===∇-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰单位时间内，中介质温度升高所对应的热量是任意选取的为常数，一维情况以上两类属于运输方程（五）稳定浓度分布 ()()()222,y,z,t ,y,z 1,y,z =0t u a u F x a u F x u F x au -∆=-∆=∆=-∆泊松方程如果F=0,则，拉普拉斯方程（六）稳定温度分布()()22222222222,y,z,t ,y,z,t 00;0;0000t u a u f x f f x a u ff a u u u u u ux y z u x-∆===∆+=∆=∆=∆=∂∂∂++=∂∂∂∂=∂具体化（物理意义：每一点的散度为0，保证温度不变）一维（七）静电场在介电常数为ε 的介质中，电荷分布为(),,f x y z ρ ，则静电场(),,?E x y z =22S v =-0fsfvv f vvff ff Q E d Edv dv E dv dvE u E E u u u u u ερερερερερερ⋅=∇⋅=∇⋅=∇⋅=∇-∇=∆=∇=-∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰体积足够小用电势表示，无电荷以上三种称为稳恒场方程220000tt xx t xx xx yy u a u u a u u u u ⎧-=⎪-=⎨⎪∆=⇔+=⎩双曲型方程抛物型方程椭圆型方程第七章 第二节 定解条件只有方程还不能求解！例如''''00222()0||0x x y y x y ay b y y u u a t x===++=∂∂-=∂∂如果要三个条件（一）初始条件1给出系统各点的初位移和初速度00(,t)|(,0)(x)|(,0)(x)t t t u x u x uu x tϕϕ====∂==∂ 2给出系统的初始温度（浓度）0(,y,z,t)|(x,y,z)t u x ϕ==例：长为l ，两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离b ，写出初始条件初位移202(,0)2()2bl x x l u x b l l x x l l⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩初速度 放手的那一瞬间，各点的速度为(,0)t u x =0（二）边界条件分为三类：（1） 给出边界上的值（2） 给出边界上外法线方向的导数值，纵振动杆的一端受一个恒定拉力 （3） 给出上面两类的组合的值（1） 第一类边界条件两端固定的弦()0|(0,t)0|,0x x l u u u u l t ======细杆导热00(,)|(t)0(,)|x x a u x t f x f t u x t u x a u ======一端按（）变化一端恒温扩散000(,)|(,)|x x l u x t N u x t N ====恒定表面浓度扩散（2） 第二类边界条件1纵振动的杆00,Y |()()=;|-()=;|-()=0|=00,x a x l x x a a lun s f t nu u u f t n x x YS u u u f t n x x YSuf t a l n =====∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂是外法线方向右：左：（）如果自由，（）2细杆导热00000()-K|()()()-K|()|()()-K |()|()()|()()|-=0|0|0x a x x x x x l x l x x l n f t uf t nu u f t f t f t n x K u u f t f t f t n x K u f t f t x K u f t f t x Ku u un x x=========∂=∂∂∂=-⇒=-∂∂∂∂=⇒=∂∂∂⇒=∂∂⇒=∂∂∂∂==∂∂∂：外法线方向：沿外法线方向的热流强度左端流入左端流出右端流入右端流出没有热流（绝热） （3） 第三类边界条件2作纵振动的杆00SY|,SY ()|0SY |+-SY ()|0x l x l x x x luKu u x u u K xx u Ku x u u K x=====∂=-∂∂+=∂=∂=∂∂+=∂增加时，力与外法线方向相反（）（4） 第三类边界条件0-K |(|)()()()0()nn x a n x a n x a x x l x x x a n q Ku u h u K u Hu H ha l u Hu a u Hu θθθθθ=======-=-+===+==-=自由冷却，环境温度：外法线方向m ||tt x l x x l u mg YSu ===-（三）衔接条件A 静电场界面两侧①12u u = ②2121()f u un nεεσ∂∂-=-∂∂面电荷密度 B 弦①00(0,)(0,)u x t u x t -=+ ②1211022000()sin sin 0sin (0,)sin (0,)(0,)(0,)()x x x x F t T T tg u x t tg u x t Tu x t Tu x t F t αααααα--=--++--=-（四）①自然的周期条件②无穷远或圆心有限或圆上有限作业：161页，1,2,3；四版128页，1,2,3第二节 达朗贝尔公式 定解问题（一）达朗贝尔公式0,,(,)()()0t 0t xx xy yy au bu cu a b c u x y f y x x t u f y t λλλλ++==+→=+>↑<↑为实常数假设解释左加右减2''''''2''2''2121122122121122()()()0()()00()0=b 40(,)()()=b 402(,)()()a f y xb f y x cf y x a bc f y x a b c f y x ac R u x y f y x f y x f f bac au x y f y x xf y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+++++=+++=++=+=∆->≠∈=+++∆-===-=+++，代入方程或（无意义）（1）要求存在连续二阶导数(2)[][]2112212=b 40(,)()()()()ac i u x y f y x f y x f y x i x f y x i x λαβλλαβαβ∆-<=±=+++=++++-(3)求解222''2''120(,0)(x)(,0)(x)0(x )00(,t)(x )(x )tt xx tt xx u a u x u x u x u a u u u t u a u a a u x f at f at λλλ⎧-=-∞<<+∞⎪=Φ⎨⎪=ψ⎩-==+-==±>=++-无限长弦的横振动，杆的纵振动（1）通解令解释：行波法，解释物理意义，随t 向左和向右运动，a 为波速 （2）函数1f 与2f 的确定[][]000012''01201102201212102011(,0)|()()(x)(,0)|()()(x)()()()()()()()(x)1()()()()()111()(x)()222t t t t xx xx x x u x u f x f x u x u af x af x x x a f x f x a f x f x d f x f x f x f x d f x f x a f x d f a ξξξξξξ====+=Φ==-=ψ→---=ψ+=Φ⎧⎪⎨-=ψ+-⎪⎩=Φ+ψ+⎰⎰⎰从做积分[][][]00202102012()()111()(x)()()()222(,)(x )(x )11(x at)(x at)()22x x x atx at x f x f x d f x f x a u x t f at f at d aξξξξ+--=Φ-ψ--=++-=Φ++Φ-+ψ⎰⎰（二）半无界弦的自由振动1端点固定200(,0)(x)(,0)(x)0(0,t)0tt xx t u a u x u x u x x u ⎧-=<<+∞⎪=Φ=ψ≤+∞⎨⎪=⎩不能直接用达朗贝尔公式，先看公式只要满足(0,t)0u =即可[][]11(,)(x at)(x at)()2211(0,)(at)(at)()022(at)(at)()x atx at atat u x t d a u t d a ξξξξξ+-+-=Φ++Φ-+ψ=Φ+Φ-+ψ=Φ=-Φ-⎧⎨ψ⎩⎰⎰为奇数 延拓(x)x 0()(x)x 0(x)x 0()(x)x 0x x φφϕψϕ≥⎧Φ=⎨--<⎩≥⎧=⎨--<⎩ 定解问题转化为：20-(,0)(x)(,0)(x)-tt xx t u a u x u x u x x ⎧-=∞<<+∞⎪⎨=Φ=ψ∞≤+∞⎪⎩代入达朗贝尔公式求解2端点自由200(,0)(x)(,0)(x)0(0,t)0tt xx t xu a u x u x u x x u ⎧-=<<+∞⎪=Φ=ψ≤+∞⎨⎪=⎩进行偶延拓(x)x 0()(x)x 0x φφ≥⎧Φ=⎨-<⎩ (x)x 0()(x)x 0x ϕϕ≥⎧ψ=⎨-<⎩ 再利用达朗贝尔公式求解作业：三版179页；四版142页（三）定解问题是一个整体方程和定解条件是一个整体，很少有先求通解，再利用定解条件求解，必须同时考虑方程和条件（四）定解问题的适应性满足：有解，唯一，稳定定解条件的数值有细微改变解的数值也作细微的改变就称为适定的第三章 教材八 分离变数法有电子版第一节齐次方程的分离变数法（一）分离变数法200000||0|(x)|(x)tt xx x x l t t t u a u x l u u u u ====⎧-=<<⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩()()()()()()()()''2''''2''''''22''''22(,)()()=000000000000+=0u x t X x T t XT XT a X T X X T X l X l T t XT a X TT X a XT a T XX X X X l T a T a a λλλλ=⎧-==⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎩=÷==-⎧+=⎪⎨==⎪⎩+==令代入方程本征值问题讨论：()12121212(1)0000X x c e c e c c c ec e c c λ<=++=⎧⎪⎨+=⎪⎩==无意义()1221212(2)=000X x c x c c c l c c c λ=+=⎧⎨+=⎩==无意义()()1212222222''0sin 000sin 0(n )0,0(n 1,2,3......)X ()sin 0(0)0Ax=x n X x c c c c c c n l n ln xx c lx x x x l ππλπλλ=+=⎧⎪⎨=⎪⎩=∴≠∴==>>===⎧+=⎪⎨==⎪⎩无意义为正整数本征值本征函数本征值问题与矩阵的特征值问题一样看关于T （t ）的方程()()()()()()''222''221,23100cos sin,,cos sin sin 1,2,3......,,cos sin sin n n n n n n n n n n n n T a T n T a T ln at n atT t A B l lu x t X x T t n at n at n x u x t A B n l l l u u u n at n at n x u x t A B l l l λπππππππππ∞=+=+==+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑都是解（满足方程，边界条件），不见得满足初始条件也是解（半通解），求系数可以满足初始条件011011002sin (x)sin ()sin 2sin (x)sin ()sin (x)(x)2=()sin 2=()sin n nl n n n n n l n n n n n l n l n n x n x n A a a d l l l l n a n x n x n B b b d l l l l l n A d l l n B n a lπππξϕφξξππππξξξϕπξφξξπξξπ∞∞==∞∞==⎧===⎪⎪⎨⎪=ψ==ψ⎪⎩ψψ∑∑⎰∑∑⎰⎰代入初始条件利用傅里叶展开和，对应项相等，可得：d ξ⎰（二）例题（书，185页） 例1200000||0|(x)|(x)tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u u ====⎧-=<<⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩()()()()()()()()()'''2''''''22''''2(,)()()0t 000==0'0000u x t X x T t X T T t X X l X l T t XT a X TT X a XT a T X X X T a T X X l λλλ==⎧⎪≠∴⎨=⎪⎩=÷==-⎧+=⎪+=⎨==⎪⎩'代入边界条件'方程本征值问题’’()()12'12(1)000X x c e c e X x c c c c c c c c λ<=+=-⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴==无意义()()()()12'1110200100()X x c x c X x c c c X x c X x c c =+===⎧==⎨=⎩有意义()()12'2212221(3)0sin 0000,0sin 0(n )(n 1,2,3......)X()cos (n 1,2,3......)cosn n X x c c X x c c c c c c c n n ln xx c l n xX c lλππλππ>=+=-+⎧==⎪⎨-=⎪⎩=≠∴========1,2,3......、22200(n 01,2,3......)cos (n 0,1,2,3......)n n n l n xX c l λλπλπ=>====把，的情况结合在一起，余弦级数的基本函数族看关于T （t ）的方程()()()()()()()22''22''0000000000000cos sin 1,2,3......0,,cos sin cos 1,2,3......,cos sin n n nnn n n n n T aT n l T n n at n at T t A B n l l T t A B t n u XTu x t A B t C n at n at n x u x t A B n l l l n at n a u x t A B t A B l ππππππππ⎧+=≠⎪⎨⎪==⎩⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩==+⎧⎪⎨⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎩=+++方程解半通解1cos n t n x l l π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑00110011000000+cos =(x)+cos +cos =(x)+cos 1=()1=()2=()cos 2=()cos nn n n n n n n l ll n l n n x n x A A a a l l n a n x n x B B b b l l l A d lB d l n A d l l n B d n a l πππππψφξξξξπξφξξπξξξπ∞∞==∞∞==⎧Φ=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ψ⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪ψ⎪⎩∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰代入初始条件 例2220000|0|0|(0x )txx x x x l t k u a u a c u u xu u l l ρ===⎧-==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=<<⎪⎩()()'''2(,)()()0000,0u x t X x T t X X T a T X X l λλ=⎧+=⎪+=⎨==⎪⎩’()()12'1222220,00sin 0001()(k 0,1,2,3......)21()2(k 0,1,2,3......)1()2X()sin (k 0,1,2,3......)X x c c X x c c c c k k l k xx c lλλλππλπ=<>=+=-+=∴≠⎧⎪⎨=⎪⎩=+=+==+==无意义时代入条件T （t ）的方程()222222222'221()21()2000000201()201()2sin1()2,sin1()2sin 01()2sin 1()22=sin (2=-cos 1()2k a tl k a tl k k k k l k l k T a T l k xT celk xu x t c elk x u c x x l l l k xlk u c d l l lu l d l k ππππππππξξξξπ+-+∞-=∞=++=+=+=+=<<+++∑∑⎰⎰代入初始条件以为基本函数族做傅里叶展开()22200022000221()20221)211()()2222cos |cos 11()()221()22sin |11()()222(1)1()21()212,(1)sin1()2ll l kk a tkl k k l k k u u l l d l l l l k k k u l l l k k u k k xu u x t elk ππξπξπξξξπππξπππππ+∞-=⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦++=-++++=++=-++=-+⎰∑作业：三版201页1,2,7；四版160页1,2,7 例3000000(0,0)||(0)||(0)xx yy x x a y y b u u x a y b u u u u y b u u u Ux a ====+=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩非齐次条件，不能分离变量，边界条件不能分离00000000000000+0v ||v ||v ||v ||00v |v ||0|0v |0v |0||xx xx yy yy x x x a x a y y y b y b xx yy xx yy x x a x x a y y b y y b u v wv w v w w u w u w u w U v v w w u u w w w u w U=================+++=⎧⎪+=+=⎨⎪+=+=⎩+=+=⎧⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪====⎩⎩ 特殊解决方法：()()0,,u x y u v x y =+ 代入方程及条件： 0000v |0v |0v |0v |xx yy x x a y y b v v U u ====+=⎧⎪==⎨⎪==-⎩()()''''v(,y)()Y(y)0000x X x X X Y Y X X a λλ=⎧+=⎪-=⎨==⎪⎩2221(n 1,2,3......)X ()sin (n 1,2,3......)(y)(x,y)()sin(x,y)()sinn n n y y aa n n n n n y y aan n n n n y y a a n n n n an xx c a Y A eB en x v A eB ean xv A e B e a πππππππλπππ--∞-======+=+=+∑代入y 的边界条件()()()()()()1010000()sin 0()sin 00n 4n 0n 4=-=n -)121241,2nn n n n b ba a n n n n n n nb b a an n n n n n b ba a x xx x n x A B a n x A e B e U u a A B A e B eU u n U u A B n e e shx e e chx e e U u u x y u πππππππππππ∞=∞-=----⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩+=⎧⎪⎪⎧⎨⎪+=⎨⎪-⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩=-=+-=+∑∑为偶数为奇数为偶数为奇数（0(21)(21)sin (21)1n k yshk x a k b k a shaπππ∞=++++∑ 例4、求导体附近的电势分布垂直纸面是均匀的222222x y a 00(x y a )|0|xx yy r u u u u E X +=→∞⎧+=+>⎪=⎨⎪=-⎩令()()22222a 0,()00(a)|0|cos (,2),u x y XY X x Yu u uu u E u u ρρρρρρρϕρϕρϕπρϕ=→∞==⎧∂∂∂++=>⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪+=⎩不能分离出边界条件，边界用两个变量表示极坐标()()()()()()22''22''22''2''',()01()00+2=()(+2=()u R d R dR R d d d R dR R R d d R R R R R ρϕρφϕρρρρρρλρρλρρλρϕπρϕϕπϕ=Φ++Φ=Φ÷Φ+=-=ΦΦ+Φ=+-=ΦΦ⇒ΦΦ代入周期条件）本征值问题''(+2=()0ϕπϕλΦΦ⎧⎨Φ+Φ=⎩）()()()201,2,3...()0000A B m m A B B Be A B λλϕϕλλ⎧+>⇒==⎪⎪Φ=+=⇒=⎨⎪+<⇒==⎪⎩,可以,,可以,不可以本征值20,1,2......m m λ==本征函数()cos sin 0,1,2,3......m m A m B m m ϕϕϕΦ=+=222222222222()01=,ln ,11111101(m 0)ln (m 0)t mt mt mmR d R dR m R d d dt e t d dR dR dt dR d dd dt d dt d dt d R d dR dR d Rd d dt dt dt d Rm R dtCe De C D R C Dt C D ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ-+-=====⇒=⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭∴-=⎧+=+≠⎪=⎨⎪+=+=⎩的方程欧拉型常微分方程，作代换()()()()()0000011()m 0(,)ln m 0(,)cos sin cos sin (,)ln cos sin cos sin m m m m m m m mm m m m m m m R C u C D u A m B m C m D m u C D A m B m C m D m ρρϕρρϕρϕϕρϕϕρϕρρϕϕρϕϕ-∞∞-==Φ==+≠=+++=+++++∑∑代入边界条件()()()()00110000220110lna cos sin cos sin 0lna 0lna 00cos sin cos 1ln cos sin mm m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m mmm m m m m C D aA mB m aC mD m C D C D a A a C C A a a B a D D B aAm B m E C D A m B m E ϕϕϕϕρρϕϕρϕρρρϕϕρρ∞∞-==--∞=-+++++=+==-⎧⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩→∞+=-÷⇒+++=-∑∑∑0110221102000cos 0;D 0;0(m 1);C 0(m 1)(,)ln cos cos m m m m m B A E A C A a E a a u D E E a lϕρρϕρϕϕ∞====-=>=-==>=-+∑作业：三版201页11,202页16； 四版160页11,161页16第二节 非齐次振动方程和输运方程（一）傅里叶级数法分离变数法(,)()(x)(x)()n n nu u x t X x T T X x ===∑2000''2''20000cos sin 0|0|0|(x)|(x)cossin 0|0|0|(x)|(x)ttxx x x x x l t t t tt xx x x x x t t t x u a u A t x llu u u u u XTxXT a X T A t lu a u u u u u πωπω========⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎪⎩=-=⎧-=⎪==⎨⎪=Φ=ψ⎩分离如果就可以求解本征函数cos,0,1,2......n xn lπ= 假设原方程的解具有()0T cosn n n xt lπ∞=∑的形式，代入原方程 222''2022''112222''2T cos cos sin sin cos 1T sin 1T 0n n n nn a n x x x T A t A t l l l l a n T A t l n a n T l ππππωωπωπ∞=⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦⎧=⇒+=⎪⎪⎨⎪≠⇒+=⎪⎩∑ 代入初始条件()()00'00T 0cos (x)(x)cos T 0cos (x)(x)cos n nn n n nn n n x n xl l n x n x l l ππϕϕππ∞∞==∞∞=====ψ=ψ∑∑∑∑ 000'0000'01(0)=()1(0)=()2(0)=()cos 1,2,3......2(0)=()cos 1,2,3......l l l n n l n n T d l T d l n T d n l l n T d n l l ϕϕξξψψξξπξϕϕξξπξψψξξ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰①。